Holt Álgebra Resumen y repaso
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CONTENIDOS CAPÍTULO 1 Fundamentos de las funciones Guía de estudio: Repaso.......................1 CAPÍTULO Funciones lineales Guía de estudio: Repaso................................5 CAPÍTULO 3 Sistemas lineales Guía de estudio: Repaso................................9 CAPÍTULO 4 Matrices Guía de estudio: Repaso...............................13 CAPÍTULO 5 Funciones cuadráticas Guía de estudio: Repaso........................17 CAPÍTULO 6 Funciones polinomiales Guía de estudio: Repaso........................1 CAPÍTULO 7 Funciones exponenciales y logarítmicas Guía de estudio: Repaso......5 CAPÍTULO 8 Funciones racionales y radicales Guía de estudio: Repaso.................9 CAPÍTULO 9 Propiedades y atributos de las funciones Guía de estudio: Repaso........33 CAPÍTULO 10 Secciones cónicas Guía de estudio: Repaso...............................37 CAPÍTULO 11 Probabilidad y estadística Guía de estudio: Repaso........................41 CAPÍTULO 1 Sucesiones y series Guía de estudio: Repaso........................45 CAPÍTULO 13 Funciones trigonométricas Guía de estudio: Repaso........................49 CAPÍTULO 14 Identidades y gráficas trigonométricas Guía de estudio: Repaso....53 RESPUESTAS...................... 57 Copyright by Holt, Rinehart and Winston. iii Holt Álgebra All rights reserved.
Vocabulario ajuste...........................61 compresión.....................61 conjunto........................ 6 conjunto finito................... 7 conjunto infinito................ 7 conjunto vacío................... 6 dominio........................44 elemento........................ 6 función.........................45 función madre..................67 notación científica.............36 notación de función............51 notación de intervalo............ 7 notación por comprensión....... 8 notación por extensión.......... 7 racionalizar el denominador.... radicales semejantes............3 radicando......................1 raíz principal...................1 rango...........................44 reflexión........................60 relación........................44 símbolo de radical..............1 subconjunto..................... 6 transformación.................59 traslación.......................59 variable dependiente...........5 variable independiente.........5 Completa el enunciado con las palabras del vocabulario. 1. En una función, el/la? es el conjunto de valores de entrada y el/la? es el conjunto de valores de salida. 1-1 Conjuntos de números (págs. 6 13) Vuelve a escribir cada conjunto en la notación indicada. ; notación de intervalo El intervalo son los números reales mayores que o iguales a -. [-, ) - incluido, infinito no incluido. (-1, 6) ; notación por comprensión x -1 < x < 6 No se incluye ninguno de los dos extremos. Vuelve a escribir cada conjunto en la notación indicada.. [-5, ); notación por comprensión 3. notación de intervalo 4. x x > 3 y x ; notación por extensión 5. (-, -) ó (5, ) ; notación por comprensión 6. x -4 < x 5 y x ; palabras 7. 5.5 x 5.6; notación de intervalo 1- Propiedades de los números reales (págs. 14 19) Identifica la propiedad que se demuestra en la ecuación 3 (8x) = (3 8) x. En la ecuación, se han reagrupado los factores. La propiedad de la multiplicación que permite la reagrupación es la propiedad asociativa. Identifica la propiedad que se demuestra en cada ecuación. 8. x 3 = 3 (x) 9. 9.9x - x = (9.9 - ) x Halla el inverso aditivo y multiplicativo de cada número. 10. 0.55 11. -_ 7 1. 1. 8 Capítulo 1 Fundamentos de las funciones 1
1-3 Raíces cuadradas (págs. 1 6) _ Simplifica la expresión 3. 6 3 _ 6 _ 3 1 6 _ 6 6 _ 3 4 3 6 _ 6 3 6 = 3 Racionaliza el denominador. Propiedad del producto de raíces cuadradas. Propiedad del producto de raíces cuadradas. Estima a la décima más cercana. 13. 1 14. 55 15. 74 16. 9 Simplifica cada expresión. 17. 3 18. _ 64 4 19. - 7 0. 3 1 1. 7_. _ 0 5 8 1-4 Cómo simplificar expresiones algebraicas (págs. 7 3) Evalúa 6c - 3 c + d 3 para c = -1 y d = 3. 6 (-1) - 3 (-1) + (3) 3 Sustituye c por -1 y d por 3. -6-3 (1) + 7 = 18 Simplifica la expresión 3m + (m - 5n). 3m + (m - 10n) Distribuye el. 3 m + m - 10n Identifica los términos semejantes. 5m - 10n Combina los términos similares. Evalúa cada expresión para los valores dados de las variables. 3. x y - x y para x = 6 e y = - 4. -_ x + 5xy - 9y para x = 4 e y = 5. n + mn - 1 para m = y n = -1 4 m n Simplifica cada expresión. 6. -x - y + 9x - y + 3x 7. 7 - (5a - b) + 11 8. -4 (x + 3y) + 5x 9. c ( a - b) + 3bc 1-5 Propiedades de los exponentes (págs. 34 41) _ Simplifica la expresión 6 m 4 n -3. Debes suponer 18 m 3 n que todas las variables son distintas de cero. 6_ 18 ( m 4-3 n -3-1 ) 1_ 3 (m n -4 ) Simplifica. Propiedad del cociente de potencias m_ 3 n 4 Propiedad del exponente negativo Simplifica cada expresión. Debes suponer que todas las variables son distintas de cero. 30. (- x 5 y -3 ) 3 31. _ -4 x 4 y -6 1 4 x -3 y 3 3. _ ( r s ) 33. 4mn (m 5 n -5 ) s 3 Simplifica cada expresión. Escribe cada respuesta en notación científica. 34. 7.7 10 5 _ 1.1 10-35. (4.5 10 - ) (1. 1 0 3 ) Guía de estudio: Repaso
1-6 Relaciones y funciones (págs. 44 50) Da el dominio y el rango de la relación. Luego determina si la relación es una función. Costos de videojuegos Da el dominio y el rango de cada relación. Luego determina si la relación es una función. 36. 37. Juegos 1 3 4 Costo ($) 0.50 1.00 1.50.00 Dominio: 1,, 3, 4 Rango: 0.50, 1.00, 1.50,.00 Variable independiente Variable dependiente Cada cantidad de juegos está asociada con un solo costo. La relación entre la cantidad de juegos y el costo es una función. 38. (3, 4), (4, 3), (0, 3), (-, 4) 39. x 5 10 15 0 5 y -5-4 -3 - -1 40. relación entre las primeras tres letras del alfabeto y los estados de Estados Unidos que comienzan con una de esas letras 1-7 Notación de función (págs. 51 57) Una empresa de teléfonos celulares cobra $40 por mes por los primeros 500 minutos más $0.75 por cada minuto adicional. Escribe una función para representar el costo total mensual a partir de la cantidad de minutos usados. Cuál es el valor de la función para un valor de entrada de 30 y qué representa? Sea c el costo total mensual y sea m la cantidad de minutos adicionales. costo tarifa = + cargo mensual minutos adicionales c(m) = 40 + 0.75 m c (30) = 40 + 0.75 (30) = 40 +.5 = 6.5 El valor de c (m) para un valor de entrada de 30 es c (30) = 6.5. Esto significa que el costo mensual al usar 30 minutos adicionales es $6.50. En cada función, halla ƒ (), ƒ ( 1 ) y ƒ (-). 41. f (x) = -x + 4. f (x) = -5x - 6 43. 44. Representa gráficamente cada función. 45. 46. f (x) = 10 - x 47. Geometría El área total de un cubo es el cuadrado de su longitud lateral por 6. Escribe una función para representar el área total de un cubo. Cuál es el valor de la función para un valor de entrada de 10 centímetros y qué representa? Capítulo 1 Fundamentos de las funciones 3
1-8 Cómo explorar las transformaciones (págs. 59 66) En la gráfica se muestran las tarifas del monitoreo de alarmas hogareñas. Traza una gráfica para representar una reducción de de la tarifa 1 5 en los contratos a largo plazo. Luego identifica la transformación de la gráfica original que representa la nueva gráfica. Realiza la transformación dada al punto (5, -1). Da las coordenadas del nuevo punto. 48. 5 unidades hacia la izquierda, 4 unidades hacia abajo. 49. reflexión sobre el eje x. En la gráfica se muestran las tarifas de un estacionamiento. Traza una gráfica para representar cada situación e identifica la transformación que representa respecto de la gráfica original. 50. Las tarifas se reducen a la mitad los fines de semana. 51. Las tarifas aumentan un 10%. Cada precio es 4 del precio original. Esto representa 5 una compresión vertical de la gráfica por un factor de 4 5. 5. Todas las tarifas aumentan $1.00. 1-9 Presentación de las funciones madre (págs. 67 73) Identifica la función madre de g (x) = x - 4 a partir de su ecuación. Luego representa gráficamente g en tu calculadora y describe qué transformación de la función madre representa. g (x) = x - 4 es una función de raíz cuadrada. La gráfica de la función madre de la raíz cuadrada cruza el eje x en el punto (0,0). Identifica la función madre de g a partir de su ecuación. Luego representa gráficamente g en tu calculadora y describe qué transformación de la función madre representa. 53. g (x) = x - 1 54. g (x) = - x 55. Representa gráficamente los datos de la tabla. Describe la función madre que más se aproxime al conjunto de datos. Luego usa la gráfica para estimar la presión en las llantas de la bicicleta de una persona que pesa 95 libras. Presión de las llantas de una bicicleta La gráfica de la función g (x) = x - 4 cruza el eje x en el punto (4,0). Por lo tanto, g (x) = x - 4 representa una traslación de 4 unidades hacia la derecha de la función madre de la raíz cuadrada. Peso del ciclista (lb) Presión (lb por pulg ) 110 140 170 00 30 95 105 115 15 135 4 Guía de estudio: Repaso
