Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades

Unidad Didáctica 3 Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad

UD 3 Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades Esta presentación corresponde a la Unidad Didáctica 3 de la asignatura, disponible en PoliformaT, y al capítulo 3 del libro Métodos estadísticos para ingenieros. La presentación se utilizará en clase para repasar los contenidos teóricos de la unidad durante la primera sesión. La mayor parte del tiempo de las otras dos sesiones se dedicará a la resolución de problemas.

UD 3 - Conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades Sucesos Probabilidad: concepto y propiedades Probabilidad Condicional Independencia de sucesos Teorema de Bayes

1.- Introducción Las técnicas descriptivas ya estudiadas son insuficientes cuando lo que se pretende es obtener conclusiones válidas (con razonable seguridad) sobre la población en estudio Inferencia Estadística El Cálculo de Probabilidades constituye la base sobre la cual se construye la Inferencia Estadística es una parte perfectamente elaborada de las matemáticas y se puede desarrollar de forma completamente rigurosa sobre una base axiomática. No obstante este no es el objetivo de este tema ni de la asignatura DEIOAQ Estadística Font: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos Recordar: Población Variable E (Espacio muestral): conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria A (Suceso): cualquier subconjunto A de E Ejemplos: Lanzamientos de un dado Jóvenes españoles entre 20 y 30 años

2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos Suceso seguro : es el asociado a E, que es un subconjunto de sí mismo. Para todos los individuos de la población se verifica dicho suceso Suceso imposible : es el asociado al subconjunto vacío ø de E. No contiene ninguno de los posibles valores de E, por lo que no existe individuo alguno en la población para el que se verifique dicho suceso imposible Suma o reunión de sucesos A y B : es un nuevo suceso C que se verifica si, y sólo si, se verifica al menos uno de los dos sucesos. La suma de dos sucesos A y B se expresa utilizando el signo + ( C = A + B )

2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos Producto o intersección de sucesos A y B : es un nuevo suceso C que se presenta si, y sólo si, se presentan tanto uno como el otro suceso. El producto de dos sucesos A y B lo representaremos como A.B, o bien simplemente como AB. Sucesos excluyentes: son aquellos cuya intersección es el suceso imposible ø. Suceso contrario o complementario: a uno dado A, es aquél que se verifica si, y sólo si, no se verifica A. Se le representa por No-A (o también por A ).

2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos Algunas direcciones web con aplicaciones didácticas sobre probabilidad: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/azar_y_probabilidad/index.htm#intro http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/recursos_atica/ies%20campo%20charro/portada.swf http://students.brown.edu/seeing-theory/index.html#firstpage Probabilidad condicional: http://setosa.io/conditional/ http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html

2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos Autoevaluación: Sea la población constituida por todos los jóvenes españoles. Consideramos los siguientes sucesos: A : ESTATURA mayor que 170 cms. B : el individuo considerado es de sexo femenino. *.- Definir los subconjuntos de individuos de la población asociados a los siguientes sucesos: A+B, AB, no-a. no-b, no-a + no-b, A. No-B *.- Cuál sería el suceso contrario de A + B? *.- Y el de A. B?

2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos Sucesos: A : ESTATURA mayor que 170 cms. B : el individuo considerado es de sexo femenino Población Jóvenes españoles entre 20 y 30 años

2 - Conceptos básicos del C. de P. : Sucesos CHICAS CHICOS ESTATURA>170cm ESTATURA 170cm DEIOAc Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

3 - Probabilidad: Concepto y Propiedades A todo suceso A se le puede asociar un número comprendido entre 0 y 1 al que se denomina probabilidad de dicho suceso, y se le representa por P(A) Interpretación intuitiva: la probabilidad de un suceso no es más que la proporción de individuos de la población considerada en los que se verifica dicho suceso Ejemplo P( obtener un nº >3 ) DEIOAC Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

3 - Probabilidad: Concepto y Propiedades Caso particular: E es finito y por razones de simetría puede asumirse que la probabilidad es la misma para cada uno de dichos valores la probabilidad de un suceso coincide con el cociente entre el número de valores favorables a dicho suceso y el número de valores posibles Autoevaluación: Si un dado es simétrico cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzarlo? Por qué?

3 - Probabilidad: Concepto y Propiedades Autoevaluación: En la población de todos los lanzamientos que se pueden realizar con una chincheta consideramos la variable aleatoria cuyos valores posibles son: 1 si la chincheta cae con la punta hacia arriba y 0 si la chincheta cae con la punta hacia abajo. Sea el suceso "la chincheta cae con la punta hacia arriba" y sea A su subconjunto asociado. Cuántos elementos tiene E? Cuántos elementos tiene A? Es la probabilidad de A el cociente entre casos favorables y casos posibles? Cómo se podría calcular aproximadamente la P(A)?

