Descripción breve del tema Variables aleatorias Tema 4 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2 Objetivos Descripción breve del tema Manejar variables aleatorias con soltura. Manejar funciones de distribución, de probabilidad y de densidad con soltura. Calcular esperanzas de variables aleatorias y de transformaciones suyas. Calcular la distribución de una transformación de una variable aleatoria con distribución conocida. Entender el concepto de independencia entre variables aleatorias. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4
Concepto de variable aleatoria Concepto de variable aleatoria Una variable aleatoria asocia un número con cada resultado del experimento aleatorio. Definición. Una variable aleatoria X es una aplicación X: E IR, donde E es el espacio muestral asociado a un experimento. Es aleatoria porque al no conocer el resultado del experimento antes de realizarlo, tampoco e 2 e 1 X conocemos el valor que va a tomar la variable. e 3 X (e 3 ) X (e 2 ) X (e 1 ) IR Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6 Concepto de variable aleatoria Los sucesos que nos interesarán a partir de ahora son del tipo X A donde A es un subconjunto de IR. Con probabilidades P(X A) = P({e E: X(e) A}). Propiedades: 1. P(X A) 0 ; 2. P(X IR) = 1 ; 3. si A 1, A 2, IR son tales que A i A j = para i j, entonces P(X i=1, A i )=Σ i=1, P(X A i ). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7 Descripción breve del tema Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8
El rango de una variable aleatoria El rango de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar. Una variable aleatoria es discreta si su rango es finito o infinito numerable. Ejemplos: nº piezas defectuosas, nº lanzamientos dado hasta un 5. Una variable aleatoria es continua si en su rango contiene un intervalo. Ejemplos: duración batería. Variables aleatorias discretas Dada X una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad asigna a cada posible valor de la variable, la probabilidad de que X tome dicho valor. p: IR [0,1] x p(x) = P(X=x) Cumple que 0 p(x) 1 para todo x y si la variable toma n valores distintos x 1,,x n, entonces Σ i p(x i ) = 1, así P(X A) = Σ xi A p(x i ). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 10 Variables aleatorias discretas Variables aleatorias discretas Supongamos que X es el número de motores averiados en cierta máquina compuesta por tres motores. Dicha variable tendrá como función de probabilidad x 0 1 2 3 p(x) = P(X=x) 0 125 0 375 0 375 0 125 probabilidad 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 Funcion de probabilidad 0 1 2 3 numero motores averiados La función de distribución evaluada en x es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que x. F(x) = P(X x) 1. lim x F(x) = 0 ; 2. lim x F(x) = 1 ; 3. F es no decreciente ; 4. F es continua por la derecha. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 11 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 12
Variables aleatorias discretas La función de distribución de una variable aleatoria discreta será escalonada, F(x) = P(X x) = Σ xi x p(x i ) probabilidad -1 0 1 2 3 4 numero motores averiados Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 13 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Funcion de distribucion Variables aleatorias continuas Como el conjunto de valores que toma una variable aleatoria continua es no numerable, expresiones del tipo Σ i p(x i ) = 1 no tienen sentido. Histograma para la duración de 10000 baterías. Histogram of duracion Histogram of duracion Density 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Density 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 14 duracion duracion Variables aleatorias continuas La curva f que hemos trazado sobre el segundo histograma, lo aproxima muy bien, de hecho tenemos P(2 X 4) 4 2 f(x)dx donde X es la duración, en cientos de horas de una batería. 0 2 4 6 8 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 15 densidad 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Variables aleatorias continuas La función de densidad f describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Cumple: 1. f(x) 0 ; 2. + f(x)dx = 1. 3. Tenemos además P(a X b) = ab f(x)dx. Dada X v.a. continua, cumple P(X = a) = 0 ; P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 16
