Capítulo 6 Muestreo Estadístico E esta tema setaremos las bases del muestreo estadístico y estudiaremos las distribucioes de alguos estadísticos a partir de ua muestra. 6.1. Coceptos básicos Auque e el capítulo de Estadística Descriptiva ya vimos alguos de los coceptos básicos sobre muestras, o está de más que los repitamos y ampliemos a cotiuació: Població: Cojuto de idividuos co ua característica observable comú. Muestra: Subcojuto de la població del que se espera que la represete. El objetivo de la estadística iferecial es obteer iformació sobre el cojuto de la població a partir de u subcojuto represetativo de ella llamado muestra. E la práctica lo más comú es coocer sólo ua parte de la població y lo que queremos es averiguar por ejemplo qué esperaza o qué variaza o... tiee determiada població. Iferir iformació de ua muestra es cotestar pregutas sobre el total de la població a partir del estudio de ua muestra represetativa de la misma. Pasos e u estudio co muestreo a) Qué iformació se ecesita? b) Cuál es la iformació relevate? Se dispoe de acceso a todos los idividuos de la població? c) Cómo seleccioamos los idividuos de la muestra? d) Qué método emplearemos para obteer la iformació de los idividuos de la muestra? e) Qué herramietas utilizaremos para hacer iferecias? f) Qué coclusioes podemos obteer? g) Si las coclusioes so fiables y suficietes redactar iforme, e caso cotrario ir a (a). 6.1.1. Tipos de muestreo Muestreo Aleatorio Simple (es el que estudiaremos e este tema) Muestro Estratificado (por sexos, edades, ivel estudios,... variables de perfil) Muestreo por Coglomerados (por ejemplo por provicias, barrios,... ) Muestreo Polietápico. Muestreo o probabilístico. Y otros... 71
Borrador RAM EST. SIS. 15-03-2004 72 Muestreo aleatorio simple Queremos seleccioar ua muestra de tamaño (es decir formada por idividuos) de ua població de tamaño N. Obtedremos ua muestra aleatoria simple (m.a.s.) cuado todas las muestras posibles de idividuos tega la misma probabilidad de ser elegidas. El teer ua m.a.s de ua població juto co u tamaño muestral adecuado os asegurará la represetatividad suficiete de la muestra. Observacioes El proceso mismo del muestreo aleatorio simple es complejo. Ua forma secilla es umerar, si es posible a todos los idividuos de la població y sortearlos eligiedo úmeros como si se tratase de ua lotería (por ejemplo co ua tabla de úmeros aleatorios 1 o co u geerador de úmeros aleatorios). E ocasioes esto es impracticable o muy caro: a) Població mudial de seres humaos. b) Població de llamadas a ua cetralita telefóica. c) Població de votates e las próximas eleccioes locales y autoómicas. E alguos de estos casos será luego impracticable localizar a los idividuos seleccioados y covecerlos de que respoda, muchos o querrá. 6.2. Iferecias Nuestro iterés es estudiar la distribució de probabilidad de la muestra o de algua fució de la muestra y de esta iferir resultados de la distribució de probabilidad de la població. Estadísticos y distribucioes muestrales Teemos ua m.a.s. de ua població y deseamos obteer iformació sobre la media o la variaza poblacioales. Estas iferecias las basaremos e u estadístico, que estudiaremos e más profudidad e los temas siguietes y que o es más que ua fució que depede de la muestra. p e: media aritmética, proporció muestral... 6.2.1. Distribució muestral de u estadístico La distribució muestral o distribució e el muestreo de u estadístico es la distribució de probabilidad de los valores que puede tomar el estadístico e todas las posibles muestras, es decir la distribució de la variable aleatoria que defie el estadístico. Ejemplo 107 Supogamos que queremos estimar cuál es úmero medio de discos de ordeador defectuosos e las cajas de 10 discos de ua determiada marca. Para ello tomamos ua m.a.s de cuatro cajas X 1, X 2 X 3, X 4 y obteemos los siguietes resultados: primera caja : 1 defectuoso seguda caja : 2 defectuosos tercera caja : 0 defectuoso cuarta caja : 1 defectuosos Defiimos el estadístico media aritmética como: E este caso X = 1. X = T (X 1, X 2, X 3, X 4 ) = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 4 Supogamos que tomamos repetidas muestras de tamaño 4 y los resultados so: 1 E realidad los úmeros aleatorios geerados por diversos tipos de algoritmos so pseudoalatorios; so úmeros que supera determiados test de aleatoriedad