3 - Probabilidad: Concepto y Propiedades Teniendo en cuenta la definición dada antes para la probabilidad de un suceso, Cuánto vale la probabilidad del suceso seguro E? Cuánto vale la probabilidad del suceso imposibleø? Dado un suceso A, cuánto vale la probabilidad de no-a? Dados dos sucesos A y B, cómo se puede expresar P(A+B)?

3 - Probabilidad: Concepto y Propiedades Propiedades de la Probabilidad: 1.- P(A)>= 0 2.- P(E)=1 3.- Si A y B son sucesos excluyentes: P(A+B)= P(A)+P(B) Axiomas 4.- P(A c )=1-P(A) 5.- P(A)=< 1 6.- P(ø) =0 7.- P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

3 - Probabilidad: Concepto y Propiedades Autoevaluación: Supóngase el experimento consistente en lanzar simultáneamente dos dados que sean perfectamente simétricos. Cuál sería la probabilidad del suceso A "en el primer dado se obtiene un 6" y la del suceso B "en el segundo dado se obtiene un 6"? Cuál sería el suceso A+B? Sería su probabilidad mayor, menor o igual que 2/6? Por qué?

4 - Probabilidad Condicional Dados dos sucesos A y B, la probabilidad de A condicionado a B, P(A/B), es la probabilidad de que se haya presentado el suceso A sabiendo que se ha presentado el suceso B P(A/B) será la proporción de individuos que verifican el suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que verifican el suceso B

4 - Probabilidad Condicional El cálculo de P(A/B) se puede obtener a partir de: P( A / B) P = ( AB ) P( B) P( B / A) P = ( B A ) P( A) P( AB) = P( A). P( B / A) = P( B). P( A / B) DEIOAC Estadística Font: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

4 - Probabilidad Condicional Autoevaluación: Sea la población constituida por los 131 estudiantes que respondieron a la encuesta. Responder a las siguientes cuestiones: Cuál es en dicha población la probabilidad del suceso CHICA? Cuál es la probabilidad del suceso PESO <= 55? Cuál es la probabilidad del suceso (PESO <= 55)/CHICA? Cuál es la probabilidad del suceso CHICA/(PESO <= 55)?

4 - Probabilidad Condicional PESO 40-55 55-70 70-85 85-99 SEXO CHICAS 26 15 1 0 42 CHICOS 0 42 41 5 88 26 57 42 5 130 DEIOAc Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9

4 - Probabilidad Condicional Frequency Table for SEXO by PESOCOD Row 40-55 55-70 70-85 85-99 Total ----------------------------------------------------- chicas 26 15 1 0 42 61,90% 35,71% 2,38% 0,00% 32,31% ----------------------------------------------------- chicos 0 42 41 5 88 0,00% 47,73% 46,59% 5,68% 67,69% ----------------------------------------------------- Column 26 57 42 5 130 Total 20,00% 43,85% 32,31% 3,85% 100,00% PESO/SEXO

4 - Probabilidad Condicional Frequency Table for SEXO by PESOCOD Row 40-55 55-70 70-85 85-99 Total ----------------------------------------------------- chicas 26 15 1 0 42 100,00% 26,32% 2,38% 0,00% 32,31% ----------------------------------------------------- chicos 0 42 41 5 88 0,00% 73,68% 97,62% 100,00% 67,69% ----------------------------------------------------- Column 26 57 42 5 130 Total 20,00% 43,85% 32,31% 3,85% 100,00% SEXO/PESO

5 - Teorema de la Probabilidad Total Dado un suceso B que se presenta siempre asociado a uno de los n sucesos A 1, A 2,..., A n mutuamente excluyentes en que se particiona E Se conocen: P(A i ), P(B/A i ) P(B)? P (B) = P (E B) = P (A 1 B +... + A n B) = = P (A 1 B) +... + P (A n B) = = P (A 1 ) P (B / A 1 ) +... + P (A n ) P (B / A n )

5 - Teorema de la Probabilidad Total Autoevaluación: En un fábrica de conservas se utilizan dos llenadoras de botes. La primera, que tiene una capacidad de 500 botes por hora, produce un 1% de botes defectuosos y la segunda, cuya capacidad es 1000 botes/hora, produce un 2% de botes defectuosos. A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1% y 2%? Si las dos máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de botes defectuosos producidos en total?

