Matemática 3 Curso 2013 Práctica 3: Variables aleatorias discretas. Funciones de distribución Binomial, Geométrica, Hipergeométrica, Poisson. 1) Dadas las siguientes funciones, determinar cuales son funciones de frecuencia de una variable aleatoria X, y para esas calcular: P(1 X 4); P(X=1); P(X 2) a) ¼ si x=1 o x=4 p(x) = ½ si x=3 b) ¼ si x=1 p(x) = ½ si x=2 c) x 1 2 3 4 p(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 d) (x-2)/2 si x=1, 2, 3, 4 p(x) = 2) Un dado normal es arrojado 2 veces. Considere las variables aleatorias X = máximo de las dos tiradas, Y = el mínimo de las dos tiradas. Calcular: a) Las funciones de frecuencia de X y de Y b) Las funciones de distribución de X y de Y. c) Graficar las funciones calculadas en a) y b) 3) Al examinar los pozos de agua de un distrito buscando algunos tipos de impurezas que suelen encontrarse en el agua potable, se ha determinado que el 20\% de los pozos de ese distrito no tenían ninguna impureza, el 40\% de los pozos tenía la impureza A, y el 50\% de los pozos tenía la impureza B (naturalmente algunos tenían ambas). Si se elige un pozo al azar en ese distrito y se define Y como la variable que cuenta cuántos tipos de impurezas se encuentran en ese pozo. Encuentre la función de frecuencia de Y y grafique. 4) En una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica a ese animal. Si un niño asigna aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos, encuentre la distribución de probabilidad para Y, el número de correspondencias correctas; y grafique. 5) Un examen con multiple choice está compuesto por 15 preguntas, con 5 respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10 preguntas? 6) De un lote de 25 artículos, 5 de los cuales son defectuosos, se eligen 4 al azar. Sea X el número de artículos defectuosos entre los elegidos. a) Obtener la función de frecuencia de X si los artículos se eligen con sustitución.
b) Obtener la función de frecuencia de X si los artículos se eligen sin sustitución. c) Verificar que las funciones obtenidas en a) y b) son funciones de frecuencia. d) Hallar las funciones de distribución acumuladas. e) Calcular las esperanzas y varianzas de ambas variables aleatorias. 7) Un explorador de petróleo perfora una serie de pozos en cierta área hasta encontrar uno productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es de 0.2 a) Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado? b) Cuál es la probabilidad de que el explorador no encuentre ningún pozo productivo, si debe suspender la búsqueda después del décimo pozo perforado? c) Cuál es el número esperado de pozos perforados para encontrar el primer pozo productivo? 8) El número de solicitudes de asistencia recibido por un servicio de remolque de vehículos es un proceso de Poisson con tasa c=4 por hora. a) Calcule la probabilidad de que se reciban 10 solicitudes entre las 16 y las 17 hs. b) Si los operadores de las grúas se toman un descanso de 30 min. Cuál es la probabilidad de que no se pierda ninguna llamada de asistencia durante ese período? 9) El numero de colonias de bacterias de cierto tipo en unas muestras de agua contaminada tiene una distribución de Poisson con una media de 2 por cm 3. a) Cuál es la probabilidad de que una muestra de 1 cm 3 contenga dos o más colonias de bacterias b) Si se toman en forma independiente 4 muestras de un cm 3 de esa agua, encuentre la probabilidad de que al menos una muestra tenga dos o mas colonias de bacterias. c) Si se toma una muestra de 10 cm 3, cuál es la probabilidad de que tenga 16 colonias de bacterias por lo menos? 