actiidades propestas en la nidad ectores Las respestas feron elaboradas por las Profesoras Lciana Calderón y María de los Ángeles Fernandez qienes realizan na adscripción en la Cátedra. Propesta.3: 1) ) La distancia es 5 3) x 1 Propesta.5: 1) -5/ 1-5/ 3) Q ( 3, ) R( 3,) S( 3, ) R P S Q ) Los pntos están alineados. Pertenecen a la recta qe contiene al pnto (,) y es paralela al eje y. 4) a) V b) F Propesta.7: ) Pertenecen al plano coordenado YZ. 3) Pertenecen al plano qe es paralelo al plano coordenado YZ y corta al eje x en el pnto (1,,) 4) Están sobre el plano qe es paralelo al plano coordenado YZ y corta al eje x en el pnto (3,,) 5) El pnto B está más cerca del plano XZ. El pnto del plano XZ más cercano a B es (5,,3) 6) Sea P(a,b,c) El simétrico de P respecto del plano XY es el pnto (a,b,-c) El simétrico de P respecto del plano XZ es el pnto (a,-b,c) El simétrico de P respecto del plano YZ es el pnto (-a,b, c) El simétrico de P respecto del eje X es el pnto (a,-b,-c) El simétrico de P respecto del eje Y es el pnto (-a,b,-c) El simétrico de P respecto del eje Z es el pnto (-a,-b,c) El simétrico de P respecto del origen de coordenadas es el pnto (-a,-b,-c) Página 1 de 7
actiidades propestas en la nidad ectores Propesta 3.5: 1) a) Falso, basta considerar calqier ector de módlo menor a no. b) Falso, y no tienen igal dirección. c) Falso, los módlos de los ersores asociados son ambos igales a no. d) Verdadero. Demostración: Sabemos qe: Por hipótesis // // // // // // // tienen igal dirección Sentido ( ) Sentido ( ) Sentido ( ) Sentido ( ) Sentido ( Por hipótesis y tienen igal sentido ) Sentido ( ) Sentido ( ) Sentido( ) 1 Por lo tanto e) Verdadero. 3 ) ( a, b) ( a, c) ( b, c) 4 4 3) Es falso pes (, ). Por lo tanto el cos (, ) 1 (, ) Propesta 3.7: 1) Un ejemplo en particlar podría ser el sigiente: + ) + 5, 5 3) CB CA AC + DA BC CD DB Página de 7
actiidades propestas en la nidad ectores 4) A OB B C OC OA 5) Sgerencia: x + x Propesta 3.1: Propesta 3.1: 1) Es el ector nlo ) a) b) proy proy 3) Sgerencia: Considerar los sigientes casos: Caso 1: (, ) < Caso : (, ) Caso 3: < (, ) Propesta 3.14: 1) Demostración: Siendo y no nlos (, ) cos(, ) (, )..cos (1) () Página 3 de 7
actiidades propestas en la nidad ectores (1) Definición de prodcto escalar. (), pes los ectores no son nlos. 1 1. (1) () (3) (4) ) proy ( ).. 3) (1) Por lo demostrado anteriormente en este ejercicio () Definición de módlo de n ector por n número (3) r 1 (4) Por propiedad E 3 del prodcto escalar y definición del módlo de n número por n ector a) 3 b) 3 c) -3 d) 3/ e) -18 f) 13 g) -1 h) 11 4) El Teorema de Pitágoras se obtiene para α ( α 9º ) 5) Considerando ectores no nlos a) + (, ) b) + > c) + < < (, ) (, ) < 6) + 7) La proposición es falsa pes si entonces w y no necesariamente w También se pede considerar el sigiente ejemplo w 8) La igaldad se erifica cando los ectores y son paralelos y de igal sentido. También se erifica cando al menos no de ellos es el ector nlo. Propesta 3.16: Si los tres ectores son paralelos tenemos dos casos: Caso 1: si el ector qe qiero expresar como combinación lineal de los otros tres es también paralelo a ellos, entonces existen infinitas combinaciones lineales. Caso : si el ector qe qiero expresar como combinación lineal de los otros tres no es paralelo a los ectores, entonces en este caso no es posible escribir al ector como combinación lineal de los otros tres. Página 4 de 7
actiidades propestas en la nidad ectores Si dos de estos tres ectores son paralelos hay infinitas formas de escribir n ector como combinación lineal de los tres ectores. Si ningno de estos tres ectores son paralelos, n ector calqiera se pede escribir como combinación lineal de estos tres de infinitas formas. Propesta 3.1: 1) cos α 5 ) ( 1, 1, 7 ) 1 cos β cos γ 5 3) Cosenos directores de i cos α 1 cos β cos γ Cosenos directores de j cos α cos β 1 cos γ Cosenos directores de k cos α cos β cos γ 1 4) a) No pes cos (45º ) + cos (13º ) + cos (6) 1 b) Si pes cos (9º ) + cos (15º ) + cos (6) 1 Propesta 3.3: 1) a) P ( 8,,3) Q (,,1) ( 4,6,7) 13 cos 7. 11 c) ( AB, AC) R b) La longitd de la mediana es 43 ) a) Sgerencia: Los ectores AB y AC son perpendiclares (el prodcto escalar es cero) b) El área es 86 3) A ( 1,,4 ) B ( 8, 4, ) 4) ( 4,3,3) Propesta 3.5: Directa-Directa-Inersa Página 5 de 7
actiidades propestas en la nidad ectores Propesta 3.7 1) a) ( 5, 1, 7) b) y c) se obtiene de a) aplicando las propiedades b) ( 1,, 14) c) (, 4, 8) Propesta 3.9: 4) a) Verdadero. Siendo y no nlos ni paralelos, el ector es perpendiclar al plano qe determinan y. Lego {,, } es na base de V 3. b) Falso. es perpendiclar al plano determinado por y, por lo tanto no se pede expresar como combinación lineal de y. c) Verdadero., y son no coplanares r r 5) D(,-,) ó D(,8,) PROPUESTA PARA LA REVISIÓN 1 1 3 14 1) a) 5 5 w 14 b) a,, c) b 18 3 14 14 3 14, c) ) b) ( ) 1º 15 48,34 1 3) 5 ( w ) 5 + w 5 4) a) m 3 b) Para calqier alor de m los ectores son ortogonales 3 x d) s 3 4 6 4 4 4 5) proy,, proy,, 7 7 7 3 3 3 6) Área del triánglo 7) ( 8, 8, 6) 8) Las componentes de w en dicha base son (, 5) 9) a b c ± 7 Página 6 de 7
actiidades propestas en la nidad ectores 1) a b 16 11) es n ector perpendiclar al plano coordenado YZ cyo módlo es 8. ± 8 i 1) a) Los ectores son coplanares. b) Los ectores no son coplanares. c) Se da en el caso b) 13) b) El conjnto { AB AC, AD} c) AD -1 AB + 1 AC, no forma na d) Área 98 14) a) Verdadero. Es igal a cero. b) Verdadero. Realizar la demostración c) Verdadero. ( a b) a. b. sen ( a b)+ a b +, a. b.cos, ( a b) a. b (. sen ( a, b) cos ( a, b ) + a. b.1 a. b 15) α 53 º 44 8, 16) a b + b c + c a 13 Página 7 de 7