ª PUE 3 de febrero de 8
Problema exerimental. obinas de elmholtz Modelo teórico. El camo magnético en el centro O de una bobina de N esiras circulares de radio, delgadas y aretadas, or las que circula una corriente I es I Z N esiras O N I () 7 donde 4 N es la ermeabilidad del vacío. La dirección y el sentido de este camo se indican en la figura, donde or simlicidad se ha dibujado una única esira. Este camo no es uniforme, sino que decrece ráidamente a lo largo del eje de simetría de la esira (OY en la figura ). X O Fig. Y En muchas ocasiones interesa disoner de un camo magnético uniforme en una zona del esacio. Uno de los montajes más emleados ara conseguirlo son las llamadas bobinas de elmholtz: se hace circular la misma corriente y en el mismo sentido or dos bobinas iguales y coaxiales situadas en lanos aralelos, searados una distancia igual al radio de las esiras (figura ). Puede demostrarse que con esta configuración geométrica el camo magnético en torno al centro C del sistema es muy uniforme, dentro de una región con dimensiones del orden de /. El camo magnético en C seguirá siendo directamente roorcional al número total N de esiras de las dos bobinas (N/ en cada una) y a la corriente I que circula or ellas. Pero es de eserar que C sea inferior al que se tiene en el centro de una única bobina de N esiras, es decir C K O () donde K es una constante menor que la unidad. El rimer objetivo de esta rueba exerimental es deterar el valor de esta constante. Para medir el camo magnético se uede emlear una brújula formada or un imán cilíndrico colgado mediante un hilo. En equilibrio, el eje de la brújula se orienta en la dirección del camo magnético, y el eriodo T de equeñas oscilaciones torsionales (en el sentido de retorcer el hilo) en torno a dicha dirección deende del módulo del camo,, en la forma T donde es una constante que deende de la "otencia" del imán (de su momento magnético) y de la masa y dimensiones del cilindro (de su momento de inercia). Para un cierto imán, se ha deterado exerimentalmente el valor de esta constante, obteniendo 4 4,, T s (4) Las bobinas de elmholtz se orientan con su eje en la dirección del camo magnético terrestre (comonente horizontal), y la brújula se coloca en el centro de las bobinas, de forma que estará sometida a un camo total aroximadamente uniforme N C K I (5) Consideraremos el camo como ositivo. Pero nótese que el camo C de las bobinas uede ser ositivo o negativo según sea el signo de I, es decir el sentido de la corriente que circula or ellas. El valor local de será la segunda incógnita del roblema. (3) N/ es. I C I Fig. N/ es. FSE DE GÓN
Montaje exerimental. En la figura 3 se muestra una fotografía de las bobinas de elmholtz, construidas sobre unos cilindros de metacrilato cubiertos con cinta adhesiva. El número total de esiras es N = ( esiras en cada bobina). El radio de las esiras es = 4,5 cm. Fig. 3 Fig. 4 En la figura 4 se observa la brújula situada en el centro de las bobinas, colgando de un hilo sujeto or una barra y un cilindro de PVC. El sistema está orientado de forma que el eje de la brújula en equilibrio coincide con el eje de las bobinas. En la figura 5 se muestra una fotografía del montaje comleto, incluyendo una ila de alimentación, un otenciómetro ara variar la corriente I y un amerímetro ara medir dicha corriente. El esquema eléctrico se resenta en la figura 6. El eriodo de oscilación torsional de la brújula se mide con un cronómetro manual. obinas Pila rotec. merímetro I Potenciómetro Fig. 6 Fig. 5 Esta rueba exerimental se realizó en la XXII OEF de Murcia en. llí, los articiantes tuvieron que construir realmente el montaje exerimental que a continuación se describe. FSE DE GÓN
Preguntas. En la siguiente tabla se recogen los valores del eriodo de oscilación torsional, T, medidos a intervalos aroximadamente regulares de la corriente entre I = -8 m e I = m. Para mejorar la recisión de T, realmente se ha medido el tiemo t de oscilaciones, y calculado T = t /. I (m) -8,5-59,8-4, -,4,, 4, 6, 8,,, 38,8 6,3 8,3 97,4 T (s),73,45,38,7,5,945,887,8,785,75,7,69,666,644,65 a) eresenta gráficamente en el ael milimetrado los untos y ( I, / T ) x., b) Detera la endiente,, y la ordenada en el origen, y, de la recta que mejor se ajusta a estos untos. c) Deduce los valores de la constante K de las bobinas de elmholtz y del camo magnético local. d) az una estimación razonada de la incertidumbre de la endiente obtenida en el aartado b). e) Teniendo en cuenta lo anterior y la incertidumbre de la constante dada en (4), haz una estimación de la incertidumbre K de la constante de las bobinas que has obtenido en c). FSE DE GÓN
