EL MODELO DE STURM-LIOUVILLE

Nots pr los lumnos de Análisis Mtemático III Primer Borrdor EL MODELO DE STURM-LIOUVILLE Ing. Jun Scerdoti Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic Universidd de Buenos Aires 2003 V 2.02

INDICE EL MODELO DE STURM LIOUVILLE 1.- INTRODUCCION 1.1.- OBJETIVOS 2.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE 2.1.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE, vl(u) COMO DIFERENCIAL EXACTA 2.2.- RECIPROCIDAD DEL OPERADOR ADJUNTO DE LAGRANGE 2.3.- IDENTIDAD DE LAGRANGE 3.- OPERADOR AUTOADJUNTO 3.1.- DEFINICION OPERADOR AUTOADJUNTO 3.2.- CONDICION PARA QUE DOS OPERADORES SEAN AUTOADJUNTOS 3.3.- INTEGRACION DE v L(u) - u M(v) PARA UN OPERADOR AUTOADJUNTO 3.4.- TRANSFORMACION DE UN OPERADOR ADJUNTO EN AUTOADJUNTO 4.-ECUACION DIFERENCIAL DEL TIPO STURM LIOUVILLE (EDSL) 4.1.- DEFINICION DE LA EDSL 1.4.2.- FORMA AUTOADJUNTA DE LA ECUACION DE STURM LIOUVILLE 1.4.3.- COMO TRANSFORMAR UNA ECUACION DE STURM LIOUVILLE A LA FORMA AUTOADJUNTA 1.4.4.- LA ECUACION DE STURM LIOUVILLE Y EL OPERADOR LINEAL ASOCIADO 1.4.5.- PROPIEDADES DE LA EDSL 1.5.- EL OPERADOR DE STURM LIOUVILLE COMO OPERADOR HERMITICO 1.5.1.- TEOREMA DE STURM LIOUVILLE 1.5.2.- UNA CONDICION SUFICIENTE PARA ANULAR W 1.5.3.- VARIANTES DE CONDICIONES DE CONTORNO (H2 SL) 1.5.4. EJEMPLOS 1.6.- AUTOVALORES NO NEGATIVOS 1.6.1.- CONDICIONES PARA QUE LOS AUTOVALORES SEAN NO NEGATIVOS 1.6.2.- VARIANTES DE H3 APÉNDICE I ELEMENTOS DE ESTRUCTURA DE ESPACIO HERMÍTICO 1.- EEH 1.1.- DEFINICIÓN 1.2.- PORQUE EEH 2.- ESPACIO DE FOURIER 2.1- DEFINICIÓN 2.2.- EL ESPACIO DE FOURIER COMO EEH 2.2.1.- DEFINICIÓN DEL PRODUCTO HERMÍTICO EN EL ESPACIO DE FOURIER 2.2.2.- ESTRUCTURACIÓN DEL ESPACIO DE FOURIER COMO EEH 2.2.3- DEFINICIÓN DE NORMA HERMÍTICA 3.- OPERADORES HERMITICOS (OH)

3.1.- DEFINICION 3.2.- TEOREMAS DE OH 4.- OPERADORES AUTOADJUNTOS EN EL ESPACIO DE HILBERT 4.1.- SUCESIÓN DE CAUCHY 4.2- ESPACIO NORMADO COMPLETO O E BANACH 4.3.- ESPACIO DUAL. OPERADOR ADJUNTO Y AUTOADJUNTO 4.4.- ESPACIO DE HILBERT 4.5.- OPERADOR AUTOADJUNTO 4.5.- TEOREMA DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS APÉNDICE II 1.- IDENTIDAD DE LAGRANGE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n

El modelo de Sturm Liouville busc estblecer condiciones pr que l EDDT nteriores con determinds Condiciones de Contorno se comporten como Operdores Hermíticos. Los Operdores Hermíticos tienen vlores propios reles (los vlores λ) y vectores propios ortogonles (ls funciones y(x, λ)). Ls soluciones de l ecución diferencil y(x, λ) se pueden obtener por culquier método de resolución, y lo que segur el modelo de Sturm Liouville es que dichs soluciones bjo cierts Condiciones de Contorno formn un Sistem de Funciones Ortogonles. Dicho Sistem de Funciones Ortogonles puede ser Sistem Generdor de funciones en Series de Funciones Ortogonles, que son ls llmds Series de Fourier En el péndice se recuerdn los conceptos de Operdores Hermíticos.

