Universidd cionl de L Plt Fcultd de Ciencis turles y Museo Cátedr de Mtemátic y Elementos de Mtemátic signturs: Mtemátic: Unidd Temátic nº Elementos de Mtemátic: Unidd Temátic nº Contenidos de l Unidd Temátic Mtrices: Sum y producto por un esclr. Propieddes. Producto entre mtrices. Mtriz Pseudoinvers y Mtriz invers. Determinntes: definición y propieddes. Desrrollo de un determinnte por los elementos de un líne. Resolución de sistems de ecuciones lineles. Resolución proimd de sistems incomptibles: utilizción de l mtriz pseudoinvers.. Introducción l Teorí de Grfos. Representción. Elementos. Definiciones. Notciones. Método de ordención de grfos. plicciones ls Ciencis de l Conduct: Mtrices Sociométrics. Problem del trnsporte. Ing. Crlos lfredo López Profesor Titulr
Cátedr de Mtemátic y Elementos de Mtemátic Ing. Crlos lfredo López MTRICES Y GRFOS demás de ls mtrices que se definen teniendo en cuent que sus elementos provienen de un relción funcionl, los dtos que corresponden l informción recogid sobre diversos tems suelen ser orgnizdos frecuentemente en tbls de un o más entrds medinte conjuntos numéricos cuyos elementos están ordendos por uno o más subíndices. Formlmente un tbl unidimensionl se denomin vector mientrs que un bidimensionl se design con el nombre de mtriz. Ejemplo : En un vije de cmpñ relizdo por lumnos de l Fcultd, se hn orgnizdo cutro grupos, B, C, D conectdos medinte equipos de rdio de modo tl que solo puede comunicrse directmente con B y D ; B sólo puede comunicrse con ; C sólo puede comunicrse con D y D puede comunicrse con y C. Presentr est informción medinte un mtriz de orden, usndo un o un pr indicr si dos cmpmentos pueden comunicrse directmente o no. Solución Ejemplo : L tbl de posiciones del cmpeonto de fútbol es un tbl doble entrd o bidimensionl. Se trt de un mtriz. Considerndo un espcio vectoril de n dimensiones, un vector puede representrse medinte un mtriz; los elementos de ést son ls componentes del vector y pueden escribirse en fil o en column. Si l disposición es en un fil, l mtriz result de dimensión n y se llm mtriz fil o tmbién vector fil, mientrs que si l disposición es en column, el orden es m y hblmos de mtriz o vector column. Por ejemplo es un mtriz column de dimensión Un cso prticulr lo constituye como ejemplo l mtriz () de dimensión.
Teniendo en cuent lo hst quí epresdo, un mtriz puede prácticmente ser considerd como l yutposición ordend de mtrices fil o como un yutposición ordend de mtrices column. Álgebr Mtricil: Simbolizndo con Fi l fil i y con Cj l column j, podemos escribir: F F F ( C C C C) Iguldd. Dos mtrices son igules si tienen el mismo orden y los elementos ubicdos en l mism posición son igules. Ejemplo : Hllr los vlores de, y, z, w si se stisfce l iguldd: + y y z + w z w igulndo elemento elemento correspondiente, result : + y z + w y z w sistem de ecuciones lineles cuy solución es : { ; y ; z ; w } Sum de mtrices: Si tenemos en cuent que ls fils o ls columns de un mtriz pueden considerrse como vectores fil o como vectores column, l opertori entre mtrices deberá seguir ls regls de l opertori entre vectores y ddo que, los vectores se sumn elemento elemento correspondiente, definiremos en form nálog l sum entre dos mtrices con el gregdo de que, pr que dos mtrices resulten sumbles deben ser del mismo orden. L sum entre mtrices de distint dimensión no está definid. Dds entonces ls mtrices ( ij ) y B (b ij ) mbs de orden mn, l sum resultrá ser un mtriz C (c ij ) de l mism dimensión de los sumndos, cuyos
elementos se obtendrán hciendo l sum de los elementos correspondientes de ls mtrices dds. mn + B mn C mn ; con (c ij ) ( ij ) + (b ij ) Ejemplo : Si y B C + B 6 Producto de un mtriz por un esclr: L operción tiene ls misms crcterístics que el producto de un vector por un esclr: todos los elementos de l mtriz quedn multiplicdos por el esclr y se conserv l dimensión de l mtriz. Demostrción: Se l mtriz y el esclr λ ; l operción + verific que cd elemento de l mtriz originl qued multiplicdo por el esclr Hbiéndose definido pr el conjunto de ls Mtrices ls operciones de sum y de producto por un esclr, con ls propieddes correspondientes que hemos detlldo, decimos que este conjunto tiene estructur de Espcio Vectoril. Ejemplo : (Válido pr ls operciones descrits de sum y producto por un esclr ) Hllr los vlores de, y, z y w que stisfcen: z y w + w z + w + y z y + w + z + w + + w + y iguldd de mtrices que d origen por igulción de sus elementos correspondientes l siguiente sistem de ecuciones lineles:
+ y ++y y + y + 7 z +z+w z w z w w+ w w l solución es entonces el conjunto { ; y 7 ; z ; w } Producto entre Mtrices: Es un operción cuyo resultdo, si eiste, depende del orden en que se coloquen los fctores y sólo es posible cundo el número de columns de l primer mtriz es igul l número de fils de l segund. Comencemos por trtr de multiplicr un mtriz fil b b n (... n ) por un mtriz column B m... ; con mn llmmos entonces... bm producto m B m C l mtriz cuyo único elemento es c b + b +... + n b m se trt del producto esclr entre l mtriz o vector fil m y l mtriz o vector column B m. Observmos que pr que el producto resulte posible el número de elementos de los vectores fil de l primer mtriz del producto debe ser igul l número de elementos de los vectores column de l segund mtriz. Lo dicho signific que l dimensión de los vectores fil de l primer mtriz del producto debe ser igul l dimensión de los vectores column de l segund mtriz. Est últim rzón es l que h posibilitdo decir que pr que el producto entre dos mtrices resulte posible el número de columns de l primer mtriz debe ser igul l número de fils de l segund.