6 - Independencia de sucesos Dos sucesos A y B son independientes si se verifica una de las siguientes condiciones equivalentes: ) ( ) ( = ) ( 8. ) ( ) ( = ) ( 7. ) ( ) ( = ) ( 6. ) ( ) ( = ) ( 5. ) / ( = ) / ( 4. ) ( = ) / ( 3. ) / ( = ) / ( 2. ) ( = ) / ( 1. B P A P AB P B P A P AB P B P A P AB P B P A P AB P A B P A B P B P A B P B A P B A P A P B A P Generalización a n sucesos Para cualquier subconjunto de sucesos se verifica que la probabilidad del producto de los sucesos coincide con el producto de las probabilidades

6 - Independencia de sucesos Autoevaluación: En una baraja española (40 cartas, 10 de cada palo) sea el experimento aleatorio sacar una carta al azar y considérense los sucesos siguientes: A = sacar un as B = sacar un oro Calcular: P(A), P(B), P(A/B), P(B/A), P(AB) Son los dos sucesos independientes? Si se trata de adivinar si ha salido un as sirve para algo saber que ha salido un oro? Por qué?

6 - Independencia de sucesos En el experimento aleatorio consistente en lanzar al azar un dado simétrico sean los sucesos: A = obtener un número par B = obtener un número mayor que 3 Son independientes los dos sucesos?

6 - Independencia de sucesos Sea la población constituida por las 50 naranjas de una caja, de las que el 10% están heladas. Se extrae una primera naranja al azar y sea A el suceso "la naranja está helada". Se extrae a continuación (sin volver a reponer la primera naranja extraída) una segunda naranja y sea B el suceso "la segunda naranja está helada". Calcular: P(A), P(B), P(B/A), P(B/No-A) Son los dos sucesos independientes?

7 - Teorema de Bayes E está particionado en n sucesos A 1, A 2 A n mutuamente excluyentes Se conocen P(A i ), P(B/A i ) Se desea conocer P(A k /B) P( A / B) k P( AkB) P( Ak ) P( B / Ak ) = = n P( B) P( A ) P( B / A ) i = 1 i i

Ejercicios Ejercicio 1: El 30% de los enfermos de hepatitis que ingresan en un hospital tienen hepatitis obstructiva que exige una intervención quirúrgica, mientras que el otro 70% tienen hepatitis infecciosa que puede curarse con reposo y medicación. Para diferenciar entre las dos situaciones, se realiza una prueba clínica que pude resultar positiva o negativa. Se sabe que la probabilidad que la prueba resulte positiva es 0,95 cuando los enfermos tienen hepatitis obstructiva y 0,10 cuando la tienen infecciosa. Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, cuál es la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva?

Ejercicios A 1 : Tener hepatitis obstructiva A 2 : Tener hepatitis infecciosa B: la prueba clínica resulta positiva SUCESOS P(A 1 )=0,3 P(A 2 )=0,7 P(B/A 1 )=0,95 P(B/A 2 )=0,1 PROBABILIDADES Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, cuál es realmente la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva? (P(A 1 /B)) Aplicando el Teorema de Bayes P( A1) P( B / A1) 0,3x0,95 P( A1 / B) = = = 0,8 P( B) 0,3x0,95 + 0,7x0,1

Ejercicios Supongamos que en el hospital se producen unos 150 ingresos anuales por hepatítis, y se opera a todos los enfermos que dan positivo en la prueba clinica. A) Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en promedio anualmente? B) Cuántas operaciones innecesarias se producirán anualmente?

Ejercicios Si la prueba da negativa en un enfermo, cuál es a pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga una hepatitis obstructiva?

Ejercicios Recordamos. Autoevaluación: En un fábrica de conservas utilizan dos máquinas llenadoras de botes. La primera, tiene una capacidad de 500 botes por hora, produce un 1% de botes defectuosos y la segunda, con una capacidad de 1000 botes/hora, produce un 2% de botes defectuosos. A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1% y 2%? Si las dos máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de botes defectuosos producidos en total?

Ejercicios Ejercicio 2: Se selecciona un bote de la producción final y se constata que es defectuoso. a) Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera de las dos máquinas? b) Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?

Ejercicios Ejercicio 3: Calcular la probabilidad de obtener al menos un seis en seis lanzamientos de un dado.