10) En determinada población la probabilidad de que un niño muera antes del primer año de vida es de 0.0085. Si se consideran 2000 nacimientos de esa población, sea X la variable aleatoria que representa la cantidad de niños, en ese grupo, que mueren antes de cumplir el primer año de vida. a) Cuál es el número medio de niños en ese grupo que morirá antes del año de vida? b) Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5 de esos niños mueran antes del año de vida? c) Cuál es la probabilidad de que mueran entre 15 y 20 de esos niños antes del año de vida? 11) Calcular las medias y varianzas de las variables aleatorias definidas en los ejercicios (2) y (3). 12) Sea X ~ B(n,p); para n fija: a) hay valores de p (0 p 1) para los cuales V(X)=0? Explique por qué esto es así. b) para que valores de p se maximiza la V(X)? 13) Consideremos una enfermedad que se detecta mediante una prueba sanguínea (la suponemos exacta); y sea p la probabilidad de que un individuo tenga esa enfermedad. Se seleccionan n individuos para analizar. Primero se toma una parte de cada muestra de sangre, se mezclan estas muestras y se realiza una sola prueba. Si ninguno tiene la
enfermedad esta prueba da un resultado negativo y no es necesario hacer más análisis. Si por lo menos un individuo tiene la enfermedad, la prueba de la mezcla dará un resultado positivo, y en ese caso será necesario hacer las n pruebas individuales. a) Si p=0.1 y n=3, cuál es el número esperado de pruebas utilizando este procedimiento? b) Y si p=0.1 y n=5? 14) La moda de una variable aleatoria X discreta con función de frecuencia f(x) es el valor k * para el cual f(x) es máxima (el valor más probable) a) Sea X ~ B(n,p), demostrar que la moda k * es el entero que satisface (n+1)p-1 k * (n+1)p b) Sea X ~ P(λ), demostrar que la moda es el máximo entero menor que λ. Si λ es entero, demostrar que λ -1 y λ ambos son modas. 15) Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores 2, 0, 2 con igual probabilidad. a) Encuentre la función de frecuencia de: Y = 2X + 3 Z = 3X 2 W = 2 X - 1 b) Calcule las esperanzas de X, Y, Z. c) Calcule las varianzas de X, Y, Z. 16) En un concurso de pesca cada pescador paga $100 por participar. La cantidad de peces obtenida por cada pescador durante el desarrollo del concurso tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = 4. Hay un premio de $50 por pieza. Cada pescador tiene permitido cobrar a lo sumo 6 piezas (es decir que aunque pesque más de 6, cobrará por 6). a) Calcular la función de frecuencia de la ganancia del pescador. b) Cuánto dinero espera ganar el participante? Práctica 4: Variables aleatorias continuas. Funciones de distribución de probabilidad uniforme, exponencial, normal 1) Sea Y una variable aleatoria con función de densidad: f(y) = c(2-y) si 0 y 2 a) Determinar el valor de la constante c b) Calcular F(y) c) Graficar f(y) y F(y) d) Calcular P(1 Y 2), P( Y >1) e) Calcular E(X) y V(X) f) Calcule la mediana g) Calcule el cuantil 0.25 h) Calcule el 80% percentil 2) El período de funcionamiento hasta su primera falla (en cientos de horas) para cierto transistor, es una v. a. Y con función de distribución dada por:
0 si y<0 F(y) = 1 - exp(-y 2 ) si y>0 a) Demostrar que F(y) tiene las propiedades de una función de distribución b) Obtener la función de densidad f(y) c) Calcular la probabilidad de que el transistor trabaje por lo menos 200 horas hasta tener su primera falla. d) Calcule el cuantil 0.75 e) Calcule la mediana 3) Sea X una v.a. con densidad dada por: f(x) = 8/x 3 si x>2 0 si x<2 Sea W = (1/3) X. Calcule la E(W) de dos formas distintas. 4) El tiempo de vida, en horas, de cierto tipo de tubo de radio es una variable aleatoria que tiene función de densidad dada por f(x) = 0 si x 100 100/x² si x>100 a) Verificar que esta es una función de densidad b) Calcular la probabilidad de que uno de esos tubos deba ser reemplazado antes de las 150 horas de operación c) Puede calcular la media del tiempo de vida de estos tubos? d) Calcule la mediana del tiempo de vida de estos tubos. 5) Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea entre los puntos A y B. a) Encuentre la probabilidad de que esté más cerca de A que de B b) Calcule la probabilidad de que la distancia con respecto a A sea más de tres veces la distancia con respecto a B. 6) La duración, en horas, de una lámpara de un aparato electrónico es una v.a. con distribución exponencial con λ = 1/1000 a) Hallar la probabilidad de que una lámpara dure más de 500 horas b) Cuántas horas de funcionamiento debe garantizar una compañía para que haya una probabilidad de 0.95 de que la lámpara dure por lo menos el número garantizado de horas? 7) Un sistema consta de 5 componentes idénticos conectados en serie. Cuando falla uno de los componentes, falla todo el sistema. Suponga que cada componente tiene una duración que está distribuida exponencialmente con λ=0.01 y que dicha duración es independiente para cada componente. Defina A i = {i-ésimo componente dura por lo
menos t horas}, i=1,...,5 (estos A i son eventos independientes). Sea X = el tiempo en que falla el sistema (esto es la duración más breve entre las cinco componentes) a) El evento (X t), es equivalente a qué evento donde aparecen las A i? b) Por medio de la independencia de las A i, calcule P(X t). Luego obtenga F(t)=P(X t) y la densidad de X 8) Sea X con distribución uniforme en el intervalo (0,1), y sea Y = a + (b-a)x, con a y b constantes, con a < b. Obtener la función de densidad de Y. 9) Sea X con distribución uniforme en el intervalo (0,1), y sea Y = -[ln (1-X)]/ λ, con λ > 0. Demostrar que la v. a. Y tiene distribución exponencial con parámetro λ. 10) La variable Z tiene distribución normal típica. i. Calcular las siguientes probabilidades: (a) P(Z 2.23), (b) P(Z>1.35), (c) P(0<Z<1.2) (d) P(0.3 < Z < 1.56), (e) P(-0.51 < Z < 1.54) ii. Hallar los valores de z que verifiquen: (a) P(Z>z) = 0.5, (b) P(Z<z) = 0.8485, (c) P(Z < z) = 0.0054, (d) P(z<Z<z)=0.90 11) Si X es una variable aleatoria con distribución normal con parámetros: µ=10 y σ²=36 Calcular: (a) P(X > 5), (b) P(4 < X < 16), (c) P(X 8) 12) El diámetro de los pernos producidos por una fábrica tiene una distribución normal con una media de 950 mm y un desvío estándar de 10 mm. a) cuál es el valor de c tal que la probabilidad de que un perno elegido al azar tenga un diámetro menor que c es 0.8531? b) cuál debería ser el desvío estándar en la producción de pernos para que con el c del ítem (a) la probabilidad de tener un diámetro menor que c sea 0.9? 13) La resistencia a la ruptura de cierto tipo de acero, A, es una v. a. con distribución normal con media 43 y desviación típica 4.4. Para otro tipo de acero, B, la resistencia a la ruptura tiene distribución normal con media 44 y desviación típica 6.1. Si se prueban una muestra de cada tipo de acero, para cuál de ellos es menor la probabilidad de que la resistencia sea a lo sumo 40? 14) Una fábrica produce tornillos, las especificaciones indican que el diámetro de los mismos debe estar entre 1.19 y 1.21 pulgadas. Si el proceso de producción es tal que el diámetro de los tornillos es una variable aleatoria con distribución normal con media 1.196 y desviación estándar 0.005 a) qué porcentaje de la producción no satisface las especificaciones? b) cuál debería ser la media para que el porcentaje que no satisface las especificaciones sea mínimo? 15) Sea X con distribución N(µ, σ 2 ) a) Determinar la constante c tal que se cumpla: P(X c) = 2P(X>c) b) Hallar la función de densidad de: i. Y = exp(x) ii. V = X iii. W = ax + b a y b constantes
16) Sean X, V y W como en el ejercicio anterior. a) Calcular E(V), E(W) b) Calcule V(V), V(W)