EXAMEN DE MATEMÁTICAS II (Eamn Final, Rcupración d Análisis Intgrals) BACHILLERATO EXAMEN FINAL (RMJ5) a) (,5 puntos) Discut l siguint sistma d cuacions n función dl parámtro a: + y + az + ay + z a a + y + z b) ( punto) Si s posibl, rsuélvlo para l valor d a ( puntos:,75 puntos cada apartado) a) Halla la rcta r qu pasa por l punto P(,, ) y s prpndicular al plano π + y + z + 6 b) Halla la cuación d la rcta s qu pasa por los puntos A(,, ) y B(,, ) c) Estudia la posición rlativa d r y s Si s cortan, calcula l punto d cort d) Calcula la distancia dl punto A(,, ) al plano π qu pasa por l punto P(,, ) y s parallo a π ( punto) Halla la cuación d la parábola y + b + c qu s tangnt a la rcta y n l punto (, ) cos ( punto) Halla l siguint límit: lim sin + 5 (,5 puntos) Esboza la gráfica d la función f( ) (Dtrmina: dominio; asíntotas; crciminto y dcrciminto; concavidad y convidad) 6 ( punto) Calcula la intgral ln( ) d Alcalá d Hnars Mayo d 6 wwwmatmaticasjmmmcom
EXAMEN DE ANÁLISIS (DERIVADAS E INTEGRALES) Rcupración dl Bloqu d Análisis 7 ( punto) Halla la cuación d la parábola y + b + c qu s tangnt a la rcta y n l punto (, ) 8 Halla los siguints límits: cos a) ( punto) lim b) ( punto) ( ) / lim cos sin sin + 9 ( puntos) Esboza la gráfica d la función f( ) (Dtrmina: dominio; asíntotas; crciminto y dcrciminto; concavidad y convidad) (CBS) (,5 puntos) S quir vallar una finca rctangular qu stá junto a un camino La valla dl lado dl camino custa 5 uros l mtro, y la d los otros trs lados custa 5 uros l mtro Halla l ára dl trrno d mayor suprfici qu podmos vallar con uros Calcula: a) (,7 puntos) d b) (,8 puntos) ln( ) d + 6 (Propusto n Slctividad, Etrmadura) a) (,5 puntos) Calcula los puntos d cort d la rcta y y d la rcta y con la rama hiprbólica y, > b) (,5 puntos) Dibuja l rcinto plano limitado por las trs curvas dl apartado antrior c) ( punto) Calcula l ára d dicho rcinto Alumnos con l cálculo d drivadas aprobado Calcula las siguints intgrals: a) (,5 puntos) ( ) d b) (,6 puntos) cos ( ) + + d d) (, puntos) + c) (,7 puntos) (,5 puntos) Sa I d + a) Eprsa I aplicando l cambio d variabl b) Calcular l valor d I t d 5 Calcula: a) ( punto) d b) (,5 puntos) ln( ) d + 6 6 S considra la curva d cuación y + a) (,5 puntos) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d sa curva n l orign b) ( punto) Dibuja un squma dl rcinto limitado por la gráfica d la curva y la rcta hallada c) (,5 puntos) Calcula l ára d s rcinto Alcalá d Hnars Mayo d 6 wwwmatmaticasjmmmcom d
SOLUCIONES (RMJ5) a) (,5 puntos) Discut l siguint sistma d cuacions n función dl parámtro a: + y + az + ay + z a a + y + z b) ( punto) Si s posibl, rsuélvlo para l valor d a Sa A la matriz d coficints y M la matriz ampliada El sistma srá compatibl dtrminado cuando l rango d ambas matrics sa, qu s l númro d incógnitas; srá compatibl indtrminado si tinn l mismo rango, pro mnor ; y srá incompatibl cuando l rango d A sa mnor qu l rango d M a Las matrics son: A a a M a Como la columna d los términos indpndints s igual a la d los coficints d la incógnita y, l sistma simpr srá compatibl, pus l rango d M no pud sr mayor qu l d A El dtrminant d A, A a a + a ( a ) ( a+ ) a a Est dtrminant val si a o a Con sto: Si a y r(a) r(m) El sistma srá compatibl dtrminado Si a s tndrá: A M r(a) r(m) El sistma srá compatibl indtrminado con dos grados d indtrminación Si a s tndrá: A M r(a) r(m) El sistma srá compatibl indtrminado con un grado d indtrminación b) En st caso, a, l sistma quda: + y z + y z + y + z y + z y+ z y z + y + z t + y + z y + t y + z z t + y + z E E y z wwwmatmaticasjmmmcom
