LA TEORÍA DE VALOR EXTREMO Y EL RIESGO OPERACIONAL: UNA APLICACIÓN EN UNA ENTIDAD FINANCIERA

Revista Igeierías Uiversidad de Medellí LA TEORÍA DE VALOR EXTREMO Y EL RIESGO OPERACIONAL: UNA APLICACIÓN EN UNA ENTIDAD FINANCIERA Jua Guillermo Murillo Gómez * Recibido: 31/08/2009 Aceptado: 05/10/2009 RESUMEN Este artículo preseta la aplicació de la teoría de valor extremo (EVT) para cuatificar la distribució de pérdidas e riesgo operacioal, a partir de datos iteros y exteros; se aalizaro por separado las distribucioes de frecuecia y severidad, para luego combiarlas y hallar la distribució de pérdidas, la cual se dividió e dos áreas: el cuerpo hasta u umbral, y la cola. Palabras clave: LDA, EVT, severidad, frecuecia, cuerpo de la distribució, cola de la distribució. * MSc. E Igeiería Admiistrativa, Uiversidad Nacioal de Colombia. jgmurillo@udem.edu.co Revista Igeierías Uiversidad de Medellí, vol. 8, No. 15 especial, pp. 59-70 - ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/150 p. Medellí, Colombia

60 Jua Guillermo Murillo Gómez EXTREME VALUE THEORY AND OPERATIONAL RISK: AN APPLICATION TO A FINANCIAL INSTITUTION ABSTRACT This paper presets the applicatio of Extreme Value Theory (EVT) i order to quatify the loss distributio i operatioal risk, from iteral ad exteral data; frequecy ad severity distributios were aalyzed separately, the they were combied to fid the loss distributio, which was divided ito two areas: the body util a threshold ad the tail. Keywords: LDA, EVT, severity, frequecy, distributio body, distributio tail. Uiversidad de Medellí

La teoría de valor extremo y el riesgo operacioal: ua aplicació e ua etidad fiaciera 61 INTRODUCCIÓN Debido a la diversidad, las perturbacioes iteras o exteras, las actividades comerciales y la imprevisibilidad de su icidecia fiaciera, la medició del riesgo operativo es muy distita de los otros tipos de riesgos fiacieros. Si bie alguos tipos de riesgos operativos parece medibles co cierta facilidad como la falla e los sistemas, otros so más complejos de medir por sus características itrísecas, y por la ausecia de datos históricos. El riesgo es la probabilidad de ocurrecia de u eveto egativo debido a la vulerabilidad del sistema y a la complejidad de las operacioes fiacieras; estas últimas so el orige de ua gama de sucesos. Alguas se caracteriza por su baja frecuecia y alta severidad, y sus efectos suele ser devastadores ecoómicamete, como platea Gozález [1]. E estos casos, la metodología empleada es la de Teoría de Evetos Extremos. E u modelo plateado por Fotouvelle et al. [2] para determiar si las regularidades e los datos de pérdida so viables para modelar las pérdidas operacioales, llevado a cabo co datos aportados por seis bacos iteracioalmete activos, se ecotró que hay semejaza e los resultados de los modelos de pérdida operacioal a través de las istitucioes, y que dichos resultados so cosistetes co las estimacioes del riesgo operacioal y el capital de los bacos. Dicho modelo comezó cosiderado la cola de la distribució de pérdida arrojada por cada baco, la líea de egocio y el tipo de acotecimieto. Tres resultados emergiero claramete de este aálisis descriptivo. Primero, los datos de la pérdida para la mayoría de las líeas de egocio y los tipos de acotecimieto se puede modelar por ua distribució tipo Pareto, pues la mayor parte de los diagramas de la cola so lieales cuado está expresados a ua escala de registro-registro. E segudo lugar, la medida de la severidad de los tipos del acotecimieto es costate a través de las istitucioes, y e tercer lugar, los diagramas de la cola sugiere que las pérdidas para ciertas líeas de egocio y tipos de acotecimieto so muy pesadas. E la medició cuatitativa, el aálisis de datos del riesgo operacioal ha llegado a ser exteso, las