Modelo de Hotelling Mtilde Mchdo pr bjr ls trnsprencis: http://www.eco.uc3m.es/~mmchdo/ Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling El modelo:. Ciudd linel es el intervlo [0,]. Los consumidores están distribuidos uniformemente lo lrgo de este intervlo. 3. Hy empress, loclizds cd extremo que venden el mismo bien. L únic diferenci entre ls empress es su loclizción. 4. c coste de unidd del bien 5. t coste de trnsporte por unidd de distnci l cudrdo. Este coste es soportdo por los consumidores cundo eligen un empres o l otr. Represent el vlor del tiempo, gsolin, etc. 6. Los consumidores tienen demnds unitris o comprn unidd o ningun {0,} Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling
Gráficmente Ms de consumidores dz z 0 0 0 0 x Loclizción de l empres Loclizción de l empres Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 Los costes de trnsporte del consumidor x: De comprr en l empres son tx De comprr en l empres son ( x) t s excedente bruto del consumidor - (es decir su máxim disponibilidd pgr) Supongmos que s es lo suficientemente grnde pr que el mercdo esté cubierto, es decir pr que todos los consumidores del intervlo puedn comprr. L utilidd de cd consumidor es por tnto dd por: U s-p-td Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 4
Tommos ls loclizciones de ls empress como dds y compiten en precios.. Derivción de ls curvs de demnd. Problem de optimizción en precios y equilibrio Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 5 El consumidor indiferente entre comprr en l tiend o se sitú en se define como el punto donde Ux ( ) Ux ( ) s p t s p t( ) p + t p + t( ) p + t p + t+ t t t p p + t Comprn Comprn p p + t t Si (p -p ) el consumidor indiferente se mueve hci l derech, es decir ument l demnd de l empres y disminuye l demnd de l empres Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6 3
4.3. s U i Coste totl pr el consumidor x: p +tx p +t(-x) p p 0 i El consumidor indiferente Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 7 Un vez que sbemos cul es el consumidor indiferente podemos definir ls funciones de demnd de ls empress y. p p + t D( p, p) dz z 0 t 0 p p + t p p + t D( p, p) dz z t t L demnd de l empres por ejemplo depende positivmente de l diferenci de precios (p -p ) y negtivmente de los costes de trnsporte. Si ls dos empress colocn el mismo precio p p entonces se reprten el mercdo en prtes igules (el consumidor indiferente se situ en ½). Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 8 4
Decimos que el mercdo está cubierto cundo el consumidor indiferente quiere comprr, es decir: p p + t s p t 0 t Los beneficios de ls empress son: ( ) ( ) Π ( p, p ) p c D ( p, p ) p c p p + t t Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 9 El problem de l empres, por ejemplo, es: ( ) ( ) Mx Π ( p, p ) p c D ( p, p ) p c p Π p p + t ( p c) p t t CPO: 0 0 p p + t t p + t+ c p p + t+ c 0 p Como el problem es simétrico p p p* * * * p + t+ c p t+ c * p p t+ c Curv de rección de l empres Cundo t0 volvemos ertrnd p*c; Π*0 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 0 5
Un vez que tenemos los precios de equilibrio podemos clculr tods ls cntiddes de equilibrio: * * * * D( p, p) * * * * * D( p, p) D( p, p) ( ) ( ) * * * * * Π Π p c D t+ c c x Not: cunto myor es t más diferencido está el bien desde el punto de vist de los consumidores, myor es el poder de mercdo, los clientes que están más cerc están más cutivos porque les sle muy cro irse hst l otr empres. Esto permite umentr el precio de equilibrio y los beneficios. Cundo t0 (no hy diferencición) volvemos ertrnd Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling t Observciones: Cd empres sirve medio mercdo D* D* / L prdoj de ertrnd desprece p p >c Un umento de t implic más diferencición de productos. Por lo tnto ls empress compiten con menos vigor y obtienen beneficios myores. t0 volvemos ertrnd Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6
s U i p +tx p +t(-x) p t+c p t+c 0 i ½ El consumidor compr l vendedor que le slg más brto incluyendo el coste de trnsporte Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 Como cmbin los precios cundo cmbin ls loclizciones de y? Si 0 y hy máxim diferencición Si ˆx Todos los consumidores comprrán l que teng el precio más brto, volvemos ertrnd, p p c y Π Π 0. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 4 7
Cso Generl loclizciones endógens: periodos: En el primer periodo ls empress seleccionn loclizción En el segundo periodo ls empress compiten en precios dd su loclizción Se resuelve hci trás. Empezmos por el segundo periodo. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 5 Segundo periodo: L loclizción de l empres está en [0,] L loclizción de l empres está (-b) [0,] Not: L máxim diferencición serí con 0; y -b (es decir b0) l mínim diferencición (sustitutos perfectos) serí con -b +b Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6 8
. El consumidor indiferente: U ( ) U ( ) p + t( ) p + t( ( b)) p + t + t tx p + t + t( b) t( b) t ( b ) p p + t( b) t p p + t( b) t p p + t b t( b ) t( b ) p ( )( p b b+ ) ( ) ( ) p p ( b + ) p ( p b ) ( ) t( b ) + t b b t b Por tnto si p p l demnd de es +(-b-)/ (( ) ) + + + Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 7 Ls demnds son: ( ) ( ) ( b ) p p D( p, p) + + t b ( b ) p p D( p, p) t( b ) p p b + + b t b Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 8 9