( puntos:,75 puntos cada apartado) a) Halla la rcta r qu pasa por l punto P(,, ) y s prpndicular al plano π + y + z + 6 b) Halla la cuación d la rcta s qu pasa por los puntos A(,, ) y B(,, ) c) Estudia la posición rlativa d r y s Si s cortan, calcula l punto d cort d) Calcula la distancia dl punto A(,, ) al plano π qu pasa por l punto P(,, ) y s parallo a π a) La rcta r quda dfinida por P(,, ) y l vctor v π (,, ), normal al plano π + t Su cuación s: r : y + t z + t b) La rcta s stá dtrminada por l punto A(,, ) y por l vctor AB (,, ) (,, ) (,, ) h Su cuación s: s : y h z h c) Para dtrminar la posición rlativa d ambas rctas hay qu studiar la dpndncia linal d los vctors: v r (,, ), v s (,, ) y AP (,, ) (,, ) (,, ) Como + ( ) los vctors son linalmnt dpndints; lo qu indica qu las rctas s cortan + t h Para hallar l punto d cort s rsulv l sistma: r : y + t y h : s z + t z h + t h t + t h Punto d cort: C(,, ) + t h h d) El plano π stá dtrminado por l vctor normal a él, qu s v π (,, ), y por l punto P(,, ) Su cuación s: π ( ) + ( y + ) + ( z + ) π + y + z + 7 La distancia d A a π s: + 7 8 d ( A, π ) + + wwwmatmaticasjmmmcom
Halla la cuación d la parábola y + b + c qu s tangnt a la rcta y n l punto (, ) La parábola db pasar por l punto (, ) + b + c c b La drivada n l punto d abscisa db valr, qu s l valor d la pndint d la rcta tangnt Como y + b + b b c La parábola buscada s y + cos Halla l siguint límit: lim sin cos + sin lim sin (L H) lim sin cos + cos lim cos cos sin sin (L H) + 5 (,5 puntos) Esboza la gráfica d la función f( ) (Dtrmina: dominio; asíntotas; crciminto y dcrciminto; concavidad y convidad) Dom(f) R {} Asíntotas + Dividindo: f( ) + + La función tin una asíntota vrtical n, pus lim lim + También tin la rcta y como asíntota oblicua, pus la difrncia f( ) tind a + cuando tind a infinito Esto s: lim lim Crciminto Drivando: ( ) + + 6 6 6 f( ) f ( ) 6 La drivada s anula si 6 6 ± Si < o >, f ( ) > f( ) crc Si (, ) {}, f ( ) < f( ) dcrc 6 6 6 Como f ( ) 8 5 6 f ( ) > ; f ( ) < Por tanto, n s tin un mínimo; n, un máimo; Si <, f ( ) < f( ) cóncava ( ) Si >, f ( ) > f( ) conva ( ) Su gráfica s la adjunta 5 wwwmatmaticasjmmmcom
6 ( punto) Calcula la intgral ln( ) d Aplicando una d las propidads d los logaritmos ln( ) d Una primitiva d sa función pud calculars por l método d parts Tomando: u ln du d ; dv d v Lugo: ln d ln d ( ln ) Por tanto: ln d [ ln ] [ ln (ln ) ] ln( ) d EXAMEN DE ANÁLISIS (DERIVADAS E INTEGRALES) 7 ( punto) Halla la cuación d la parábola y + b + c qu s tangnt a la rcta y n l punto (, ) La parábola db pasar por l punto (, ) + b + c c b La drivada n l punto d abscisa db valr, qu s l valor d la pndint d la rcta tangnt Como y + b + b b c La parábola buscada s y + 8 Halla los siguints límits: cos a) ( punto) lim b) ( punto) ( ) / lim cos sin sin cos + sin a) lim sin (L H) lim sin cos (L H) + cos lim cos cos sin sin b) Es una forma indtrminada: ( ) / lim cos sin [ ] Aplicando logaritmos s tin: / / ln ( lim(cos sin ) ) lim ln ((cos sin ) ) lim ln(cos sin ) sin cos ln(cos sin ) lim (aplicando L Hôpital) lim cos sin Por tanto, lim cos sin ( ) / 6 wwwmatmaticasjmmmcom
+ 9 ( puntos) Esboza la gráfica d la función f( ) (Dtrmina: dominio; asíntotas; crciminto y dcrciminto; concavidad y convidad) Dom(f) R {} Asíntotas + Dividindo: f( ) + + La función tin una asíntota vrtical n, pus lim lim + También tin la rcta y como asíntota oblicua, pus la difrncia f( ) tind a + cuando tind a infinito Esto s: lim lim Crciminto Drivando: ( ) + + 6 6 6 f( ) f ( ) 6 La drivada s anula si 6 6 ± Si < o >, f ( ) > f( ) crc Si (, ) {}, f ( ) < f( ) dcrc 6 6 6 Como f ( ) 8 5 6 f ( ) > ; f ( ) < Por tanto, n s tin un mínimo; n, un máimo; Si <, f ( ) < f( ) cóncava ( ) Si >, f ( ) > f( ) conva ( ) Su gráfica s la adjunta c) Su gráfica