Borrador RAM EST. SIS. 15-03-2004 73 Las medias aritméticas de cada muestra so: M. M. M. M. M. M. M. M. M. M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 3 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 2 1 0 0 1 2 0 1 1 1 2 2 1 3 0 0 1 1 M. M. M. M. M. M. M. M. M. M. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0 1 2 0 2 1 2 1 1 1 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 1 0 3 3 1 0 0 2 1 0 1 1 0.50 1.00 2.00 0.75 0.50 1.25 0.50 0.50 0.25 1.25 1.25 0.75 1.25 0.50 0.50 1.50 1.00 0.75 0.75 0.75 Etoces: (0.25)) = P (X = 0.25) = 1 20 = 0.05 (0.50)) = P (X = 0.50) = 6 20 = 0.30 (0.75)) = P (X = 0.75) = 5 20 = 0.25 (1)) = P (X = 1) = 2 2 = 0.10 (1.25)) = P (X = 1.25) = 4 20 = 0.20 (1.50)) = P (X = 1.5) = 1 20 = 0.05 (2)) = P (X = 2) = 1 20 = 0.05 Esta sería ua aproximació a la distribució muestral del estadístico X a partir de los datos de varias muestras. 6.2.2. Distribució e el muestreo de la media muestral La distribcuió del estadístico puede seguir u modelo preestablecido si se cumple varias codicioes. Por ejemplo, supogamos que hemos tomado ua m.a.s. de observacioes de ua v.a. X e ua població de media µ X y desviació típica σ X. Represetemos por X 1, X 2,..., X los elemetos de observacioes idepedietes que forma ua m.a.s. de ésta població. Cada ua de las observacioes de la població so así mismo v.a. co la misma esperaza y variaza que la població. Llamaremos media aritmética de la muestra (media muestral) X 1,..., X a Observacioes: Notemos que: i=1 X = X i a) E(X) = 1 E(X 1 + X 2 + + X ) = 1 (µ X + µ X + + µ X ) = µ X b) El valor esperado de la media aritmética de la muestra es la media poblacioal. Etoces el estadístico media muestral estima la media poblacioal. Dicho de otra forma la esperaza de la distribució muestral de la media aritmética es la media poblacioal.
Borrador RAM EST. SIS. 15-03-2004 74 Pero que el valor esperado sea µ X o quiere decir que X sea exactamete µ X. Estudiemos la variaza de X. Como X 1,..., X so idepedietes teemos que: a) V ar(x) = 1 2 V ar(x 1 + X 2 + + X ) = 1 2 (V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + + V ar(x )) = 1 2 σ 2 X = 1 σ2 X b) Luego si es suficietemete grade ( o cuado ) la variaza tederá a estar muy próxima a cero. Ejemplo 108 No siempre tedremos idepedecia etre X 1,..., X. Por ejemplo supogamos que queremos averiguar cuátos votos afirmativos hay e ua ura co 10 votos. Teemos dos opcioes para realizar la m.a.s.: a) Tomar u voto al azar aotar su resultado y devolverlo a la ura, repetir el proceso 3 veces más. (muestreo co reemplazamieto). b) Tomar sucesivamete 4 votos de la ura si reemplazarlos. (muestreo si reemplazamieto). E ambos casos la muestra obteida es ua m.a.s. pues todos los subcojutos de idividuos tiee igual probabilidad de ser elegidos. Pero e el primer caso teemos idepedecia etre cada ua de las observacioes mietras que e el segudo esto o es así. E la práctica se elige siempre el muestreo cosistete e observar idividuos distitos. Si es pequeño co respecto a N podemos supoer que las variables so prácticamete idepedietes. Si o, teemos que corregir la variaza multiplicádola por lo que se llama factor de població fiita y tedremos que σ 2 = V ar(x) = 1 N X σ2 X N 1 Que recuerda la variaza de ua Hipergeométrica. Frecuetemete utilizaremos la expresió tipificada de la media muestral: Z = X µ X σ X = X µ X σ X Además si aplicamos el T.L.C. para tamaños muestrales grades la distribució de Z es ua ormal estádar. Resultado importatísimo pues sea cual sea la distribució de X la