TEMA 2: Cálculo Integrl en un vrible Cálculo pr los Grdos en Ingenierí EPIG - UNIOVI
De niciones I Función primitiv Decimos que l función F (x) es un función primitiv de f (x) si F 0 (x) = f (x) pr todo punto x del dominio de f. I Función integrl inde nid Dd l función f, se llm función integrl inde nid de f l conjunto de tods sus funciones primitivs. Se suele escribir f (x)dx = F (x) + C con C constnte rbitrri, y F un primitiv culquier de f.
Integrles inmedits x p dx = xp+1 1 p + 1 + C, p 6= 1 dx = ln j x j +C x e x dx = e x + C p x dx = px + C, p > 0, p 6= 1 ln p sen xdx = cos x + C cos xdx = sen x + C tg xdx = ln jcos xj + C sec 2 xdx = tg x + C dx 1 + x 2 = rctg x + C cotg xdx = ln jsen xj + C cosec 2 xdx = cotg x + C dx 2 + x 2 = 1 rctg x + C
Integrles inmedits dx 1 x 2 = 1 2 ln 1 + x 1 x + C dx p = 1 x 2 rcsen x + C dx p x 2 1 = x ln p + x 2 1 + C dx p x 2 2 = ln x + p x 2 2 + C dx 2 dx p 2 x 2 = 1 2 ln + x x + C x 2 = rcsen x + C sh xdx = ch x + C ch xdx = sh x + C
Propieddes I Linelidd de l integrl Dds dos funciones f y g que dmiten primitiv y un constnte k 2 R se veri c i) (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx ii) kf (x)dx = k f (x)dx I Propiedd Dd un función f (x) que dmite primitiv y dos constntes, b 2 R se veri c Si f (x)dx = F (x) + C ) f (x)dx = 1 F (x) + C Si f (x)dx = F (x) + C ) f (x + b)dx = F (x + b) + C
Técnics generles de integrción I Cmbio de vrible I Integrción por prtes I Fórmuls de reducción I Integrles de funciones rcionles I Integrción de funciones reducibles rcionles I Integrción de funciones trigonométrics I Integrción de lguns funciones irrcionles cudrátics
Cmbio de vrible Se ϕ(t) un función con derivd ϕ 0 (t) continu y que dmite invers, y se f (x) un función continu. Entonces, hciendo x = ϕ(t), se tiene f [ϕ(t)] ϕ 0 (t)dt = f (x)dx Un vez resuelt l integrl en l nuev vrible (l cul se supone más sencill) debe deshcerse el cmbio relizdo.
Integrción por prtes Dds dos funciones derivbles u y v se veri c udv = uv vdu Como regl generl l integrción por prtes es recomendd pr integrles de l form y tmbién de l form polinomio función logrítmic polinomio función trigonométric invers dv u polinomio función exponencil polinomio función trigonométric u dv
Fórmuls de reducción Se I n un integrl inde nid que depende de un número nturl n. Se denomin fórmul de reducción un relción recurrente del tipo f (I n, I n+1,..., I n+p, n, x) = 0 En l myorí de los csos prácticos l relción recurrente es del tipo I n = f (I n 1, x, n) con lo que nos bst conocer un integrl pr obtener ls siguientes. I Pr obtener l fórmul de recurrenci se suele utilizr integrción por prtes.
Integrles de funciones rcionles Función rcionl expresd como cociente (frcción simpli cd y propi) de dos polinomios Q(x) f (x) I Método: Descomposición en frcciones simples según ls ríces del denomindor A cd: f (x) = 0 1) Ríz rel simple le corresponde un frcción: A (x )
Integrles de funciones rcionles A cd: 2) Ríz rel múltiple de orden n le corresponden n frcciones: A n (x ) n + A n 1 (x ) n 1 +... + A 1 (x ) 3) Pr de ríces complejs conjugds simples le corresponde un frcción: Ax + B x 2 + px + q 4) Pr de ríces complejs conjugds múltiples de orden n le corresponden n frcciones: A n x + B n (x 2 + px + q) n + A n 1x + B n 1 (x 2 + px + q) n 1 +... + A 1x + B 1 x 2 + px + q
Integrles de funciones rcionles Primitivs de ls frcciones simples Tipo 3) Tipo 2) Tipo 1) A dx = A ln jx j + C x A A(x ) n+1 (x ) n dx = + C, n 6= 1 n + 1 Ax + B x 2 + px + q dx = A 2 2x + p x 2 + px + q dx + Ap B 2 x 2 + px + q dx A 2 2x + p x 2 + px + q dx = A 2 ln jx2 + px + qj + C Ap B 2 x 2 + px + q dx = Ap B 2 (x r) 2 + s 2 dx = B Ap 2 s x rctg s r + C
Integrción de funciones reducibles rcionles Integrles del tipo R(f (x))dx con R un función rcionl y f un función cuy invers tiene derivd rcionl. I Pr este tipo de funciones, el cmbio de vrible trnsform l integrl en rcionl. f (x) = t
Integrción de funciones trigonométrics Integrles del tipo R(sen x, cos x)dx con R función rcionl. I Cmbio universl Se pueden reducir siempre un integrl rcionl con el cmbio de vrible sen x = tg( x 2 ) = t 2t 1 t2 2dt ; cos x = ; dx = 1 + t2 1 + t2 1 + t 2
Integrción de funciones trigonométrics I Cmbios Alterntivos Si R es un función i) impr en sen x R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x) ii) impr en cos x R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x) iii) pr en sen x y cos x R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x) Cmbio: cos x = t sen x = t tg x = t
Integrción de funciones trigonométric I Métodos Alterntivos iv) Ls integrles sen x cos bxdx; sen x sen bxdx; cos x cos bxdx se trnformn en integrles inmedits medinte ls fórmuls 2 sen A sen B = cos(a B) cos(a + B) 2 cos A cos B = cos(a B) + cos(a + B) 2 sen A cos B = sen(a B) + sen(a + b) v) Ls integrles del tipo sen n xdx; cos n xdx siendo n un exponente positivo y pr, se simpli cn medinte ls fórmuls sen 2 x = 1 cos 2x ; cos 2 x = 2 1 + cos 2x 2
Integrción de lguns funciones irrcionles cudrátics Ls integrles del tipo p R(x, 2 x 2 )dx y p R(x, x 2 2 )dx con R función rcionl se pueden reducir lguno de los tipos nlizdos nteriormente medinte los siguientes cmbios de vrible: R(x, p 2 x 2 ) se resuelve con el cmbio x = sen t ó x = cos t R(x, p 2 + x 2 ) se resuelve con el cmbio x = tg t ó x = sh t R(x, p x 2 2 ) se resuelve con el cmbio x = sec t ó x = ch t
De nición de l integrl de Riemnn Se y = f (x) un función cotd en un intervlo [, b]. I Prtición Se llm prtición del intervlo cerrdo [, b] todo conjunto nito P = fx 0, x 1, x 2,..., x n / = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = bg Supongmos que f (x) 0, 8x 2 [, b]. Efectumos un prtición P 1 en n intervlos prciles. Se m i el ín mo de f y M i el supremo de f en cd intervlo. Se denominn sum inferior y sum superior correspondiente l prtición P 1 : s 1 (P 1 ) = S 1 (P 1 ) = n i =1 m i (x i x i 1 ) = n M i (x i x i 1 ) = i =1 n i =1 m i x i n M i x i i =1
De nición de l integrl de Riemnn y y=fx () M(b ) Ares S 1 S 2 S3 S4 0 =x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7=b Sum inferior y sum superior. x m(b ) P 0 s s 3 s 4 s 2 1 Prticiones P 1 P 2 P 3 P 4 Sucesión de sums. Repetimos inde nidmente este proceso con prticiones P 3, P 4,... cd vez más ns.
De nición de l integrl de Riemnn I Función integrble en el sentido de Riemnn Cundo lim s m = s = lim S m = S m! m! se dice que l función y = f (x) es integrble (en el sentido Riemnn) en el intervlo [, b]. A dicho vlor común s = S se le denomin integrl de nid según Riemnn y se le represent por b f (x)dx
De nición de l integrl de Riemnn I Otr form de imponer l condición de integrbilidd. Consideremos un prtición P 1 en n intervlos prciles. Tomemos en cd subintervlo un punto intermedio c i 2 [x i 1, x i ] y formemos l denomind sum de Riemnn S n = n f (c i ) x i i =1 Repitiendo de nuevo este proceso con prticiones cd vez más ns, de form que n tiend hci, l integrbilidd de l función se bs en l existenci de límite de l sucesión de sums de Riemnn.
De nición de l integrl de Riemnn I Función integrble en el sentido de Riemnn L función y = f (x), cotd en el intervlo [, b], es integrble (en el sentido Riemnn) en dicho intervlo cundo, pr culquier sucesión de prticiones con n! y culesquier que sen los puntos c i elegidos, existe un mismo límite pr l sucesión de sums de Riemnn. Este límite es l integrl de nid. y y=fx () b n f (x)dx = lim f (c n! i ) x i i =1 M i fc ( ) i m i 0 =x 0 c i x i 1 x i x =b n x
Interpretción geométric de l integrl de nid Si y = f (x) es integrble en [, b] y f (x) 0, 8x 2 [, b], el vlor b A = f (x)dx represent el áre A encerrd por l curv y = f (x), el eje Ox y ls rects x =, x = b. y y=f() x Are x= x=b x
Funciones Integrbles I Tod función y = f (x) monóton en un intervlo cerrdo [, b] es integrble en el mismo. I Tod función continu en un intervlo cerrdo es integrble en el mismo.
Propieddes de l integrl de nid I Si f (x) y g(x) son integrbles en [, b], l función f (x) + g(x) es tmbién integrble en dicho intervlo, veri cándose b b b [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx I Si f (x) es integrble en [, b], l función K f (x) es integrble en dicho intervlo y se veri c b b Kf (x)dx = K f (x)dx
Propieddes de l integrl de nid I Si f (x) es integrble en [, b], jf (x)j tmbién lo es. I Si f (x) es integrble se veri cn ls siguientes expresiones b b f (x)dx = f (t)dt; f (x)dx = 0; b b f (x)dx = f (x)dx I Si f (x) es integrble, culesquier que sen, b y c, se veri c b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c
Propieddes de l integrl de nid I Si f (x) 0, 8x 2 [, b] entonces b f (x)dx 0 I Si f (x) g(x), 8x 2 [, b] entonces b b f (x)dx g(x)dx I Si f (x) es integrble en [, b], se veri c b f (x)dx b jf (x)j dx
Propieddes de l integrl de nid I Vlor medio Se f (x) un función cotd e integrble en el intervlo [, b]. Se llm vlor medio de dich función en ese intervlo [, b] l número rel ddo por f = 1 b I Primer teorem del vlor medio b f (x)dx Si l función f (x) es continu en un intervlo [, b] existe lgún punto c 2 [, b] tl que f (c) = 1 b b f (x)dx
Teorems Fundmentles del Cálculo I L integrl como función de su límite superior. y x F (x) = f (t)dt Fx () y=ft () x t
Teorems Fundmentles del Cálculo I Primer teorem fundmentl del cálculo Se f (t) un función cotd e integrble en el intervlo cerrdo [, b]. En ests condiciones, l función F (x) de nid por x F (x) = f (t)dt en donde x 2 [, b], es continu en [, b]. Asímismo, si f (t) es continu en el intervlo [, b], entonces F (x) es derivble en dicho intervlo, veri cándose que df (x) dx = f (x), 8x 2 [, b]
Teorems Fundmentles del Cálculo I Segundo teorem fundmentl del cálculo. Regl de Brrow Se f (x) un función integrble en el intervlo [, b] y supongmos que existe lgun función F (x) continu pr l que en dicho intervlo se veri que En ests condiciones F 0 (x) = f (x), 8x 2 [, b] b f (x)dx = F (b) F ()
Cálculo de integrles de nids I Integrción por prtes Dds dos funciones con derivd continu u(x) y v(x), 8x 2 [, b] se veri c b b udv = [uv]b vdu I Cmbio de vrible Se ϕ(t) un función con derivd ϕ 0 (t) continu 8t 2 [, b] y que dmite invers, y se f (x) un función continu 8x 2 [ϕ(), ϕ(b)]. Entonces, hciendo x = ϕ(t), se tiene ϕ(b) ϕ() b f (x)dx = f [ϕ(t)] ϕ0 (t)dt
Integrles Impropis I De nición Se dice que l integrl b f (x)dx es un integrl impropi, si el intervlo de integrción [, b] es in- nito, o bien cundo l función subintegrl f (x) no está cotd en lgún o lgunos puntos de dicho intervlo.