s la adjunta (,5 puntos) (CBS) S quir vallar una finca rctangular qu stá junto a un camino La valla dl lado dl camino custa 5 uros l mtro, y la d los otros trs lados custa 5 uros l mtro Halla l ára dl trrno d mayor suprfici qu podmos vallar con uros La situación d la finca s como la qu s mustra n la figura adjunta Si las mdidas d los lados son y, s sab qu 5+ 5y+ 5 5+ 5y O lo qu s lo mismo: + y 6 y 6 S dsa qu la suprfici, S y, dl trrno sa máima Sustituyndo: S ( 6 ) 6 Drivando: S 6 6, qu s anula cuando Como S 6 <, s dduc qu la solución hallada s máima Por tanto, las dimnsions d la finca dbn sr d m por m El lado dl camino db sr l d mtros 7 wwwmatmaticasjmmmcom
Calcula: a) (,7 puntos) d + 6 b) (,8 puntos) a) El dnominador: + 6 + ( )( ) ln( ) La dscomposición qu s hac s: A B A ( + ) + B ( ) + + 6 + ( )( + ) Lugo: A ( + ) + B ( ) si : 5A A /5 si : 5B B /5 Por tanto: / 5 / 5 d + d d + d + 6 + 5 5 + ln ( ) + ln ( + ) + c 5 5 b) Aplicando una d las propidads d los logaritmos d ln( ) d Una primitiva d sa función pud calculars por l método d parts Tomando: u ln du d ; dv d v Lugo: ln d ln d ( ln ) Por tanto: ln d [ ln ] [ ln (ln ) ] ln( ) d (Propusto n Slctividad, Etrmadura) a) (,5 puntos) Calcula los puntos d cort d la rcta y y d la rcta y con la rama hiprbólica y, > b) (,5 puntos) Dibuja l rcinto plano limitado por las trs curvas dl apartado antrior c) ( punto) Calcula l ára d dicho rcinto a) Los puntos d cort d la curva con cada una d las rctas s obtinn rsolvindo los sistmas: y y (, ); (, ); y y y (, ) y b) Su gráfica s la adjunta Para rprsntar cada curva basta con dar algunos valors 8 wwwmatmaticasjmmmcom
c) El rcinto sombrado pud dscomponrs n dos parts: l triángulo rctángulo d la izquirda, cuya ára val u ; y l triángulo curvilíno d la drcha, cuya ára s calcula por la intgral dfinida d [ ln ] ln ( ln ) ln u Por tanto, l ára total dl rcinto val ln u ANÁLISIS: INTEGRALES Calcula las siguints intgrals: b) (,5 puntos) c) (,7 puntos) Todas son inmdiatas a) ( ) d ( ) d b) (,6 puntos) cos ( ) + + d d) (, puntos) + ( ) d + c b) cos( ) d cos ( ) d sin ( ) c) d) d + c + + + d ( 6) d ( ) 6 6 6 6 6 + d + + d + d d d + + + + + + ( ) + ln + arctan + c (,5 puntos) Sa I d + a) Eprsa I aplicando l cambio d variabl t b) Calcular l valor d I t t ; d tdt Sustituyndo n l intgrando: t t ( + t) I tdt dt dt dt + t + t + t + t t ln( + t) + c ln( + ) + c d 5 Calcula: a) ( punto) d b) (,5 puntos) + 6 a) El dnominador: + 6 ( )( + ) La dscomposición qu s hac s: A B A ( + ) + B ( ) + + 6 + ( )( + ) ln( ) d 9 wwwmatmaticasjmmmcom
Lugo: A ( + ) + B ( ) si : 5A A /5 si : 5B B /5 Por tanto: / 5 / 5 d + d d + d + 6 + 5 5 + ln ( ) + ln ( + ) + c 5 5 b) Aplicando una d las propidads d los logaritmos ln( ) d ln( ) d Una primitiva d sa función pud calculars por l método d parts Tomando: u ln du d ; dv d v Lugo: ln d ln d ( ln ) Por tanto: ln d [ ln ] [ ln (ln ) ] 6 S considra la curva d cuación y + a) (,5 puntos) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d sa curva n l orign b) ( punto) Dibuja un squma dl rcinto limitado por la gráfica d la curva y la rcta hallada c) (,5 puntos) Calcula l ára d s rcinto a) y + y + y ( ) ; y ( ) Tangnt n (, ): y ± 6 / b) La drivada s anula, +, cuando 6 Como y 6 y ( / ) < ; y ( ) > Lugo, n / s tin un máimo y n, un mínimo La rcta tangnt corta a la curva cuando + y Algunos puntos d la gráfica d la curva son: (, ); (, ); (/, /7), máimo; (, ), mínimo; (, ) c) El rcinto comprndido ntr la rcta y la curva s l sombrado n la figura adjunta Como n l intrvalo [, ] la rcta va por ncima d la curva, l ára pdida vin dtrminada por la intgral ( ( )) ( ) 6 u A + d + d + + Alcalá d Hnars Mayo d 6 JoséMMM wwwmatmaticasjmmmcom