Instituto Tecnológico de Saltillo Departamento de Ciencias Básicas Curso de Nivelación Cuadernillo de trabajo Precálculo M.C José Luis Flores Aguilar M.C Edna M. González Martínez M.C Silvia Polendo Luis Ing. Sergio Fernando Gaytán Aguirre M.C Martin Martínez Rodriguez M.C María De La Paz Solís Álvarez M.C L. Marisol Valdés González Verano 0
Índice Parte I Problemas.............................. I Unidad. Tópicos selectos de geometría analítica Sesión Recta............................... Sesión Recta (cont.)............................ Sesión Parábola.............................. Sesión Circunferencia............................ Sesión 5 Hipérbola y Elipse........................... Unidad. Funciones Sesión 6 Numeros reales, ley de la tricotomía e intervalos................ Sesión 7 Desigualdades lineales......................... Sesión 8 Producto cartesiano y definición de relación................. 5 Sesión 9 Definición de función, dominio y rango................... 5 Sesión 0 Funciones polinomiales......................... 6 Sesión Funciones racionales.......................... 8 Sesión Funciones racionales (cont.)....................... 8 Sesión Funciones exponenciales........................ 8 Sesión Funciones logarítmicas......................... 9 Sesión 5 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.............. 0 Unidad. Tópicos selectos de trigonometría Sesión 6 Ángulos y conversiones......................... Sesión 7 Funciones circulares.......................... Sesión 8 Gráficas de funciones trigonométricas.................... Sesión 9 Identidades básicas.......................... ii
Parte I Problemas I
Unidad. Tópicos selectos de geometría analítica Sesión. Recta. Escribe la ecuación de la recta que contenga el (los) puntos indicados, y/o que tengan la pendiente indicada y/o las intersecciones indicadas. Escribe la ecuación final en la forma pendiente ordenada al origen y = mx+b. a) (0,); m = b) ( 5,); m = 5 c) (,8); (,0) d) Intersección con el eje y en y m = e) La intersección con el eje x es 6 y con el eje y es. f) Intersecta al eje x en - y al eje y en. g) (,0); m = Sesión. Recta (cont.). Escribe la ecuación para la recta que contenga los puntos dados y que cumpla la condición indicada. Escribe la respuesta final en la forma estándar Ax+By = C, A > 0 a) (,); paralela a y = x 5 b) (, ); perpendicular a y = x c) (, ); vertical d) (5,0); paralela a x y = e) (0, ); perpendicular a x+y = 9. Con referencia al cuadrilátero con vértices A(0, ), B(, ), C(, 5), D(, ) a) Muestra que AB es paralelo a DC. b) Muestra que AB es perpendicular a BC.
. Tópicos selectos de geometría analítica Sesión. Parábola. Grafica cada ecuación y además localiza el foco y la directriz. a) y = x b) y = x c) y = 0x d) x = 0y. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eligiendo su eje de acuerdo a los datos. a) Directríz : y = b) Foco : (0, 7) c) Directríz : x = 6. Determina la ecuación de la parábola que tenga su vértice en el origen, con eje indicado y que pase por el punto dado: a) Eje y; (,) b) Eje x; (,6) c) Eje y; ( 6, 9). Usa la definición de parábola y la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación de la parábola con: a) Directríz : y = ; Foco : (,) b) Directríz : x = ; Foco : (6, ) Sesión. Circunferencia. En los siguientes incisos, determine la ecuación estándar del círculo que satisfaga las condiciones dadas. a) Centro (, ) y radio 8. b) Centro en el origen, pasa por (, 7). c) Extremos de un diámetro son P(, ) y Q(7, 5). d) Centro (7, ); tangente al eje x.. Muestre que la ecuación dada es una circunferencia e indique el centro y radio de la misma. a) x +y x+y+ = 0 b) x +y +6y + = 0 c) x +y +x = 0 d) 6x +6y +8x+y+ = 0. Escriba la ecuación dada en su forma estándar y trace su gráfica. a) x +y +6xy+5 = 0 b) x +y 6x+y+00= 0 c) x +y 6x 8y+ = 0 d) x +y x 8y = 0 e) x +y x+0y+77= 0 f) 5x +5y 9x9y 6= 0 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés
. Tópicos selectos de geometría analítica Sesión 5. Hipérbola y Elipse. Identifica si la ecuación representa una hipérbola o una elipse, encuentre sus elementos y trace su gráfica. a) y x 5 = b) x y = c) x 5 + y = d) 9x 6y = e) x + y 5 = f) x +9y = 9 g) 5x +9y = 5 h) y x = 0 i) 5y 9x = 5. Encuentra la ecuación de la elipse centrada en el origen que cumpla las siguientes condiciones: a) Eje mayor sobre el eje x, L EM = 8 y L em = 6. b) Eje mayor sobre el eje y, L EM = y L em = 6. c) Eje mayor sobre el eje x, L EM = 6 y la distancia de los focos hasta el centro es igual a 6. d) Eje mayor sobre el eje y, L em = 0 y la distancia de los focos hasta el centro es igual a 70.. Deduzca la ecuación de la hipérbola que cumpla con las condiciones dadas. a) Focos en (±6, 0), vértices en (±, 0) b) Vértices en (0, ±6), ecuaciones de asíntotas y = ± x c) Vértices en (0, ±6); la hipérbola pasa por ( 5, 9) d) Focos en (±, 0); la hipérbola pasa por (, ). e) Focos en (0, ±); longitud del eje transversal. Longitud del eje mayor Longitud del eje menor Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés
Unidad. Funciones Sesión 6. Numeros reales, ley de la tricotomía e intervalos. Escriba 0 elementos que pertenezcan al conjunto indicado: a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) Irracionales. Establezca a que conjunto pertenecen los siguientes numeros. a) {0,.5, 8,0.6, 6,5.98, 5 } b) {0.87..., π,,e,,}. Escriba el símbolo correcto (>,< o =), en el espacio a) 7 b) 7 c).5 7 d) 0.67 e) 8 f).7. Exprese el intervalo en forma de desigualdad y represéntelo en la recta numérica real. a) (,0) b) [,9) c) (,5] d) ( 0.5,) e) [,0.5] ) f) (, Sesión 7. Desigualdades lineales Resuelva cada una de las desigualdades que se dan, indique su conjunto solución y represéntelo gráficamente.. x < 9. 5x+ >. x 8. x > x+ 5. 5( 9x) (6 x) 6. x(7x+) < 7x x5 6x+ 7. 6 5 x 8. 8x+7
. Funciones Sesión 8. Producto cartesiano y definición de relación. Sean A = {,,} y B = {a,b} encuentre: a) A B b) B A c) A A d) B B. Sean X = {,,} y Y = {,,5,6,7} encuentra y representa en un diagrama sagital el conjunto relación R que está dado por: a) Si x divide a y con residuo cero. b) x+ > y +.. Explica con tus propias palabras qué es una relación? Sesión 9. Definición de función, dominio y rango. Describe con tus propias palabras el concepto de función.. Determina si la terna (A,B,f) define una función y da las razones que te permiten concluir. a) A = {a,b,c},b = {,6,,5}ylaregladecorrespondenciaf(a) =, f(b) = 6, f(c) =, f(b) = 5 A a b c f B 6 5 b) A = {,0,,}, B = {5} y la regla de correspondencia f() = 5, f(0) = 5, f() = 5, f() = 5 A 0 f B 5 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 5
. Funciones. Especifique el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = 7 x b) y = 5 x c) h(x) = x d) y = 5x +x 7 e) g(x) = x +x+ f) q(x) = lg(x+). En los siguientes incisos determine si la gráfica representa una función, de ser así utilícela para encontrar el dominio y rango. a) b) c) d) π π Sesión0. Funciones polinomiales. Encuentre el dominio y codominio de cada función. a) f(x) = x b) y = 5 c) g(x) = x +x d) k(x) = x + e) h(x) = x + f) y = g) k(x) = x h) y = (x 5) Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 6
. Funciones. Identifique que tipo de función es indicando su dominio y codominio. a) b) c) d) 8 0 6 8 6 y = 5 6. Relacione las siguientes columnas: a) La gráfica de la función y = x +x es: b) Sea ax+by+c = 0 una función lineal, cuánto vale la pendiente? c) Qué tipo de función es h(x) =? d) Elcodominiodelafunciónf(x) = x +9x es: e) Cuál es la gráfica de una función constante? dfff { } R 9, 9 Una línea recta horizontal Un polinomio c b Constante ( ], 9 Una parábola a b Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 7