1.2.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE. Ls forms diferenciles df = A 1 dx 1 + A 2 dx 2 +... + A n dx n por medio de un fctor integrnte se trnsformn en totles excts. Nos proponemos obtener lo mismo pr Operdores Diferenciles de orden superior como: L(u) = p n u (n) + p n-1 u (n-1) +... + p 2 u + p 1 u + p 0 u : p i = p i (x) i <0..n> es decir buscr un función v tl que v L(u) se totl exct df v L(u) = ----- dx Por simplicidd de notción se trbjrá con un Operdor Diferencil de segundo orden, en el nexo se generliz l demostrción pr un Operdor de orden n. L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u : p i = p i (x) i <0..2> v L(u) como Diferencil Exct será: df(x) v L(u) = v [p 2 u + p 1 u + p 0 u ] = ------ dx como pr 2 funciones w(x) y u(x) son válids ls expresiones: w u = [w u] - w u w u = [w u - w u] + w u plicds v L(u) qued v L(u) = v [p 2 u + p 1 u + p 0 u] = = ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u + ( p 0 v ) u = = [( p 2 v ) u - ( p 2 v ) u ] + ( p 2 v ) u + [( p 1 v ) u] - ( p 1 v ) u + ( p 0 v ) u = [( p 2 v ) u - ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u ] + [( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v )] u y por lo tnto siendo u 0 si se postul ( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v ) = 0 se obtiene v L(u) = [( p 2 v ) u - ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u] es decir un diferencil exct: df(x) v L(u) = ------- dx

Definiendo como Operdor Adjunto de Lgrnge del Operdor L(u) M(v) Definición Si L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u : p i = p i (x) i <0..2> M(v) OPERADOR ADJUNTO de L(u) := M(v) := ( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v ) se puede enuncir el Teorem L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u M(v) = ( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v ) = 0 v L(u) Diferencil Exct tmbién recíprocmente puede enuncirse el Teorem M(v) = ( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v ) L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u = 0 u M(v) Diferencil Exct se observ entonces que l relción de Operdor Diferencil Adjunto entre L y M es simétric. En síntesis combinndo los dos Operdores: v L(u) - u M(v) se obtiene un Ecución Diferencil Exct llmd Identidd de Lgrnge que reune los resultdos nteriores: Teorem L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u M(v) = ( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v ) v L(u) - u M(v) = [( p 2 v ) u - ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u ] = [ p 2 (v u - v u) + (p 1 - p 2 ) v u] b b v L(u) - u M(v) = p 2 (v u - v u) + (p 1 - p 2 ) v u

1.3.- OPERADOR AUTOADJUNTO 1.3.1.- DEFINICION OPERADOR AUTOADJUNTO Un Operdor Diferencil es utodjunto por definición cundo es igul su djunto. Definición: L(u) OPERADOR AUTOADJUNTO := L(u) = M(u) 1.3.2.- CONDICION PARA QUE DOS OPERADORES SEAN AUTOADJUNTOS L condición pr que los dos operdores sen utodjuntos es: Teorem L(u) = M(u) p 2 = p 1 L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u M(u) = ( p 2 u ) - ( p 1 u ) + ( p 0 u ) = p 2 u + 2 p 2 u + p 2 u - p 1 u - p 1 u + p 0 u = p 2 u + (2 p 2 - p 1 ) u + (p 2 - p 1 + p 0 ) u Pr que se vlido pr todo u, los coeficientes de u y u deben ser 2 p 2 - p 1 = p 1 p 2 = p 1 p 2 - p 1 + p 0 = p 0 p 2 = p 1 Resultdo que se obtiene tmbién directmente de l Identidd de Lgrnge: u L(u) - u M(u) = [p 2 (u u - u u) + (p 1 - p 2 ) u u ] = [ (p 1 - p 2 ) u 2 ] = 0 1.3.3.- INTEGRACION DE v L(u) - u M(v) PARA UN OPERADOR AUTOADJUNTO

Teorem L(u) = L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u b b v L(u) - u M(v) = p 2 W(u,v) L(u) AUTOADJUNTO := L(u) = M(u) b b b v L(u) - u M(v) = p 2 (v u - v u) = p 2 W(u,v) Siendo W el determinnte Wronskino W := v u - v u b b Obs: Nótese que si p 2 W(u,v) = 0 rrstr v L(u) - u M(v) = 0 que es el teorem de Sturm Liouville. 1.3.4.- TRANSFORMACION DE UN OPERADOR ADJUNTO EN AUTOADJUNTO Un operdor que no es utodjunto se puede trnsformr en tl si se tiene un fctor conveniente, l mner del fctor integrnte: Teorem L(u) = L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u x ===> f p 2 = Exp( p 1 /p 2 ) f: [f L(u)] AUTOADJUNTO Como debe ser f p 1 = (f p 2 ) = f p 2 + f p 2 p 1 f p 2 --- = --- + ---- p 2 f p 2 de donde x p 1 /p 2 = Ln (f p 2 ) x f p 2 = Exp( p 1 /p 2 )

EL MODELO DE STURM LIOUVILLE 1.- INTRODUCCION 1.1.- OBJETIVOS Los modelos clásicos de l Físic como: Distribución de Potenciles en los Cmpos Conservtivos Distribución de Potenciles en los Cmpos No Conservtivos Trnsmisión de Clor Trnsmisión de Onds Trnsmisiones Telegráfics Función de Ond de l Mecánic Ondultori tienen en su estructur básic un Ecución Diferencil en Derivds Prciles (EDDP). Cundo se busc l Solución de dich Ecución (EDDP) por el método de seprción de vribles se genern Ecuciones Diferenciles en Derivds Totles (EDDT) del tipo: (x) y + b(x) y + ( λ c(x) + d(x) ) y = 0 que se llmn Ecuciones de Sturm Liouville (ESL). Ests ecuciones dependen de l vrible x y del prámetro λ, y por lo tnto l solución est dd por funciones del tipo y(x, λ). Alguns de ls ecuciones diferenciles del tipo de Sturm Liouville son: Nombre Form cnónic Fourier y + λ y = 0 Euler x 2 y + x y + λ y = 0 Bessel x 2 y + x y + (λ x 2 ν 2 ) y =0 Legendre (1 x 2 ) y 2x y + λ y = 0 Tchebychev (1 x 2 ) y x y + λ y = 0 TchebychevII (1 x 2 )y 3 x y + λ y = 0 Mthieu y" + (λ 2 cos x) y = 0 Weber-Hermite y x y + λ y = 0 Jcobi x(1 x)y +[ (+b)x]y +λ y=0 Lguerre y + (1 x) y + λ y = 0 El modelo de Sturm Liouville busc estblecer hipótesis pr que l EDDT del tipo nterior, compñds con determinds Condiciones de Contorno se comporten como Operdores Hermíticos. Los Operdores Hermíticos tienen vlores propios reles (los vlores λ) y vectores propios ortogonles (ls funciones y(x, λ)).

Ls soluciones de l ecución diferencil y(x, λ) se pueden obtener por culquier método de resolución, y lo que segur el modelo de Sturm Liouville es que dichs soluciones bjo cierts Condiciones de Contorno formn un Sistem de Funciones Ortogonles. Dicho Sistem de Funciones Ortogonles puede ser Sistem Generdor de funciones en Series de Funciones Ortogonles, que son ls llmds Series de Fourier En el Apéndice se recuerdn los conceptos de Espcios de Bnch y Hilbert, Operdores Hermíticos, Operdores Adjuntos y Autodjuntos y l propiedd que todo Operdor Autodjunto es Hermítico. 2.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE. Así como ls forms diferenciles df = A 1 dx 1 + A 2 dx 2 +... + A n dx n por medio de un fctor integrnte se trnsformn en totles excts, se propone obtener lo mismo pr Operdores Diferenciles de orden superior como: L(u) = p n u (n) + p n-1 u (n-1) +... + p 2 u + p 1 u + p 0 u : p i = p i (x) i <0..n> es decir buscr un función v tl que v L(u) se totl exct v L(u) = df dx Por simplicidd de notción se trbjrá con un Operdor Diferencil de segundo orden, en el nexo se generliz l demostrción pr un Operdor de orden n. 2.1.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE, vl(u) COMO DIFERENCIAL EXACTA Se el Operdor L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u : p i = p i (x) i <0..2> v L(u) como Diferencil Exct será: df v L(u) = v [ p 2 u + p 1 u + p 0 u ] = dx como pr 2 funciones w(x) y u(x) son válids ls expresiones: w u = [w u] w u w u = [w u w u] + w u plicds v L(u) qued v L(u) = v [ p 2 u + p 1 u + p 0 u] = = ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u + ( p 0 v ) u = = [( p 2 v ) u ( p 2 v ) u ] + ( p 2 v ) u + [( p 1 v ) u] ( p 1 v ) u + ( p 0 v ) u = [( p 2 v ) u ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u ] + [( p 2 v ) ( p 1 v ) + ( p 0 v )] u y por lo tnto siendo u 0 si se postul ( p 2 v ) ( p 1 v ) + ( p 0 v ) = 0

se obtiene v L(u) = [( p 2 v ) u ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u] df v L(u) = dx es decir un diferencil exct: Se define entonces como Operdor Adjunto de Lgrnge del Operdor L(u) l Operdor M(v) Definición: L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u : p i = p i (x) i <0..2> M(v) Operdor Adjunto de L(u) := M(v) := ( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v ) Entonces por lo visto más rrib se puede enuncir el teorem: Teorem: L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u M(v) = ( p 2 v ) ( p 1 v ) + ( p 0 v ) = 0 v L(u) Diferencil Exct O tmbién recíprocmente puede enuncirse el teorem: 2.2.- RECIPROCIDAD DEL OPERADOR ADJUNTO DE LAGRANGE Teorem M(v) = ( p 2 v ) - ( p 1 v ) + ( p 0 v ) L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u = 0 u M(v) Diferencil Exct se observ entonces que l relción de Operdor Diferencil Adjunto entre L y M es simétric. 2.3.- IDENTIDAD DE LAGRANGE En síntesis combinndo los dos Operdores v L(u) u M(v) se obtiene un Ecución Diferencil Exct llmd Identidd de Lgrnge que reúne los resultdos nteriores: Definición : Identidd de Lgrnge v L(u) u M(v) = [( p 2 v ) u ( p 2 v ) u + ( p 1 v ) u ] = [ p 2 (v u v u) + (p 1 p 2 ) v u] b v L(u) u M(v) = [ p2 (v u v u) + (p 1 p 2 ) v u] Teorem de l Identidd de Lgrnge L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u M(v) = ( p 2 v ) ( p 1 v ) + ( p 0 v ) v L(u) u M(v) Diferencil Exct

3.- OPERADOR AUTOADJUNTO 3.1.- DEFINICION OPERADOR AUTOADJUNTO Un Operdor Diferencil es utodjunto por definición cundo es igul su djunto. Definición: L(u) Operdor Autodjunto := L(u) = M(u) 3.2.- CONDICION PARA QUE DOS OPERADORES SEAN AUTOADJUNTOS L condición pr que los dos operdores sen utodjuntos es: p 2 = p 1 Teorem: L(u) = M(u) p 2 = p 1 D 1 - L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u M(u) = ( p 2 u ) ( p 1 u ) + ( p 0 u ) = p 2 u + 2 p 2 u + p 2 u p 1 u p 1 u + p 0 u = p 2 u + (2 p 2 p 1 ) u + (p 2 p 1 + p 0 ) u Pr que se vlido pr todo u, los coeficientes de u y u deben ser 2 p 2 p 1 = p 1 p 2 = p 1 p 2 p 1 + p 0 = p 0 p 2 = p 1 Resultdo que se obtiene tmbién directmente de l Identidd de Lgrnge: u L(u) u M(u) = [p 2 (u u u u) + (p 1 p 2 ) u u ] = [ (p 1 p 2 ) u 2 ] = 0 3.3.- INTEGRACION DE v L(u) u M(v) PARA UN OPERADOR AUTOADJUNTO Teorem: L(u) = L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u b L(u) Operdor Autodjunto := L(u) = M(u) v L(u) u M(v) = p2 W(u v) W(u v) := v u - v u : determinnte Wronskino D.- b b v L(u) u M(v) = p2 (v u - v u) = p2 W(u v) Obs: Nótese que si p 2 W(u,v) b = 0 rrstr v L(u) u M(v) = 0 que es el teorem de Sturm Liouville.

3.4.- TRANSFORMACION DE UN OPERADOR ADJUNTO EN AUTOADJUNTO Un operdor que no es utodjunto se puede trnsformr en tl si se tiene un fctor conveniente, l mner del fctor integrnte: Teorem: L(u) = L(u) = p 2 u + p 1 u + p 0 u 1 p2 f: [ f L(u) ] Operdor Autodjunto f p 2 = e x p D.- Como debe cumplirse f p 1 = (f p 2 ) = f p 2 + f p 2 p p 1 2 = f' f + p p 2 2 ' x de donde p1 = Ln (f p 2 ) p 2 1 p2 f p 2 = e x p 3.5.- PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS Teorem: H Espcio de Hilbert L(u) Operdor Autodjunto := L(u)=M(u) L(u) Operdor Hermítico:= x L(g) = L(x) g En un Espcio de Hilbert todo Operdor Autodjunto es Hermítico (Ver Apéndice). Entonces el modelo que debe sostenerse con Operdores Autodjuntos (Y por lo tnto Hermíticos) pr segurr que ls soluciones de ls EDDT conformn Sistems Ortogonles. 4.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL TIPO STURM-LIOUVILLE (EDSL) 4.1.- DEFINICIÓN DE LA EDSL L Resolución de ls Ecuciones Diferenciles en Derivds Prciles por seprción de vribles, genern Ecuciones en Derivds Totles del tipo siguiente, que se llmrn de Sturm-Liouville:

Definición: (x) y" + b(x) y' + ( λ c(x) + d(x) ) y = 0 Diferencil de Sturm-Liouville := Ecución Ests ecuciones dependen de l vrible x y del prámetro λ, y por lo tnto l solución est dd por funciones de l form y(x,λ) Ejemplo de ls ecuciones diferenciles del tipo de Sturm-Liouville son ls y mencionds en l Introducción Coeficientes constntes, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff I y II, Mthieu, Weber-Hermite, Jcobi, Lguerre, etc. El modelo de Sturm-Liouville estblece condiciones de contorno pr que l EDDT nteriores se comporten como Operdores Hermíticos. Estos operdores tienen vlores propios λ reles y los vectores propios son ls funciones y(x,λ). El modelo de Sturm Liouville segur entonces que ls soluciones y(x,λ), que se pueden obtener por culquier método de resolución, formn un Sistem de Funciones Ortogonles. Este puede ser Sistem Generdor de ls llmds Series de Fourier. En el péndice se recuerdn los conceptos de Operdores Hermíticos. 4.2.- FORMA AUTOADJUNTA DE LA ECUACION DE STURM LIOUVILLE Ls Ecuciones de Sturm-Liouville conviene presentrls en un Form llmd Autodjunt que se define continución: Definición: f: (r(x) y ) + ( λ p(x) + q(x)) y = 0 EDSL (Form Autodjunt) 4.3.- EQUIVALENCIA ENTRE LAS ECUACIONES DE STURM-LIOUVILLE ENTRE LA FORMA NORMAL Y AUTOADJUNTA L equivlenci de ls Ecución Diferencil de Sturm-Liouville entre ls forms clásic y utodjunt está justificd por el siguiente Teorem Teorem 1.- f: (r y ) + (λ p + q) y = 0 g: y + b y + (λ c + d ) = 0