6 Ejemplo : Sen ( ) y B ; obtener B C ( ) ( + + ( )( ) ) (6 + + ) () C Sen hor ls mtrices mn ( ij ) ; i {,,...,,m} ; j {,,...,n} B np (b ij ) ; i {,,...,,n} ; j {,,...,p} llmmos producto mn B np en ese orden l mtriz C mp que tiene igul número de fils que l mtriz e igul número de columns que l mtriz B. (Verificmos nuevmente que el número de columns de l primer mtriz () debe coincidir con el número de fils de l segund mtriz (B). Vemos lgunos ejemplos: B C B C ; de l definición de estos dos productos observmos que el producto entre dos mtrices no es en generl conmuttivo. B C B no es posible (por ser el nº de columns de B l nº de fils de ) Disposición conceptul pr el producto: Si quieremos multiplicr B, debemos obtener C ; sen entonces: b b c c ;B b b ; C c c b b b b b c c b b b c c
7 en l intersección de l fil de l mtriz con l column de l mtriz B se encuentr el elemento c cuy epresión se obtiene hciendo el producto esclr : c b + b + b ; con nálogo rzonmiento : c b + b + b c b + b + b c b + b + b DETERMI TES: DEFINICIÓN: Un determinnte es un función cuyo dominio es el conjunto de ls mtrices cudrds y cuy imgen es el conjunto de los números reles. Pr cd mtriz prticulr el número que represent su determinnte socido se obtiene sumndo todos los productos posibles en los cules hy un elemento de cd fil y uno de cd column, dependiendo el signo de cd producto de l clse de l clse de l permutción (ver cpítulo sobre nálisis combintorio) de sus subíndices. Como cd elemento de un determinnte tiene dos subíndices, si tenemos l precución de colocr en cd producto uno de los subíndices, por ejemplo el primero, en orden nturl, l clse de l permutción de los segundos subíndices será responsble del signo del producto. Ejemplificmos pr un producto culquier de un determinnte de orden cutro: tomemos pr nlizr el producto ; en él los primeros subíndices están colocdos en orden nturl; en consecuenci los segundos subíndices determinrán el signo del producto. Pr encontrr l clse de l permutción estudimos el orden, comprndo cd elemento con los siguientes: sí el present un inversión con el, otr con el y un tercer con el ; el un inversión con el y otr con el ; el dos un inversión con el ; en totl hy seis inversiones, l clse de l permutción es pr y el signo es positivo. Pr el producto cuyos subíndices son, utilizndo el mismo procedimiento puede demostrrse que hy cinco inversiones; l clse de l permutción es impr y el signo correspondiente del producto es negtivo. Un mecnismo distinto consiste en colocr l permutción estudir sobre el orden nturl correspondiente; se unen medinte trzos los números igules y se cuentn ls intersecciones. El número de ells indic l clse de l permutción; pr el ejemplo que sigue hy cinco intersecciones; clse de l permutción impr, signo negtivo.
8 DETERMINNTES DE ORDEN DOS. Ddos cutro números,, orden dos (dos fils y dos columns) : y, llmmos determinnte de en el cul fil : fil : column : column : Digonl principl: ; Contr digonl: ; nlizndo el determinnte puede observrse que cd elemento del mismo tiene dos subíndices; el primero corresponde l fil y el segundo l column; sí, el elemento pertenece l segund fil (primer subíndice) y l primer column (segundo subíndice); en generl podemos decir que el elemento genérico de un determinnte, tiene l form i j, donde i indic l fil l cul pertenece y j design l column. En ests condiciones decimos que un determinnte de orden dos es un número que se obtiene efectundo el producto de los elementos de l digonl principl y restándole el producto de los elementos de l contrdigonl, o se:.. Los signos de los productos pueden verificrse estudindo l clse de l permutción de los segundos subíndices: pr el producto como los segundos subíndices están en orden nturl, el signo correspondiente es positivo, mients que pr el producto los segundos subíndices presentn un inversión: clse de l permutción impr y en consecuenci, signo negtivo. Ejemplo:. ( ) ( ). +
9 DETERMINNTES DE ORDEN TRES: Se en el que: fil : column : digonl principl: contr digonl: Los productos correspondientes l determinnte de orden son: los elementos de l digonl principl, los conformdos por los vértices de los triángulos con bse prlel l digonl principl (ver esquems siguientes):.. ;.. ;.. los elementos de l contr digonl y los vértices de los triángulos con bse prlel l contr digonl:.. resultndo del estudio de los signos correspondientes l clse de l permutción de los segundos subíndices: ;.. ;.. (.... + +.... + +.... )
(.. ) (.. ) + (.. ) o bien: + que result ser el desrrollo de un determinnte de orden tres por los elementos de l fil. Este desrrollo se obtiene dndo signo positivo o negtivo los términos del segundo miembro según que l sum de los subíndices del fctor del correspondiente determinnte de orden se respectivmente pr o impr y multiplicndo cd uno de estos fctores por el subdeterminnte que se obtiene l eliminr en el determinnte de orden tres l fil y l column que corresponden l elemento considerdo. Estos subdeterminntes reciben el nombre de Menor Complementrio del fctor correspondiente. Ejemplos de menor complementrio: Menor complementrio del elemento α Menor complementrio del elemento α DJUNTO O COFCTOR del elemento de un determinnte: Es el menor complementrio, precedido de signo más o de signo menos, según que l sum de los subíndices del elemento considerdo resulte pr o impr. Ejemplos de djunto o cofctor: djunto o cofctor del elemento α djunto o cofctor del elemento α Generlizndo: ij ( i+ j ) α Si l sum i+j es pr el resultdo de (i+j) es positivo (menor ij complementrio y djunto coinciden), mientrs que si i+j es impr, el menor complementrio y el djunto son de distinto signo.
De cuerdo con ls definiciones de menor complementrio y de djunto o cofctor, el desrrollo de un determinnte por los elementos de un line: + puede epresrse: α α + α (desrrollo por menores complementrios) o bien: + + (desrrollo por djuntos) que puede epresrse: el desrrollo de un determinnte por los elementos de un líne es igul l sum de los productos de los elementos de dich líne por sus respectivos djuntos. Ejemplo de resolución de un determinnte de orden tres: + ( + ) + ( + 6) + ( ) 6 + ( ) Otro método pr resolver un determinnte de por (el método solo vle pr determinntes de ese orden) consiste en utilizr l denomind Regl de SRRUS. Pr ello repetimos debjo del determinnte sus dos primers fils y el resultdo lo obtenemos como l sum de los productos de los elementos de l digonl principl y los productos de los elementos de ls digonles prlels l digonl principl, menos l sum de los productos de los elementos de l contr digonl y los productos de los elementos de ls digonles prlels dich contr digonl, es decir:.. +.. +........
Ejemplo:..( ) +.. +.( ). ( ).. ( ).. ( ). ( ). + + 6 + 8 ctividd: Clculr el vlor de los siguientes determinntes: 6 b ) ; b) ; c) pr { ; b, c 8; d / / c d } d) Pr los siguientes determinntes, resolver en todos los csos desrrollndo por los elementos de un líne y verificndo el resultdo por l Regl de Srrus. ; b c pr { ; b, c } y z pr { ; y, z } Hllr el vlor de en : PROPIEDDES DE LOS DETERMI TES. ) Si se intercmbin fils por columns, ordendmente, el vlor del determinnte no se modific. Ejemplo:
) Si se intercmbi l posición de dos línes (fils o columns) prlels, cmbi el signo del resultdo del determinnte ; ) Si un determinnte tiene dos línes prlels igules, su vlor es nulo. 8 8 ) Si se multiplicn todos los elementos de un líne por un constnte, el determinnte qued multiplicdo por es constnte. ; ) Si un determinnte tiene dos línes prlels proporcionles, su vlor es nulo. 8 6 6 6) L sum de los productos de los elementos de un líne por los djuntos de un líne prlel d resultdo nulo. Si: ; + + (l sum de los productos de los elementos de l fil por los djuntos de l fil vele cero; en efecto; como puede comprobrse el desrrollo de est epresión se corresponde con: que result ser un determinnte con dos línes prlels igules y, por tl rzón, nulo. 7) Un determinnte culquier puede desdoblrse en l sum de dos determinntes que tienen tods sus línes menos un igules y ls restntes tles que sumdos sus elementos correspondientes se obtiene l otr fil del determinnte desdobldo. b b b + b + b + b + 8) Si los elementos de un líne de un determinnte se le sumn los elementos correspondientes de un líne prlel multiplicdos por un constnte, el vlor del determinnte no se modific.
+ λ + λ + λ λ λ λ + y que el segundo término del primer miembro de l iguldd nterior es nulo por tener el determinnte dos línes prlels proporcionles. Cálculo de un determinte medinte l reducción de su orden: Ls trnsformciones que hemos detlldo dquieren prticulr importnci cundo se trt de resolver determinntes de orden superior tres. Si esto sucede se relizn trnsformciones en ls fils o columns del determinnte teniendo en cuent que, cundo los elementos de un líne se le sumn los elementos correspondientes de un líne prlel multiplicdos por un constnte, el vlor del determinnte no se modific y que, si multiplicmos todos los elementos de un líne por un mism constnte, el determinnte qued multiplicdo por es constnte. Vmos ejemplificr medinte l reducción del orden de un determinnte de orden cutro, sin que el método utilizr pierd rigor pr órdenes myores. Se ; escribiremos l izquierd de cd determinnte ls trnsformciones relizr (por ej. F F indic que los elementos de l fil se le restrán los elementos correspondientes de l Fil multiplicdos por. F F F F F F F 7 9 7 9 F F F F F 9 6 9 6
METODO PIVOTL O DE CHIO Fundmentción del método: Tiene el mismo fundmento que el cálculo desrrolldo en el ejercicio nterior; si bien brind l posibilidd de gilitr el cálculo, como contrprtid termin siendo un regl memorístic que hce perder l noción de lo que el que clcul está relizndo Se bs en elegir un elemento como pivote, lrededor del cul en cd etp gir todo el cálculo; puede elegirse un elemento culquier, pero por comodidd suele tomrse como tl el elemento ubicdo en el ángulo superior izquierdo, es decir, el que está en l posición. Result conveniente que este elemento se igul l unidd, en cso de que no lo se, se lo trnsform dividiendo tod l fil del pivote por el vlor del mismo y multiplicndo todo el determinnte por dicho vlor.. er Pso: formción del pivote: do Pso: trnsformmos en ceros los elementos de l column del pivote; pr ello tommos los elementos de l fil y les restmos los elementos correspondientes de l fil multiplicdos por ; similr rzonmiento seguimos pr trnsformr los elementos de l fil. er Pso: Se resuelve el determinnte de orden dos. Regl práctic: er Pso: elegimos un elemento como pivote; si el ubicdo en l posición es igul se lo elige, en cso contrrio: ) en el cso len que todos los elementos de l primer fil sen múltiplos de se divide tod l primer fil por el vlor de.
6 b) si no se verific ) y eiste un elemento culquier igul se lo llev medinte permutciones de fil y/o de column l posición (tener en cuent el cmbio de signo que debe relizrse en cd permutción) c) si no podemos utilizr los criterios nteriores, dividimos tod l fil por (en este cso tendremos que soportr operciones con números frccionrios). de Pso: hcemos ceros todos los elementos de l column del pivote. er Pso: como hemos visto en el desrrollo precedente, el trnsformdo del elemento es ; siendo podemos escribir ; (se form un cudrdo cuyos vértices son: el pivote y el elemento trnsformr que se multiplicn y este producto se le rest el producto de los elementos que pertenecen ls fils y ls columns del pivote y del elemento trnsformr. Ejemplo: 7 9 7 9 9 9 6 6 MTRIZ DE LOS DJU TOS. Recibe este nombre quell mtriz que se obtiene prtir de un mtriz cudrd dd, reemplzndo cd elemento por su djunto. Ejemplo: Si ; dj
7 MTRIZ INVERS: L invers de un mtriz respecto del producto tiene un grn importnci en el álgebr mtricil. L resolución de sistems de ecuciones lineles, incluso los sistems incomptibles que requieren solución proimd, está estrechmente ligd l inversión de mtrices, como veremos ms delnte. Definiciones: ) pr ls mtrices rectngulres: Dd un mtriz ( mn) con m>n, si eiste un mtriz L ( nm) (L del inglés left izquierd) tl que: L ( nm) ٠ ( mn) I ( nn) se dice que L ( nm) es un invers por l izquierd de ( mn). mtriz Con similr rzonmiento, si ( mn) es un mtriz con m<n y eiste un R (R: del inglés right derech) tl que: nm se dice que ( mn) ٠ R nm I ( mm) R nm es un invers por l derech de. NOT : Suele designrse l invers de ls mtrices rectngulres, con el nombre de + Mtriz Pseudoinvers y, en generl se simboliz con. b) pr ls mtrices cudrds: En el cso prticulr de ls mtrices cudrds, es decir, con igul número de fils y de columns result posible en lgunos csos, que eist un mism mtriz invers por l izquierd y por l derech: l simbolizmos verificándose: I Si l doble iguldd nterior se cumple, l mtriz será regulr (su determinnte socido será distinto de cero) en cso contrrio será un mtriz singulr y no eistirá l mtriz invers. NOT : Como l técnic pr obtener l mtriz pseudoinvers se bs en el conocimiento de l invers de ls mtrices cudrds, comenzremos ejemplificndo el:
8 Cálculo de l invers de un mtriz cudrd y regulr. Ejemplo: Si con su determinnte socido llmmos mtriz invers si se verific: I. Reemplzndo vlores: y desrrollndo el producto entre ls mtrices del primer miembro e igulndo componentes, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + con ls cutro ecuciones escrits podemos formr dos sistems de dos ecuciones lineles; () con () y () con () según se detll: ( ) ( ) + + y ( ) ( ) + + sistems que resueltos, permiten encontrr los elementos de l mtriz invers. Un vez obtenidos los mismos, rest verificr que l mtriz encontrd es l invers de l dd, pr lo cul bst con plicr l definición, relizndo el producto entre l mtriz dd y l hlld, que deberá rrojr como resultdo l mtriz identidd. ctividd: Completr de cuerdo con lo indicdo, el cálculo de l mtriz invers. NOT : l obtención de l mtriz invers por plicción del producto de mtrices puede relizrse con reltiv fcilidd hst mtrices de orden tres, pr ls cules es necesrio escribir nueve ecuciones que conformn tres sistems de tres ecuciones lineles con tres incógnits. Pr órdenes myores, utilizremos otros métodos que desrrollremos en est unidd.
9 Propieddes de l inversión de mtrices: inversión: En ls mtrices regulres se verificn ls siguientes propieddes de l I ) es únic por izquierd o por derech. I ) ( ) I ) ( λ ) λ I ) ( ) B B Demostrción: ( B) ( B) I ( ) B ( B) B B ( B) B ( B) B Obtención de l mtriz pseudoinvers. ) Mtriz pseudoinvers por l izquierd:(pr mtrices de myor número de fils que de columns) Recordmos: L ( nm) ٠ ( mn) I ( nn) L mtriz L ( nm) puede clculrse construyendo l mtriz (nn) t M Si el determinnte de. ( M ), eiste M y puede escribirse: t M M M o lo que es igul: t M I L de donde: L M t b) Mtriz pseudoinvers por l derech: Recordndo que: ( mn) ٠ R nm I ( mm) pr m<n, l mtriz R nm se clcul construyendo de donde: t M ; si det. ( M ), eiste ٠ t ٠T I ٠R t M I R t R M M y puede escribirse:
Ejemplo : Clculr l mtriz pseudoinvers de M como det. ( M ) 8, eiste l mtriz invers M 8 (verificr plicndo l definición de mtriz invers), y entonces: t M L 8 8 Comprobción: 8 8 8 8 I L Si pretendemos hor clculr pr l mism mtriz l mtriz invers por l derech, hcemos ' M ; como ( ) M Det, result que l mtriz invers por l derech no eiste cundo m>n. Ejemplo : Clculr l mtriz pseudoinvers por l derech de: ; clculmos M ; siendo ) ( M Det M y M R t
Comprobción: I R queremos verificr hor que no tiene mtriz pseudoinvers por l izquierd; pr ello hcemos M t ; siendo ( ) M Det, no eiste l mtriz pseudoinvers por l izquierd. CÁLCULO DE L LMTRIZ I VERS UTILIZ DO L MTRIZ DE LOS DJU TOS. Sen dj y ; multiplicndo t dj
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + En l mtriz resultnte del producto puede observrse: ) los elementos de l digonl principl son respectivmente l sum de los elementos de ls fils, y de l mtriz multiplicdos por sus respectivos djuntos que, como sbemos corresponde l desrrollo del determinnte socido l mtriz. b) los elementos ubicdos fuer de l digonl principl corresponden l sum de los productos de los elementos de un líne multiplicdos por los djuntos de un líne prlel que, de cuerdo l propiedd 6 de los determinntes, d resultdo nulo. De ls observciones relizds en ) y b) se deduce: t dj I dj t I
resultndo de cuerdo con l definición de mtriz invers, que l mism puede ser obtenid medinte l epresión: dj t. Pr obtener l mtriz invers, debe clculrse l mtriz de los djuntos trspuest y dividir sus elementos por el vlor del determinnte socido l mtriz cuy invers se clcul. Debe tenerse especil cuiddo en clculr primero el determinnte socido l mtriz y que, de ser éste nulo, no eistirá l mtriz invers. Importnte: l epresión dj t puede utilizrse pr clculr, si eiste, l mtriz invers de un mtriz cudrd. No result válid como definición de mtriz invers. Ejemplo: Clculr l mtriz invers de Cálculo del determinnte socido: 6 ) ( ) ( ) ( + + ; lo que signific que l mtriz dmite mtriz invers. Cálculo de l mtriz de los djuntos: 6 6 j 6 6 ; 6 6 dj dj t t Verificción:
SISTEMS DE ECUCIONES LINELES Ecuciones. Result frecuente que, l finlizr el ciclo secundrio, no se hyn diferencido suficientemente los conceptos de función y de ecución. Medinte lgunos ejemplos, en lo que sigue, trtremos de conceptulizr es diferenci. Como sbemos, un función del tipo: f : R R / f() n. n + n. n +...+. +. es un función polinómic en un vrible. l iguldd f() o lo que es igul n. n + n. n +...+. + se denomin ecución enter en un vrible o incógnit socid f(). Ejemplo : Se l función polinómic: f : R R / f() ; el cero o l ríz de est función es el número rel cuy imgen es nul; o se el número rel que stisfce l iguldd: L iguldd precedente es l ecución socid l función f(). Ejemplo : Se l función polinómic: f : R R / f() + ; l ecución socid f() será en este cso + Ejemplo : Se l función polinómic: f : R R / f() + l ecución socid f() será hor: + Rices de un ecución enter en un vrible. De cuerdo con lo visto, l ecución del ejemplo : se stisfce pr /; en efecto:.
6 Decimos en ests condiciones, que ½ es ríz o solución de l ecución, siendo ríz o cero de l función polinómic que le dio origen. Con similr rzonmiento, l ecución: + del ejemplo se stisfce pr y y que: + () + () por lo cul y son ríces o solución de l ecución y demá s ríces o ceros de l función polinómic que le dio origen. Por último l ecución del ejemplo : + no se stisfce pr número rel lguno; esto signific que sí como l ecución no tiene ríces o solución rel l función que le dio origen no posee ríces o ceros reles.generlizndo los ejemplos podemos firmr que el número rel será ríz o solución de f() si y solo si f() Dicho de otr form R es un ríz de l ecución si en l función l imgen de result ser el número cero. Grdo de un ecución. El grdo de un ecución coincide con el grdo de l función polinómic l que se encuentr socid. Respectivmente, ls ecuciones de los ejemplos son de grdo, y. Efectundo l representción crtesin de ls funciones polinómics de los ejemplos, y, y I y I I I f() I I I I I I f() + I I I I y f() + I I I I
7 observmos que ls ríces reles o ceros de ls ecuciones coinciden con quellos puntos en que ls curvs (representciones crtesins de ls funciones socids) cortn l eje de bsciss. Conjunto solución. Un ecución puede tener ningun, un o más ríces. El conjunto cuyos elementos son ls ríces de l ecución se denomin conjunto solución. Ecuciones con un sol vrible. ) ecuciones de primer grdo. Pr el ejemplo S { ½ } Pr el ejemplo S {, } Pr el ejemplo S { } φ Resolver un ecución es, por lo tnto, encontrr su conjunto solución. Un ecución de primer grdo en un incógnit, tl como l que hemos visto en el ejemplo puede epresrse de un mner generl como: + con Un procedimiento sencillo (despejr l incógnit de l ecución) permite obtener rápidmente l ríz de un ecución de este tipo, tnto si es rcionl como si es irrcionl, es decir, cundo pertenece l conjunto de los números reles. En efecto; volviendo l ejemplo ½ es l ríz de l ecución. b) ecuciones de segundo grdo. Son ls socids los polinomios que tienen el specto: son del tipo: y suelen escribirse generlmente: P() + + n con + + n con + b + c
8 Pr clculr ls ríces de est ecución seguiremos el siguiente procedimiento: º Psmos el término independiente c l º miembro. + b c º Scmos fctor común en el primer miembro º Dividimos mbos miembros por b + c b c º Multiplicmos y dividimos el º término del primer miembro por + º Summos en mbos miembros b () b c + b + b c b + + () () 6º Observmos que el primer miembro es un trinomio cudrdo perfecto; el que corresponde l desrrollo de: por lo que escribimos: b + b c b + + 7º Obtenemos común denomindor en el º miembro 8º operndo: + b b c ± b c epresión que debe permitirnos obtener (si eisten) ls dos ríces de l ecución de segundo grdo. b + b ± b c
9 L eistenci de ríces reles en l ecución de segundo grdo puede nlizrse si se observ l cntidd subrdicl que se denomin DISCRIMINNTE, pr el cul pueden presentrse los siguientes csos: ) Si b > c se obtienen (dos ríces reles y distints). b) Si b c se obtienen (dos ríces reles e igules, o se un ríz doble). c) Si b < c no eistirán ríces reles, y que l ríz cudrd de un número negtivo no tiene solución en el cmpo rel). Con el objeto de ilustrr los tres csos que hemos descripto, resolveremos un ejemplo de cd uno de ellos, efectundo ls representciones gráfics de ls funciones polinómics que cd un de ls ecuciones está socid. Ejemplo : Recordndo el specto de l ecución de º grdo: + b + c result: ; b ; c y entonces: () ().() + ±. +8 + ± 9 + ± ± obteniéndose: + L función polinómic que está socid l ecución result: f() f() I I I I Como puede observrse l representción crtesin de l función cort l eje de bsciss en los puntos de coordends (,) y (,). En dichos puntos ls imágenes I y f()
de l función son nuls; ls primers componentes de estos pres ordendos son ls ríces de l ecución. El conjunto solución es entonces: S {, } Ejemplo : + resultndo: ().. ±. 6 6 ± ± L función l que está socid l ecución resuelt es: f() + f() I I I Observmos en este cso que l gráfic cort l eje de bsciss solo en el punto (,); l primer componente del pr ordendo ( ) es l ríz doble de l ecución resuelt. I I y f() + Ejemplo : +.. ±. ± y l ecución no tiene solución en el cmpo numérico rel.
L función f() + f() 7 es tl que su gráfic no cort l eje de bsciss, lo que implic l ineistenci de ríces reles. Ecuciones con dos vribles. 7 I I I I Con el mismo concepto desrrolldo nteriormente, decimos que si f(,y) es un función polinómic en dos vribles, f(,y), será un ecución en dos vribles. ) ecuciones de primer grdo en dos vribles. Se por ejemplo l función polinómic: f(,y) y. L iguldd y ; se denomin: ecución de primer grdo en dos vribles y se stisfce, entre otros, pr los siguientes pres ordendos (,y): I y f() + (,) y que. (,) y que. (,6) y que. 6 (,) y que. ()()......... Todos quellos pres ordendos que stisfcen l ecución son sus ríces. Como y hemos visto, tmbién en este cso ls ríces de l ecución son ríces o ceros de l función polinómic l que l ecución se encuentr socid. Result evidente que, pr cd vlor rbitrrimente elegido de eistirá un cierto vlor de y que formrá un pr ordendo ríz de l ecución. Cd ríz de l ecución (pr ordendo) es en este cso un punto perteneciente l gráfic de l función que dio origen l ecución considerd; en este cso podemos decir que l gráfic y el conjunto solución coinciden.
Pr nuestro ejemplo: y y 6 I I I I I b) ecuciones de segundo grdo con dos vribles. f(,y) y + que tiene socid l ecución: o lo que es igul: Se l función polinómic de segundo grdo en dos vribles: y + y + Est ecución (no confundir con el polinomio f() + ) tiene infinits ríces: los pres ordendos (,y) que se obtienen dndo vlores rbitrrios en l mism. f() 8 8 8 7 6 I I I I I I I I y L prábol de l figur nterior es l representción gráfic de l solución de l ecución: y +