distribució de X será coocida si es suficietemete grade. Distribució muestral de X Sea X la v.a. de iterés de ua cierta població co E(X) = µ X y V ar(x) = σ 2 X y sea X 1,..., X ua muestra aleatoria simple de dicha població: a) µ X = E(X) = µ X b) σ 2 X = 1 σ2 X y la desviació típica de X es σ X = σx que tambié recibe el ombre de error estádar de X. c) E el caso e que el tamaño muestral o sea pequeño e relació al tamaño de la població etoces teemos que aplicar el factor de correcció de població fiita e el cálculo del error estádar de X: y el error estádar será σ X = σx N N 1 σ 2 = 1 N X σ2 X N 1 d) Si la distribució de la població (X) es ormal etoces la variable aleatoria: Z = X µ X σ X es ua ormal estádar. O lo que es lo mismo X es ua ormal co media µ X y desviació típica σ X
Borrador RAM EST. SIS. 15-03-2004 75 e) Si la distribució de la població o es ormal pero el tamaño muestral es suficietemete grade etoes por el T.L.C. la distribució de Z tambié se aproxima a ua ormal estádar y por lo tato X se aproxima a ua ormal co media µ X y desviació típica σ X Ejemplo 109 El precio medio por m 2 de veta de casas uevas durate el último año e ua determiada ciudad fue de 115000 pts. La desviació típica de la població fue de 0 pts. Se toma ua muestra aleatoria de 100 casas uevas de esta ciudad. a) Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de veta sea meor que 110000 pts? b) Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de veta esté etre 113000 pts y 117000 pts? c) Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de veta esté etre 114000 pts y 116000 pts? d) Si hacer cálculos, razoar e cuál de los siguietes ragos resulta más probable que se ecuetre la media muestral de los precios de veta: 113000 pts.- 115000 pts. 114000 pts.- 116000 pts. 115000 pts.- 117000 pts. 116000 pts.- 118000 pts. Supogamos que el úmero de casas de la ciudad sea muy grade e relació al tamaño muestral = 100. Etoes si X es la v.a. precio de ua casa de la ciudad el euciado os dice que µ X = E(X) = 115000. y σ X = 0. Tomamos ua m.a.s. X 1,..., X 100 de precios etoces F µ X = µ X = 115000 y σ X = σx = 0 100 = Además Z = X µx σ X Solució: a) P (X 110000) = = X 115000 sigue aproximadamete ua distribució ormal estádar. P (Z 110000 115000 ) = P (Z 2) = F Z ( 2) = 1 F Z (2) = 1 0.9772 = 0.0228 b) P (113000 X 117000) = P ( 113000 115000 Z 117000 115000 ) = F Z (0.8) F Z ( 0.8) = 2F Z (0.8) 1 = 2(0.7881) 1 = 0.5762 c) P (114000 X 116000) = P ( 114000 115000 Z 116000 115000 ) = F Z (0.4) F Z ( 0.4) = 2F Z (0.8) 1 = 2(0.6554) 1 = 0.3108 d) La media aritmética de los precios X sigue aproximadamete ua distribució ormal etoces gráficamete el itervalo de mayor probabilidad será el que mayor área cubra bajo la curva ormal (cetrada e 115000) y ese itervalo es 116000 pts.-118000 pts. 6.2.3. Distribució e el muestro de ua proporció muestral La proporció muestral de u eveto e ua població vedrá geeralmete asociada a ua variable biomial (si la població es pequeña será Hipergeométrica). Por ejemplo si tomamos ua muestra de tamaño, determiar el porcetaje de votos que recibirá el Partido P.X. e las próximas eleccioes es lo mismo que determiar el parámetro p de X = i X i úmero de votates de P.X. e la muestra de tamaño, que es B(, p) y dode cada X i es ua Ber(p) idepediete de forma que X i = 1 si el iésimo idividuo y cero e caso cotrario, así que la proporció muetral es la media aritmética de observacioes Ber(p). Será realmete biomial? otemos que e la muestra o pregutaremos dos veces al mismo idividuo, luego las observacioes o so exactamete idepedietes, pero si el tamaño de la població es grade respecto a la muestra podemos cosiderarlas así, ya que la probabilidad de repuesta afirmativa o cambia (es despreciable el cambio). Defiició 110 Sea X el úmero de éxitos e ua muestra biomial de observacioes, co probabilidad de éxito p. Etoces la proporció de éxitos e la muestra es: ˆp X = X, y se deomia proporció muestral.