f g r = b e ; p = c r; q = d r D.- Ls dos ecuciones diferenciles son equivlentes si y solo si sus coeficientes son proporcionles r r ' p q = = = b c d r' r = b y de quí r = b e p = c r; q = d r 4.4.- LA ECUACIÓN DE STURM-LIOUVILLE Y EL OPERADOR LINEAL ASOCIADO L ecución de Sturm-Liouville se puede presentr de l form L(y) = λ y De quí demostrndo que L(y) es un Operdor Linel se rrstr que los pres (λ,y(x,λ)) son respectivmente los utovlores y utovectores del Operdor L(y). Teorem 2.- (r y ) + (λ p + q) y = 0 L(y) = p 1 [ (r y ) + q y] L(y) = λ y Operdor Linel (λ, y(x,λ)) S L OL Autovlores y Autovectores de L D.- Prtiendo de (r y ) + (λ p + q) y = 0 se obtiene p 1 [ (r y ) + q y ] = λ y L(y) = λ y L(y) se llm Operdor de Sturm-Liouville, y es un Operdor Linel pues

L( 1 y 1 + 2 y 2 ) = p 1 [ (r (1 y 1 + 2 y 2 ) ) + q ( 1 y 1 + 2 y 2 ) ] λ e y(x,λ) = 1 [ p 1 [ (r y1 ) + q y 1 ] ] + 2 [ p 1 [ (r y2 ) + q y 2 ] ] = 1 L(y 1 ) + 2 L(y 2 ) Entonces como L(y) = λ y son respectivmente los utovlores y utovectores del Operdor Linel, y representn ls soluciones de l EDSL. 4.5.- PROPIEDADES DE LA EDSL Teorem 3.- H 1 (r y ) + (λ p + q) y = 0 EDSL (Form Autodjunt) r r p q : R R (λ y ) S ( λ y ) S D.- Como los coeficientes de l EDSL son reles se tiene (r y ) + (λ p + q) y = 0 (r y ) + ( λ p + q) y y = 0 Teorem 1.5.- EL OPERADOR DE STURM-LIOUVILLE COMO OPERADOR HERMÍTICO 1.5.1.- TEOREMA DE STURM-LIOUVILLE Este teorem estblece condiciones pr que el Operdor de Sturm-Liouville se Operdor Hermítico: H 1.- EDSL (Form Autodjunt) (r y')' + (λ p + q) y = 0 r r' p q : R R r' p q IR p(x) 0 H 2.- Condición de Contorno (λ 1 y 1 ) S (λ 2 y 2 ) S : r W( y 2 y 1 ) b = 0 T 1 ( λ 2 λ 1 ) ( y 1 y 2 ) T 2 i λ i = λ i (λ i R) T 3 λ 1 λ 2 y 1 y 2 = 0 T 4 y 1 y 2 0 λ 1 = λ 2

D 1.- y 1 L(y 2 ) = L(y 1 ) y 2 y 1 p y 1 (y ) 1 ( )[(r y2 ')' + q y2 ] L 2 p = L(y p = 1 ) 2 y p 1 ( ) [ (r y 1 ) + q y 1 ] y 2 p p siendo p q r funciones reles y 1 ( [ (r y 2 ' ) + q y 2 ] p = p 1 ) 1 ( ) [ (r y 1 ) + q y 1 ] y 2 p p y1 [ (r y 2 ' ) + q y 2 ] = [ (r y1 ) + q y 1 ] y 2 y1 (r y 2 ' ) (r y 1 ) y 2 = 0 y 1 (r b y 2 ' ) (r y 1 ) y 2 (r y 1 ) y 2 ' (r y 2 ' ) y 1 = 0 r W( y 2 y 1 ) b = 0 D 2 (λ 1 y 1 ) S (r y 1 ) + (λ 1 p + q ) y 1 = 0 * y 2 (λ 2 y 2 ) S ( λ 2 y 2 ) S ( r y 2 ' ) + ( λ 2 p + q) y 2 = 0 * y 1. (r y 1 ) y 2 (r y 2 ' ) y 1 = ( λ 2 λ 1 ) y 1 y 2 p Integrndo (r y 1 ) y 2 (r y 2 ' ) y 1 b (r y 1 ) y 2 ' (r y 2 ' ) y 1 = ( λ 2 λ 1 ) y y p 1 2 b (r y 1 ) y 2 (r y 2 ' ) y 1 = ( λ 2 λ 1 ) ( y 1 y 2 ) b r W( y 2 y 1 ) = ( λ 2 λ 1 ) ( y 1 y 2 ) De est proposición se extre: 0 = ( λ 2 λ 1 ) ( y 1 y 2 ) T 1 y 1 = y 2 ( λ 1 λ 1 ) (y 1 y 1 ) = 0 y 1 y 1 0 λ 1 = λ 1 (λ 1 R) Como λ 2 = λ 2 ( λ 2 λ 1 ) (y 1 y 2 ) = 0 (λ 2 λ 1 ) (y 1 y 2 ) = 0 T 2 λ 2 λ 1 y 1 y 2 = 0 T 3 y 1 y 2 0 λ 1 = λ 2 Un segund form de Demostrr el teorem de SL es:

1.5.2. UNA CONDICIÓN SUFICIENTE PARA ANULAR W( y 2 y 1 ) Teorem CCL: 1 y() + 2 y'() = 0 ( 1 2 ) R 2 W( y 2 y 1 ) ( 1 2 ) ( 0,0 ) = 0 Lem 1 y() + 2 y'() = 0 1 y ( ) + 2 y ' ( ) = 0 y 1 S 1 y 1 () + 2 y' 1 () = 0 y 2 S 1 y 2 ( ) + 2 y 2 ' ( ) = 0 Que es un Sistem de Ecuciones Linel y Homogéneo con solución no trivil, pues ( 1 2 ) ( 0,0 ) lo cul rrstr W( y 2 y 1 ) = 0 1.5.3. VARIANTES DE CONDICIONES DE CONTORNO (H2 SL) 1.- CCL() = 0 CCL(b) = 0 2.- CCL() = 0 U r() = 0 r(b) = 0 CCL(b) = 0 3.- r() = 0 r(b) = 0 4.- r() = r(b) W() = W(b)

1.5.4. EJEMPLOS Nombre Form cnónic Form Autodjunt r(x) p(x) q(x) CC1 Fourier Euler Bessel y + λ y = 0 (y ) + λ y = 0 1 1 0 x 2 1 1 y + x y + λ y = 0 (x y ) + λ y = 0 x x x x 2 y + x y + (λ x 2 ν 2 2 2 ν ν ) y =0 (x y ) + (λ x )y = 0 x X x x Legendre (1 x 2 ) y 2x y + λ y = 0 ((1 x 2 ) y ) + λ y = 0 1 x 2 1 0 Tchebychev (1 x 2 ) y x y + λ y = 0 ((1 x 2 ) 1/2 y ) +λ(1 x 2 ) 1/2 y=0 (1 x 2 ) 1/2 (1 x 2 ) 1/2 0 TchebychevII (1 x 2 )y 3 x y + λ y = 0 ((1 x 2 ) 3/2 y ) +λ(1 x 2 ) 1/2 y =0 (1 x 2 ) 3/2 (1 x 2 ) +1/2 0 Mthieu y" + (λ 2 cos x) y = 0 (y ) + (λ 2 cos x ) y = 0 1 1-2cosx Weber-Hermite y x y + λ y = 0 Jcobi x(1 x)y +[ (+b)x]y +λ y = 0 x 2 ( 2 e y ) + λ y = 0 / 2 e e 2 2 x 2 x 2 x 2 0 e 0 (x (1 x) b y ) +λx -1 (1 x) b 1 y = 0 x (1 x) b x -1 (1 x) b 1 0 Lguerre y + (1 x) y + λ y = 0 xe -x y +(1 x) e -x y +λ e x y =0 x e x e x 0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0 W()=0 W(b)=0

6.1.- DEFINICIÓN DE EEH 6.1.1.- AXIOMAS DE EEH APÉNDICE I ELEMENTOS DE ESTRUCTURAS DE ESPACIOS HERMÍTICOS Un cso prticulr de introducir un norm y por lo tnto un métric en los EEL es por medio de un generlizción del Producto Esclr. Esto se reliz, como se verá, por medio de un función que se llm Producto Hermítico y que tiene csos prticulres como el Producto Interior y el Producto Euclídeo. Se definirá l Estructur de Espcio Hermítico: Def: (E,C,I,II,T,P, ) EEH := (E,C, I, II,T, P) EEL : ExE C (x y) λ : A A A A 1 2 3 4 ( x y z ) ( x y) E ( x y) E x E E 2 2 3 λ C x (y T z) = (x y) I (x z) ( λ P x) y = λ II (x y) x y = y x Re(x x) 0 x x = 0 x = σ (E,C,I,II,T,P, ) EEH : L nupl de 7 elementos (E,C,I,II,T,P, ) conform un Estructur Hermític o Prehilbertin : Producto Hermítico (esclr) A 1 : Propiedd Distributiv de respecto T A 2 : Propiedd Distributiv de respecto P A 3 : Propiedd Conmuttiv Conjugd de A 4 : Propiedd x x (Norm) Obs 1: Se remrc el hecho que ls EEH se hn definido sobre el cuerpo de los complejos (C +. ) y no sobre culquier cuerpo. Obs 2: Se puede crer otr estructur nálog (isomorfismo) l EEH sobre el cuerpo de los reles (R +. ), por supuesto tomndo ls correspondientes leyes de sum y producto sobre los reles. Est Estructur (E,R,+,.,T,P, R ) es en un todo semejntes l EEH definid sobre los complejos y se llm Estructur de Espcio con Producto Interior (EEI). L función Producto Hermítico está reemplzd por un función Producto Interior, y cuy definición es formlmente nálog l relizd pr el Producto Hermítico modificndo A 3. (E,R,+,.,T,P, R ) EEI R : ExE C