Sistems de ecuciones lineles. Ls ecuciones y y y de primer grdo en dos vribles pueden tener un o más ríces comunes y pr encontrrls, conformmos lo que se denomin un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits, que se simboliz: y y El conjunto de pres (,y) que stisfce simultánemente ls dos ecuciones se denomin conjunto solución del sistem. Cundo el conjunto solución es vcío el sistem es incomptible. Si eiste únic solución (un solo pr ordendo) el sistem se dice comptible determindo y si, el conjunto solución está conformdo por más de un pr ordendo, el sistem se denomin comptible indetermindo. Generlizndo, un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits puede doptr el specto: () () + B + B y + C y + C Ls ecuciones () y (), pueden epresrse en form conjuntist: S {(,y) / + B y + C } S {(,y) / + B y + C } En ests condiciones, resolver el sistem de ecuciones consiste en hllr S S, intersección de los conjuntos solución de ls ecuciones () y (); lo que geométricmente es equivlente encontrr (si eisten), el punto o los puntos comunes mbs rects. Solucion grfic de un sistem de ecuciones lineles. Ejemplo : Se el sistem de ecuciones lineles con dos incógnits y () y () de () y y de () y y +
cuy representción crtesin es: f() 6 S { (,y ) / y } S { (,y ) / y } S S {(,)} f() I 8 7 6 y y I I I y + I el conjunto solución del sistem (S S ) tiene un único pr ordendo (ls rects se cortn en un punto) y por lo tnto el sistem result ser comptible determindo. Ejemplo : Se el sistem: y 6 y () () Si representmos gráficmente ls rects que corresponden ls ecuciones () y (). I 8 7 6 y I I I observmos que los lugres geométricos coinciden, rzón por l cul el conjunto solución del sistem posee infinitos pres ordendos: los que corresponden todos los puntos de cd un de ls rects; el sistem se dice, comptible indetermindo. I
Ejemplo : Se el sistem: y ( ) y ( ) Representds gráficmente ls dos ecuciones: resultn rects prlels: no eiste intersección, lo cul signific que el conjunto solución del sistem es vcío; por est rzón el sistem se dice incomptible. Resolución nlític de un sistem de ecuciones lineles. Pr l resolución nlític de un sistem de dos ecuciones lineles pueden utilizrse distintos métodos, lgunos de ellos desrrolldos en el ciclo secundrio,: métodos de sustitución, igulción, sums y rests, determinntes, rzón por l cul solo enuncimos cd uno de ellos, remitiendo l lector pr su estudio los tetos de l escuel medi o bien l cpítulo correspondiente l rect en el temrio de l signtur Mtemátic.. Método de Eliminción Gussin. 7 6 I y I I I Los métodos enuncidos precedentemente resultn de sencill plicción e interpretción cundo el sistem que se trt de resolver tiene un número reducido de vribles. Como regl generl puede utilizrse con ventj sobre ellos el llmdo método de eliminción Gussin o método de eliminción de Guss; cuyo fundmento y disposición práctic se bs en l demostrción y efectud pr justificr el método de resolución por sums y rests. y y I En efecto; retornndo ls ecuciones: + + b b () () multiplicndo l ecución () por y l ecución () por obtenemos:
6 restndo () de () + + b b () () ( ) b b () El sistem ( + b ) b b () () es equivlente l (), () y que, como puede verificrse, tiene el mismo conjunto solución. Hemos trnsformdo medinte est operción nuestro sistem originl (), () constituido por dos ecuciones con dos incógnits en un nuevo sistem que le es equivlente y en el cul l segund ecución () posee un sol incógnit, por lo que, obtenid l mism, puede recurrirse l ecución () pr clculr l restnte. Como en relidd, l opertori se efectú sobre los coeficientes, puede relizrse un disposición práctic pr el cálculo: ) b () ) b () ) b () ) b b () Se escriben los coeficientes de ls ecuciones () y () incluso los términos independientes que se ubicn l derech de un rect divisori verticl; se trz un rect horizontl y debjo de ell se escriben los coeficientes del sistem modificdo: l fil ) debe leerse: + b () l fil ) ( ) b b () Ejemplo : Se el sistem: y y () ()
7 Escribimos: () () () () Desrrollo de (): el cero que está debjo del coeficiente de l ecución () corresponde que en l ecución () no eiste término en l incógnit ; debjo del coeficiente de l incógnit de () escribimos el trnsformdo del coeficiente de de l () (.. ) [ () () ] y debjo del término independiente de () el trnsformdo del término independiente de ():. b b. [ (). ] Prácticmente el cálculo es sí: el trnsformdo del coeficiente de () se obtiene resolviendo el: + y el trnsformdo del término independiente de () se obtiene resolviendo el: El sistem equivlente resultnte: () ()
8 de donde: Como vemos eiste únic solución y el sistem es comptible determindo (geométricmente ls gráfics son rects que se cortn en el punto) (, ) (, ) Ejemplo : Se el sistem: y 6 y 6 El sistem equivlente es:. L ecución. se stisfce pr culquier número rzón por l cul el sistem tiene infinits soluciones y se denomin comptible indetermindo. Cd un ls posibles soluciones se obtiene fijndo un vlor rbitrrio pr y obteniendo luego de l otr ecución. (Geométricmente ls gráfics coinciden).
9 Ejemplo : Se el sistem: Siendo el sistem equivlente: 6. 6 L segund ecución de este sistem no tiene solución, y que no eiste número que multiplicdo por cero de como resultdo seis; el sistem es incomptible (en este cso ls rects son prlels). Como hemos visto en los ejemplos nteriores el método de eliminción Gussin no solo permite resolver con rpidez un sistem de ecuciones sino demás permite obtener el tipo de solución pr cd cso prticulr. Resolución de un sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits. Idéntico rzonmiento l desrrolldo pr el método de eliminción Gussin en dos vribles se utiliz pr resolver un sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits: Se el sistem : + + b () + + b () + + b () En este cso el método consiste en tomr culquier de ls ecuciones (por ejemplo l ()) y eliminr l incógnit primero con l ecución () y luego, independientemente, con l ecución () trnsformndo el sistem originl en uno equivlente con un ecución en tres incógnits y ls otrs con dos incógnits. De este nuevo sistem se tomn ls ecuciones que tienen dos incógnits y se lo trnsform siguiendo el procedimiento y descripto en otro sistem equivlente, con un ecución en dos incógnits y l otr solo en un.
Del resultdo de est últim operción obtendremos un sistem equivlente l originl, con l primer ecución en tres incógnits, l segund en dos y l tercer en solo un, lo que nos permite obtener el conjunto solución. Ejemplo : Se el sistem + + + 8 doptndo l disposición práctic descript: 8 repetimos l º ec. 7 repetimos l º y l º ec. del pso nterior. 8 El sistem equivlente + 8 se obtuvo resolviendo, por ejemplo, pr el elemento que es el trnsformdo de el determinnte: De: 8 De:. y por último de: + +
Ejemplo : + 7 + + 8 + 9 7 8 9 7 8 6 6 7 El sistem equivlente es: + + 7 +. El sistem dmite infinits soluciones, que se obtienen dndo vlores rbitrrios : por es rzón es comptible indetermindo.