Integrles Impropis de Primer especie I De nición Dd un integrl impropi, diremos que es de primer especie si tiene in nito en su intervlo de integrción y l función subintegrl f (x) está cotd en dicho intervlo. Por consiguiente + f (x)dx; b f (x)dx; + f (x)dx son ls tres forms en que pueden presentrse ests integrles. y y y fx () fx () fx () 0 x 0 b x 0 x
Integrles Impropis de Primer especie I De nición + M I = f (x)dx = lim f (x)dx M!+ b b I = f (x)dx = lim f (x)dx N! N c I = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c c M = lim f (x)dx + lim f (x)dx N! N M!+ c 8 < Convergente, si existe el límite y éste es nito L integrl I es: Divergente, cundo el límite es in nito : Oscilnte, si no existe dicho límite
Primer especie. Criterio de Convergenci Se l integrl impropi de primer especie I = f (x)dx con f (x) cotd y no negtiv en [, ). Proposition I Criterio del Límite Si f (x) lim = x! 1 x λ K nito (puede ser 0) K 6= 0 (puede ser ) con λ > 1 =) I es convergente con λ 1 =) I es divergente
Integrles Impropis de Segund especie I De nición Se dice que un integrl impropi lo es de segund especie si l función subintegrl f (x) no está cotd en lgún o lgunos puntos de su intervlo de integrción. Csos: 1. f (x) no cotd en el extremo superior b del intervlo. b b ε f (x)dx = lim f (x)dx ε!0 + 2. f (x) no cotd en el extremo inferior del intervlo. b b f (x)dx = lim f (x)dx ε!0 + 3. f (x) no cotd en mbos extremos. b f (x)dx = lim lim ε 2!0 + ε 1!0 + +ε b +ε 1 ε2 f (x)dx
Integrles Impropis de Segund especie I De nición 4. f (x) no cotd en un punto intermedio c 2 (, b). b c b c = + ε1 b = lim f (x)dx + lim f (x)dx ε 1!0 + ε 2!0 + c+ε 2 c y y=fx () 0 x 8 < Convergente, si existe el límite y éste es nito L integrl I es: Divergente, cundo el límite es in nito : Oscilnte, si no existe dicho límite
Segund especie. Criterio de Convergenci Se l integrl impropi de segund especie b I = f (x)dx, con f (b) = o f () = I Criterio del Límite Se l culquier de los límites lim x!b f (x) (cundo f (b) = ) ; lim 1 (b x ) λ x! + f (x) 1 (x ) λ (cundo f () = ) Si l = K nito (puede ser 0) con λ < 1 =) I es convergente K 6= 0 (puede ser ) con λ 1 =) I es divergente
Integrles Prmétrics I De nición Ls integrles de l form b (f (x, λ 1, λ 2,...)dx donde λ 1, λ 2,... son prámetros que permnecen constntes durnte l integrción, pudiendo su vez los extremos y b depender o no de dichos prámetros, reciben el nombre de integrles prmétrics. Nuestro estudio se limitrá integrles dependientes de un prámetro λ, ls cules denotremos por b I (λ) = f (x, λ)dx
Integrles Prmétrics I Ejemplo. Trnsformd de Lplce Se f (t) un función de nid pr t > 0. Si converge l integrl impropi + e st f (t)dt 0 decimos que f (t) dmite trnsformd de Lplce y se denot por F (s) = L [f (t)] = + 0 e st f (t)dt