(x y) x y : A 3 (x y) E 2 x y = y x Ls propieddes de ésts Estructurs EEI son, como y se h menciondo, nálogs ls de ls EEH, tomndo los recudos del cso por l modificción del Cuerpo de poyo de Complejo Rel. Obs 3: Llmndo C 1 := { (x,0) : (x,0) C } el conjunto de los Complejos de Segund Componente Nul, se recuerd que se estblece un isomorfismo entre ls estructurs (C 1, T, P) y (R, +,.) por medio de l función biyectiv f Teorem (C,T, P) 1 (R, +,.) f : C 1 R ( x, 0) x ((C 1, T, P) (R, +,.) f ) Estructurs Isomorfs / f En rzón del isomorfismo estblecido se usrá en este cpítulo, con buso de lenguje C 1 = R Obs 4: Se emplerá tmbién cundo no lleve confusión l notción clásic de l sum y producto del cuerpo y l de sum vectoril y producto externo: I + II. T + P. De cuerdo con l observción hech en l definición de Estructur de Espcio Linel sobre dich notción. Obs 5: Algunos utores llmn los EEH tmbién Espcios Prehilbertinos. 6.1.2.- PORQUE EEH Ls EEH se introducen pr generlizr en los EEN (funciones lineles y continus) el concepto de Producto Esclr. Esto se estblece por medio de l definición del Producto Hermítico y del Producto Interior. Con el Producto Hermítico se generlizn los conceptos Geométricos de Ángulo y en prticulr de ortogonlidd. 2.- ESPACIOS DE FOURIER 4.- OPERADORES AUTOADJUNTOS EN EL ESPACIO DE HILBERT 4.1.- SUCESION DE CAUCHY Se E un Espcio Métrico. L sucesión {x n } se llm Sucesión de Cuchy quell que: Definición: Sucesión de Cuchy

E Espcio Métrico {x n } E {x n } Sucesión de Cuchy/E := ε>0 n 0 : p > n > n 0 x p x n < ε Teorem: Se cumple que tod Sucesión Convergente es de Cuchy. (E d) EEM {x n } CV/E {x n } Sucesión de Cuchy /E Obs: L proposición reciproc es fls como se observ en el siguiente contrejemplo: Si en el conjunto de los Rcionles Q se consider l sucesión: { 1 1.4 1.41 1.414 1.4142... } es un Sucesión de Cuchy pero no converge en el mismo espcio Q, converge 2 1/2 Q 4.2.- ESPACIO NORMADO COMPLETO O DE BANACH Se B un Espcio Normdo. Este Espcio se llm Completo o de Bnch si: Definición: B Espcio Completo o de Bnch := B Espcio Normdo {xn} Sucesión de Cuchy {x } CV n / B Son ejemplos de Espcios de Bnch:.- R n n 1 x = [ (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + + (x 1 ) n ] 1/2 b.- E:= {f:f C[ b] } := Espcio de l Funciones Continus definids sobre el intervlo [ b] con f = mx f(t)

6.- AUTOVALORES NO NEGATIVOS 6.1.- CONDICIONES PARA QUE LOS AUTOVALORES SEAN NO NEGATIVOS Teorem H 1.- Ecución Diferencil SL (r y')' + (λ p + q) y = 0 H 2.- Condición de Contorno SL λ 0 H 3.- Condición de Contorno SL Complementri b r y y + ( r y 2 q y 2 ) 0 D.- (r y ) + (λ p + q) y = 0 * y Multiplicndo por y (r y ) y + (λ p + q) y y = 0 Integrndo por prtes entre y b r y y b r y y b r y 2 r y y + (λ p + q) y y = 0 + ( λ p + q) y 2 = 0 λ p y 2 b = r y y λ y 2 = r y y b λ 0 + 2 r y + 2 ( r y 2 q y q y 2 ) 0 1.6.2.- VARIANTES DE H 3 Vrinte 1.- r 0 q 0 r y y b = 0 Vrinte 2.- r 0 q 0 y() = y(b) = 0 y () = y (b) = 0 etc

1.7.- APENDICE 1.7.1.- OPERADORES HERMITICOS Se recuerd ls definiciones y propieddes de los Operdores Hermíticos: 1.7.1.1.- DEFINICIÓN DE OPERADOR HERMÍTICO Un Operdor linel L se dice que es Hermítico cundo: Definición: L OH := x L(y) = L(x) y Teorems 1.7.1.2.- TEOREMAS DE OPERADORES HERMITICOS L OH T 1 i λ i = λ i (λ i R) T 2 λ 2 λ 1 v 1 v 2 = 0 T 3 v 1 v 2 0 λ 2 = λ 1 D.- Tomndo dos pres de vlores y vectores propios del Operdor Hermítico L L(v 1 ) = λ 1 v 1 L(v 2 ) = λ 2 v 2 Aplicndo l definición de Operdor Hermítico: v 1 L(v 2 ) = L(v 1 ) v 2 v 1 ( λ 2 v 2 ) = (λ 1 v 1 ) v 2 λ 2 (v 1 v 2 ) = λ 1 (v 1 v 2 ) ( λ 2 λ 1 ) (v 1 v 2 ) = 0 de donde se deducen ls siguientes 3 proposiciones: T 1 v 1 = v 2 ( λ 1 λ 1 ) (v 1 v 1 ) = 0 v 1 v 1 0 λ 1 = λ 1 (λ 1 R) T 2 ( λ 2 λ 1 ) (v 1 v 2 ) = 0 (λ 2 λ 1 ) (v 1 v 2 ) = 0 λ 2 λ 1 v 1 v 2 = 0 T 3 v 1 v 2 0 λ 2 = λ 1