Ejemplo : + 6 + 6 + 6 6 6 6 6 6 68 El sistem equivlente es: + 6 + 68 El sistem no tiene solución (no l tiene. 68) y por lo tnto se denomin incomptible. Resolución de sistems de ecuciones lineles por inversión de mtrices. Se el sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits: + + b () + + b () + + b () podemos escribirlo en form mtricil si hcemos el producto: + + + + + + b b b del cul result l iguldd:
b b b designndo: ; ; b b b B simbolizmos: B Siendo y B mtrices conocids, resolver el sistem consiste en encontrr los elementos de l mtriz, lo que se consigue premultiplicndo (multiplicndo desde l izquierd) mbos miembros de l iguldd por l mtriz invers de, que simbolizmos como l mtriz. En efecto, de: B teniendo en cuent de cuerdo con l definición de mtriz invers que I y que I es el elemento neutro en el producto de mtrices, result: B lo que signific que, pr obtener l mtriz de ls incógnits (mtriz solución) bst con premultiplicr l mtriz de los términos independientes por l mtriz invers de l mtriz de los coeficientes de ls incógnits. Si recordmos que dj t, sólo podremos resolver por inversión de mtrices quellos sistems en los cules el determinnte socido l mtriz de los coeficientes de ls incógnits se distinto de cero, es decir solmente los sistems que sen comptibles determindos. Ejemplo: Hllr l solución del sistem de ecuciones lineles: + + + + z y z y z y en form mtricil el sistem se escribe: z y
como sbemos, pueden efecturse operciones elementles sobre el sistem de ecuciones o sobre l mtriz mplid (ver método de eliminción gussin) o bien, si eiste, clculr l invers de y luego, premultiplicr l mtriz de los términos independientes por dj t ; o se: ;o se; ; y ; z Teorem de Crmer. Como hemos visto l resolver sistems de ecuciones lineles por el método mtricil, l mtriz de ls incógnits se obtiene medinte l epresión: B, l que teniendo en cuent dj t puede escribirse: B dj t que se puede desrrollr pr un sistem de tres ecuciones con tres incógnits, sin que l demostrción pierd vlidez generl de l siguiente mner: b b b epresión de l cul se obtienen l siguiente iguldd:
b + b + b b b b que se lee: l incógnit se obtiene como el cociente entre dos determinntes: el del denomindor es el socido l mtriz de los coeficientes de ls incógnits mients que el del numerdor es el mismo determinnte en el cul se h reemplzdo l column de los coeficientes de por los términos independientes Con similr rzonmiento: b y b + b + b b + b + b b b b b b lo epresdo pr l incógnit puede generlizrse de l siguiente mner: ls incógnits de un sistem de ecuciones lineles pueden obtenerse efectundo el cociente entre dos determinntes: el del denomindor es en todos los csos el socido l mtriz de los coeficientes de ls incógnits mientrs que el del numerdor es el mismo determinnte en el cul se h reemplzdo l column de los coeficientes de l incógnit que se quiere clculr por los términos independientes. Ejemplo: Hllr l solución del sistem de ecuciones lineles: y + z + y z + y + z
6 ; y ; z Sstems homogéneos. Reciben este nombre los sistems de ecuciones lineles que tienen todos los términos independientes nulos. Tienen el specto: + + () + + () + + () Hemos utilizdo estos sistems en el estudio de l dependenci e independenci linel l trtr los Espcios Vectoriles. Vimos entonces y, lo recordmos hor que estos sistems siempre tienen solución (l llmd trivil con todos los vlores de ls incógnits igules cero) Como ejemplos podemos citr pr el espcio dos l intersección entre dos rects que psn por el origen de coordends y pr el espcio tridimensionl, l intersección de tres plnos que psn por el origen de coordends. Se resuelven por culquier método de los desrrolldos; muchs veces sólo se necesit sber si el sistem es comptible determindo o comptible indetermindo, lo que se logr resolviendo el determinnte socido l mtriz de los coeficientes de ls incógnits. Si dicho determinnte es distinto de cero, ls tres ecuciones son independientes y l solución es únic (l trivil): si por el contrrio el determinnte result nulo, el sistem result comptible indetermindo (soluciones múltiples)
7 Resolución Mtricil de los sistems de ecuciones lineles incomptibles. (plicción del concepto de Mtriz Pseudoinvers). Se el sistem de ecuciones independientes (por lo tnto incomptible) + b q () + b q () + b q () que puede escribirse en notción mtricil: b q b q () b q o simbólicmente q Como l mtriz tiene myor número de fils que de columns sólo result posible definir su mtriz invers (en este cso, pseudoinvers) por l izquierd. Pr despejr l mtriz se premultiplicn mbos miembros de l iguldd nterior por l mtriz trspuest de : t t q () Not: t pr el cso que nos ocup ( ) ( ) M ( ) t si hubiérmos hecho ( ) ( ) M ( ) result siempre singulr (no dmite mtriz invers) Como l mtriz distinto de cero, dmite mtriz invers ( ) miembros de (): t siendo ( ) ( ) I t t t es cudrd, si su determinnte socido es t t t t t ( ) ( ) ( ) q result: t ; premultiplicndo por est mtriz mbos t t ( ) q epresión en l cul ( ) L (mtriz pseudoinvers por l izquierd: ver Mtriz Invers en el cpítulo sobre Mtrices y Determinntes) (6)
8 Ejemplo: Se el sistem de ecuciones lineles: + + por el specto ls primer y últim ecuciones con primeros miembros igules y segundos miembros distintos, el sistem es incomptible. ctividd: nlizr l comptibilidd medinte el cálculo de los rngos de ls mtrices y Escribimos el sistem del ejemplo en notción mtricil: premultiplicmos mbos miembros por que operndo nos conduce : Obtenido este sistem de ecuciones, que por tener iguel número de ecuciones e incógnits, result comptible determindo, el cálculo puede continurse de ls siguientes mners;
9 ) resolver por inversión de mtrices. Retomemos l ecución mtricil que obtuvimos después de premultiplicr mbos miembros de l ecución mtricil del sistem por l mtriz y operr. Premultiplicndo hor mbos miembros por l invers de l mtriz de los coeficientes obtenemos: I. 8 8 8 9 resultndo 8 9 y 8 b) resolver por eliminción Gussin o por l Regl de Crmer. (relizr l ctividd) Form práctic del cálculo. Consiste en premultiplicr l mtriz mplid del sistem originl incomptible por su mtriz trspuest. Si l mtriz resultnte del producto le eliminmos l últim fil, result l mtriz mplid del sistem de ecuciones normles, que puede resolverse por los métodos epuestos precedentemente. Consideremos l mtriz mplid que corresponde un sistem de ecuciones lineles incomptible de cutro ecuciones con tres incógnits: q c b q c b q c b q c b vmos premultiplicr (multiplicr desde l izquierd) por su mtriz trspuest:
q q q q c c c c b b b b q c b q c b q c b q c b [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] qq qc qb q cq cc cb c bq bc bb b q c b eliminndo l últim fil de l mtriz producto obtenemos: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] cq cc cb c bq bc bb b q c b Pr el ejemplo que venimos desrrollndo, l mtriz mplid es: ; premultiplicndo por su mtriz trspuest: eliminndo l últim fil de l mtriz producto obtenid llegmos : est mtriz, es l mtriz mplid de un sistem de ecuciones comptible; solo rest encontrr l solución por culquier de los métodos desrrolldos.
Introducción l Teorí de Grfos. L isl Kueiphof en Konigsberg (Pomerni) está roded por un río que se divide en dos brzos. Sobre estos brzos estbn construidos siete puentes, siendo pr los hbitntes un motivo de distrcción descubrir un itinerrio de modo tl que pudiern regresr desde culquier punto l mismo punto después de hber cruzdo por los siete puentes psndo solo un vez por cd uno de ellos. C (isl B D En 76, el mtemático lemán Leonrd Euler (7778) visitó l ciudd y, pr estudir el problem, representó ls distints zons (isl Kueiphof), B, C y D medinte puntos, mientrs que los puentes los simbolizó medinte línes que unen dichos puntos. l figur l llmó grfo, los puntos vértices o nodos y ls línes les dio el nombre de rists. C B D El problem inicil se corresponde con el del esquem y consiste en verificr si prtiendo de uno culquier de los cutro puntos (,B,C,D) puede seguirse un cmino que pse por tods ls rists de un sol vez. Dicho de otr form el problem consiste en estudir si l figur se puede dibujr de un solo trzo, sin levntr el lápiz del ppel y sin psr dos veces por el mismo sitio.