distribucioes de frecuecia y la severidad se está aalizado por separado; la severidad la divide e dos áreas: el cuerpo hasta u umbral, y la cola. E el cuerpo es de uso frecuete costruir ua fució de distribució empírica, o dados los parámetros a veces se ajusta ua distribució Logormal; mietras, la cola se está modelado co teoría del valor extremo (EVT). Si embargo, es bie sabido que las estimacioes e muestras pequeñas o so muy bueas. [2-4], ha propuesto ua técica de regresió basada e EVT que corrige la estimació para muestras pequeñas del parámetro de la cola; estos autores aplicaro esta técica a seis bacos y obtuviero estimacioes razoables y cosistetes co resultados ateriores usado datos exteros. Este artículo preseta la aplicació de ua metodología para cuatificar la distribució de pérdidas e riesgo operacioal a partir de datos iteros y exteros; se aalizaro por separado las distribucioes de frecuecia y severidad, para luego combiarlas y hallar la distribució de pérdidas, la cual se dividió e dos áreas: el cuerpo hasta u umbral, y la cola. Esta última, se modeló usado teoría extrema del valor extremo (EVT) y el cuerpo, usado LDA (Loss Distributio Approach). 1. ENFOQUE DE DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDAS (LDA) El efoque LDA proporcioa estimacioes para la pérdida, tato por líea de egocio como por eveto. Dicha distribució de pérdida es producto de la combiació etre u proceso estocástico discreto asociado a la frecuecia, y u proceso cotiuo asociado a la severidad de los evetos de riesgo. Este efoque ha sido utilizado e los trabajos de [4-13] co gra éxito e la mo- Revista Igeierías Uiversidad de Medellí, vol. 8, No. 15 especial, pp. 59-70 - ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/150 p. Medellí, Colombia

62 Jua Guillermo Murillo Gómez delació de la distribució de pérdidas, la cual es fudametal para el cálculo de la matriz de capital propuesta por Basilea. 1.1 Pricipales supuestos del LDA E el LDA la pérdida total se defie como ua suma aleatoria de las distitas pérdidas: S= 7 i= 1 8 j= 1 s ij Dode s ij es la pérdida total e la celda i, j de la matriz de pérdidas. Las s ij se calcula como: s ij = N= 1 X N (1) (2) Co N variable aleatoria que represeta el úmero de evetos de riesgo e la celda i, j (frecuecia de los evetos) y X N es el moto de la pérdida e la celda i, j (severidad del eveto). E cosecuecia, las pérdidas so resultado de dos diferetes fuetes de aleatoriedad: la frecuecia y la severidad. E esecia, el modelo LDA tal como se utiliza e el riesgo operativo o e ciecias actuariales asume los siguietes supuestos detro de cada clase de riesgo: a) N y X N la variable frecuecia es ua variable aleatoria idepediete de la variable aleatoria severidad. b) X N las observacioes de tamaño de pérdidas (severidad) detro de ua misma clase se distribuye idéticamete. c) X N las observacioes de tamaño de pérdidas (severidad) detro de ua misma clase so idepedietes. El primer supuesto admite que la frecuecia y la severidad so dos fuetes idepedietes de aleatoriedad. Los supuestos dos y tres sigifica que dos diferetes pérdidas detro de la misma clase so homogéeas, idepedietes e idéticamete distribuidas [10]. 2. TEORÍA DE VALOR EXTREMO PARA EL RIESGO OPERACIONAL Existe, bajo Basilea II, u cojuto de métodos cuatitativos para el cálculo de la carga de capital por riesgo operativo, pero o hay coseso sobre los mejores métodos a emplear. Ua técica que se ha vuelto potecialmete atractiva es la Teoría de Valor Extremo (EVT), la cual o parece ser directamete aplicable a satisfacer las estrictas ormas establecidas por Basilea; esto se debe a que simplemete o hay suficietes datos. Los métodos estádar de modelizació matemática del riesgo utiliza el leguaje de teoría de la probabilidad. Dichos riesgos so variables