Problema exerimental. Solución a) continuación se resenta la gráfica edida, con el asecto que tendría dibujada en ael milimetrado. T s,5,,5,,5, -, -,5,,5,,5, I () b) En la gráfica anterior también se ha trazado la recta que mejor se ajusta a los untos exerimentales. La endiente,, y la ordenada en el origen, y, de esta recta ueden deterarse a artir de las coordenadas de dos untos de dicha recta. Para mejorar la recisión del resultado interesa tomar dos untos alejados, or ejemlo los untos y indicados en la gráfica, elegidos cerca de los extremos de la recta y coincidentes con cruces en la cuadrícula, ara facilitar la lectura recisa de sus coordenadas. x ; y, 5 ;, 75 s - x - ;, 5 ;, 675 s y y y x x, s - 8 La ordenada en el origen de la recta uede deducirse de las coordenadas de uno de los untos auxiliares (o también uede leerse directamente en la gráfica) y x y y y x y,975 s - Nota: un ajuste analítico or el método de mínimos cuadrados conduce a un resultado muy similar: s - - 8,, y,9736 s FSE DE GÓN
c) De acuerdo con las exresiones (3) y (5) del enunciado, se esera que la deendencia de / T con I sea lineal, con endiente y ordenada en el origen N K y Con los datos del enunciado se obtiene K,76 K N y 5,44 T d) Para hacer una estimación de la incertidumbre de la endiente vamos a trazar las rectas que, con endientes máxima y mínima, se ajustan razonablemente a los untos exerimentales. Para ello hay que tener en cuenta la disersión de los untos resecto a la recta de mejor ajuste, que es nuestro caso es en romedio inferior al radio de los untos dibujados. También es necesario tener en cuenta la incertidumbre estimada ara los roios untos exerimentales. No vamos a tener en cuenta los osibles errores or falta de calibración del amerímetro, ya que no tenemos datos al resecto, ero sí odemos hacer una estimación de la incertidumbre de los valores de / T obtenidos tras cronometrar el eriodo de oscilación. Con el método de medida emleado (romedio de oscilaciones) y suoniendo que el error tíico de un cronometraje manual es del orden de, s, una estimación razonable ara la incertidumbre del eriodo es T,5 s La incertidumbre de / T uede calcularse numéricamente ara cada unto a artir de los valores de T T T y T T T o, de una forma más elegante, tomando incrementos (en valor absoluto) T T 3 T De una forma u otra es fácil comrobar que la incertidumbre de los rimeros untos, los corresondientes a corrientes negativas, es muy equeña, inferior al tamaño de los untos dibujados. Para corriente creciente la incertidumbre va aumentando y, or ejemlo, en el unto de corriente más alta alcanza el valor máximo 4 s, T I97m En total, la "barra de error" del último unto no alcanza dos cuadritos arriba y abajo en la escala de la gráfica dibujada. Teniendo esto en cuenta, y la ya citada escasa disersión de los untos exerimentales resecto a la recta ótima, es razonable considerar las rectas de endientes máxima y mínima que a continuación se resentan, construidas manteniendo fijo el unto auxiliar y con desviaciones de,5 s (un cuadrito) en la coordenada y del segundo unto auxiliar Con este criterio, es inmediato obtener los valores máximo y mínimo estimados ara la endiente, y su incertidumbre - 8, 8 s - 7, 9 s s -, 8 Un cálculo (no onderado) da como resultado una incertidumbre =, s - - con un nivel de confianza del 95%. FSE DE GÓN
T s,5,,5,,5, -, -,5,,5,,5, I () e) En el aartado c) se ha obtenido la constante K alicando la exresión K N Para calcular la incertidumbre de K es necesario "roagar" las incertidumbres de la endiente y de la constante. Un método sencillo y ráido, aunque no muy exacto, de calcular los valores máximo y mínimo de K consiste en onerse en el "eor de los casos", es decir en combinar el valor máximo de en el numerador con el mínimo de en el denoador, y viceversa K K, 74 N, 69 N K, 5 Como las dos fuentes de error consideradas son indeendientes, es más razonable, aunque también algo más laborioso, calcular indeendientemente sus influencias en la incertidumbre de K K K N N K K K, 7 N N K K K, 8 Una estimación razonable de la incertidumbre total de K sería la suma de estas dos contribuciones K K K,5 FSE DE GÓN
Pero, teniendo de nuevo en cuenta que las dos fuentes de error son indeendientes, es más correcto calcularla en la forma K, K K 9 K, El resultado final del exerimento sería K, 7, Nota : el valor de K es bastante mayor que el de K. Por ello, al redondear como es habitual a una única cifra significativa el resultado final, desaarece rácticamente la influencia de En otras alabras, si se quisiese mejorar la recisión del valor de K, sería rioritario conocer con menos incertidumbre. Nota : el valor teórico de la constante K, suuesto que el cable conductor es muy delgado, es K 8 3/ 5, 755 FSE DE GÓN