1.7.2.- IDENTIDAD DE LAGRANGE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n Se propone obtener un fctor integrnte que trnsforme Ecuciones Diferenciles Lineles de orden n en totles excts de l siguiente mner: Se L(u) = p n u (n) + p n-1 u (n-1) +... + p 2 u + p 1 u + p 0 u : p i = p i (x) i <0..n> se buscrá un función v tl que v L(u) se totl exct : es decir v L(u) = df dx 1.7.2.2.- ADJUNTA DE LAGRANGE Teorem L(u) = p u" + q u' + r u v: M(v) := (p v)" (q v)' + (r v) = 0 v L(u) Diferencil Exct Prtiendo de ls siguientes expresiones: u' v = [u v]' - u v' u" v = [u' v - u v' ]' - u v" u (3) v = [u"v - u'v' + u v"]' - u v(3) u (4) v = [u (3) v - u" v' + u'v" - u v (3) ]' + u v (4)... u (n) v = [u (n-1) v - u (n-2) v' + u (n-3) v" -... + (-1) (n-1) u v (n-1) ]' - (-1) n u v (n) se obtiene de v L(u) v L(u) = v [p n u (n) + p n-1 u (n-1) +... + p 2 u + p 1 u + p 0 u] = [u (n-1) v - u (n-2) v' + u (n-3) v" -... + (-1) (n-1) u v (n-1) ]' - (-1) n u v (n) y por lo tnto v stisfce: p v = q v = ' + b r v = b' entonces (p v)" = " (q v)' = " + b'

reemplzndo en est ultim ecución: (q v)' = (p v)" + (r v) se obtiene l condición que debe cumplir el fctor v: (p v)" - (q v)' + (r v) = 0 M(v) es l ecución que se llm Adjunt de Lgrnge de L(u) = 0 y stisfce: M(v) = 0 1.7.2.3.- RECIPROCIDAD DE LA ADJUNTA DE LAGRANGE L correspondenci entre los operdores diferenciles es reciproc como se ve de l demostrción nterior : M(v) := (p v)" - (q v)' + (r v) u: L(u) = p u" + q u' + r u = 0 u M(v) Diferencil Exct 4.3.- ESPACIO DUAL. OPERADOR ADJUNTO Y AUTOADJUNTO

Sen: H 1.- Dos Espcios de Bnch V y W H 2.- Un función linel L de V W H 3.- Un función linel cotd g de W R L: V W x y = L(x) g: W R y g(y) : función linel : función linel cotd Al conjunto de ls funciones g se lo llm W* Espcio dul de W Definición: W* := { g: g: W R y g(y) : función linel cotd } W* : Espcio Dul de W Tmbién se puede definir un función compuest f de V R tl que f(x) = g(y) Definición f: g: V R x f(x) = g(l(y)) Al conjunto de ls funciones f = g o L se lo llm V* Espcio dul de V Definición: V* := { f: f: V R x f(x) = g(l(y)) } V* : Espcio Dul de V L funciones f que tiene ls siguientes propieddes de ser un función linel y cotd

T 1.- f linel f( x 1 + b x 2 ) = g( L( x 1 + b x 2 ) ) = g( L(x 1 ) + b L(x 2 ) ) = g( L(x 1 )) + b g(l(x 2 ) ) T 2.- f cotd f(x) = g(y) = g(l(x)) g L(x) Como f es entonces un función linel se puede definir un función linel y cotd M que plic W* sobre V* hciendo corresponder g con f y que se llmrá Operdor Adjunto de L Definición: M: W* V* g f = M( g) En resumen: M : Operdor Adjunto de L L Operdor Linel L: V W x y = L(x) g: W R y g(y) : función linel : función linel cotd M Operdor Adjunto de L f: g: V R x f(x) = g(l(y)) M: W* V* g f = M( g) : función linel cotd 4.4.- ESPACIO DE HILBERT

Se llm Espcio de Hilbert un Espcio de Bnch en el cul est definido un producto hermítico y que es completo pr l norm socid dicho producto hermítico. H Espcio de Bnch Definición: H Espcio de Hilbert := : H R x x = + x.x 4.5.- OPERADOR AUTOADJUNTO Definición: M(u) Operdor Autodjunto de L(u) := L(u) = M(u) 4.6.- TEOREMA DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS Teorem: Todo Operdor Linel Autodjunto sobre un espcio de Hilbert complejo, es Hermitico. T.- H Espcio de Hilbert L = M x L(g) = L(x) g D.- f(x) = x f = y g = L(x) g = g(l(x)) x M(g) = x f = y g = L(x) g x L(g) = L(x).g que es l definición de Operdor Hermítico.