Integrles Prmétrics I Ejemplo. Función Γ de Euler Se denomin función Γ de Euler l integrl impropi Γ(p) = + 0 x p 1 e x dx, p > 0 y recibe tmbién el nombre de integrl de Euler de primer especie. Se demuestr que l integrl impropi es convergente pr todo p > 0. Propieddes de l Función Γ de Euler ) Γ(1/2) = p π π b) Γ(p)Γ(1 p) = sen πp, 0 < p < 1 c) Γ(p + 1) = pγ(p), p > 0
Integrles Prmétrics I Ejemplo. Función B de Euler Se denomin función B de Euler l integrl 1 B(p, q) = 0 xp 1 (1 x) q 1 dx, p, q > 0 y recibe tmbién el nombre de integrl de Euler de segund especie. Se demuestr que l integrl impropi es convergente pr todo p, q > 0. Propieddes de l Función B de Euler ) B(p, q) = B(q, p), 8p, q > 0 b) B(p, q) = 2 π/2 c) B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q), 8p, q > 0 0 sen 2p 1 x cos 2q 1 xdx, 8p, q > 0
Integrles Prmétrics. Propieddes I Continuidd Si l función f (x, λ) es continu en l bol cerrd n o B = (x, λ) 2 R 2 / x b, c λ d entonces l función I (λ) es continu 8λ 2 (c, d). I Derivbilidd Cso ) Cso en que los extremos y b no dependen del prámetro b di (λ) b I (λ) = f (x, λ)dx =) dλ = f λ 0 (x, λ)dx Cso b) Cso en que los extremos y b dependn del prámetro di (λ,, b) dλ = b(λ) (λ) fλ 0 db (x, λ)dx + f (b, λ) dλ f (, λ) d dλ
y en consecuenci CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE Aplicciones de l Derivción Prmétric L derivción bjo el signo integrl permite en muchs ocsiones clculr integrles que dependen de un prámetro. Se l integrl prmétric b I (λ) = f (x, λ)dx cuy resolución direct se consider complicd. Medinte derivción di (λ) = h(λ) dλ di (λ) = h(λ)dλ ) I (λ) = h(λ)d λ integrl ést que puede ser mucho más sencill que l dd y de cuy relción se tendrá I (λ) = h(λ)dλ = H(λ) + C Pr hllr C bst conocer l integrl dd por lgún vlor de λ. I (λ 0 ) = H(λ 0 ) + C =) C = I (λ 0 ) H(λ 0 )
Áres plns Si y = f (x) es integrble en [, b] () Si f (x) 0, 8x 2 [, b] : (b) Áre entre dos curvs y = f (x), y = g(x) : y (c) Si f (x) cmbi de signo en [, b] : y=fx () y y=f( x) y y=fx () A = R b A = R b f (x)dx jf (x) g(x)jdx A = R b jf (x)jdx Are y=g( x) x= x=b x b x x= + + x=b x () () b () c Not: Pr que el áre se positiv el intervlo de integrción debe tomrse siempre creciente.
Longitud de un rco de curv Si y = f (x) es un curv con f 0 (x) continu 8x 2 [, b], el vlor b L = q 1 + [f 0 (x)] 2 dx represent l longitud del rco de curv y = f (x) limitd por los puntos (, f () y (b, f (b). y y=fx () ( b,fb ( )) (,f ( )) x= x=b x Not: Pr que l longitud se positiv el intervlo de integrción debe tomrse siempre creciente.
Áres y Volúmenes de cuerpos de revolución Consideremos el cuerpo de revolución engendrdo por el trpecio curvilíneo limitdo por l curv y = f (x), el eje Ox y ls rects x =, x = b l girr lrededor del eje Ox. y y=fx () b Volumen = π [f (x)]2 dx b q Áre = 2π f (x) 1 + [f 0 (x)] 2 dx b x Not: Pr que el áre y el volumen sen positivos el intervlo de integrción debe tomrse siempre creciente.