Tercer examen parcial ESTA 3041 Prof. Héctor D. Torres Aponte 27 de abril de 2012 Instrucciones Este examen tiene un valor de 109 puntos. Todos los problemas son basados en el material cubierto en clase. En cada pregunta deberá desarrollar y escribir su contestación de forma clara y ordenada, de lo contrario no recibirá crédito. Por favor lea las instrucciones de cada problema con detenimiento. De tener alguna pregunta durante el examen, levante la mano para que el profesor lo atienda. Debido a que esto es un examen todas las políticas institucionales sobre honestidad académica están en vigor. De notar algún acto deshonesto recibirá la calificasión de F de forma automática. El uso de calculadora está permitido en el examen, sin embargo deberá quitarle la cubiuerta a la calculadora y de ser una calculadora gráfica no podrá tener programas instalados, de ser así no podrá utilizarla. Usted tiene que mostrar todo el procedimiento por cada problema para poder recibir crédito. Celulares, laptops, PDA s, Ipads, Iphones o cualquier otro artículo electrónico no están permitidos durante el examen, estos deberán permanecer guardados y apagados fuera de su escritorio. Tiempo de examen: 120 minutos (2 horas). Éxito! Nombre: #Est: 1
Selección múltiple 1. (3 pts.) Suponga que X es una variable aleatoria con media µ X y desviación estándar σ X. Suponga que Y es una variable aleatoria con media µ Y y desviación estándar σ Y. El valor esperado de X + Y es a. µ X + µ Y. b. (µ X /σ X ) + (µ Y /σ Y ). c. µ X + µ Y, pero solo si X y Y son independientes. d. (µ X /σ X ) + (µ Y /σ Y ), pero solo si X y Y son independientes. 2. (3 pts.) Suponga que X es una variable aleatoria con media µ X y desviación estándar σ X. Suponga que Y es una variable aleatoria con media µ Y y desviación estándar σ Y. El valor esperado de X + Y es a. σ X + σ Y. b. (σ X ) 2 + (σ Y ) 2. c. σ X + σ Y, pero esto si X y Y son independientes. d. (σ X ) 2 + (σ Y ) 2. 0 1 2 X 3. (3 pts.) Utilizando la densidad de probabilidad anterior, el valor de P (0.5 X 1.5) es a. 1/3. b. 1/2. c. 3/4. d. 1. 4. (3 pts.) Utilizando la densidad de probabilidad anterior, P (X 1.5) = a. 0. b. 1/4. c. 1/3. d. 1/2. 5. (3 pts.) Utilizando la densidad de probabilidad anterior, P (X = 1.5) = a. 0. b. 1/4. c. 1/3. d. 1/2. 6. (3 pts.) Una variable aleatoria es a. una lista hipotética de posibles resultados de un fenómeno aleatorio. b. cualquier fenómeno aleatoria cuyo todos los resultados sean igualmente probables. c. cualquier número que puede cambiar su manera de predicción con el pasar del tiempo. d. una variable cuyo valor es un resultado numérico de un fenómeno aleatorio.
Preguntas abiertas 7. Una manera fácil de como crear una variable aleatoria X que tenga una media µ una desviación estándar σ es cuando X toma dos valores: µ σ y µ + σ ambos con probabilidad 0.5. a) (5 pts.) Demuestre que µ X = µ. b) (5 pts.) Demuestre que σ X = σ 8. (10 pts.)sabemos que las varianzas de variables aleatorias se suman cuando estás variables son independientes (ρ = 0), pero no si las variables son dependientes. Suponga que las varables tienen una correlación perfecta positiva (ρ = 1). Demuestre que si ρ XY = 1. σ X+Y = σ X + σ Y
9. Suponga que tenemos dos escalas para medir peso. Ambas escalas tienen una pequeña diferencia al medir el peso de un mismo artículo. Si se sabe que el artículo tiene un peso teorico exacto de 3g, la primera escala de peso produce una ciertas lecturas de peso X que tienen una media de 3.000 g y una desviación estándar de 0.003 g. Las lecturas de la segunda escala Y tiene una media de 2.001 g y una desviación estándar de 0.001 g. a) (5 pts.) Cual es la media y la desviación estándar de la diferencia Y X entre las lecturas? b) (5 pts.) Si se mide el artículo una sola vez en cada una de las escales y luego tomamos la media aritmética de cada una de las medidas. Su resultado es Z = (X + Y )/2. Determine µ Z y σ Z. 10. (5 pts.) Utilizando la tabla binomial, resuelva la probabilidad binomial para n = 20, p =.40, and x = 10.
11. Entre las mujeres que trabajan, un 25 % nunca se han casado. Si se seleccionan 10 mujeres trabajadoras aleatoriamente: a) (4 pts.) Cual es la probabilidad de que exactamente 2 mujeres trabajadoras nunca se hayan casado? b) (4 pts.) Cual es la probabilidad de que a lo mas 2 mujeres nunca se hayan casado? c) (4 pts.) Cual es el valor esperado y la desviación estándar de las mujeres trabajadoras que nunca se han casado? 12. Si X P oisson(µ), encuentre: a) (4 pts.) P (X = 5 µ = 2.3) b) (4 pts.) P (X 3 µ = 4.1) c) (4 pts.) P (4 < X < 8 µ = 4.4)
13. Considere que la compañia Gain Communications vende productos de comunicación para propósitos militares y propósitos civiles. Las ventas del próximo año dependen de las condiciones del mercado las cuales no se pueden predecir con exactitud. Gain utiliza un modelo probabilístico para estimar sus ventas en el próximo año. La división de productos militares (X) tiene la siguiente distribución: La división civil (Y ) estima: Unidades vendidas 1000 3000 5000 10,000 Probabilidad 0.1 0.3 0.4 0.2 Unidades vendidas 300 500 750 Probabilidad 0.4 0.5 0.1 a) (4 pts.) Encuentre el valor esperado para las ventas de artículos con propósito civil (µ Y ) y para propósito militar (µ X ). b) (4 pts.) Encuentre las desviaciones estándares para las variables aleatorias X y Y. c) (4 pts.) Suponga que la compañia Gain genera una ganancia de $2,000 dólares por unidad militar y $3,500 por unidad civil. Encuentra la ganancia estimada promedio para productos militares y para productos con propósito civil. d) (4 pts.) Si la ganancia total promedio para la compañia Gain Communications está descrita por la variable aleatoria Encuentre la ganancia total promedio. Z = 2, 000X + 3, 500Y
14. Si una oficina de bienes raices vende en promedio 1.6 propiedades por dia y las ventas de propiedades tiene un modelo Poisson. a) (4 pts.) Cual es la probabilidad de vender exactamente 4 propiedades en un día? b) (4 pts.) Cual es la probabilidad de vender 5 propiedades o más en un día? c) (4 pts.) Cual es la probabilidad de vender al menos 10 propiedades en un día? d) (4 pts.) Cual es la probabilidad de venter exactamente 4 propiedades en dos días?