Pr que ello se posible, el número de línes que concurren un punto podrá ser impr lo sumo en dos puntos de concurrenci, debiendo en los demás puntos concurrir un número pr de cminos y en nuestro cso todos los puntos tienen un número impr de línes que concurren ellos, lo que nos indic que el problem no tiene solución. En efecto; l isl llegn cinco puentes; l prte B llegn puentes; l orill C llegn tres puentes y l orill D llegn tres. Otros ejemplos: ) los siguientes dibujos pueden construirse de un solo trzo: b) estos dibujos no pueden construirse de un solo trzo: Este estudio de Euler dio origen l Teorí de Grfos, que se emple entre otros problems en el estudio de los circuitos eléctricos, en los problems de trnsporte, etc... Un grfo es, por ejemplo, el mp de ls crreters de l Repúblic rgentin, en el cul ls ciuddes están representds medinte puntos (nodos) y los cminos que los unen medinte línes (rists). Otros ejemplos de tipo similr son Kirchoff, en 87 utilizó esquems de este tipo l trbjr sobre circuitos eléctricos
Cyley en 87 estudió l enumerción de los isótopos del compuesto orgánico C n H n+ usndo un esquem en el que cd punto estb unido con un o cutro línes de cuerdo l vlenci de enlce. Jordn, en 869 estudió estructurs de árbol en form bstrct En épocs más recientes se plnteó el problem de colorer mps de mner tl que píses con fronter común, tuviesen colores diferentes. Lo común en todos los csos plntedos, es poder simbolizr un determindo problem medinte un esquem de ls crcterístics de los que hemos descrito, llmdo grfo, formdo por puntos y línes que los unen y estudir soluciones l problem medinte refleiones relizds sobre el gráfico socido. Teniendo en cuent que problems distintos pueden tener como representción el mismo gráfico, un estudio sobre estos esquems permite resolver múltiples problems l vez. L conformción de un grfo se reduce generlmente plnter el problem que se estudi utilizndo un esquem simple. En el trzdo que relizmos no tienen importnci ni l form, ni l longitud de ls línes que unen los puntos ni ls ubicciones reltivs de los mismos; solo interes visulizr ls coneiones estblecids entre los puntos (nodos). L Teorí de Grfos h ddo resultdos importntes en distintos cmpos de l ctividd del hombre y, plicd problems diversos h demostrdo importntes ventjs sobre lgunos procedimientos nlíticos. siguiente mner: L ide gestcionl de l Teorí de Grfos puede eplicrse de l
Pr nlizr un determindo problem podemos trzr: Puntos: pr representr los elementos del conjunto que se estudi. Línes: pr representr ls relciones que vinculn los elementos. Este simple rzonmiento es, sin dud, l cus que dio origen, en diferentes disciplins similres esquems que reciben distintos nombres; orgnigrms, circuitos eléctricos, árboles genelógicos, hojs de rut, etc,... Result frecuente en l vid cotidin estblecer relciones entre los elementos de dos o más conjuntos, o bien, entre los elementos de un mismo conjunto. Dr un relción R es fijr un ciert ley que permit decidir pr cd pr de elementos y b si está relciondo con b o no. Escribimos Rb pr indicr que (,b) R. Si por ejemplo R es l relción es hermno de b, Jun R José o bien el pr (Jun, José) significn que Jun es hermno de José. Representción de relciones. Sen los conjuntos: {,,} B {,b,c,d} ; un ciert relción del conjunto con el conjunto B puede epresrse medinte un digrm de Venn, * * * * * b * c * d B por un tbl de simple entrd (horizontl o verticl), B b c d B b c d medinte un tbl doble entrd o mtriz, B b c d
que tmbién puede representrse utilizndo unos y ceros: b c d o por un conjunto de pres ordendos G { (,b); (,c); (,d)} llmdo GRÁFIC de l relción; est gráfic puede representrse en coordends crtesins ortogonles: B d c b De lo epuesto podemos dr l siguiente Definición: G B Se llm relción R de en B tod tern compuest por un conjunto llmdo "conjunto de prtid", un conjunto B denomindo "conjunto de llegd" y el conjunto G llmdo "gráfic" cuyos elementos son pres ordendos tles que su primer componente pertenece l conjunto y l segund B. R (, B, G ) De l observción de l representción crtesin puede inferirse que el llmdo producto crtesino B es un GRÁFIC; l que corresponde l relción más complet que pued definirse entre dos conjuntos, y que todo elemento de está relciondo con cd uno de los elementos de B. Por ello, podemos firmr que l gráfic de tod relción R (,B,G) es un subconjunto del producto crtesino. R (, B, G): G B.
6 Estudiremos hor, como cso prticulr, ls relciones definids en un mismo conjunto; pr el cso que nos interes en l Teorí de Grfos un conjunto de elementos v i que llmmos vértices Ddo el conjunto V {v ; v } podemos formr los siguientes pres ordendos (v, v ) ; (v, v ) ; (v,v ) ; (v,v ). Si el número de elementos de V es n, podemos formr n pres ordendos. Como hemos visto el conjunto de todos los pres ordendos posibles, recibe el nombre de Producto Crtesino VV y corresponde l relción más complet que se puede estblecer con los elementos de un conjunto y que vincul cd elemento de V consigo mismo y con todos los demás elementos de dicho conjunto. Si solmente lgunos de los pres ordendos de VV cumplen con un determind propiedd, dich propiedd prticion el conjunto VV en dos subconjuntos: el de los pres ordendos que verificn l relción y el de quellos que no l verificn. Estos dos conjuntos reciben el nombre de Grfos de V. l igul que lo que sucede con ls relciones, un grfo puede representrse medinte digrms de Venn, digrms crtesinos, utilizndo tbls simple entrd, doble entrd que llmmos mtrices, pero l prcticidd de l representción h hecho prevlente sobre estos grfismos l utilizción del denomindo digrm sgitl o simplemente, grfo, que pr nuestro ejemplo tiene el specto: V De un mner más simple y conceptul un grfo qued definido por un conjunto de elementos v i pertenecientes un conjunto V y un ley de correspondenci C entre dichos elementos. En nuestro Grfo V {v,v } y l ley de correspondenci C se epres C(v ) (v,v ) C(v ) (v,v ) Los grfos pueden ser orientdos o no, según que lo sen o no sus rists; el grfo que hemos representdo es orientdo. Vemos otro ejemplo: V V V V V V 7 V V 6