Borrador RAM EST. SIS. 15-03-2004 76 Distribució e el muestreo de ˆp X Sea ˆp X la proporció de éxitos e ua muestra aleatoria de observacioes. Etoces: a) E(ˆp X ) = E( X ) = E(X) = p = p b) La distribució muestral de ˆp X tiee variaza σ 2ˆp X = V ar( X ) = V ar(x) su desviació típica es σˆpx = p(1 p) que recibe tambié el ombre de error estádar de la proporció muestral 2 = p(1 p) 2 = p(1 p) y por lo tato c) Si es pequeño e relació al tamaño de la població N teemos que aplicar el factor de correcció de població fiita y etoces el error estádar de ˆp X es σˆpx = p(1 p) p N N 1 d) Si el tamaño muestral es grade (por ejemplo > 30 o mejor > 40) etoces Z = ˆpX p σ px ˆ se distribuye aproximadamete como ua ormal estádar o lo que es lo mismo ˆp X se distribuye aproximadamete como ua ormal co esperaza p X y variaza σ px ˆ. e) Cuado o se verifique las codicioes de aproximació utilizaremos la distribució t de Studet que veremos el el siguiete tema. Observació Notemos que si crece el error estádar dismiuye y etoces ˆp estará más cerca del valor real p. Ejemplo 111 El dueño de ua tieda de discos ha comprobado que el 20 % de los clietes que etra e su tieda realiza ua compra. Cierta mañaa etraro e esa tieda 180 persoas, que puede ser cosideradas como ua muestra aleatoria de todos sus clietes. a) Cuál será la media de la proporció muestral de clietes que realizaro algua compra? b) Cuál es la variaza de la proporció muestral? c) Cuál es el error estádar de la proporció muestral? d) Cuál es la probabilidad de que la proporció muestral sea mayor que 0.15? Solució: El tamaño de la muestra es pequeño e relació al úmero total de clietes. Teemos que p = 0.2 (probabilidad de éxito e la veta). Sea X= úmero de clietes que compra etre los 180, etoces: a) ˆp X = p = 0.2 b) σ 2ˆp X = p(1 p) c) σˆpx = = 0.2(1 0.2) 180 = 0.0009 p(1 p) = 0.0009 = 0.03 d) Como es grade etoces Z = etoces: ˆpX p σ ˆpX = ˆpX 0.2 0.03 sigue aproximadamete ua distribució ormal estádar, P (ˆp X > 0.15) = 1 P (ˆp X 0.15) = 1 P (Z 0.15 0.2 0.03 ) = 1 F Z ( 1.67) = F Z (1.6) = 0.9452 6.2.4. Distribució muestral de la variaza muestral Defiició 112 Sea X 1,..., X ua m.a.s. de ua població (X) co E(X) = µ X y V ar(x) = σ 2 X. Llamaremos variaza muestral a : S 2 X = i=1 (Xi X)2 1 S X = + S 2 X recibe el ombre de desviació típica muestral. Deotaremos por S 2 X = 1 S 2 X y S X = S X.
Borrador RAM EST. SIS. 15-03-2004 77 Proposició 113 ( ) 1. SX 2 = i=1 (Xi X)2 i=1 = X2 i X 2 2. E(SX 2 ) = 1 σ2 X ( 3. S2 X = 1 i=1 X2 i X 2 ) 4. E( S 2 X ) = σ2 X Demostració: Se deja como ejercicio (recomedado). 6.2.5. Distribució e el muestreo de S 2 X Co las otacioes ateriores teemos que: a) E( S 2 X ) = σ2 X b) Si la distribució de la població es ormal etoces la variable ( 1) S 2 X σ 2 X se distribuye segú ua ley χ 2 1 9.4.2. La distribució χ 2 (chi-cuadrado co g.l.) Si X 1, X 2,..., X so v.a. idepedietes y X i N(0, 1) etoces: X = X 2 1 + X2 2 +... + X2 es ua v.a. que diremos que se distribuye chi-cuadrado co grados de libertad y lo otaremos por χ 2 La fució de desidad de ua χ 2 es : f(x) = 1 2 /2 Γ(/2) x(/2) 1 e x/2 co x 0 y Γ(/2) = + 0 u (/2) 1 e u du la llamada fució gamma. Gráfica de la fució de desidad de ua χ 2 Su fució de distribució se puede calcular pero por uestra comodidad está tabulada. Ejemplo 114 Las retabilidades mesuales de cierto tipo de accioes so idepedietes uas de otras, y sigue ua distribució ormal co desviació típica 1.7. Se toma ua muestra de 12 meses. a) Hallar la probabilidad de que la desviació típica muestral sea meor que 2.5. b) Hallar la probabilidad de que la desviació típica muestral sea mayor que 1.
Borrador RAM EST. SIS. 15-03-2004 78 Solució Sea X= retabilidad de las accioes. Sabemos que σ 2 X = (1.7)2 además como la distribució de la població es ormal y = 12 teemos que ( 1) S 2 X σ 2 X a) P ( S X < 2.5) = P ( S X 2 < (2.5)2 ) = P ( (12 1) S 2 X 0.99. b) P ( S X > 1) = P ( S X 2 > 1) = P ( (12 1) S 2 X 1 0.25 = 0.975 sigue ua distribució χ 2 11. (1.7) 2 < (12 1)(2.5)2 1.7 2 > (12 1)1 (1.7) 2 ) = P (χ 2 11 < 23.7889) P (χ2 11 < 24.725) = 1.7 2 ) = P (χ 2 11 > 3.80623) = 1 P (χ 2 11 > 3.816) =