Variables aleatorias continuas Calculamos la función de distribución de una variable aleatoria continua integrando su función de densidad, F(x) = P(X x) = x f(t)dt 1. lim x F(x) = 0 ; 2. lim x F(x) = 1 ; 3. F es no decreciente ; 4. F es continua. Variables aleatorias continuas Como la función de distribución es una primitiva de la función de densidad, obtenemos la función de densidad derivando la función de distribución, f(x) = df(x)/dx. Estamos manejando f(x) = e x si x > 0 F(x) = 1 e x si x > 0 cumulative probability 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Exponential Distribution 0-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Mean 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 17 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 18 Descripción breve del tema Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 19 Esperanza matemática o media La esperanza o media (µ) de una variable aleatoria es el centro de gravedad de los valores que toma X discreta, µ = E[X] = x i p(x i ) X continua, µ = E[X] = xf(x)dx Propiedades: Dadas X,Y y dos números, a,b 1. E[a+bX] = a+be[x] ; 2. E[X+Y] = E[X]+E[Y]. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 20
Esperanza matemática o media Dada una función g: IR IR, podemos calcular la esperanza de la variable aleatoria g(x) como X discreta, E[g(X)] = g(x i )p(x i ) Mediana La mediana de una variable aleatoria X es un valor Me tal que F(Me) 1/2 ; P(X Me) 1/2 X continua, E[g(X)] = g(x)f(x)dx Si X es una variable aleatoria continua, entonces F(Me) = 1/2. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 21 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 22 Medidas de posición no central El cuantil 0 < α < 1 de una variable aleatoria X es un valor x α tal que la probabilidad de que X sea menor o igual que x α es, al menos, α y la probabilidad de que sea mayor o igual es, al menos, 1 α. F(x α ) = P(X x α ) α ; P(X x α ) 1 α Podemos también hablar de percentiles y de cuartiles P a = x a/100 ; Q i = P 25i donde 1 a 99 y 1 i 3. Medidas de dispersión La varianza de una variable aleatoria X se define σ 2 = Var[X] = E[(X E[X]) 2 ] X discreta, σ 2 = Var[X] = (x i µ) 2 p(x i ) X continua, σ 2 = Var[X] = (x µ) 2 f(x)dx La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza, σ = (Var[X]) 1/2. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 23 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 24
Medidas de dispersión Propiedad. Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = E[X 2 ] µ 2 Dados a,b IR y una variable aleatoria X, tenemos las siguientes propiedades de la varianza 1. Var[b] = 0 ; 2. Var[aX] = a 2 Var[X] ; 3. Var[aX+b] = a 2 Var[X]. Medidas de forma Describen la distribución de la variable aleatoria sin tener en cuenta su escala Momento de orden k respecto del origen, m k = E[X k ] Momento de orden k respecto de la media, µ k = E[(X µ) k ] Coeficiente de asimetría. CA = µ 3 /σ 3 Coeficiente de apuntamiento. CAp = µ 4 /σ 4 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 25 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 26 Descripción breve del tema Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 27 Desigualdad de Chebichev Si una variable aleatoria X tiene media µ y varianza σ 2 y dados k,ε > 0, tenemos las siguientes expresiones equivalentes: P( X µ kσ) 1/k 2 P( X µ ε) σ 2 /ε 2 P(µ kσ < X < µ+kσ) 1 1/k 2 P(µ ε < X < µ+ε) 1 σ 2 /ε 2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 28
Descripción breve del tema Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 29 Transformaciones de vables. aleatorias Dada una variable aleatoria X y una función g: IR IR, queremos estudiar la distribución de la variable aleatoria Y=g(X). F Y (y) = P(Y y) = P(g(X) y) = P(X A y ), donde A y = {x: g(x) y}. En muchos casos este conjunto A y es sencillo de calcular. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 30 Transformaciones de vables. aleatorias Si X es una variable aleatoria discreta, tenemos F Y (y) = P(Y y) = P(g(X) y) = Σ g(xi ) y p X (x i ), además la función de probabilidad de Y será, p Y (y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = Σ g(xi ) = y p X (x i ). Transformaciones de vables. aleatorias Si g es continua y creciente F Y (y)=p(g(x) y)=p(x g 1 (y))=f X (g 1 (y)) En general, si X es una variable aleatoria continua e Y=g(X) con g derivable e inyectiva, tenemos que la función de densidad de Y cumple f Y (y)=f X (x) dx/dy Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 31 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 32
Descripción breve del tema Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 33 Independencia de variables aleatorias Dos variables aleatorias X e Y se dicen independientes si para cualesquiera A,B IR, P((X A) (Y B)) = P(X A)P(Y B) Equivalentemente, para cualesquiera x,y IR P((X x) (Y y)) = P(X x)p(y y) Propiedad. Si X e Y son independientes, Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y] Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 34