1. Variables aleatorias

Transcripción

1 1. Variables aleatorias Variables aleatorias Universidad de Puerto Rico ESTA 3041 Prof. Héctor D. Torres Aponte Definición 1.1. Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es un outcome numérico de algún evento aleatorio. Ejemplo 1.1. Sea X el número de caras. Si su outcome es HT T H entonces X = 2. Los posibles valores para X son 1, 2, 3, 4. Si lanzamos la moneda 4 veces mas, los valores de X cambian. Note que X es una variable aleatoria. Existen dos tipos de variables aleatorias: discreta y continua. En variables aleatorias cuando nos referimos a discreto y continuo lo usamos en el mismo contexto que lo usabamos anteriormente (material del primer examen). Estas variables aleatoria tienen una probabilidad y a esto se le conoce como distribución de probabilidad. Definición 1.2. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, nos indica que valores de X podemos obtener y con que probabilidad ocurren estos valores Variables Aleatorias Discretas Definición 1.3. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X nos enlista todos los posibles valores de X y su probabilidad, de tal forma podemos obtener la siguiente tabla: Valor de X x 1 x 2 x k P (x) p 1 p 2 p k Los valores p i tienen que cumplir lo siguiente: 1. 0 p i 1 2. k i=1 = 1 Para encontrar la probabilidad de cualquier evento, sume todas las probabilidades p i de los valores individuales x i. Ejemplo 1.2. Considere que ciertos compradores de computadoras tienen la opción de escoger el disco duro (HDD) que estará instalada en su maquina, estos tienen las siguientes opciones de tamaño: 10GB, 20GB, 30GB o 40GB. Suponga que seleccionamos a un cliente al azar para preguntarle que tamaño de HDD prefiere para su selección de computadora. Vemos que el tamaño del HDD es nuestra variable aleatoria. Las valores de X cambian según se repita dicho valor: 1

2 Tamaño de HDD Probabilidad con esta tabla podemos hacer el siguiente histograma: 0.6 Probability Outcome La probabilidad de que un cliente seleccionado al azar prefiera al menos 30GB de HDD es: P (30 40) = P (X = 30) + P (X = 40) = = 5 Ahora por ejemplo, considere que una moneda justa (ambas caras tienen el mismo peso) es lanzada 4 veces. La variable aleatoria X es contar el número de caras. Como encontramos una distribución para X?. Un moedelo razonable para esto comenzaría diciendo que cada una de las opciones tiene la misma probabilidad dado que es una moneda justa. Pero el lanzarla 4 veces nos afecta este pensamiento. Note que los posibles valores para X (# de caras) son 0, 1, 2, 3, 4. Estos no tienen la misma probabilidad de ocurrir, un ejemplo claro de esto es cuando: X = 0 implica a que nuestro outcome es T T T T, entonces P (X = 0) = X = 2 esta opción ocurre 6 veces diferentes, entonces P (X = 2) = cantidad de veces con 2 caras 16 = 6 16 = 3 8 a continuación vemos una gráfica que explica cuales son las opciones por cada caso: HT T H HT HT HT T T T HT H HHHT T HT T HHT T HHT H T T HT T HHT HT HH T T T T T T T H T T HH T HHH HHHH X=0 X=1 X=2 X=3 X=4 2

3 Vemos que existe 16 opciones en total. Ahora podemos calcular la probabilidad para cada uno de los valores de X. P (X = 0) = 1 16 = 625 P (X = 1) = 4 16 = 5 P (X = 2) = 6 16 = 75 P (X = 3) = 4 16 = 5 P (X = 4) = 1 16 = 625 Vemos que la suma de todas las probabilidades suman 1, así que la probabilidad es legítima. Entonces podemos hacer nuestra tabla de distribución de la siguiente manera: Números de caras X Probabilidad Además podemos hacer un histograma y obtenemos: Probability Outcome Ahora, Cual es la probabilidad de obtener al menos dos caras? Para esto tenemos que calcular P (X 2). P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = = Si nos interesa saber cual es la probabilidad de obtener al menos una cara entonces, P (X 1) = 1 P (X = 0) = =

4 1.2. Variables aleatorias continuas Definición 1.4. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua es descrita por la curva de densidad. La probabilidad de un evento es el área bajo la curva. Por ejemplo, considere que la vida útil X de una llanta de 40,000 millas tiene una distribución Normal con µ = 50, 000 y σ = 5, 500. Esto se resume utilizando la siguiente notación, X N (50000, 5500), donde el símbolo significa distribuye. La probabilidad de que una llanta seleccionada al azar tenga una vida útil menor de 40,000 millas es: P (X < 40, 000) = ( X 50, 000 P < 550 = P (Z < 1.82) = 344 Esto se puede representar con la siguiente gráfica: 40, , 000 5, 500 ) Area = ,000 40,000 50,000 60,000 70, La media de una variable aleatoria La media x de un conjunto de observaciones es el promedio aritmético. Esta es diferente a la media de una variable aleatoria X. La media de una variable aleatoria X es también el promedio de todos los posibles valores de X, pero tenemos que considerar que no todas las opciones son igualmente posibles. Ejemplo 1.3. Suponga que estamos interesados en jugar Pega 3. Para esto se escogen 3 números, si el número escogido es acertado ganamos $500. Tenemos que notar que existen 1,000 posibles combinaciones de números, desde 000,...,999. Sea X la cantidad de dinero que ganamos, la distribución de probabilidad para X es: Pago de X $0 $500 Probabilidad

5 Cual es el pago promedio al jugar muchas combinaciones de números? Si tomamos la media aritmética obtenemos = $250. Pero esto no hace sentido porque ganar $500 es mucho 2 menos probable que ganar $0. Pero note que uno gana $500 utilizando una sola combinación de números y $0 con el restante 999 combinaciones de números. Ahora si decimos que: $ $ = $0.50 Esta es la media de la variable aleatoria. Lo que quiere decir que a muchas jugadas el estado se queda con $0.50 de cada dolar apostado. Definición 1.5. Suponga que X es una variable aleatoria discreta cuya distribución es: Valor de X x 1 x 2 x k Probabilidad p 1 p 2 p k la media de la variable aleatoria X que también se le conoce como el valor esperado se define como k µ X = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x k p k = x i p i Ahora, considere el ejemplo de el generador de números aleatorios. Si X es una variable aleatoria identicamente distribuida (todas las opciones tienen la misma probabilidad) entonces tenemos la siguiente tabla de distribución: El valor esperado de X es: i=1 Primer dígito X Probabilidad µ X = = = 5 Ahora, considere el mismo ejemplo pero en este caso utilizando la ley de Benford para números aleatorios. Sea V un número aleatorio, utilizando la ley de Benford obtenemos la siguiente tabla de distribución: Primer dígito V Probabilidad Entonces tenemos que el valor esperado para la variable aleatoria V es: µ V = 1 (01) + 2 (76) + 3 (25) (51) + 9 (46) = Si hacemos un histograma para cada variable aleatoria X y V marcando en este µ X y µ V respectivamente obtenemos los siguientes gráficos: 5

6 Probability Outcomes (a) Probability Outcomes (b) 6