. Funciones Sesión. Funciones racionales. En los siguientes incisos encuentre el dominio de la función: a) f(x) = x +x x +x b) y = 5 x c) g(x) = x x+ d) y = x x x e) h(x) = x f) y = x x +8 Sesión. Funciones racionales (cont.). Obtenga las asíntotas horizontales y verticales (si existen), además realice un bosquejo de la gráfica. a) f(x) = x +x x +x b) y = 5 x c) g(x) = x x+ d) y = x x x e) h(x) = x f) y = x x +8 Sesión. Funciones exponenciales. Evalúe cada expresión, redondeando a dos decimales. a) e b). c) 0.6 d) (5.6 ). Relacione cada gráfica con una de la siguientes funciones: a) y = x b) y = x c) y = x d) y = x i) ii) 5 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 8
. Funciones iii) iv) 5 5 Sesión. Funciones logarítmicas. En cada inciso pasa de la forma exponencial a la forma logaritmica a) = 8 b) 8 = 8 c) e x+ = 0.5 d) 0 m = n. Expresa la ecuación dada en forma exponecial a) log = b) log = 5 c) ln5 = x d) lny = 5. Asocie la función logaritmo dada con la gráfica que le corresponde. a) y = log x b) y = log x+ c) y = log (x+) d) y = log x i) ii) 6 9 6 9 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 9
. Funciones iii) iv) 6 9 6 9 Sesión 5. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Resuelva las siguientes ecuaciones a) = 8 x b) x = c) 5 x+ = 5 d) 7 x +x = 9 ( ) x e) = 7 9 f) 5 x +5 = 0 g) x 9 x = h) log 6 = y i) log 7 = y j) ln(x+) = lnx k) log (x ) = Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 0
Unidad. Tópicos selectos de trigonometría Sesión 6. Ángulos y conversiones. Convierta de grados a radianes. a) 0 c) 5 e) 70 g) 0 b) 5 d) 5 f) 0 h) 50. Convierta los radianes en grados. a) π 9 c) π 6 e) π g) 5π b) 5π d) π f).π h) π. Convierte cada ángulo a grados decimales con tres cifras decimales. a) 5 5 b) 5 8 9. Convierte cada ángulo a la forma grado-minuto-segundo. a).0 b) 0. 5. Relacione las siguientes columnas: a) Si dos ángulos son suplementarios y uno mide la mitad del otro, cuánto mide cada uno?. b) Encuentra dos ángulos complementarios, si uno es la cuarta parte del otro. c) Si un ángulo concavo mide 5 cuanto mide su ángulo convexo. d) Encuentre el ángulo que es igual a su complemento. e) Qué ángulo es igual a un quinto de su conjugado? 6 70 y 90 60 5 50 y 0 0 y 60 6 7 y 8
. Tópicos selectos de trigonometría Sesión7. Funciones circulares. Encuentra las coordenadas para cada punto circular. a) W(π) b) W(6π) c) W( π) d) W( π ) e) W( π ) f) W( π ) g) W( π ) h) W( π 6 ) i) W( π ) j) W( π ). Encuentra el valor exacto de cada expresión (si es que existe) sin usar calculadora. a) cos(0) b) sen( π 6 ) c) sen( π ) d) tan( π ) e) tan( π ) f) sec(0) g) sec( π ) h) tan( π ) i) csc(0) Sesión 8. Gráficas de funciones trigonométricas. Grafique las siguientes funciones trigonométricas, además determine su periodo y amplitud. a) y = sen(x) ( ) b) y = cos x+ π ( ) c) y = sen x π d) y = cos(x) e) y = cos(x)+ f) y = sen(x) Sesión9. Identidades básicas. Demuestra si las siguientes expresiones son identidades. a) sen(α) sec(α) = tan(α) b) cot(υ) sec(υ) sen(υ) = c) sen( x) cos( x) = tan(x) Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés
. Tópicos selectos de trigonometría d) sen(α) = tan(α)cot(α) csc(α) e) cot(υ)+ = csc(υ) ( cos(υ)+sen(υ) ) f) cos(x) sen(x) sen(x)cos(x) = csc(x) sec(x) g) sen (t) cos(t) h) +cos(t) = sec(t) cos(x) sen (x) = sec(x). Convierte las siguientes funciones a formas que impliquen sen(x), cos(x) y/o tan(x) mediante identidades trigonométricas de suma o resta. a) sen(0 x) b) sen(80 x) c) tan ( x+ π ). Demuestra las identidades. a) [sen(x)+cos(x)] = +sen(x) b) sen (x) = [ cos(x)] c) cos(x) = tan(x)sen(x) Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés