VECTORES Ejercici nº.- Cnsiderams la base de frmada pr ls ectres a( ) b( ) c( ). a) Halla las crdenadas de ( 4 7 4) respect de la base anterir. b) Expresa si es psibleel ectr c cm cmbinación lineal de a b. Ejercici nº.- a) Halla ls alres de w ( 6). x z tales qe x + + zw siend ( ) ( ) b) Sn linealmente independientes ls tres ectres anterires? Frman na base de? Ejercici nº.- Dads ls ectres ( ) ( ): a) Sn linealmente independientes? b) Frman na base de R? c) Halla n ectr w tal qe + w. a) Se sabe qe w sn linealment e dependient es. Pdems asegrar qe cmbinació n lineal de w? Jstifica t respesta. b) Halla las crdenada s del ectr a ( 4 7) respect de la base B {( ) ( ) ( )}. es Dadsls ectres a ( ) b( ) c ( 5) d( ): a) Frman na base de? b) Expresa si es psibleel ectr d cm cmbinación lineal de a b c. PRODUCTO ESCALAR Ejercici nº.- Dadsls ectres a ( ) b( ) c ma b: a) Halla el alr de m para qe a c sean perpendiclares. b) Para m halla el ángl qe frman b c. Ejercici nº.- Dadsls ectres a i j; b i + j k; halla perpendiclar a b tenga el mismmódlqe x e de frma qe c x i + j a. sea
Ejercici nº.- Sean ds ectres qe frman n ángl de 45. a) Cál es el módl de +? Y el de? b) Demestra qe + sn perpendiclares. Dads ls ectres a) Halla la prección de sbre b) ( ) ( ): así cm el ángl qe frman Encentra n ectr ( x z) ( ) qe sea cmbinació n lineal de qe sea perpendiclar a ( ). Dads ls ectres ( ) ( 4 ) w ( x ): a) Halla b) el ángl qe frman. de x para qe w frmen n ángl de 6. Obtén el alr qe tienen el mism módl. PRODUCTO VECTORIAL Ejercici nº.- Dads ls ectres ( ) ( ): a) Halla n ectr w de módl qe sea perpendiclar a a b) Cál es el área del paralelgram determinad pr?. Ejercici nº.- Halla el área de n paralelgram determinad pr ls ectres w ( ) ( ) ( ) w siend: Ejercici nº.- a) Halla n ectr nitari qe sea perpendiclar a ( ) a ( ). b) Es ciert qe w w? Pn n ( ) ( ) ejempl. a) Demestra qe si ( ) ( + ) ( ) b) Halla n ectr perpendiclar a sn ds ectres calesqiera se tiene qe: ( ) a ( ). Halla el alr de m m sea ( ). para qe el área del paralelgram determinad pr ( )
PRODUCTO MIXTO Ejercici nº.- a) Demestra qe ls ectres ( k ) ( k ) w ( ) sn linealment e independientes calqiera qe sea el alr de k. b) Cál es el lmen del paralelepí ped determinad pr w? Ejercici nº.- a) Calcla el lmen del paralelepíped determinad pr ls ectres ( ) w ( ). b) Cánt alen cada n de ls sigientes prdcts mixts?: [ w] ; [ + ] ( ) Ejercici nº.- a) Halla ls alres de m para qe ls ectres ( ) ( ) w ( m m ) sean linealmente independientes. b) Estdia si el ectr ( ) depende linealmente de w para el cas m. Dads ls ectres ( ) ( ) w ( λ 5 ); halla el alr de λ para qe: a) Determinen n paralelepíped de lmen. b) Sean linealmente dependientes. Dads ls ectres ( ) ( ) w ( ) se pide: a) El lmen del paralelepíped determinad pr ells. b) Halla si existe el alr de α para qe el ectr a ( α α 6) se peda expresar cm cmbinació n lineal de.
SOLUCIONES EJERCICIOS VECTORES Ejercici nº.- Cnsiderams la base de frmada pr ls ectres a( ) b( ) c( ). a) Halla las crdenadas de ( 4 7 4) respect de la base anterir. b) Expresa si es psibleel ectr c cm cmbinación lineal de a b. a) Tenems qe encntrar tres númers x z tales qe: x a + b + zc es decir: (4 7 4) x( ) ( ) z( ) (4 7 4) (x z x x z) x + z 4 x + 7 x + z 4 L reslems aplicand la regla de Cramer: A 4 7 x 4 55 5; 4 7 4 ; 4 7 z 4. x 5 z Pr tant las crdenadas de 5a b c respect de la base dada sn ( 5 ) es decir: b) De la igaldad btenida en a) tenems qe: 5a b c Ejercici nº.- a) Halla ls alres de w ( 6). c 5a b x z 5 c a b b) Sn linealmente independientes ls tres ectres anterires? Frman na base de? a) x( -) + ( - ) +z( -6) ( ) tales qe x + + zw siend ( ) ( ) 4
(x + + z + z x 6z) ( ) x + + z + z A x 6z 6 6 Para resler el sistema pdems prescindir de la a ecación pasar la z al miembr: z x 6z z x z Slcines: x λ λ z λ b) Según ls resltads btenids en el apartad a) dedcims qe ls ectres sn linealmente dependientes. Pr tant n sn base. Ejercici nº.- Dads ls ectres ( ) ( ): a) Sn linealmente independientes? b) Frman na base de R? c) Halla n ectr w a) Sí sn linealmente independientes pest qe si escribims: x( ) + ( ) ( ) es decir: x + x + este sistema sl tiene la slción triial: x tal qe + w. b) N frman na base de pes para btener na base de necesitams tres ectres (linealmente independientes). c) + w w w 6 Pr tant: w 6 5 6 6 ( ) ( ) a) Se sabe qe w sn linealment e dependient es. Pdems asegrar qe cmbinació n lineal de w? Jstifica t respesta. b) Halla las crdenada s del ectr a ( 4 7) respect de la base B {( ) ( ) ( )}. es 5
a) N. Pr ejempl si tmams Sn linealment e dependient es pes w. Sin embarg n es cmbinació n lineal de w. b) Llamams b c d a ls ectres de la base B. Tenems encntrar tres númers x z tales qe: a x b + c + z d Es decir: (4 7) x( ) + ( ) + z( ) (4 7) (x + x + z) ( ) ( ) w ( ): ( ) ( ) ( ) qe x + 4 x + z 7 x 4 x z 7 + Las crdenadas de a b c + d a 7 + z respect de la base B sn ( ) es decir: Dadsls ectres a ( ) b( ) c ( 5) d( ): a) Frman na base de? b) Expresa si es psibleel ectr d cm cmbinación lineal de a b c. a) N frman na base pes catr ectres en siempre sn linealmente dependientes. b) Debems encntrar tres númers x z tales qe: d x a + b + zc Es decir: ( ) x( ) + ( ) + z( 5) ( ) (x + + z x + x + + 5z) x + + z x + L reslems aplicand la regla de Cramer: x + + 5z 6
A 5 6 5 5 8 x ; ; z 6 6 6 6 6 6 Pr tant: x z Y así: d a b + c PRODUCTO ESCALAR Ejercici nº.- Dadsls ectres a ( ) b( ) c ma b: a) Halla el alr de m para qe a c sean perpendiclares. b) Para m halla el ángl qe frman b c. a) c ma b m m ( ) ( ) ( m ) a c a c ( ) ( m m ) m + m + m + m b) Para m qeda tenems qe: c (. ) Si llamams α al ángl qe frman b c cs α b b c c 4 4 4 8 76 α 9 7' 5' ' Ejercici nº.- Dadsls ectres a i j; b i + j k; halla perpendiclar a b tenga el mismmódlqe a ( ) b( ) c ( x ) x e de frma qe c x i + j a. sea c b c b x + c a x + 5 x + 5 x 4 + 5 7
5 5 x x Ha ds slcines: x qe crrespnde a c ( ). x qe crrespnde a c ( ). Ejercici nº.- Sean ds ectres qe frman n ángl de 45. a) Cál es el módl de +? Y el de? b) Demestra qe + sn perpendiclares. qe tienen el mism módl a) + ( + ) ( + ) + + + + + 4 + cs ( ) + 4 4 + 8 + 4 8 + 4 + 8 + 4 7 ( ) ( ) + 4 cs 45 + 4 8 4 8 4 5 b) ( + ) ( ) + 4 4 ( + ) ( ) Dads ls ectres a) Halla la prección de b) sbre ( ) ( ): así cm el ángl qe frman. Encentra n ectr ( x z) ( ) qe sea cmbinació n lineal de qe sea perpendiclar a ( ). 8