coeficiente de correlación.......143 conjunción.....................150 conjunto solución de una ecuación.....................90 contradicción...................9 correlación.....................14 desigualdad.....................9 desigualdad lineal..............14 disyunción.....................150 ecuación........................90 ecuación lineal con una variable......................90 forma de pendiente-intersección.......107 forma de punto y pendiente.....116 función de valor absoluto.......158 función lineal..................105 identidad.......................9 intersección con el eje x.........106 intersección con el eje y.........106 línea de límite..................14 línea de mejor ajuste............14 medición indirecta...............99 pendiente......................106 proporción......................97 razón...........................97 regresión.......................140 semejantes......................99 tasa.............................98 valor absoluto..................151 Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Si no hay valores que hagan verdadera a una ecuación, entonces la ecuación es un(a)?.. La ecuación y - 5 = (x - 1) está en?. 3.? es la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables. -1 Cómo resolver ecuaciones lineales y desigualdades (págs. 90 96) Resuelve. 5 (x + 4) = 3x - 5x + 0 = 3x - x + 0 = - x = - x = -11 15-3x _ < 1 15-3x < 4-3x < 9 x > -3 Usa la propiedad distributiva. Resta 3x de ambos lados. Resta 0 de ambos lados. Divide ambos lados entre. Multiplica ambos lados por. Resta 15 de ambos lados. Divide ambos lados entre 3x y revierte la desigualdad. Resuelve. 4. 35 = 7 (x - 8) 5. 3x + 1-9x = 1-6x 6. 4 (3x + 5) = 1 - x 7. 3x - 5 (x + 3) = 16-4x 8. _ ( 5 3x - _ 3 ) - _ 3 4 = _ 3 x + 4 9. Producir imanes cuesta $10 más $1.5 por cada unidad. Los vendes a $1.75. Cuántos imanes se vendieron si obtuviste una ganancia de $60? 10. 4 6x - 18 11. 8x + 1 < 5x - 0 13-5x 1. _ - 4 8 Escribe una ecuación o desigualdad y resuelve. 13. La membresía del gimnasio de Ali cuesta $19.95 por mes. Ali paga $.75 cada vez que hace ejercicios. Si Ali quiere gastar menos de $50 por mes en el gimnasio, con qué frecuencia puede ir? Capítulo Funciones lineales 5
- Razonamiento proporcional (págs. 97 103) Resuelve la proporción. x + _ 1 = _ 15 0 0 (x + ) = (1)(15) Iguala los productos cruzados. 0x + 40 = 180 0x = 140 x = 7 Resuelve cada proporción. 14. _ 1 x = _ 4 11 15. _ -9 4 = _ 3x 0 16. _ x - 3 =- 5_ 4 3 17. 4_ 5 - x = 3_ 3x - 1 18. Si un mástil de 0 pies de altura proyecta una sombra de 6 pies, cuánto medirá la sombra de un edificio de 15 pies de altura a la misma hora del día? -3 Cómo representar gráficamente funciones lineales (págs. 105 11) Halla las intersecciones. Luego represéntalas gráficamente. x - 3y = 1 x = 1 x = 6-3y = 1 y = -4 Iguala y a 0 para hallar la intersección con el eje x. Iguala x a 0 para hallar la intersección con el eje y. Determina si el conjunto de datos podría representar una función lineal. 19. x 1 4 7 10 f (x) 3 - -7-1 Halla las intersecciones. Luego represéntalas gráficamente. 0. x + 5y = 10 1. -6x + 9y = -18. 8x = 1y - 18 3. y = 6-4x Escribe cada función en forma de pendiente-intersección. Luego represéntala gráficamente. Escribe cada función en forma de pendienteintersección. Luego represéntala gráficamente. 4x + 3y = 4 3y = -4x + 4 Despeja el término de y. y = -_ 4 Divide ambos lados 3 x + 8 entre 3. 4. 6x + 3y = 15 5. 5x - 3y = -9 6. 9x = 1-6y 7. _ 8 9 x + _ 4 3 y = 1 Determina si cada línea es vertical u horizontal. Luego represéntala gráficamente. 8. -3 = x 9. y = _ 5 30. Un escalador desciende por un precipicio de 500 pies de altura. Tras 8 minutos, el escalador ha descendido hasta los 80 pies. Halla la altura como una función lineal del tiempo y representa gráficamente la función. 6 Guía de estudio: Repaso
-4 Cómo escribir funciones lineales (págs. 115 13) Escribe la ecuación de la línea que atraviesa (3, 4) y (5, 10) en forma de pendiente-intersección. Halla la pendiente m = _ 10-4 5-3 = 3 Método 1 Método y - y 1 = m (x - x 1) y = mx + b y - 4 = 3 (x - 3) y = 3x + b y - 4 = 3x-9 4 = 3 (3) + b y = 3x - 9 + 4-5 = b -5 es la y = 3x - 5 y =3x - 5 intersección con el eje y Escribe la ecuación de cada línea en forma de pendienteintersección. 31. pasa por (4, 6) y tiene una pendiente de 1 _ 3. pasa por (, 6) y (3, 9) 33. pasa por (4, -) y es paralela a y = 3 _ x + 9 34. pasa por (-3, 4) y es perpendicular a y = 3 _ x + 9-5 Desigualdades lineales con dos variables (págs. 14 131) Halla y. Representa gráficamente la solución. 3x - 5y 10-5y -3x + 10 y _ 3 5 x - Usa una línea de límite continua y sombrea la región por encima de la línea. Halla y. Representa gráficamente la solución. 35. y > -3 36. y x + 3 37. x + 4y > -1 38. 6x - y > 8 39. Escribe una desigualdad para la gráfica. 40. Una galería ofrece una entrada de acceso limitado a $1 y una entrada estándar a $1. Se vendieron entradas por un total de más de $50. Escribe y representa gráficamente una desigualdad para las cantidades de cada tipo de entrada vendida. -6 Cómo transformar funciones lineales (págs. 134 140) Sea g (x) la transformación indicada de f (x) = x. Escribe la regla para g (x). desplazamiento horizontal de 5 unidades hacia la izquierda seguido de un ajuste horizontal por un factor de 3 Trasladar f (x) 5 unidades hacia la izquierda reemplaza cada x por (x + 5). Sea h (x) = f (x + 5) Reemplaza cada x por ( _ x g (x) = h ( _ 3) x = _ x 3 + 5 3). Sea g (x) la transformación indicada de f (x) = x. Escribe la regla para g (x). 41. desplazamiento horizontal de 8 unidades hacia la derecha 4. desplazamiento vertical de 5 unidades hacia arriba seguido de un ajuste vertical por un factor de 3 43. desplazamiento horizontal de 3 unidades hacia la izquierda seguido de un desplazamiento vertical hacia abajo de 7 unidades 44. desplazamiento vertical de 5 unidades hacia arriba seguido de una reflexión sobre el eje x 45. desplazamiento horizontal de 1 unidades hacia la derecha seguido de una reflexión sobre el eje y Capítulo Funciones lineales 7
-7 Cómo ajustar una curva con modelos lineales (págs.14 149) Haz un diagrama de dispersión con x 5 9 13 16 los datos. Halla el coeficiente de correlación r y la ecuación de la línea de mejor ajuste. y 8 10 4 16 9 El diagrama de dispersión se muestra a la derecha. Usa LinReg en tu calculadora de gráficas. r 0.834. La ecuación de la línea de mejor ajuste es y 1.3x + 5.56. 46. Halla lo siguiente para este conjunto de datos sobre la mediana de ingresos y la mediana de precios de casas. a. Haz un diagrama de dispersión con los datos usando la mediana de ingresos como variable independiente. b. Halla el coeficiente de correlación r y la línea de mejor ajuste de estos datos. Mediana de ingreso (millares) Mediana de precios de casas (millares) 69.5 130. 46.3 94.5 56.7 115.5 65. 106.4 54.7 98.6 59.6 115.5-8 Cómo resolver desigualdades y ecuaciones de valor absoluto (págs.150 156) Resuelve la desigualdad. Luego representa gráficamente el conjunto solución. x + 8-10 x + 8 1 x + 8 1 y x + 8-1 Conjunción x 4 y x -0 x y x -10 El conjunto solución es {x -10 x } Resuelve. 47. x - 8 = 0 48. x - 6 _ 5 = 1 49. 4 3x - 8 + 16 = Resuelve cada desigualdad. Luego representa gráficamente la solución. 50. 3x + 6 > 15 ó 5x + 13 <-1 51. (3x + 6) 3 + x Y 5x + 15 x + 9 5. 4x - 8 < 4 53. 5x + 10 30-9 Funciones de valor absoluto (págs.158 163) Refleja la gráfica de f (x) = x + 3 - sobre el eje x y representa gráficamente la función. g (x) = -( x + 3 -) g (x) = -f (x) g (x) = - x + 3 + 8 Guía de estudio: Repaso Traslada f (x) = x para que el vértice esté en el punto dado. 54. (-5, 7) 55. (6, -9) Realiza cada transformación. Luego represéntala gráficamente. 56. f (x) = x - 4 + 1 reflejada sobre el eje y 57. f (x) = 3x + 1 comprimida verticalmente por _ 1 3 58. f (x) = x - 3 + 5 reflejada sobre el eje x
Vocabulario ecuaciones paramétricas........30 eje z...........................14 eliminación....................191 función objetiva................06 parámetro.....................30 programación lineal............05 región factible..................05 restricción.....................05 sistema consistente.............183 sistema de coordenadas tridimensional..............14 sistema de desigualdades lineales.....................199 sistema de ecuaciones..........18 sistema dependiente............184 sistema inconsistente...........183 sistema independiente..........184 sistema lineal..................18 sustitución.....................190 triple ordenado.................14 Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un sistema consistente y? tiene infinitas soluciones..? implica sumar o restar ecuaciones para quitar una de las variables de un sistema. 3. En un problema de programación lineal, la solución del/de la? puede representarse gráficamente como un(a)?. 4. Cada punto en un(a)? puede representarse con un(a)?. 5. Un sistema? es un conjunto de ecuaciones o desigualdades que tiene por lo menos una solución. 3-1 Cómo usar gráficas y tablas para resolver sistemas lineales (págs. 18 189) Resuelve x + y = 3 usando una gráfica 3x - 6y = -9 y una tabla. Despeja y en cada ecuación. y = -x + 3 1_ 3_ y = x + Haz una tabla de valores. Representa gráficamente las y = -x + 3 y = _ 1 x + _ 3 líneas. x y x y 0 3 1 4 1 La solución es (1, ). 0 1.5 1 4.5 Resuelve cada sistema usando una gráfica y una tabla. 6. y = x 7. x + y = 6 3x - y = 5 x - y = 8. x - 6y = 9. x - 3y = 6 x - 5y = -3 3x - y = Clasifica cada sistema y determina la cantidad de soluciones. 10. y = x - 7 1_ 11. x + y = 3 x + 9y = 16 x + 4y = 6 1. 5x - 10y = 8 x - y = 4 13. 4x - 3y = 1 x - y = 10 14. Seguridad Un cerrajero cobra $5 por hacer una visita a domicilio y $15 por cada cerradura a la que cambia la combinación. Otro cerrajero cobra $10 por hacer una visita a domicilio y $0 por cada cerradura a la que cambia la combinación. Para cuántas cerraduras será igual el costo total? Capítulo 3 Sistemas lineales 9
3- Cómo usar métodos algebraicos para resolver sistemas lineales (págs. 190 197) Usa la sustitución para resolver y = x + 6 4x - 5y = -18. 4x - 5 (x + 6) = -18 Sustituye y. 4x - 5x - 30 = -18 x = -1 Sustituye el valor de x en una de las ecuaciones. y = x + 6 y = (-1) + 6 y = -6 La solución del sistema es (-1, -6). Usa la eliminación para resolver 7x - y = 3x + 4y = 30. Multiplica la primera ecuación por para eliminar y. 7x - y = 3x + 4y = 30 (7x - y = ) 14x - 4y = 4 (3x + 4y = 30 13x + 4y = 34 Suma las ecuaciones. 17x = 34 Primera parte de la solución x = Sustituye el valor de x en una de las ecuaciones. 3x + 4y = 30 3 () + 4y = 30 y = 6 Segunda parte de la solución La solución del sistema es (, 6). Usa la eliminación para resolver cada sistema de ecuaciones. 15. y = 3x 16. y = x - 1 x - 3y = -7 4x - y = 19 17. 4x - y = 0 18. 5x = -10y 6x - 3y = 1 8x - 4y = 40 Usa la eliminación para resolver cada sistema de ecuaciones. 19. 4x + 5y = 41 0. -4x - y = -16 7x + 5y = 53-4x - 5y = -3 1. x - y = 8 x + y = 9. 9x - 5y = 13 4x - 6y = 3. Mezclas Una popular mezcla de popurrí incluye agujas de pino y lavanda. Si las agujas de pino cuestan $1.50 por onza y la lavanda cuesta $4.00 por onza, qué cantidad de cada ingrediente se debe mezclar para hacer 80 onzas de popurrí por un valor de $00? 3-3 Cómo resolver sistemas de desigualdades lineales (págs. 199 04) Las ventas anuales totales de las dos divisiones de una compañía sumaron casi $1 millones. Una de las divisiones produjo por lo menos el 75% de las ventas totales. Escribe y representa gráficamente un sistema de desigualdades que se pueda usar para determinar las combinaciones posibles de ventas para ambas divisiones de la compañía. Sea x una división y sea y la otra división con el 75% de las ventas. Escribe el sistema de desigualdades. x + y < 1 y 0.75(x + y) x + y < 1 línea discontinua y 3x línea continua Representa gráficamente las líneas de límite y sombréalas como corresponda. Observa también que x > 0 e y > 0. La región superpuesta es la solución del sistema. Representa gráficamente cada sistema de desigualdades. 4. y + 1 > 4x 5. y - 3x < 3 y x + 1 3y x + 3 Representa gráficamente el sistema de desigualdades y clasifica la figura creada por la región solución. y -x + 6. x > -1 y > -1 7. y x y < 4 y > y 1 _ x + 4 8. Negocios Una cafetería quiere preparar un máximo de 10 lb de una mezcla de café que cueste menos de $10/lb. La tienda mezclará un café que se vende a $8/lb con un café que se vende a $11.50/lb. Escribe y representa gráficamente un sistema de desigualdades que muestre las mezclas posibles de los dos tipos de café. 10 Guía de estudio: Repaso
3-4 Programación lineal (págs. 05 11) Un café vende sándwiches fríos y entradas calientes. El rango de productos vendidos se muestra en la tabla. El café nunca ha vendido más de un total de 15 sándwiches y entradas en un solo día. Si el café tiene una ganancia de $0.75 por cada sándwich y $1 por cada entrada caliente, qué cantidad de cada producto maximizaría las ganancias del café? Producto del menú Sandwiches fríos Entradas calientes Mínimo vendido Máximo vendido 60 80 40 60 Sea x la cantidad de sándwiches fríos y sea y la cantidad de entradas calientes. Escribe las restricciones. 60 x 80 Cantidad de sándwiches 40 y 60 Cantidad de entradas calientes x + y < 15 Cantidad de productos vendidos Representa gráficamente la región factible e identifica los vértices. La región factible tiene cinco vértices en (60, 40), (60, 60), (65, 60), (80, 45), y (80, 40). Escribe la función objetiva. La función objetiva es P = 0.75x + y. P ( 0, 0) = 18 (0) + 5 (0) = 0 Evalúa la función objetiva en cada vértice. P ( 60, 40) = 0.75 (60) + 40 = 85 P ( 60, 60) = 0.75 (60) + 60 = 105 P ( 65, 60) = 0.75 (65) + 60 = 108.75 P ( 80, 45) = 0.75 (80) + 45 = 105 P ( 80, 40) = 0.75 (80) + 40 = 100 La función objetiva se maximiza en (65, 60). La ganancia máxima de $108.75 se obtiene al vender 65 sándwiches fríos y 60 entradas calientes. Representa gráficamente cada región factible. 9. 31. x 0 y 0 y 3x + 1 y -_ 3 4 x + 6 x > 0 y < 0 y > _ 1 x - 6 30. 3. x < 3 y 0 y < x + 1 y -x + 4 x y -1 x -1 y -x + 3 Maximiza o minimiza cada función objetiva. 33. Maximiza P = 6x + 10y para las restricciones del Ejercicio 9. 34. Minimiza P = 14x + 9y para las restricciones del Ejercicio 30. Producción Una compañía de plantillas de zapatos produce dos modelos de plantilla: una plantilla extra gruesa para zapatos deportivos y una plantilla más delgada para zapatos de vestir. La plantilla gruesa se fabrica en 6 minutos y genera una ganancia de $8. La plantilla delgada se fabrica en 4 minutos y genera una ganancia de $9. La línea de producción funciona como máximo durante 1 horas o 70 minutos al día. Debido a la demanda, la compañía fabrica, por lo menos, dos veces más suelas gruesas que suelas delgadas. 35. Escribe las restricciones y representa gráficamente la región factible. 36. Escribe la función objetiva para las ganancias de la compañía. 37. Cuál es la ganancia máxima que se puede generar en un día? 38. Ventas Cada día, un puesto de venta de teléfonos celulares vende entre 10 y 5 teléfonos celulares con contratos de servicio nuevo, y entre 5 y 10 teléfonos celulares sin contrato. El puesto nunca vende más de 30 teléfonos celulares nuevos por día. El puesto de teléfonos celulares gana una comisión de $35 por cada teléfono con contrato y $5 por cada teléfono sin contrato. Cuántos teléfonos de cada opción maximizarían las ganancias del puesto? Capítulo 3 Sistemas lineales 11
3-5 Ecuaciones lineales en tres dimensiones (págs. 14 18) Representa gráficamente (, -1, 3) en el espacio tridimensional. Desde el origen, muévete unidades hacia delante a lo largo del eje x, 1 unidad a la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Representa gráficamente la ecuación lineal 3x + 6y - z = -6 en el espacio tridimensional. Halla las intersecciones. intersección con el eje x: 3x = -6 x = - intersección con el eje y: 6y = -6 y = -1 intersección con el eje z: -z = -6 z = 6 Marca los puntos (-, 0, 0), (0, -1, 0), y (0, 0, 6). Traza un plano usando los tres puntos. Representa gráficamente cada punto en el espacio tridimensional. 39. (-1, 0, 3) 40. (, -, 1) 41. (0, -1, 1) 4. (3, 1, 0) Representa gráficamente cada ecuación lineal en el espacio tridimensional. 43. x - 3y + z = 6 44. x - 4y - z = 4 45. -x + y - 5z = 5 46. 3x + y + z = -6 47. Economía para el consumidor Lee tiene $35 para comprar una combinación de bebidas, pizza y helado para una fiesta. Cada bebida cuesta $, cada pizza cuesta $9 y cada cuarto de helado cuesta $4. Escribe una ecuación lineal con tres variables para representar esta situación. 3-6 Cómo resolver sistemas lineales con tres variables (págs. 0 6) 3x + y - z = -1 Usa la eliminación para resolver x + 3y - z = -10. x - y - 3z = -3 Primero, elimina z para obtener un sistema de por. 3x + y - z = -1 3x + 3y - z = -10 3(x + 3y - z = -10) 3x - y - 3z = -3 x - y = 9 x + 10y = -7 x - y = 9 El sistema de por es x + 10y = -7. ( x -y = 9) -(x + 10y = -7) Elimina x -1y = 63 y = -3 Sustituye para hallar x y luego z. x - y = 9 x - (-3) = 9 x = 3 3x + y - z = -1 3(3) + (-3) - z = -1 z = 4 La solución del sistema es (3, -3, 4). Usa la eliminación para resolver cada sistema de ecuaciones. 48. 49. x + 3y + z = 13 x + y - z = 3 x - y + 3z = 6 x + y + z = 3x + y - z = -1 3x - y = 4 Clasifica cada sistema como consistente o inconsistente y determina la cantidad de soluciones. 50. 51. x + y + z = - -x + y - 5z = 4 3x + 3y + 3z = 5 -x - y + z = -3 4x + 4y - 8z = 1 x + y - 3z = - 1 Guía de estudio: Repaso
Vocabulario determinante...................................70 diagonal principal..............................55 dimensiones...................................46 dirección.......................................46 ecuación matricial..............................79 entrada........................................46 escalar.........................................48 forma escalonada reducida por filas..............88 matriz.........................................46 matriz aumentada..............................87 matriz de constantes............................79 matriz cuadrada................................55 matriz de coeficientes...........................71 matriz de identidad multiplicativa...............55 matriz de inverso multiplicativo.................78 matriz de reflexión..............................63 matriz de rotación..............................64 matriz de traslación.............................6 matriz variable.................................79 operación por filas..............................88 producto matricial..............................53 reducción por filas..............................88 regla de Cramer................................71 Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un(a)? es un número que se multiplica por todas las entradas de una matriz para formar una nueva matriz.. Un(a)? se forma a partir de las constantes de un sistema de ecuaciones. 3. Cualquier matriz que tenga el mismo número de filas y columnas es un(a)?. 4-1 Matrices y datos (págs. 46 5) A = 0 3-1 4 B = 1 9-7 8 P = -3-5 -4-1 3 Q = 3 4 5 R = -16-8 4-10 - 4 Evalúa, si es posible. A - B = -0 3-1 4 - -1 9-7 8 = -0 3-1 4 + -(1) -(9) -(-7) -(8) = -0 3-1 4 + - -18 14-16 = - 13-15 -1 Evalúa, si es posible. 4. P - Q 5. (0.)Q 6. _ 1 R - _ 1 3 P 7. _ 1 (P + R) Usa los siguientes datos para los Ejercicios del 8 a 10. Durante la limpieza de una playa, el equipo de Ashton recolectó 15 latas y 45 botellas; el equipo de Mark recolectó 95 latas y 65 botellas. 8. Presenta los datos en forma de una matriz C. 9. Escribe la matriz C D para mostrar las diferencias entre los equipos. 10. Cada equipo recibió el doble de sus números en puntos por equipo. Escribe la matriz P para mostrar los puntos por equipo. Capítulo 4 Matrices 13
4- Cómo multiplicar matrices (págs. 53 60) Halla el producto matricial, si está definido. 1 0 7-5 -3 0 1 0 ( ) ( 3) 7-5 -6-19 15 4 16 5 1-3 7 0 - -1 1 ( ) (3 ) indefinido 3 4-5 Evalúa A, si es posible. A = 0-7 9-6 1 3 4-5 3 4-5 A = 0-7 0-7 9-6 1 9-6 1-36 34 8 = 63-38 -7 36 4-86 Halla el producto matricial, si está definido. -1 D = 0 - E = 4 0 1 0 1 3 - -1 4 F = 0 1-3 1-1 1 3 11. DE 1. FD 13. DF 14. EF Evalúa, si es posible. 15. D 16. F 17. (ED) En las tablas se muestran los precios y las cantidades de entradas vendidas para tres funciones de teatro. Adulto Estudiante Jue $5 $.50 Vie $7.50 $4.5 Sáb $9 $5.75 Jue Vie Sáb Adulto 67 196 45 Estudiante 104 75 154 18. a. Organiza cada tabla como una matriz. b. Escribe el producto matricial para hallar la cantidad de dinero que se recaudó en cada función. c. Halla el total de entradas de adultos y de estudiantes que se recaudó en las tres funciones. 4-3 Cómo usar matrices para transformar figuras geométricas (págs. 61 67) Usa la matriz 1 0 para transformar el triángulo 0-1 ABC con A(-1, -), B(0, 1) y C(3, -). Representa gráficamente la figura y su imagen. Describe la transformación. Multiplica 1 0-1 0 3 0-1 - 1 - = -1 0 3-1 Las coordenadas de la imagen son A (-1, ), B (0, -1) y C (3, ). El triángulo se refleja sobre el eje x. Usa matrices para transformar el polígono P con las coordenadas W(-, -1), X(-1, 3), Y(, 4) y Z(0, 0). Da las coordenadas de cada imagen. 19. Traslada P unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba. 0. Agranda P por un factor de 1.5. 1. Usa la matriz 1 0 para transformar P. 0-1 Describe la transformación.. Usa la matriz 0 1 para transformar P. -1 0 Describe la transformación. 14 Guía de estudio: Repaso
4-4 Determinantes y regla de Cramer (págs. 70 77) Halla el determinante de cada matriz. 4-5 1 0 4-5 1 0 - - 1 9 3-6 1 9 3-6 = 4 (0) - 1 (-5) = - 1 _ (-6) - _ 3 (9) = 0 + 5 = 5 = 3-6 = -3 4 0 1 4 0 1 4 0 3 5 - escribe 3 5-3 5-1 7-1 7-1 140 + (0) + (-3) -[10 + 8 + 0] = 137-18 D =119 Usa la regla de Cramer para resolver cada sistema de ecuaciones. 3 + y = 3x 5 - y = x Escribe en forma ax + by = c: D = det 3-1 1-1 = 3 - (-1) = 4 3-1 3 3 5 1 x = _ = _ 8 4 4 = y = _ 1 5 4 La solución es (, 3). a + b + c = 3 -a - 4b + 5c = 79 a - 3b + c = 50 3 1 79-4 5 50-3 a = b = D 3x - y = 3 x + y = 5 = 1 _ 4 = 3 D = 1 - -4 5 1-3 = 4 3 1-79 5 1 50 D a = _ 168 4 = 4 b = _ -336 4 3 - -4 79 1-3 50 c = D 46 = -8 c = _ 4 = 11 La solución es a = 4, b = -8, c = 11. Halla el determinante de cada matriz. 3. 1-1 4. 3 1 1 6 4 5. 7. - 1 4-3 3 6 3-1 -1 5 3 3-1 -6 6. 8. 4 0 1 0 1-1 1 3 3-1 5-3 9-13 8 Usa la regla de Cramer para resolver cada sistema de ecuaciones. 9. x + y = 9 30. x + 5y + 1 = 0 x - y = 1 6x = 47 + 7y 31. 4.5x + 3y = 10.5 3x + y = 7 33. x - y + z = 5 y - x - z = x - y + z = 7 3. 34. 5x - 6y = 7 + 7z 6x - 4y + 10z = -34 x + 4y = 9 + 3z y -.4x = 0.8 3x + 0.5z =.5 3.5y + z = 8.5 35. Halla el punto de intersección de las líneas dadas por las ecuaciones x + 3y = 8 e y = x + 1. a. Escribe la matriz de coeficientes y halla el determinante. b. Resuelve usando la regla de Cramer. 36. En una liquidación de fin de temporada, una tienda de recuerdos entregó obsequios pequeños que valían $5 por ventas de entre $5 y $74.99; obsequios medianos que valían $8 por ventas de entre $75 y $149.99; y obsequios grandes que valían $1.50 por ventas superiores a los $150. La tienda entregó 10 obsequios por un valor total de $654 y 6 veces más obsequios pequeños que grandes. a. Escribe un sistema de ecuaciones para la situación. b. Usa la regla de Cramer para hallar la cantidad de obsequios pequeños, medianos y grandes. Capítulo 4 Matrices 15
4-5 Matrices inversas y sistemas de resolución (págs. 78 85) Halla la matriz inversa, si está definida. 4 - A = 0-1 A = -; dado que A 0, la matriz tiene una matriz inversa. 1_ A d -b -c a da 1_ - - 1 0 4 = 1 4-1 0-4 - 1 Comprueba 4 0-1 -1 = 1 0 0-0 1 Escribe la ecuación matricial para el sistema. Resuelve. x + y = -6 x + 3y = 8 1 1 x 3 y = -6 8 por lo tanto A-1 = 3-1 - 1 x y = 3-1 -6-1 8 o x y = -6 0 La solución es (-6, 0). Halla la matriz inversa, si existe. 37. 6-1 3 39. 5 1.5 41. -1.5 0.5-1 1 0.5 1 1 1 0.5 38. 40. 4. 3 4-5 0 1 5 1 0 0 3 3 1 5-3 0 0 0 7-1 Escribe la ecuación matricial para el sistema. Resuelve. 3_ 43. x = 0 + y x + 6y = 80 45. 3x+ 3y = 19 + z 5x + 4y - 8 = z (x + y) - 1 = z 44. x = 1 + y x + y = 9 46. x + 9 = z 5x + y + 3 = 7z (3x + y) = 8z - 39 4-6 Operaciones por filas y matrices aumentadas (págs. 87 93) Escribe la matriz aumentada y resuelve. x - y = 3 x - y = 0 1-1 3 1-1 3 1-1 0 ➊ - ➋ 0 0 3 La segunda fila significa que 0 + 0y = 3, lo cual es falso. El sistema es inconsistente. x + y = 6 x - y = 0 1 6 (➊ + ➋) 3 1 0 1-1 0 1-1 0 1 0, por lo tanto, x = e y =. ➊ - ➋ 0 1 Escribe la matriz aumentada y resuelve. 47. 7x + y = 0.75 48. p - q = 4 x - y = 1 p + 3q = - Resuelve el sistema usando la reducción por filas. x + z = 0.5.5x + 1.5y = 4 49. -5y = 0.5 50. 3.x + y = 4z - 3.8 3x + 4z = 1.1 6.4x - 5y +.1z = 5.6 51. En gimnasia, el equipo Osho obtuvo 7 premios, los cuales Puesto Puntos le dieron 87 puntos. El equipo logró un primer puesto más que el total de sus terceros puestos. Usa la tabla para escribir un Primero Segundo Tercero 5 4 1 sistema de ecuaciones que represente esta situación. Usa la reducción por filas para hallar cuántos premios de cada tipo obtuvo el equipo. 16 Guía de estudio: Repaso
Vocabulario binomio.......................336 cero de una función........... 333 conjugado complejo.......... 35 completar el cuadrado........ 34 desigualdad cuadrática con dos variables................... 366 discriminante................ 357 eje de simetría................ 33 forma en vértice.............. 318 forma estándar............... 34 función cuadrática............ 315 modelo de una función cuadrática..................376 número complejo..............351 número imaginario............350 parábola.......................315 parte imaginaria...............351 parte real.....................351 plano complejo................38 raíz de una ecuación...........334 regresión cuadrática...........376 trinomio.......................336 unidad imaginaria.............350 valor absoluto de un número complejo...................38 valor máximo..................36 valor mínimo..................36 vértice de una parábola........318 Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. El número 5i se puede clasificar como un(a)? y como un(a)?.. El valor de entrada x que hace el valor de salida f (x) sea igual a cero se llama?. 3. El/la? es el punto en el que la parábola cruza el eje de simetría. 4. El tipo y la cantidad de soluciones de una ecuación cuadrática se puede determinar hallando el/la?. 5. Cuando una parábola se abre hacia arriba, el valor de y del vértice es el/la? de una función cuadrática. 5-1 Cómo usar transformaciones para representar gráficamente funciones cuadráticas (págs. 315 3) Usando la gráfica de f (x) = x como guía, describe las transformaciones 1 y luego representa gráficamente g (x) = x + 3. g (x) = 1 x + 3 es f comprimida verticalmente por un factor de 1 y trasladada tres unidades hacia arriba. Usa la descripción para escribir una función cuadrática con forma en vértice. La función f (x) = x se traslada 1 unidad hacia la derecha para crear g. traslación de 1 unidad hacia la derecha: h = 1 g (x) = a (x - h) + k g (x) = (x - 1) Representa gráficamente cada función usando una tabla. 6. f (x) = - x - x 7. f (x) = 1 _ x + 3x - 4 Usando la gráfica de f (x) = x como guía, describe las transformaciones y luego representa gráficamente cada función. 8. g (x) = 4 (x - ) 9. g (x) = -(x + 1) 10. g (x) = _ 1 3 x - 3 11. g (x) = -(x + ) + 6 Usa la descripción para escribir cada función cuadrática con forma en vértice. 1. f (x) = x se refleja sobre el eje x y se traslada 3 unidades hacia abajo para crear g. 13. f (x) = x se ajusta verticalmente por un factor de y se traslada 4 unidades hacia la derecha para crear g. 14. f (x) = x se comprime verticalmente por un factor de 1 4 y se traslada 1 unidad hacia la izquierda para crear g. Capítulo 5 Funciones cuadráticas 17
5- Propiedades de las funciones cuadráticas en forma estándar (págs. 33 330) Para f (x) = - x + x + 3, (a) determina si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo, (b) halla el eje de simetría, (c) halla el vértice, (d) halla la intersección con el eje y, y (e) representa gráficamente la función. a. Dado que a < 0, la e. parábola se abre hacia abajo. b. eje de simetría: x = -_ b a = - _ (-1) = 1 c. f (1) = - 1 + (1) + 3 = 4 El vértice es (1, 4). d. Dado que c = 3, la intersección con el eje y es 3. Para cada función, (a) determina si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo, (b) halla el eje de simetría, (c) halla el vértice, (d) halla la intersección con el eje y, y (e) representa gráficamente la función. 15. f (x) = x - 4x + 3 16. g (x) = x + x + 3 17. h (x) = x - 3x 18. j (x) = _ 1 x - x + 4 Halla el valor mínimo o máximo de cada función. 19. f (x) = x + x + 6 0. g (x) = 6x - x 1. f (x) = x - 5x + 1. g (x) = - x - 8x + 10 3. f (x) = -x - 4x + 8 4. g (x) = 3 x + 7 5-3 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización y la representación gráfica (págs. 333 340) Factoriza para hallar las raíces de x + x = 30. x + x - 30 = 0 (x - 5) (x + 6) = 0 x - 5 = 0 ó x + 6 = 0 x = 5 ó x = -6 Vuelve a escribir en forma estándar. Factoriza. Propiedad del producto cero. Resuelve cada ecuación. Escribe una función cuadrática con ceros en 8 y -8. x = 8 ó x = -8 Escribe ceros como soluciones. x - 8 = 0 ó x + 8 = 0 Iguala las ecuaciones a 0. (x - 8) (x + 8) = 0 Propiedad recíproca del producto cero f (x) = x - 64 Reemplaza 0 con f (x). Factoriza para hallar las raíces para cada ecuación. 5. x - 7x - 8 = 0 6. x - 5x + 6 = 0 7. x = 144 8. x - 1x = 0 9. 4 x - 16x + 16 = 0 30. x + 8x + 6 = 0 31. x + 14x = 3 3. 9 x + 6x + 1 = 0 Escribe una función cuadrática en forma estándar para cada conjunto dado de ceros. 33. y -3 34. 1 y -1 35. 4 y 5 36. - y -3 37. -5 y -5 38. 9 y 0 5-4 Cómo completar el cuadrado (págs. 34 349) Resuelve x - 8x = 1 completando el cuadrado. x - 8x + = 1 + Establece la ecuación. x - 8x + 16 = 1 + 16 (x - 4) = 8 x - 4 = ± 8 x = 4 ± 7 Suma ( b ). Factoriza. Halla las raíces cuadradas. Halla x. Resuelve cada ecuación completando el cuadrado. 39. x - 16x + 48 = 0 40. x + 0x + 84 = 0 41. x - 6x = 16 4. x - 14x = 13 Escribe cada función con forma en vértice e identifica su vértice. 43. f (x) = x - 4x + 9 44. g (x) = x + x - 7 18 Guía de estudio: Repaso
5-5 Números complejos y raíces (págs. 350 355) Resuelve x - x + 133 = 0. x - x + = -133 + Vuelve a escribirla. x - x + 11 = -133 + 11 (x - 11 ) = -1 Suma ( b ). Factoriza. x - 11 = ± -1 x = 11 ± i 3 Halla las raíces cuadradas. Resuelve. Resuelve cada ecuación. 45. x = -81 46. 6 x + 150 = 0 47. x + 6x + 10 = 0 48. x + 1x + 45 = 0 49. x - 14x + 75 = 0 50. x - x + 133 = 0 Halla cada conjugado complejo. 51. 5i - 4 5. 3 + i 5 5-6 La fórmula cuadrática (págs. 356 363) Halla los ceros de f (x) = 3x - 5x + 3 usando la fórmula cuadrática. x = -b ± b - 4ac Fórmula a cuadrática -(-5) ± (-5) - 4 ( 3 )( 3 ) x = Sustituye. (3) = _ 5 ± -11 = _ 5 6 6 ± i _ 11 6 Simplifica. Halla el tipo y la cantidad de soluciones de x + 9x + 0 = 0. b - 4ac = 9-4 (1)(0) = 81-80 = 1 Hay dos raíces reales definidas porque el discriminante es positivo. Halla los ceros de cada función usando la fórmula cuadrática. 53. f (x) = x - 3x - 8 54. h (x) = (x - 5 ) + 1 55. f (x) = x - 10x + 18 56. g (x) = x + 3x + 3 57. h (x) = x - 5x + 10 Halla el tipo y la cantidad de soluciones de cada ecuación. 58. x - 16x + 3 = 0 59. x - 6x = -5 60. x + 3x + 8 = 0 61. x - 46x = -144 6. x + 5x = -1 63. 3 x - 5x + 3 = 0 5-7 Cómo resolver desigualdades cuadráticas (págs. 366 373) Resuelve x - 4x - 9 3 usando álgebra. Escribe y resuelve la ecuación relacionada. x - 4x - 1 = 0 Escribe en forma estándar. (x + )(x - 6) = 0 Factoriza. x = - or x = 6 Resuelve. Los valores críticos son - y 6. Estos valores dividen la recta numérica en 3 intervalos: x -, - x 6, y x 6. Poner a prueba un valor de x en cada intervalo da la solución x - o x 6. Representa gráficamente cada desigualdad. 64. y > x + 3x + 4 65. y x - x - 5 Resuelve cada desigualdad usando tablas o gráficas. 66. x + x - 4-1 67. - x - 5x > 4 Resuelve cada desigualdad usando álgebra. 68. - x + 6x < 5 69. 3 x - 5 70. x - 3 < 0 71. 3 x + 4x - 3 1 Capítulo 5 Funciones cuadráticas 19
5-8 Cómo ajustar una curva con modelos cuadráticos (págs. 374 381) Halla un modelo cuadrático para la potencia en vatios de los focos fluorescentes F dada la potencia en vatios comparable de los focos incandescentes I. Usa el modelo para estimar la potencia en vatios de un foco fluorescente que produce la misma cantidad de luz que un foco incandescente de 10 vatios. Comparación de potencia en vatios Incandescente (vatios) 40 60 75 90 100 Fluorescente (vatios) 11 15 0 3 8 Escribe los datos en dos listas en una calculadora de gráficas. Usa la función de regresión cuadrática. Escribe una función cuadrática que se ajuste a cada conjunto de puntos.. 7. (-1, 8), (0, 6) y (1, ) 73. (0, 0), (1, -1) y (, -6) Construcción Para los Ejercicios del 74 al 77, usa la tabla de calibres de cables de cobre. Calibres usuales de cables de cobre en EE.UU. Calibre Diámetro (pulg) Resistencia por cada 1000 pies (ohms) 4 0.001 5.67 0.054 16.14 0 0.030 10.15 18 0.0403 6.385 74. Halla una ecuación de regresión cuadrática para hacer un modelo del diámetro dado el calibre del cable. 75. Usa tu modelo para predecir el diámetro de un cable de cobre de calibre 1. El modelo es F (I ) 0.0016 I + 0.0481I + 6.48. Un foco fluorescente de 36 vatios produce aproximadamente la misma cantidad de luz que un foco incandescente de 10 vatios. 76. Halla una ecuación de regresión cuadrática para hacer un modelo de la resistencia dado el calibre del cable. 77. Usa tu modelo para predecir la resistencia de un cable de calibre 6. 5-9 Operaciones con números complejos (págs. 38 389) Realiza cada operación indicada y escribe el resultado en forma a + bi. - + 4i (-) + 4 = 4 + 16 = 0 = 5 (3 + i) (4-5i) 1-15i + 8i - 10 i 1-7i - 10 (-1 ) = - 7i -5 + 3i _ 1 - i _-5 + 3i _ 1 - i ( 1 + i 1 + i ) -5-7i + 6 i = 1-4 i = _-11-7i = -_ 11 1 + 4 5 - _ 7 5 i Realiza cada operación indicada y escribe el resultado en forma a + bi. 78. -3i 79. 4 - i 80. 1-16i 81. 7i 8. (1 + 5i) + (6 - i) 83. (9 + 4i) - (3 + i) 84. (5 - i) - (11 - i) 85. -5i (3-4i) 86. (5 - i) (6 + 8i) 87. (3 + i) (3 - i) 88. (4 + i) (1-5i) 89. (-7 + 4i) (3 + 9i) 90. i 3 91. -5 i 1 9. _ + 9i 93. _ 5 + i -i 3-4i 94. _ 8-4i 1 + i 95. -1 + 6i _ + 4i 0 Guía de estudio: Repaso
Vocabulario coeficiente principal.......... 406 comportamiento extremo..... 453 división sintética............. 43 función polinomial........... 408 grado de un monomio........ 406 grado de un polinomio........ 406 máximo local................. 455 mínimo local................. 455 monomio.................... 406 multiplicidad................. 439 polinomio.................... 406 punto de inflexión............ 455 Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un(a)? es un número o producto de números y variables con exponentes cabales.. Un método para dividir un polinomio entre un binomio lineal del tipo x - a usando sólo el coeficiente es?. 3. La cantidad de veces que x - r es un factor de P(x) es el/la? de r. 4. El/la? de una función es una descripción de los valores de la función a medida que x se acerca al infinito positivo o al infinito negativo. 6-1 Polinomios (págs. 406 41) Resta. Escribe tu respuesta en forma estándar. (6x - x + 1) - (4x - 5 x ) (- x + 6x + 1) + (5 x - 4x) Suma el opuesto. (- x + 5 x ) + (6x - 4x) + 1 Combina los términos 3 x + x + 1 semejantes. Representa gráficamente f (x) = - x 3 + 4x + 1 en una calculadora. Describe la gráfica e identifica la cantidad de ceros reales. De izquierda a derecha, la función disminuye, aumenta y vuelve a disminuir. Cruza el eje x tres veces. Parece haber tres ceros reales. Vuelve a escribir cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente principal, el grado y la cantidad de términos. Identifica el polinomio. 5. 4 x - 3 x 3 + 6x + 7 6. 5 x 3 - x 5 + 8x + x 4 7. 1-11x + 9 x 8. -6 x + x 4 Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar. 9. (8 x 3-4 x - 3x + 1) - (1-5 x + x) 10. (6 x + 7x - ) + (1-5 x 3 + 3x) 11. (5x - x ) - (4 x + 6x - 9) 1. ( x 4 - x + 4) + ( x - x 3-5 x 4-7) Representa gráficamente cada función polinomial en una calculadora. Describe la gráfica e identifica la cantidad de ceros reales. 13. f (x) = - x 4 + 4 x + 1 14. f (x) = x 3 + x + 1 15. f (x) = x 4-5 x + 16. f (x) = x 3-3 x + Capítulo 6 Funciones polinomiales 1
6- Cómo multiplicar polinomios (págs. 414 40) Halla el producto. (x - 3) (5 - x - x ) Multiplica horizontalmente. (x - 3)(- x - x + 5) Escribe en forma estándar. x(- x ) + x(-x) + x(5) - 3(- x ) - 3(-x) - 3(5) - x 3 - x + 5x + 6 x + 3x - 15 Multiplica. - x 3 + 5 x + 8x - 15 Combina los términos semejantes. Halla cada producto. 17. 5 x (3x - ) 18. -3t( t - 6t + 1) 19. ab ( a - a + ab) 0. (x - ) ( x - x - 3) 1. (x + 5) ( x 3 - x + 1). (x - 3) 3 3. (x + 4) ( x 4-3 x + x) 4. (x + 1) 4 5. Un cilindro tiene una altura de x - x - 3 y un radio de x, como se muestra en la figura. Expresa el volumen del cilindro como una suma de monomios. 6-3 Cómo dividir polinomios (págs. 4 48) Divide usando la división sintética. ( x 3-3 x + 8) (x + ) a = - x 3-3 x + 0x + 8 Escribe en forma estándar. - 1-3 0 8 Escribe los - 10-0 1-5 10-1 x 3-3 x + 8 x + = x - 5x + 10 + -1 x + coeficientes de los términos. Divide usando la división larga. 6. ( x 3-5 x + x - 7) (x + ) 7. (8 x 4 + 6 x - x + 4) (x - 1) Divide usando la división sintética. 8. ( x 3-4 x + 3x + ) (x - 3) 9. ( x 3 + x - 1) (x - ) 30. Un carrete de cinta tiene una longitud de x 3 + x pulgadas. Escribe una expresión que represente la cantidad de tiras de cinta con una longitud de x - 1 que se pueden cortar de un carrete. 6-4 Cómo factorizar polinomios (págs. 430 435) Determina si cada binomio es un factor del polinomio P(x) = x + x - 10. (x + 5) (x - ) -5 1-10 1-10 -10 45 4 10-9 35 5 0 x + 5 no es un factor x - es un factor de P(x). de P(x). Determina si el binomio dado es un factor del polinomio P(x). 31. (x + 3) ; P (x) = x 3 + x - 5 3. (x - 1) ; P (x) = 4 x 4-5 x + 3x - 33. (x-) ; P (x) = x 3-3 x + x - 6 Factoriza cada expresión. 34. x 3 - x - 16x + 16 35. 4 x 3-8 x - x + 36. 3 x 3 + 81 37. 16 x 3 - Guía de estudio: Repaso
6-5 Cómo hallar raíces reales de ecuaciones polinomiales (págs. 438 444) Identifica todas las raíces reales de x 4-4 x 3 + 4 x - 1 = 0. Según el teorema de las raíces racionales, las raíces posibles son ±1. 1 1-4 4 0-1 Intenta con 1. 1-3 1 1 1-3 1 1 0 1 1-3 1 1 Intenta nuevamente 1 - -1 con 1. 1 - -1 0 Factoriza x - x - 1 usando la fórmula cuadrática. Identifica todas las raíces reales de cada ecuación. 38. x 3-5 x + 8x - 4 = 0 39. x 3 + 6 x + 9x + = 0 40. x 3 + 3 x + 3x + 1 = 0 41. x 4-1x + 7 = 0 4. x 3 + x - x - = 0 43. x 3-5 x + 4 = 0 44. Un prisma rectangular tiene una longitud igual al doble de su ancho y una altura 4 metros mayor que su ancho. El volumen del prisma rectangular es 48 metros cúbicos. Cuál es el ancho del prisma rectangular? x = -(-) ± (-) - 4 (1)(-1 ) (1) = 1 ± Las raíces son 1 con una multiplicidad de y 1 ±. 6-6 Teorema fundamental del álgebra (págs. 445 451) Escribe la función polinomial más simple con las raíces -, -1 y 4. P (x) = 0 a (x + ) (x + 1) (x - 4) = 0 a ( x 3 - x - 10x - 8) = 0 x 3 - x - 10x - 8 = 0 Si r es una raíz de P(x), entonces x - r es un factor de P(x). Multiplica. Para la ecuación más simple, sea a = 1. Resuelve x 3 + x + x + = 0 hallando todas las raíces. La calculadora de gráficas muestra - como una raíz. Usa la división sintética para escribir la ecuación como (x + )( x + 1) = 0. Resuelve x + 1 = 0 para hallar las raíces que faltan. Las soluciones son -, i y -i. Escribe la función polinomial más simple con las raíces dadas. 45. -3,, 4 46. - 1_, -, 3 47. -, -1 48. -3, i 49., 3 50. 1 + 3, i Resuelve la ecuación hallando todas las raíces. 51. x 3 - x + 4x - 4 = 0 5. x 4 - x - = 0 53. x 4 -_ 63 4 x - 4 = 0 54. x 3 + 3 x - 5x - 15 = 0 Capítulo 6 Funciones polinomiales 3
6-7 Cómo investigar gráficas de funciones polinomiales (págs. 453 459) Representa gráficamente la función f (x) = x 3 + x - 5x - 6. Coeficiente principal: 1; Grado: 3; Comportamiento extremo: x -, f (x) - x +, f (x) + Los ceros son -3, -1,. Factoriza para hallar los ceros. f (0) = -6; f (-) = 4; f (1) = -8 Evalúa f(x) en los valores ubicados entre las raíces. Marca estos puntos. Identifica el coeficiente principal, el grado y el comportamiento extremo. 55. - x 3 + 5 x + 3 56. x 4 + x 3-3x + 1 57. -3 x 6 + 9 x 3 - x - 9 58. 7 x 5 + x 4 - x + 5 Representa gráficamente cada función. 59. f (x) = x 3 - x - 5x + 6 60. f (x) = x 4-10 x + 9 61. f (x) = - x 3 + 5 x + x - 5 6-8 Cómo transformar funciones polinomiales (págs. 460 465) Escribe una función que transforme f (x) = x 3 + 5 reflejándola sobre el eje x y moviéndola unidades hacia la derecha. Fundamenta tu solución usando una calculadora de gráficas. g (x) =-f (x - ) g (x) =- (x - ) 3-5 Escribe una función que transforme f (x) = x 4-6 x - 4 en cada una de las siguientes maneras. Fundamenta tu solución usando una calculadora de gráficas. 6. Ajusta verticalmente por un factor de y muévela 9 unidades hacia arriba. 63. Muévela unidades hacia abajo y refléjala en el eje x 64. Muévela 3 unidades hacia la derecha y refléjala en el eje y. 6-9 Cómo ajustar una curva con modelos polinomiales (págs. 466 471) En la tabla se muestran las ganancias de una compañía en millares de dólares para los años mostrados. Escribe una función polinomial con los datos. Año 1999 000 001 00 003 Ganancias $86 $401 $507 $671 $960 Primeras diferencias: 115 106 164 89 Segundas diferencias: -9 58 15 Terceras diferencias: 67 67 Constante Un polinomio cúbico describe mejor los datos. Usa la función de regresión cúbica en tu calculadora de gráficas. f (x) = 11. x 3-71.5 x + 51.3x + 95 65. En la tabla se muestra la cantidad de espectadores en un cine nuevo durante cinco días. Escribe una función polinomial con los datos. Día 1 3 4 5 Espectadores 48 98 318 388 48 66. En la tabla se muestra la población de una ciudad en un periodo de cinco años. Escribe una función polinomial con los datos. Año 1 3 4 5 Población (millares) 1891 674 3376 4480 6469 4 Guía de estudio: Repaso
Vocabulario asíntota...................... 490 base......................... 490 crecimiento exponencial...... 490 decremento exponencial...... 490 ecuación exponencial......... 5 ecuación logarítmica.......... 53 función exponencial.......... 490 función inversa............... 499 función logarítmica........... 507 función logarítmica natural... 53 logaritmo.................... 505 logaritmo común............. 506 logaritmo natural............. 531 regresión exponencial......... 546 regresión logarítmica......... 546 relación inversa.............. 498 Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un(a)? tiene base e.. Un(a)? es una línea a la que una función representada gráficamente se acerca sin tocarla. 3. Para representar gráficamente un(a)?, refleja cada punto de la relación sobre la línea y = x. 7-1 Funciones, crecimiento y decremento exponenciales (págs. 490 496) Una cantidad de una vitamina determinada se elimina del flujo sanguíneo a un 15% por hora aproximadamente. La función que representa esta situación mostrará un crecimiento o un decremento? Mostrará un decremento porque la cantidad disminuye. Escribe una función para mostrar la cantidad de vitamina que queda t horas después de que se alcanza el nivel pico de 400 mg. f (x) = 400 (0.85) t Representa gráficamente la función. Usa la gráfica para predecir la cantidad que quedará después de 7 horas. Después de 7 horas, quedarán alrededor de 130 mg. Indica si la función muestra crecimiento o decremento. Luego representa gráficamente. 4. f (x) = 0.5 (1.5) x 5. f (x) = 0.5 ( 3 _ ) x 6. f (x) =.5 (0.5) x 7. f (x) = (1 + 0.5) x Usa los siguientes datos para responder a las preguntas. La población de estudiantes en un pequeño pueblo vacacional ha aumentado un % anual durante los últimos 5 años. La población de este año es 765 estudiantes. 8. La función que represente esta situación mostrará un crecimiento o un decremento? 9. Supongamos que la población de estudiantes continúa con la misma tendencia. Escribe una función que muestre la cantidad de estudiantes en función del año, a partir del presente año. 10. Representa gráficamente la función. 11. Usa la gráfica para predecir la cantidad de estudiantes que habrá en 5 años. 1. Cuándo excederá la población los 1000 estudiantes? Capítulo 7 Funciones exponenciales y logarítmicas 5
7- Relaciones y funciones inversas (págs. 498 504) Representa gráficamente la función f (x) = 4_ 5-3x. Luego escribe su función inversa y represéntala gráficamente. f (x) = -3x + _ 4 5 y = -3x + _ 4 5 x = -3y + _ 4 5 3y = -x + _ 4 Escribe como f (x) = ax + b. Representa gráficamente (consulta f debajo). Intercambia x e y. Halla y. 5 por lo tanto y = - _ 1 3 x + _ 4 15 Escribe la función inversa y represéntala gráficamente. f - 1 (x) = - 1 _ 3 x + 4 _ 15 13. Representa gráficamente la relación y conecta los puntos. Luego representa gráficamente y escribe la relación inversa. x -1 0 1 3 y 1 0. 0.04 0.008 0.001 Este año, la población de una especie disminuyó un 3% con relación al año anterior. 14. Escribe una expresión para el tamaño de la población de este año P T en función de la población del año anterior P L. 15. Escribe una expresión para el año en función del tamaño de la población. 16. La fórmula M = 5 K da la distancia aproximada en 8 millas en función de los kilómetros. Escribe y usa la función inversa de para expresar 5 millas en kilómetros. 7-3 Funciones logarítmicas (págs. 505 511) Escribe la ecuación exponencial 9 1.5 = 7 en forma logarítmica. 9 1.5 = 7 log 9 7 = 1.5 Evalúa log 4 64. Dado que 4 3 = 64, log 4 64 = 3. Un logaritmo es un exponente. Representa gráficamente f (x) = 0. 6 x. Luego representa gráficamente su función inversa. Describe el dominio y el rango de la función inversa. Para representar x - -1 0 1 gráficamente la función inversa, f (x).8 1.7 1 0.6 0.4 invierte cada par ordenado. El dominio de la función inversa x x > 0 y el rango es. Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica. 17. 3 5 = 43 18. 1 = 9 0 19. ( _ 1 = 7 3) -3 Escribe cada ecuación logarítmica en forma exponencial. 0. log 16 = 4 1. log 10 = 1. = log 0.6 0.36 Evalúa usando el cálculo mental. 3. log 7 49 4. log 0.5 0.5 5. log 1 ( _ 1) 1 6. log 0.01 7. log 1 8. Haz una tabla de pares ordenados para f (x) = ( 1 ) x. Representa gráficamente la función y su inversa. Describe el dominio y el rango de la función inversa. 6 Guía de estudio: Repaso
7-4 Propiedades de los logaritmos (págs. 51 519) Expresa como un solo logaritmo y simplifica. log 5 + log 40 = log (5 40) = log 1000 = 3 log 5 15 - log 5 5 = log 5 ( _ 15 5 ) = log 5 5 = 1 lo g 3 8 = log 3 8 = = 4 Evalúa log 5 16. log 16 = _ Usa la fórmula de cambio de base. log 5 Expresa como un solo logaritmo y simplifica. 9. l og 8 + log 16 30. log 100 + log 10,000 31. log 18 - log 3. log 10 - log 0.1 33. log 5 5 34. log 10 5 + log 10 4 35. El volumen aparente de la música en el café de Sam hoy fue 10 decibeles más alto que el volumen de ayer. El volumen aparente V está dado por V = 10 log I I, 0 donde I es la intensidad del sonido en V/ m e I 0 es la intensidad más baja que puede detectar el oído. Cuántas veces más intenso que ayer fue el sonido hoy? Resuelve. _ 1. 0.7 1.7 Usa la calculadora para evaluar. 7-5 Ecuaciones y desigualdades exponenciales y logarítmicas (págs. 5 58) 5 x = 50 log 9 x = 5 log 5 x = log 50 l og 9 x = 5 x log 5 = log 50 l og 9 x = _ 5 5 x = _ log 50 x = 9 log 5.43 x = (3 ) 5 = 3 5 = 43 Resuelve y comprueba. 36. 3 x-1 = _ 1 37. 9 ( _ 1 ) x 64 5_ 38. log x >.5 39. A = P (1 + r) n da la cantidad A en una cuenta luego de n años con una inversión inicial P que gana intereses a la tasa anual r. Cuánto tiempo hará falta para que $50 aumenten hasta $500 a un interés anual del 4%? 7-6 La base natural, e (págs. 531 536) Simplifica e ln (s + 1). e ln (s + 1) = s + 1 e a la ln de un número es simplemente ese número. Cuál es el valor total de una inversión de $5000 que ganó un 6% de interés compuesto de forma continua durante 5 años? A = 5000 e 0.06 (5) Sustituye en A = Pe rt. A 6749.9 Usa una calculadora. El valor es $6749.9. 40. La población de grullas blancas era alrededor de en 1940 y aumentó a una tasa exponencial hasta llegar a 194 en 003. a. Usa la función de crecimiento exponencial P (t) = P 0 e kt, donde P 0 es la población inicial y P (t) es la población en un punto en el tiempo t, para determinar el factor de crecimiento k. b. Si la bandada continúa creciendo a la misma tasa, qué tan grande será en 00? Capítulo 7 Funciones exponenciales y logarítmicas 7
7-7 Cómo transformar funciones exponenciales y logarítmicas (págs. 537 544) Escribe cada función transformada. f (x) = ( 1 3) x se desplaza 1 unidad hacia la izquierda, se ajusta verticalmente por un factor de y se refleja sobre el eje y. f (x) = ( 1 _ 3) x f (x) = ( _ 1 x+1 3) f (x) = ( _ 1 x+1 3) f (x) = ( _ 1 -(x+1) 3) Comienza con la función madre. Para desplazar 1 unidad hacia la izquierda, reemplaza x con x + 1. Ajusta verticalmente por. Refleja sobre el eje y. f (x) = log x se desplaza unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo y se comprime verticalmente por un factor de 0.3. f (x) = log ( x _ 0.3 - ) -1 Escribe la función transformada. 41. f (x) = e x se refleja sobre el eje x, se ajusta verticalmente por un factor de 3 y se desplaza unidades hacia abajo. Representa gráficamente cada función. Halla la intersección y la asíntota. Describe cómo la gráfica se transforma a partir de la gráfica de la función madre. 4. k (x) = _ 3 5 (1.5) 6x 43. m (x) = log ( x + _ 1 ) Si se entrega como parte del pago, la camioneta de Mark vale $5300. Un vendedor le dice que ese valor disminuye aproximadamente un 35% por año. 44. Escribe una ecuación en función del tiempo para el valor de la camioneta si se entrega como parte del pago. 45. Describe cómo la gráfica de esta función se transforma a partir de la gráfica de la función madre. 7-8 Cómo ajustar una curva con modelos exponenciales y logarítmicos (págs. 545 551) Usa la regresión logarítmica para hallar una función que represente el aumento en la cantidad de árboles de pimiento en un parque natural durante un periodo de seis años. Predice el año en el que la cantidad de árboles llegará a 70. Año 1 3 4 5 6 Árboles 14 30 40 46 53 55 En la tabla se da el tamaño de la población de una bandada de aves en un hábitat durante los últimos 55 años. Años transcurridos desde la primera recolección de datos Tamaño de la población 5 18 40 85 57 185 y 14 + 3.4 ln x 70-14 ln x _.39 3.4 e.39 10.9 Escribe el modelo. Sustituye por 70. Habrá 70 árboles en alrededor de 11 años. 46. Usa la regresión exponencial, ExpReg, para hallar una función exponencial que represente los datos. 47. Usa la regresión logarítmica, LnReg, para hallar una función logarítmica que represente los datos. 48. Compara los valores de r de las dos funciones. Indica qué función representa mejor los datos y por qué. 8 Guía de estudio: Repaso
Vocabulario constante de variación........ 569 desigualdad racional......... 603 desigualdad radical........... 630 ecuación racional............. 600 ecuación radical.............. 68 exponente racional........... 611 expresión racional............ 577 fracción compleja............. 586 función continua............. 593 función de raíz cuadrada...... 619 función discontinua.......... 593 función racional.............. 59 función radical............... 619 hoyo (en una gráfica)......... 596 índice........................ 610 solución extraña.............. 600 variación combinada......... 57 variación conjunta............ 570 variación directa.............. 569 variación inversa............. 570 Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un(a)? es una función cuya regla es una razón de dos polinomios.. Un(a)? es una relación que puede ser escrita con forma y = kx, donde k es el/la?. 8-1 Funciones de variación (págs. 569 576) El costo en dólares de las manzanas m varía directamente con la cantidad de libras l, y m = 3.1 cuando l =.4. Halla l cuando m = 1.04. _ m 1 l = _ m Usa una proporción. 1 l _ 3.1 Sustituye..4 = _ 1.04 l 3.1l =.4 (1.04) Halla los productos cruzados. l = 0.8 Halla l. Las manzanas que cuestan $1.04 pesan 0.8 lb. La base b de un paralelogramo de área fija varía inversamente con la altura h y b = 1 cm cuando h = 8 cm. Halla b cuando h = 3 cm. b = _ k h 1 = _ k 8 k = 96 b varía inversamente con h. Sustituye. Halla k. b = _ 96 Sustituye k por 96. h Sustituye h por 3. b = _ 96 3 b = 3 Halla b. Cuando la altura es 3 cm, la base es 3 cm. Dato: y varía directamente con x. Escribe y representa gráficamente cada función de variación directa. 3. y = cuando x = 6 4. y = 4 cuando x = 1 5. La cantidad de mosaicos n que se necesita para cubrir un piso varía directamente con el área a del piso, y n = 180 cuando a = 0 pies. Halla n cuando a = 34 pies. 6. El interés simple I ahorrado a lo largo de un periodo de tiempo determinado varía conjuntamente con el capital C, y la tasa t, e I = $64 cuando C = $1100 y t = 0.1. Halla C cuando I = $360 y t = 0.09. Dato: y varía inversamente con x. Escribe y representa gráficamente cada función de variación inversa. 7. y = 3 cuando x = 8. y = 4 cuando x = 1 9. Para un voltaje fijo, la corriente I que fluye por un cable varía inversamente con la resistencia R del cable. Si la corriente es 8 amperios cuando la resistencia es 15 ohmios, cuál será la resistencia cuando la corriente sea 5 amperios? 10. Determina si el conjunto de datos representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos. x 5 10 y 5 10 5 Capítulo 8 Funciones racionales y radicales 9
8- Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales (págs. 577 58) 4 - x Simplifica. Identifica cualquiera de los x - x - 0 valores de x para los que la expresión es indefinida. -1(x + 4) (x - 5) (x + 4) = _-1 x - 5 Indefinida en x = 5 y x = -4 Factoriza. Luego cancela los factores comunes. Divide. Debes suponer que todas las expresiones son definidas. _ x - 9 x + x + 3 x + 7x + 10 _ x - 9 x + x + 7x + 10 x + 3 (x - 3) (x + 3) (x + ) (x + 5) x + x + 3 Vuelve a escribirlo como una multiplicación. = (x - 3) (x + 5) Simplifica. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida. 14 4 x 11. _ 1. _ 6 x 3 13. x + x - 1 16 9x 3x + 1 x + 5x + 4 Multiplica. Debes suponer que todas las expresiones son definidas. x + 5 14. _ 3x + 1 _ 9x + 3 15. x_ x - 5 x - 4 _-x + x + x - 6 16. x + x - 3 x - x - _ x - x + 3 17. _ 9 x - 1 x - 9 _ x + 3 3x + 1 Divide. Debes suponer que todas las expresiones son definidas. x 3 y 18. _ 4 4x y x_ 19. x + x - 15 8 y x - 0. _ 3x - 1 3x _ x - 49 x + 7x _ x - 9 x - 4 1. x + 4x + 3 x + x - 8 _ 3x + 3 x - 8-3 Cómo sumar y restar expresiones racionales (págs. 583 590) Suma. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida. 6x - 3 x - x - 1 + x_ x + 3 6x - 3 (x -4)(x + 3) + x_ x + 3 ( _ x - 4 x - 4 ) 6x - 3 + x (x - 4) (x - 4) (x + 3) x + x - 3 (x - 4) (x + 3) (x + 3) (x - 1) (x - 4) (x + 3) = _ x - 1 x - 4 Indefinida en x = 4 y x = -3 Suma los numeradores. Simplifica el numerador. Factoriza el numerador. Simplifica. Debes suponer que todas las expresiones son definidas. x + _ 6x x x - 4 x + (6x)(x - 4) 6x = x (6x)(x - 4) x - 4 (x + ) (x - 4) = (x + ) (x - 4) x (6x) 6 x El mcd es (6x) (x - 4). Suma. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida.. 4_ x + 4 + _ x + 8 3. 1_ x + 4 x + 3 + 1_ x - 3 4. x_ x - 4 + 1_ x - 5. _ x - 3 3x + 7 + 6_ 4x - 1 Halla el mínimo común múltiplo de cada par. 6. x - 9 y x - 6x + 9 7. x + x - 35 y x + 9x + 14 Resta. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida. x 8. _ x + 4-3_ 9. x_ x + 4 x + 5-5_ x - 5 30. 1_ x - x - 6 - x_ 31. _ x x + x + 1-7_ 3x - 1 Simplifica. Debes suponer que todas las expresiones son definidas. x - 6 x + 3 x 3. 5_ 33. _ 3x 4 34. - 1 x x + x - 9 x + 8 6x - 9 x - 35. Un avión vuela de Dallas a Chicago a una velocidad promedio de 50 mi/h y regresa a una velocidad promedio de 580 mi/h. Cuál es la velocidad promedio del viaje de ida y vuelta del avión? 30 Guía de estudio: Repaso
8-4 Funciones racionales (págs. 59 599) Con la gráfica de 1 f (x) = x como guía, describe la transformación y representa 1 gráficamente g (x) = x - 3. Dado que k = -3, traslada f 3 unidades hacia abajo. Identifica los ceros y las asíntotas de f (x) = x - 4 x + 3. Luego, represéntala gráficamente. Cero: Asíntota vertical: x = -3 Asíntota horizontal: y = 1 Con la gráfica de f (x) = x como guía, describe la transformación y representa gráficamente cada función. 36. g (x) = 1_ x - 4 37. g (x) = 1_ x - + 3 Identifica las asíntotas, el dominio y el rango de cada función. 38. f (x) = _ x - 1-3 39. f (x) = 3_ x + + 1 Identifica los ceros y las asíntotas de cada función. Luego represéntala gráficamente. 40. f (x) = _ x - 3x x + 4 4. f (x) = _ x - 4 x + 3 41. f (x) = x - 3 x + 6x + 5 43. f (x) = _ x - 9 x - 44. Identifica hoyos en la gráfica de f (x) = x - 3x - 18. x + 3 Luego represéntalos gráficamente. 8-5 Cómo resolver ecuaciones y desigualdades racionales (págs. 600 607) 30 Resuelve la ecuación x + 1 + x = 10. _ 30 (x + 1) + x (x + 1) = 10 (x + 1) x + 1 30 + x + x = 10x + 10 Simplifica. x -1 x - 9x + 0 = 0 Escríbelo en forma estándar. (x - 4) (x - 5) = 0 Factoriza. x = 4 ó x = 5 Halla x. Resuelve cada ecuación. 45. x - _ 6 x = 1 46. _ 4x x - 5 = _ 3x + 5 x - 5 3x 47. _ x + = _ x + 48. x_ x + x + 4 + _ x = _ x x + 8 Resuelve cada desigualdad. 49. _ x + 4 > - 50. x _ x - 3 < 4 8-6 Expresiones radicales y exponentes racionales (págs. 610 617) Simplifica cada expresión. Debes suponer que todas las variables son positivas. 3-8 x 9 = 3 (- 3 ) 3 x 3 3 x 3 3 x 3 = - x 3 4 8 x 6 4 x = 4 16 x 8 = 4 4 4 x 4 4 x 4 = x Escribe la expresión ( 16 ) 3 usando exponentes racionales. 3_ 16 ( n a ) m = a m_ n Simplifica cada expresión. Debes suponer que todas las variables son positivas. 51. 3 7 x 6 5. 4 81 x 1 53. 3 _ 8 x 3 3 Escribe cada expresión usando exponentes racionales. 54. ( 3-7) 55. 4 16 3 56. ( 9 ) 3 Simplifica cada expresión. 1 1_ 3 3 57. 17 17 58. (9 4 ) 59. ( _ 16) 1 1_ 4 Capítulo 8 Funciones racionales y radicales 31
8-7 Funciones radicales (págs. 619 67) Representa gráficamente f (x) = x + 8 e identifica su dominio y rango. Haz una tabla de valores. Luego, represéntalos gráficamente. x -8 0 y -7 0.5-4 1 1 1.5 8 D: x x -8 ; R: y y 0 Representa gráficamente cada función e identifica su dominio y rango. 60. f (x) = x + 5 61. f (x) = -4 3 x Con la gráfica de f (x) = x como guía, describe la transformación y representa gráficamente cada función. 6. g (x) = - x + 1 63. h (x) = 4x 64. j (x) = -(x - 8) 65. k (x) = -_ 1 x + 1 66. Usa la descripción para escribir la función de raíz cuadrada g. La función madre f (x) = x se ajusta verticalmente por un factor de 3 y se traslada 4 unidades hacia la izquierda. Representa gráficamente cada desigualdad. 67. y < x 68. y < 3 x + 4 8-8 Cómo resolver ecuaciones y desigualdades radicales (págs. 68 635) Resuelve cada ecuación. 4 3 x - 4 = 1 3 x - 4 = 3 Divide entre 4. ( 3 x - 4 ) 3 = 3 3 x - 4 = 7 x = 31 x + 15 = x - 5 ( x + 15 ) = (x - 5) x + 15 = x - 10x + 5 x - 11x + 10 = 0 Eleva ambos lados al cubo. Simplifica. Halla x. Eleva ambos lados al cuadrado. (x - 10) (x - 1) = 0 Factoriza. x = 10 ó x = 1 Halla x. Usa la sustitución para comprobar si hay soluciones extrañas. x + 15 = x - 5 10 + 15 10-5 Escríbelo en forma estándar. x + 15 = x - 5 1 + 15 1-5 5 5 4-4 La solución x = 1 es extraña. La única solución es x = 10. Resuelve cada ecuación. 69. x + 6-7 = - 70. 71. 10x = 3 x + 1 73. 6x - 1 = x - 1_ 75. (4x + 7) 1_ 77. x = (x + 35) 3 _ x - = 1 6 7. 5 x = 5 64 74. x + 1 = x - 5 = 3 76. (x - 4) 4 = 3 78. (x + 3) 3 = -6 Resuelve cada desigualdad. 79. x - 4 3 80. x + 7-6 > -1 81. 3x - 4 < 8. 3 x - 1 > - 83. El tiempo T en segundos que tarda un péndulo en completar una oscilación de un lado a otro puede determinarse con la fórmula T = π L 9.8, donde L es la longitud del péndulo en metros. Estima la longitud de un péndulo que completa una oscilación de un lado al otro en.5 s. 84. Un tetraedro es una pirámide triangular con cuatro caras congruentes. La longitud de lado l de un tetraedro en metros está dada por la fórmula 1 3 l = (6V ), donde V es el volumen del tetraedro en metros cúbicos. Cuál es el volumen de un tetraedro con una longitud de lado de 8 m? Redondea a la décima más cercana. 1_ 1_ 3 Guía de estudio: Repaso
Vocabulario composición de funciones..... 683 función a trozos.............. 66 función escalón............... 663 función uno a uno............ 691 Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario. 1. En un(a)?, cada valor de y se corresponde exactamente con un valor de x.. Un(a)? es una función a trozos que es constante para cada intervalo de su dominio. 3. La operación de función que usa el valor de salida de una función como valor de entrada de una segunda función es la?. 9-1 Representaciones múltiples de funciones (págs. 654 661) Las autoridades de una ciudad están interesadas en saber cuánto les costará retirar la nieve durante el invierno. En la tabla se muestra el costo para retirar diversas cantidades de nieve. Usa una gráfica y una ecuación para hallar lo que costará quitar 4 pulgadas de nieve. Nevada (pulg) Costo ($) 3 6,950 6 8,900 9 10,850 1 1,800 En un diagrama de dispersión se muestra que los datos son lineales. 4. Dibuja una gráfica de velocidad contra tiempo que represente la siguiente situación. Avery manejó 5 millas hasta la casa de su madre y se quedó de visita durante 0 minutos. Luego manejó por la carretera durante 15 minutos hasta llegar a su casa. 5. El encargado de un servicio de buffet planifica una gran cena benéfica. Su plan es ofrecer en el buffet 4 bandejas con 30 aperitivos cada una. Además, preparará 4 aperitivos adicionales por invitado. Crea una tabla, una gráfica y una ecuación que representen la cantidad de aperitivos en relación a la cantidad de invitados. 6. En el diagrama de dispersión se muestra cuánto tiempo se tarda en llenar diversos recipientes cilíndricos de diferentes radios. Halla la pendiente de la línea usando dos puntos. 8900-6950 m = = _ 1950 = 650 6-3 3 Escribe una ecuación usando uno de los puntos. y - 6950 = 650 (x - 3) y = 650x + 5000 El costo de retirar 4 pulgadas de nieve es y = 5000 + 650 (4) = $0,600. a. Crea una tabla y una ecuación con los datos. b. Usa tu ecuación para predecir el tiempo que se tardará en llenar un recipiente cilíndrico de 7 pulgadas de radio. Capítulo 9 Propiedades y atributos de las funciones 33
9- Funciones a trozos (págs. 66 669) Evalúa f (x) = 5x + x - 6 y x = 5. si x 1 para x = - si x > 1 f (-) = 5 (-) + = -8 Usa la regla para x 1. f ( 5 ) = 5-6 = 19 Usa la regla para x > 1. Representa gráficamente g (x) = x + 4-3x + si x < - si x -. El dominio de la función se divide en x = -. Usa una tabla de valores para representar gráficamente ambos trozos. 7. Evalúa f (x) = 5x + 9 9-7x y x = 8. Representa gráficamente cada función. 8. f (x) = x - 4 si x < 0 5 si x 0 si x 4 para x = -6 si x < 4 3_ 9. g (x) = x - 1 si x x + si x > 10. Escribe una función a trozos para esta gráfica. x g (x) = x + 4 g (x) = -3x + -4-4 -3 - - 0 8-1 5 0 Usa un círculo vacío en (-, 0) y un círculo lleno en (-, 8). 11. Un servicio de entregas en bicicleta cobra $6 por entregar un paquete que pesa 8 onzas o menos. Por cada onza adicional, el servicio cobra $1.50. Escribe una función a trozos para las cantidades que esta compañía cobra por entregar paquetes que pesan 3 libras o menos. 9-3 Cómo transformar funciones (págs. 67 679) Dado que f (x) = x - si x 3, escribe la -4x + 16 si x > 3 regla para g (x), una traslación horizontal de f (x) 5 unidades hacia la izquierda. Cada trozo de f (x) debe desplazarse 5 unidades hacia la izquierda. Reemplaza cada x con (x + 5) y simplifica. g (x) = f (x + 5) = (x + 5) - si (x + 5) 3-4 (x + 5) + 16 si (x + 5) > 3 = x + 8-4x - 4 si x - si x > - 1. Dado que f (x) = x - si x 3, escribe la -4x + 16 si x > 3 regla para h (x), una traslación vertical de f (x) unidades hacia arriba. 13. Dado que f (x) = 3x + si x 0, escribe la regla x si x > 0 para g (x), una traslación horizontal de f (x) 7 unidades hacia la derecha. 14. Dado que f (x) = x + 1 y g (x) = f ( 1 _ x ) + 1, representa gráficamente g (x). 34 Guía de estudio: Repaso
9-4 Operaciones con funciones (págs. 68 688) Dado que f (x) = x + 3 y g (x) = x - 9, halla cada función. ( g _ f ) (x) _ ( g g (x) (x) = f ) f (x) = x - 9 x + 3 (x + 3) (x - 3) = = x - 3, x -3 x + 3 _ 18 Dado que f (x) = x + 6 y g (x) = x + 4, halla g ( f (x) ). Indica su dominio. g (f (x)) = g (x + 6) Sustituye con la regla para f en g. = 18 Usa la regla para g. (x + 6) + 4 18 = _ x + 10 El dominio de g (f (x)) es x x -10 porque la función es indefinida en x = -10. Dado que f (x) = x - 5x - 14 y g (x) = x - 7, halla cada función. 15. ( f + g) (x) 16. ( f - g) (x) 17. (g - f )(x) 18. ( fg) (x) 19. ( f _ g) (x) 0. ( g _ Sea f (x) = x - y g (x) = 8_ x + 1. f ) (x) 1. Halla f (g(-)) y g ( f (-)).. Halla f (g(1)) y g ( f (1)). 3. Halla g ( f (x)) e indica su dominio. 4. Halla f (g(x)) e indica su dominio. 5. Debido al elevado costo del combustible, una aerolínea comienza a aplicar un recargo de $30 en el precio de cada pasaje de avión. Además, la aerolínea debe sumar a ese precio un 9% en concepto de impuestos sobre las ventas y del aeropuerto. Escribe una función compuesta para hallar cuánto pagaría una persona por un pasaje de esta aerolínea que vale x dólares antes del recargo y los impuestos. 9-5 Las funciones y sus inversos (págs. 690 696) Halla el inverso de f (x) = -3 (x - 6). Determina si es una función e indica su dominio y su rango. y = -3 (x - 6) x = -3 ( y - 6) - x _ 3 = (y - 6) ± - x_ 3 = y - 6 y = ± - x_ 3 + 6 f -1 (x) = ± - x_ 3 + 6 Vuelve a escribir la función usando y. Cambia x por y en la ecuación. Divide ambos lados entre -3. Halla la raíz cuadrada de ambos lados. Simplifica. Vuelve a escribirla como f -1 (x). Como hay un valor positivo de y y un valor negativo de y para cualquier x > 0, el inverso no es una función. Como el radicando debe ser mayor que o igual a 0, el dominio es {x x 0}. El rango es. 6. Usa la prueba de la línea horizontal para determinar si el inverso de la relación representada gráficamente es una función. Halla el inverso de cada función. Determina si es una función e indica su dominio y su rango. 7. f (x) = 5-8x 8. f (x) = _ ( 1 3 x + ) 9. f (x) = 5_ x + 8 30. f (x) = 3 + x - 5 Capítulo 9 Propiedades y atributos de las funciones 35
Determina 1_ por su composición si f (x) = x - 4 y g (x) = 1 + 3x son inversos. 3 Halla ambas composiciones. f (g (x)) = _ 1 (1 + 3x) - 4 = 4 + x - 4 = x 3 g ( f (x)) = 1 + 3 ( _ 1 3 x - 4 ) = 1 + x - 1 = x Como f (g (x) ) = g ( f (x) ) = x f y g son inversos. Determina por su composición si las funciones de cada par son inversas. 31. f (x) = 3x - 5 y g (x) = _ x - 3 5 3. f (x) = 3 x - 5 y g (x) = x 3 + 5 33. La fórmula del área total de una esfera de radio r es A (r) = 4π r. Halla e interpreta el inverso de A (r). 9-6 Cómo hacer un modelo de datos del mundo real (págs. 698 705) En la tabla se muestran los precios de las entradas de los partidos de una liga menor de béisbol en relación con la cantidad de años desde que el equipo empezó a jugar. Precios de entradas de béisbol Año Precio ($) 1 9.50 10.5 3 11.10 4 1.00 5 1.9 Paso 1 Comprueba las primeras diferencias de los precios. 0.75 0.85 0.90 0.9 Como las primeras diferencias no son constantes, un modelo lineal no funcionará. Paso Comprueba las segundas diferencias. 0.10 0.05 0.0 Como las segundas diferencias no son constantes, un modelo de una función cuadrática no funcionará. Paso 3 Comprueba las razones. 10.5 1.08, 11.10 9.5 10.5 1.08, 1 1.08, 1.9 1.08 11.10 1 Las razones se acercan a 1.08. Un modelo exponencial funcionará. Paso 4 Realiza una regresión exponencial. Un modelo adecuado es f (x) = 8.79 (1.08) x. 34. En la tabla se muestra el consumo de agua de la ciudad de Culver en relación con la temperatura máxima diaria. Consumo de agua en Culver Temperatura máxima diaria ( F) Consumo de agua (millones de gal) 55 71.3 60 78.7 65 86.9 70 96 75 106 80 117 a. Halla un modelo apropiado para estos datos. Usa la temperatura t como variable independiente. b. Usa tu modelo para predecir la cantidad de galones que se consumirán en Culver cuando la temperatura máxima sea 85 F. c. Usa tu modelo para predecir la temperatura máxima cuando el consumo de agua sea 50 millones de galones. 36 Guía de estudio: Repaso