aleatorias que puede ser cosideradas idividualmete o vistas como parte de u proceso estocástico. Los poteciales valores de ua situació de riesgo tiee ua distribució de probabilidad para las pérdidas derivadas de los riesgos, pero hay u tipo de iformació que está e la distribució, llamada evetos extremos, los cuales se produce cuado u riesgo toma valores e la cola derecha de la distribució de pérdidas. E EVT hay dos tipos de efoques que geeralmete se aplica, los cuales se eucia a cotiuació, [14]. a. El más tradicioal es el modelo de bloques máximos (block-máxima); estos so modelos para grades observacioes recolectadas a partir de grades muestras de observacioes idéticamete distribuidas. Cosiste fudametalmete e partir las observacioes por bloques y e estos ecotrar el máximo. Este método lleva a producir u error por la mala escogecia del tamaño de los bloques. b. U más modero y poderoso grupo de modelos es aquel de exceso de umbral (thershold Uiversidad de Medellí

La teoría de valor extremo y el riesgo operacioal: ua aplicació e ua etidad fiaciera 63 exceedaces); estos so modelos para todo tamaño de observacioes que excede algú ivel superior (high level), y so e geeral los más utilizados e aplicacioes prácticas debido a su uso-eficaz e el maejo de los valores extremos. Al igual que el método block-máxima, esté lleva a u error e la mala escogecia del umbral. Los métodos de umbrales so más flexibles que los métodos basados e el máximo aual porque toma primero todos los excedetes por arriba de u umbral, adecuadamete alto, y de esta maera se usa mucho más datos. Como se expresa arriba, las grades pérdidas por ecima de u umbral establecido so difíciles de clasificar e el Acuerdo de Basilea II, o obstate, es posible idetificar las características de la distribució de pérdidas y desarrollar u modelo de riesgo mediate la selecció de ua determiada distribució de probabilidad, la cual se puede estimar a través de aálisis estadístico de datos empíricos. E este caso la EVT es ua herramieta que trata de dar la mejor estimació posible de la zoa de la cola de la distribució de pérdidas. Icluso e ausecia de datos históricos es útil, ya que puede corregir alguas deficiecias mediate la defiició del comportamieto empírico de las pérdidas, basadas e el coocimieto preciso de la distribució asitótica de su comportamieto. 2.1 Teoría clásica de valores extremos Las distribucioes de valores extremos surge formalmete como distribucioes límite para el máximo o el míimo de ua secuecia de variables aleatorias. Supogamos que X 1, X 2..., so variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas co fució de distribució F, así: F( z) = P( X z) j, z (3) j Luego, para el máximo M = max{x 1, X 2, X 3,...} (4) La fució de distribució, e teoría, viee dada por P(M < z) = F (z) (5) Si embargo, esto o es útil e la práctica porque la fució de distribució F, por lo geeral, es descoocida. Ua posibilidad es usar técicas estadísticas estádar para estimar F del grupo de datos observados y luego sustituir este estimador e la ecuació (5); pero desafortuadamete u pequeño error e la estimació de F puede acarrear ua discrepacia muy grade e F (z), sobre todo si es grade. Otro método alterativo es aceptar que F es descoocido y tratar de mirar la distribució aproximada que pueda teer F (z) que solo se puede estimar usado los datos extremos co ua teoría aáloga al teorema cetral del límite. Si embargo, para cualquier z < z+, dode z+ es el puto fial superior de F, es decir, z+ es el valor más pequeño de z tal que F(z) = 1, se cumple que F ( z) 0 Por lo que la fució de distribució de M degeera e u puto de masa e z+. Para evitar esta dificultad, se reormaliza la variable M : M M b * = a Usado secuecias de costates {a > 0} y {b } tales que: P M b z F az b G z a = ( + ) ( ) (6) La escogecia apropiada de {a > 0} y {b } estabiliza la localizació y escala de M * cuado icremeta, y así se evita la degeeració de M *, como sucedía co M. Revista Igeierías Uiversidad de Medellí, vol. 8, No. 15 especial, pp. 59-70 - ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/150 p. Medellí, Colombia

64 Jua Guillermo Murillo Gómez El rago completo de posibles distribucioes límites para M * está dado por el teorema de los Tipos de Extremos [15] 2.1.1 Teorema [15]: Si existe secuecias {a > 0} y {b }, tales que P M b z G z a ( ) (7) para algua distribució o degeerada G, etoces G perteece solo a ua de estas tres distribucioes: z b G 1(z) = exp exp < z < (8) a 0 z b α G2 ( z) = exp z b exp z > b, a > 0, α > 0 a α z b z b a 0 0 G3 ( z) exp exp = < a, >, α > 1 z 0 (10) Por el cotrario, cada ua de estas distribucioes puede aparecer como límite de la distribució de M b a y e particular, esto sucede cuado G es la fució de distribució de X. Como se mecioó ateriormete, e EVT hay dos efoques que se puede aplicar a los datos de pérdida de ua distribució de probabilidad. El primer efoque se refiere a los máximos (o míimos) valores que toma ua variable e períodos sucesivos, por ejemplo, meses o años. Estas observacioes costituye los feómeos extremos, tambié llamado bloques (o por periodo) máximos. E el cetro de este efoque hay tres tipos de teorema [16], que afirma que sólo hay tres tipos (9) de distribucioes que puede platearse como distribucioes límite (limitig distributios) de valores extremos e muestras aleatorias; dichas distribucioes so del tipo Weibull, Gumbel o Frechet. Este resultado es muy importate, ya que la distribució asitótica de los máximos siempre perteece a ua de estas tres distribucioes, idepedietemete de la distribució origial. Por lo tato, la mayoría de las distribucioes utilizadas e fiazas y e las ciecias actuariales puede dividirse e tres clases, e fució de sus colas pesadas: a) Distribucioes de colas delgadas (light-tail distributios). Co mometos fiitos y colas que coverge a la curva de Weibull o Beta. b) Distribucioes de colas medias (medium-tail distributios). Para todos los mometos fiitos y cuya fució de distribució acumulada dismiuye expoecial e las colas, al igual que la curva de Gumbel, Normal, Gamma o LogNormal. c) Distribucioes de colas gruesas (heavy-tail distributios). Cuyas fucioes de distribució acumulada dismiuye co fuerza e las colas, al igual que la curva de Frechet, T de Studet, Pareto, LogGamma o Cauchy. Las distribucioes Weibull, Gumbel y Frechet puede ser represetadas e u modelo co tres parámetros, coocido como Geeralized Extreme Value distributio (GEV): 1 ξ x µ exp 1+ ξ si ξ 0 σ GEVξ, µ, σ ( X ) = exp exp x µ si ξ = 0 σ Co 1+ ξ x > 0 E dode los parámetros correspode a: µ parámetro de posició σ parámetro de escala ξ parámetro de forma (11) Uiversidad de Medellí

La teoría de valor extremo y el riesgo operacioal: ua aplicació e ua etidad fiaciera 65 El parámetro de forma idica el espesor de la cola de la distribució. Si el parámetro es grade, la cola de la distribució es más gruesa. El segudo efoque e EVT es el método llamado Peaks Over Threshold (POT), adaptado para el aálisis de datos más grade que preseta umbrales altos. El compoete de severidad e el método POT se basa e ua distribució (Geeralised Pareto Distributio - GPD), cuya fució de distribució acumulada es expresada por dos parámetros: ξ x + ξ 1 ξ 1 1 si 0 σ GPDξ, µ, σ ( X ) = x 1 exp si ξ = 0 σ Dode: X X σ 0 si ξ 0, 0 si ξ < 0 ξ y ξ, σ so parámetros de forma y escala, respectivamete. 3. ANÁLISIS DE DATOS Para la aplicació de las dos metodologías, los datos se obtuviero de dos fuetes: la primera, la págia de la Superfiaciera de Colombia e la cual aparece registradas las quejas de los cosumidores del sector fiaciero. Se procesaro las quejas mesuales de los últimos cico años, para luego clasificarlas e los riesgos operativos que establece la circular extera 041 de 2007 de la Superfiaciera. La seguda fuete, ua etidad fiaciera del sector cooperativo 1, la cual aportó los datos de pérdidas ecoómicas e los últimos cico años para cada uo de los riesgos operativos e la líea de Baca miorista. Se realizó u aálisis exploratorio de los datos, co el fi de obteer iformació subyacete e los siete evetos de riesgo e la líea de egocio 1 El ombre de la etidad se omite por compromisos de ética y cofidecialidad. (12) defiida. E particular, debido a la coocida aturaleza del riesgo operativo, el aálisis se cetró e la evaluació de las medidas de asimetría, curtosis e ídice de cola, medidas de posició y escala de la distribució de pérdidas. Además, de explorar el cojuto datos de los siete evetos de riesgo e la líea de egocio, se aplicó el procedimieto del LDA para geerar la distribució de pérdidas. Para cada casilla de la matriz se realizó ua simulació co u milló de iteracioes e el programa @risk. El objetivo de este procedimieto es fortalecer el poder iformativo de los datos sobre los mometos descoocidos de la població y, por otro lado, proporcioar ua mayor protecció de la cofidecialidad de las pérdidas aportadas por la etidad fiaciera. Por último, se separaro el cuerpo de la distribució y la cola a partir del percetil 99.9% de la distribució de pérdidas. 20.000 15.000 10.000 5.000 0 Fraude itero Evetos de riesgo presetados e los últimos cico años Fraude extero Relacioes... Clietes Daños a... Fallas... Ejecució y... Figura 1. Evetos de riesgo presetados e los últimos cico años Fuete: Elaboració propia Como se observa e la figura 1, la mayor cocetració de evetos de riesgo se presetó e ejecució y admiistració de procesos: 15.587 evetos que represeta el 40.67%, los clietes. Las fallas tecológicas tambié presetaro frecuecias altas, auque ecesariamete esto o se traduce e motos ecoómicos similares o proporcioales a la catidad de evetos. Revista Igeierías Uiversidad de Medellí, vol. 8, No. 15 especial, pp. 59-70 - ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/150 p. Medellí, Colombia

66 Jua Guillermo Murillo Gómez 350.000.000 150.000.000 50.000.000 Pérdidas ecoómicas por riesgo operacioal e los últimos cico años Fraude... Fraude... Relació... Clietes Daños a... Figura 2. Pérdidas ecoómicas por riesgo operacioal e los últimos cico años Fuete: Elaboració propia La figura 2 muestra que las mayores pérdidas ecoómicas se presetaro por fraude extero, el 51.02%, y auque esto represetaba el 2.88% de los evetos e la tabla aterior, resultó más costoso para la etidad. Fallas tecológicas y daños a activos físicos tambié presetaro pérdidas elevadas. 3.1 Pruebas de bodad de ajuste para los datos Fallas... Ejecució... Para la frecuecia de los evetos de riesgo (tabla 1), se realizó u ajuste co dos de las distribucioes de probabilidad recomedadas por Shevcheko y Doelly [13]: la distribució de Poisso y la Biomial Negativa; la prueba utilizada para el ajuste es la K-S co u alpha de 0.05. Los resultados mostraro que e cuato a los datos de frecuecias, o se puede aceptar como represetativo el comportamieto propuesto, la distribució de Poisso, dado que su p- value bilateral fue muy iferior a 0.05 (se rechaza H 0 ). E cambio, e cuato al ajuste a la distribució biomial egativa, o se ecuetra evidecia estadística para afirmar que los datos sigue otro comportamieto que el propuesto, dado el ivel de sigificacia (o se rechaza H 0 ), excepto los activos fijos cuyo valor de p es iferior a 0.05. Tabla 1 Ajuste de los evetos de riesgo a ua distribució de probabilidad co variable discreta Ajuste de datos a la distribució de probabilidad de Poisso H 0 : F(x) obs =F(x) teo(poisso) K-S, bilateral alpha 0.05 P-value bilateral Ajuste de datos a la distribució de probabilidad de Bieg H 0 : F(x) obs =F(x) teo(bieg) K-S, bilateral alpha 0.05 P-value bilateral F. Itero <0.0001 0.614 F. Extero <0.0001 0.054 Laborales <0.0001 0.088 Clietes <0.0001 0.279 Activos Fijos <0.0069 0.000* Tecológicas <0.0001 0.603 Procesos <0.0001 0.974 Fuete: Elaboració propia. Para la severidad se postularo tres distribucioes de probabilidad: la ormal, Logormal y Weibull; el estadístico de prueba fue el K-S co u alpha de 0.05. Los resultados del ajuste (tabla 2) muestra que o se ecotró evidecia estadística para afirmar que los datos sigue otro comportamieto que el propuesto. Dado el ivel de sigificacia, los datos de la severidad se ajustaro a las distribucioes de probabilidad propuestas. Cabe observar que los mejores ajustes está e la distribució ormal a excepció de las variables fraude itero y activos fijos las cuales se ajustaro mejor a la distribució Weibull. Uiversidad de Medellí

La teoría de valor extremo y el riesgo operacioal: ua aplicació e ua etidad fiaciera 67 Tabla 2. Ajuste de la severidad a ua distribució de probabilidad co variable cotiua Tabla 3. Elecció de la distribució de severidad para la distribució de pérdidas Estadístico de prueba K-S, bilateral alpha 0.05 P-value bilateral Ajuste de datos a la distribució de probabilidad Normal H 0 : F(x) obs =F(x) teo(normal) Ajuste de datos a la distribució de probabilidad Logormal H 0 : F(x) obs =F(x) teo(logormal) Ajuste de datos a la distribució de probabilidad Weibull H 0 : F(x) obs =F(x) teo(weibull) Estadístico de prueba K-S, bilateral alpha 0.05 P-value bilateral Ajuste de datos a la distribució de probabilidad Bieg (frecuecia) Ajuste de datos a la distribució de probabilidad Normal (severidad) Ajuste de datos a la distribució de probabilidad Logormal (severidad) Ajuste de datos a la distribució de probabilidad Weibull (severidad) F. Itero 0.175 0.141 0.336* F. Extero 0.277* 0.064 0.058 Laborales 0.957* 0.058 0.462 Clietes 0.480* 0.088 0.345 F. Itero 0.614* 0.175 0.141 0.336* F. Extero 0.054* 0.277* 0.064 0.058 Laborales 0.088* 0.957* 0.058 0.462 Clietes 0.279* 0.480* 0.088 0.345 Activos Fijos 0.404 0.131 0.468* Tecológicas 0.907* 0.118 0.810 Activos Fijos Tecológicas 0.000 0.404 0.131 0.468* 0.603* 0.907* 0.118 0.810 Procesos 0.753* 0.081 0.669 Procesos 0.974* 0.753* 0.081 0.669 Fuete: Elaboració propia. Fuete: Elaboració propia. 3.2 Elecció de las mejores combiacioes para la distribució de pérdida La tabla 3 muestra las combiacioes que se utilizaro e el cálculo de la distribució de pérdidas, excepto e la variable activos fijos, e la cual se utilizó ua distribució geeral para los evetos. Estas combiacioes se tomaro co base e los mejores estadísticos de prueba (K-S) e cada uo de los ajustes. Para hacer la elecció de la distribució de severidad que debe acompañar la distribució de frecuecia, se utilizó el mayor p-value de las distribucioes de severidad, como se muestra e la tabla 3. 3.3 Estimació de la distribució de pérdidas La variable que se pretede modelar es la pérdida ecoómica S; dicha variable se deriva de la combiació de la frecuecia de los evetos y la severidad e riesgo operacioal. Para este propósito, dado que el modelo de ETV estudia el comportamieto de los extremos o evetos raros, es ecesario aplicar a la variable aleatoria de estudio S, ua metodología de maera que se obtega resultados cogruetes teóricamete. Para el cálculo de S, se siguió el algoritmo propuesto por [6] realizado simulacioes de 1 000.000 de datos (figura 3). Revista Igeierías Uiversidad de Medellí, vol. 8, No. 15 especial, pp. 59-70 - ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/150 p. Medellí, Colombia

68 Jua Guillermo Murillo Gómez Pérdida por evetos 31.005.200 30.950.520 30.760.900 30.350.850 30.333.110 155.315 125.112 116.520 115.400 30.650 Evetos de pérdida Frecuecia de los evetos 0 1 2 3 4 Severidad de los evetos 0-10 11-20 21-40 41-70 >70 Simulació de Motecarlo Media Distribució total de pérdidas Pérdida agregada aual Perc. 99vo Fuete: Marcelo Cruz. Alí Samad Kha Figura 3. Procedimieto LDA Fuete: Elaboració propia. Y se obtuvo el siguiete resultado para fraude itero: Distribució de pérdida para Fraude itero 7 406 8 5,0% 5,0% Distribució de pérdida para fraude itero W 7 Miimum 0.0000 Values x 10^ 9 6 5 4 3 2 1 0 @ RISK for Excel Palisade Corporatio Maximum 3.032E+009 Mea 126413166.8448 Mode 8510576.6126 Media 78842955.0471 Std Dev 146152349.1810 Skewess 2.9446 Kurtosis 18.0521 Values 1000000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Values i millios Figura 4. Distribució de pérdida para fraude itero Fuete: Elaboració propia. Uiversidad de Medellí

La teoría de valor extremo y el riesgo operacioal: ua aplicació e ua etidad fiaciera 69 Las estimacioes de los mometos empíricos idica que las distribucioes de pérdida de los siete evetos e la líea de egocio so muy sesgadas a la derecha y, sobre todo, preseta colas muy gruesas co respecto a ua distribució ormal. Co el fi de apreciar mejor las peculiaridades de estos datos, se puede observar e la figura 4 los valores de la asimetría y la curtosis, las cuales so, respectivamete, 2.94 y 18.05. Lo aterior idica la presecia de pérdidas de baja frecuecia y alta severidad; este tipo curvas maifiesta la posibilidad de pérdidas catastróficas. 54 44 34 24 14 4 6 Gráfico Q Q para la pérdida por fraude itero co severidad Weibull 6 4 14 24 34 44 54 Figura 5. Gráfico Q-Q para la pérdida por fraude itero co severidad Weibull Fuete: Elaboració propia. E la figura 5 se puede cofirmar la presecia de colas gruesas. 3.4 Cálculo del estimador de Hill [17] ξ. Este método [4],se emplea para estimar el parámetro característico (tabla 4) de la Distribució Geeralizada de Pareto, teiedo e cueta aquellos valores que excede u determiado umbral. Para ello, se ha tomado como umbral el percetil 99.9% calculado e la distribució de pérdidas y defiido por Basilea, para cotar co ua muestra de 1.000 observacioes e cada uo de los siete evetos de riesgo. Como se observa e la tabla 4, el parámetro característico idica la presecia de colas gruesas; cabe aotar que las distribucioes de probabilidad que se ecotraro e los datos de las colas so la Expoecial y la Beta Geeral. La curtosis de los datos os muestra de que las distribucioes de las colas so lectocúrticas y simétricas positivas. E riesgo operacioal, la lectocurtosis implica ua alta probabilidad de ocurrecia de ua pérdida ecoómica; lo iteresate para este caso, por ecotrase que las pérdidas está por ecima del percetil 99.9%, esto las ubicaría e las pérdidas de baja frecuecia pero de alto impacto ecoómico. Tabla 4. Estimació de los parámetros de las colas de las distribucioes de pérdidas F. Itero ξ 0.1603 Distribució Expoecial Clietes A. Fijos Procesos 0.1443 0.1194 0.1287 0.1117 0.0890 Beta geeral Beta geeral F. Extero 0.1588 Expoecial Laborales Expoecial Tecológicas Expoecial Beta geeral K-S D Curtosis Simetría 0.022 22.84 3.06 0.032 12.08 2.47 0.032 15.06 2.64 0.012 8.29 1.89 0.016 7.52 1.77 0.019 10.76 Fuete: Elaboració propia. 4. CONCLUSIONES 2.17 0.014 6.93 1.74 E la modelizació de las pérdidas e la cola, hay que explorar alguos métodos para determiar cuál preseta u mejor comportamieto para la etidad e cuato a la estimació de las pérdidas por ecima de u umbral. La modelizació de las pérdidas que supera u umbral geera problemas de elecció etre variaza Revista Igeierías Uiversidad de Medellí, vol. 8, No. 15 especial, pp. 59-70 - ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/150 p. Medellí, Colombia

70 Jua Guillermo Murillo Gómez y sesgo. Umbrales bajos supoe modelizacioes co mayor úmero de observacioes y, por tato, miimiza la variaza auque puede icremetar el sesgo por tomar como muestra valores o extremos. Umbrales elevados reduce el sesgo pero geera modelizacioes co mayor variaza. La elecció del umbral puede ser ua de las prioridades a la hora de aplicar el modelo de valor extremo; determiar el valor del umbral permite ua modelizació óptima, dado el efecto ecoómico que produce e la etidad el tipo de cola que presete la distribució de pérdidas. E la gestió del riesgo operacioal, es importate u cotrol efectivo sobre los evetos y las severidades, dado que el parámetro característico puede ser la maifestació de ausecia efectiva e el cotrol de alguos riesgos. Esto se puede observar e el tipo de cola que preseta la distribució de pérdidas. REFERENCIAS [1] M. Gozález, Aálisis del uevo acuerdo de capitales de basilea, pyme-risk, coutry-risk y operatioal-risk, 2004. [2] P. Fotouvelle, J. Jorda, ad E. Rosegre, Implicatio of alterative operatioal risk modelig techiques, Federal Reserve Bak of Bosto; FitchRisk, 2004, p. 45. [3] P. Fotouvelle, V. DeJesus-Rueff, J. Jorda et al., Usig loss data to quatify operatioal risk, Federal Reserve Bak of Bosto, 2003, p. 32. [4] R. Huisma, K. Koedijk, C. Kool et al., Tail-idex estimates i small samples, Joural of Busiess & Ecoomic Statistics, vol. 19, o. 2, pp. 208-216, 2001. [5] I. Akkizidis, ad V. Bouchereau, Guide to optimal operatioal risk & Basel II, Boca Rató: Auerbach Publicatios, 2006. [6] M. Cruz, Modelig, measurig ad hedgig operatioal risk, New York: Joh Wiley & Sos, 2002. [7] M. Dege, P. Embrechts, ad D. Lambrigger, The quatitative modelig of operatioal risk: betwee g-ad-h ad EVT, http://www.actuaires.org/astin/ Colloquia/Orlado/Papers/Dege.pdf, 2006]. [8] K. Dutta, ad J. Perry, A tale of tails: a empirical aalysis of loss distributio models for estimatig operatioal risk capital, http://papers.ssr.com/sol3/ papers.cfm?abstract_id=918880, 2006]. [9] A. Frachot, P. Georges, ad T. Rocalli, Loss distributio approach for operatioal risk. Credit Lyoais, http://papers.ssr.com/sol3/papers.cfm?abstract_ id=1032523, 2001]. [10] A. Frachot, O. Moudoulaud, M. Olivier et al., Loss distributio approach i practice. Paris: Crédit Lyoais, http://papers.ssr.com/sol3/papers. cfm?abstract_id=1032592, 2003]. [11] C. Lee, Measurig ad maagig operatioal risk i fiacial istitutios, New York: Joh Wiley & Sos, 2001. [12] J. Nešlehová, P. Embrechts, ad V. Chavez, Quatitative models for operatioal risk: extremes, depedece ad aggregatio, http://www.sciecedirect. com/sciece?_ob=articleurl&_udi=b6vcy- 4JT3S3H-1& _user=10& _rdoc=1& _f mt=& _ orig=search&_sort=d&_docachor=&view=c&_ searchstrid=996168640&_reruorigi=scholar. google&_acct=c000050221&_versio=1&_urlversio=0&_userid=10&md5=8dad51c73ac74104f9df8c 9d3eb36841, 2005]. [13] P. Shevcheko, ad J. Doelly, Validatio of the operatioal risk LDA model for capital allocatio ad AMA accreditatio uder Basel II, CMIS Cofidetial report prepared for Basel II programme ANZ bak, 2005. [14] O. Veladia, Comportamieto asitótico del var como medida de valor extremo, http://www.matematicas. ual.edu.co/academia/programas/documetos_tesis/1-2007/4.pdf, 2007]. [15] B. V. Gedeko, Sur la distributio limite du terme maximum d ue serie aleatoire, Aals of Mathematics, vol. 44, pp. 423-453, 1943. [16] R. A. Fisher, ad L. H. C. Tippet, Limitig forms of the frequecy distributio of the largest or smallest member of a sample, Mathematical Proceedigs of the Cambridge Philosophical Society, vol. 24, o. 2, pp. 180-190, 1928. [17] B. M. Hill, A simple geeral approach to iferece about the tail of a distributio, Aals of statistics, vol. 3, o. 5, pp. 1163-1174, 1975. Uiversidad de Medellí