Ejercicios Tengo en cuenta que.. MONTAJES EN SERIE 1 2 3 K Si las K componentes de un dispositivo electrónico se montan en serie, el dispositivo falla cuando falla cualquiera de las componentes 1 2 MONTAJES EN PARALELO K Si las K componentes de un sistema se montan en paralelo, el dispositivo funciona mientras funcione al menos una de las K componentes

Ejercicios Ejercicio 4: Ejercicio de Fiabilidad de componentes Un dispositivo está formado por tres componentes diferentes CA, CB y CC montadas tal como refleja el siguiente esquema: CA CB CC (Se asume que un dispositivo formado por componentes en serie funciona sólo si lo hacen todas las componentes, mientras que uno en paralelo lo hace si funciona al menos una de las componentes)

Ejercicios Sean los sucesos: A: componente CA funciona correctamente tras 1000 horas B: componente CB funciona correctamente tras 1000 horas C: componente CC funciona correctamente tras 1000 horas a). Expresar el suceso {Dispositivo continua funcionando al cabo de 1000 horas} a partir de A, B y C b). Sabiendo que P(A)=P(B)=P(C)=0.95, calcular la probabilidad que el dispositivo funcione correctamente al menos 1000 horas, indicando las hipótesis realizadas para el cálculo

Ejercicios Ejercicio 5: El 50% de la población trabajadora de cierta comarca se dedica al sector de servicios, el 12% a la construcción, el 3% al sector primario y el resto al sector industrial. La tasa de desocupación en el sector primario es del 10%, en el sector industrial del 28%, en la construcción del 30% y en el de servicios del 18,6%. a) Calcular el porcentaje de parados en la población b) Calcular el porcentaje de parados que pertenecen al sector industrial

Ejercicios Ejercicio 6: Una empresa que se dedica a la fabricación de CD s, produce un 15% de defectuosos y dispone de tres líneas de producción. La línea A produce 1000 CD s; la línea B, 1200 CD s por hora y la línea C, 1250 CD s por hora. Las proporciones de CD s defectuosos en cada línea se desconocen. En un estudio sobre los CD S defectuosos, se ha constatado que el 30% proceden de la línea A y el 35% de la B. Señalar cuál/es de las siguientes afirmaciones es/son falsa/as. Justifica todas tus respuestas.

Ejercicios a) La proporción de CD s defectuosos de la línea A es del 15.5% b) La proporción de CD s defectuosos de la línea B es del 15.1% c) La proporción de CD s defectuosos de la línea C es del 14.5% d) La proporción de CD s correctos y fabricados por la línea A es del 85% e) La proporción de CD s correctos es del 85%

Ejercicios Ejercicio 7: En un proceso de fabricación de componentes electrónicos utilizan dos líneas de producción diferentes L1 y L2. La línea L2 tiene el doble de capacidad que la línea L1. Desgraciadamente ambas líneas producen componentes defectuosos. La línea L1 produce 0,2% de componentes defectuosos y la L2 0,5%. Si las dos líneas de fabricación funcionan a pleno rendimiento, qué porcentaje de componentes defectuosos se generan? En cierto instante el proceso detecta un componente defectuoso, cuál es la probabilidad de que el componente proceda de la línea L2?

Ejercicios Cuál es el porcentaje de componentes correctos fabricados en total por las líneas L1 y L2? Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L1? Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L2? Se ha tomado al azar un componente y ha resultado correcto, cuál es la probabilidad que proceda de la línea L1? Y de la línea L2?

Ejercicios Ejercicio 8: Un dispositivo está formado por cuatro componentes diferentes CA, CB, CC y CD montadas tal como refleja el siguiente esquema: CA CB CD CC Se conoce que la fiabilidad de las componentes CA, CB y CC es del 80% a las 5000 horas, mientras que la fiabilidad de la componente CD es del 95% a las 5000 horas. Obtener la fiabilidad del dispositivo a las 5000 horas de funcionamiento.

Ejercicios Ejercicio 9: Sean dos sucesos A y B. Se conoce que: P(A)= 0,7 ; P(B)=0,6 ; P(A + B) = 0, 58 Son independientes los sucesos A y B? Justifica tu respuesta.

Ejercicios Ejercicio 10: En cierta área de investigación hay dos empresas (A y B) que se dedican a proporcionar software. La empresa A proporciona el 60% mientras que la B suministra el 40% de la producción total del software específico. Por estudios realizados, se conoce que el 85% del software suministrado por la empresa A se ajusta a la normativa de calidad establecida, mientras que sólo el 65% del suministrado por la empresa B se ajusta a las normas. Calcular la probabilidad de que cierto software lo haya proporcionado la empresa A si se sabe que se ajusta a las normas.

Fuentes: R. Romero y L. Zúnica: Métodos Estadísticos en Ingeniería Estas transparencias NO son unos apuntes, constituyen un guión de las explicaciones hechas en clase con algunos ejemplos adicionales. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-compartir bajo la misma licencia 2.5 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/ DEIOAC Estadística Fuente: Romero, R.; Zúnica, L. R. Métodos estadísticos en Ingeniería. I.S.B.N 84-9705-727-9