a) Prección de sbre Si llamams α al ángl qe frman tenems qe: cs α α 45 b) Un ectr qe sea cmbinación lineal de es de la frma a + b es decir: a + b a + ( ) + b( ) ( a b b ) Para qe sea perpendiclar a ( ) s prdct escalar ha de ser cer: (a + b b ) ( ) a + b b a Pr tant calqier ectr de la frma: ( b ) cn b cmple las cndicines exigidas. Dads ls ectres ( ) ( 4 ) w ( x ): a) Halla b) el ángl qe frman. de x para qe w frmen n ángl de 6. Obtén el alr a) + ( ) + 4 74 4 + + ( ) 4 4 9 Si llamams α al ángl qe frman tenems qe: cs α 8 6 sn perpendiclares es decir α 9. b) Ha de cmplirse qe: w 6 cs w es decir: 9
+ x 4 5 + x x 7 + 4x 7 + 4x 6x 7 + 4x 6x 7 x x 7 5 x x 5 5 (n ale pes x > ) PRODUCTO VECTORIAL Ejercici nº.- Dads ls ectres ( ) ( ): a) Halla n ectr w de módl qe sea perpendiclar a a b) Cál es el área del paralelgram determinad pr?. a) Un ectr perpendic lar a a es: ( ) ( ) ( 5) Diidims pr s módl para cnsegir qe tenga módl : w 5 5 5 5 Ha ds slcines: 5 5 5 5 5 5 5 5 b) Área 5 59 Ejercici nº.- Halla el área de n paralelgram determinad pr ls ectres w ( ) ( ) ( ) w siend: Calclams w: a ( )
b w ( ) El área del paralelgram determinad pr ectrial: a b es igal al módl de s prdct a b ( ) ( ) ( 4 ) Área ( ) + 6 + 4 + 4 4 49 4 + Ejercici nº.- a) Halla n ectr nitari qe sea perpendiclar a ( ) a ( ). b) Es ciert qe w w? Pn n a) Un ectr perpendiclar a ls ds dads es: ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) ejempl. Diidiend pr s módl tendrá módl : 5 También cmple las cndicines s pest: 5 b) En general n es ciert. Pr ejempl: ( ) ( ) w ( ) ( ) w w ( ) w ( ) ( ) ( ) ( ) Pr tant ( ) w ( w). a) Demestra qe si sn ds ectres calesqiera se tiene qe: ( ) ( + ) ( ) b) Halla n ectr perpendiclar a a) ( ) a ( ). ( * ( ) ( + ) + ) + + ( )
( * ) Tenems en centa qe qe. ( ) ( ) ( 5 ) b) Halla el alr de m m sea ( ). para qe el área del paralelgram determinad pr ( ) El área del paralelgram determinad pr es igal a. Calclams hallams s módl: ( ) ( m ) ( m m) m Igalams a : ( m) + ( ) + ( m) m + 4 + 4m 5 + 4 Área 5m + 4 5m + 4 4 5m m PRODUCTO MIXTO Ejercici nº.- a) Demestra qe ls ectres ( k ) ( k ) w ( ) sn linealment e independientes calqiera qe sea el alr de k. b) Cál es el lmen del paralelepí ped determinad pr w? a) Tenems qe prbar qe s prdct mixt es distint de cer sea cal sea el alr de k. k [ w] k para td k. b) El lmen es igal al alr abslt de s prdct mixt. Pr tant: Vlmen
Ejercici nº.- a) Calcla el lmen del paralelepíped determinad pr ls ectres ( ) w ( ). b) Cánt alen cada n de ls sigientes prdcts mixts?: ( ) [ w] ; [ + ] a) El lmen del paralelepí ped determinad pr de s prdct mixt: w es igal al alr abslt [ w] 7 Vlmen 7 b) Utilizand las prpiedades de ls determinantes tenems qe: [ w] [ w] ( 7) 4 + [ ] (el tercer ectr depende linealment e de ls ds primers). Ejercici nº.- a) Halla ls alres de m para qe ls ectres ( ) ( ) w ( m m ) sean linealmente independientes. b) Estdia si el ectr ( ) depende linealmente de w para el cas m. a) Para qe sean linealmente independientes s prdct mixt debe ser distint de cer: [ w] 4 m m 4 m Ha de ser m 4. m b) Para m ls ectres w sn linealmente independientes frman na base de R. Pr tant calqier ectr de R en particlar ( ) depende linealmente de ells. Dads ls ectres ( ) ( ) w ( λ 5 ); halla el alr de λ para qe: a) Determinen n paralelepíped de lmen. b) Sean linealmente dependientes.
a) El lmen del paralelepí ped determinad pr de s prdct mixt: w es igal al alr abslt [ w] λ 6 λ 5 Vlmen λ 6 λ 6 λ 6 λ 8 λ 6 λ 4 λ Ha ds slcines : λ 8 λ b) S prdct mixt ha de ser cer: [ w] λ 6 λ Dads ls ectres ( ) ( ) w ( ) se pide: a) El lmen del paralelepíped determinad pr ells. b) Halla si existe el alr de α para qe el ectr a ( α α 6) se peda expresar cm cmbinació n lineal de. a) Es igal al alr abslt de s prdct mixt: [ w] 4 Vlmen 4 b) Ls ectres a han de ser linealment e dependient es ( independientes); pr tant s prdct mixt ha de ser cer: sn linealment e [ a] α α 4 α α 6 4