Interpretción de ls funciones de demnd: si p D( p, p) + consumidores cutivos, su izquierd ( b ) mitd de los consumidores entre y -b b D( p, p) + b si p p p mitd de los consumidores entre y -b ( ) consumidores cutivos, su derech b p p D( p, p) + + t( b ) sensibilidd de l demnd frente l diferenci de precios Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 9 Gráficmente p +t(x-) p p 0 -b Mercdo cutivo de Mercdo cutivo de Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 0 0
. Encontrr ls funciones de rección ( ) Π ( ) (, ) ( ) + + b p p Mx p c D p p p c p t( b ) Π ( b ) p p CPO: 0 + + + ( p c) 0 p t( b ) t( b ) p ( b ) p + c + + ( t b ) ( t b ) p ( b ) p + c + + t( b ) t( b ) t p t( b ) + ( b ) p + c Función de rección + Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling. Encontrr ls funciones de rección ( ) b p p Mx Π ( p c) D( p, p) ( p c) b + + p t( b ) Π CPO: 0 p ( b ) p p b+ + + ( p c) 0 t( b ) t( b ) ( b ) p p + c b + + 0 t( b ) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling
. Encontrr ls funciones de rección (cont.) ( ) b p + c b p + c b+ + + + + 0 t( b ) t( b ) ( b ) 3p + 3c b + b+ + + 0 4( t b ) 4 3p 3c b 3 + + 4( t b ) 4( t b ) 4 4 4 t( 3 + b ) ( b ) p c+ 3 b b c+ t( b ) + y p c+ t( b ) + 3 3 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3. Encontrr ls funciones de rección (cont.) * b * b p(, b) c+ t( b ) + y p(, b) c+ t( b ) + 3 3 Los precios son máximos cundo l diferencición es máxim (b0; p p c+t) y mínimos cundo l diferencición es mínim (+b (mism loclizción) y p p c) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 4
3. er periodo, elección simultne de y b Los beneficios son: ( ) ( ) Π * * * ( b, ) p( b, ) c D( b,, p( b, ), p( b, )) Π * * * ( b, ) p( b, ) c D( b,, p( b, ), p( b, )) * * * * Se sustituye p( b, ), p( b, ), D( b, ), D( b, ) y nos quedmos con un función solmente de y b. Scmos ls CPO como siempre. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 5 3. er periodo, elección simultne de y b * * b p p b Π ( b, ) c+ t( b) + c 3 + + t( b) * * b pero p p t( b) 3 lo que simplific: b b b+ Π ( b, ) t( b) + + 3 b+ t b 3 3 8 3+ b 3 b+ 3 6 ( ) ( ) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6 3
3. er periodo, elección simultne de y b ( ) ( 3 b+ ) Mx Π (, b) t b 8 Π ( b, ) ( 3 b+ ) 3 b+ CPO: t + t( b) 8 8 t ( b+ )( + b+ ) < 8 ( ) * 3 3 0 0 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 7 3. er periodo, elección simultne de y b Mx Π (, b) t b b ( ) ( 3 + b ) ( ) 8 ( ) Π ( b, ) 3+ b 3+ b CPO: t + t( b) b 8 8 t ( + b )( + b+ ) < b b 8 * * 3 3 0 0 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 8 4
Conclusión: Ls empress se colocn en los extremos, eligen máxim diferencición. Pr l empres por ejemplo, un umento de (movimiento hci l derech) : Tiene un efecto positivo (efecto demnd) Tiene un efecto negtivo (efecto competenci) Si los costes de trnsporte son cudráticos el efecto competenci es más fuerte que el efecto demnd y ls empress prefieren máxim diferencición. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 9 L solución socilmente óptim es l que minimiz los costes de trnsporte y serí /4 y -b3/4. Por tnto desde el punto de vist socil hy demsido diferencición del producto cundo el mercdo es privdo. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 30 5
El problem del plnificdor socil: Excedente del consumidor x es: s-t(x-) -p si compr en s-t(x-(-b)) -p si compr en Por cd consumidor el vendedor gn p -c empres p -c empres Los precios son pur trnsferenci entre consumidores y productores, el excedente totl socido l consumidor x es: s-t(x-) -p +p -c s-t(x-) -c si compr en s-t(x-(-b)) -p +p -c s-t(x-(-b)) -c si compr en Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 Pr sber el máximo socil tenemos que derivr el consumidor indiferente: s t( ) c s t( ( b)) c ( ) ( ( b)) + + ( b) ( b) ( b) ( b) [ b ] ( b) ( b )( b+ ) ( b+ ) mitd de l distnci entre y -b ( b ) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 6
El monopolist tiene que mx el beneficio socil que es lo mismo que minimizr los costes de trnsporte b+ b Min t( z) dz + t( z ) dz + t(( b) z) dz + t( z ( b)) dz b, 0 b+ b comprn comprn 0 -b Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 33 b+ b Min t( z) dz + t( z ) dz + t(( b) z) dz + t( z ( b)) dz b, 0 b+ b comprn comprn ( z) ( z ) ( b z) ( z ( b)) Min + + b, 3 3 3 b+ 3 0 b+ 3 3 3 b 3 3 3 3 3 b b b Min + + + b, 3 3 3 3 b Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 34 7
L CPO: 3 3 3 3 b b b Min + + + b, 3 3 3 3 0 4 ( b ) 0 () 0 4b ( b ) 0 () b ()-(): 4 4b 0 b b lo que sustituyiendo en () implic que: * * 3 4 ( ) 0 ;( b ) 4 4 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 35 L conclusión básic del modelo de Hotelling es el principio de diferencición: ls empress quieren diferencirse lo máximo posible pr disminuir l competenci en precios. Por veces puede que hy fuerzs que se oponen l diferencición y que incluso pueden llevr diferencición mínim: ) Ls empress pueden querer estr donde está l demnd (i.e. en el centro) ) En cso de usenci de competenci en precios (por ejemplo por que los precios están reguldos) puede llevr ls empress loclizrse en el centro y reprtirse el mercdo medis. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 36 8