Banco de preguntas para el primer eamen departamental Ecuaciones Diferenciales Resp. Dr. José Eligio Moisés Gutiérrez Arias Ejercicio 1 Veri que que las ecuaciones siguientes sean homogéneas resuélvalas. a. ( )d + = 0; b. 3 = 0; c. = 3( + ) tan 1 + ; d. sen d = sen + ; e. = + e ; Ejercicio Demuestre que la sustitución z = a + b + c cambia = f(a + b + c) en una ecuación con variables separables aplique este método para resolver las ecuaciones siguientes a. = ( + ) ; b. = sin ( + 1); c. = 3 d. = cos( ) Ejercicio 3 a) Si ae 6= bd, demuestre que las constantes h k se pueden escogerde tal modo que las sustituciones = z h; = w k; reducen d = F a+b+c d+e+f a una ecuación homogenea en las variables z w. b) Si ae = bd, descubra una sustitución que reduzca la ecuación del inciso a), en otra que tenga variables separables. Ejercicio 4 Resuelva las ecuaciones siguientes ocupando el ejercicio anterior: a. b. d = ++4 6 d = ++4 + 6 c. ( + ) d + ( + 4) = 0 d. ( + + 1) d + ( + 1) = 0 1
Ejercicio 5 Determine cuáles de las ecuaciones siguientes son eactas resuelva las que lo sean. 1. ( + ) + d = 0:. (sen tan + 1)d+cos sec = 0: 3. ( 3 )d + ( + 3 ) = 0: 4. ( 4 + 5)d = (4 + 4) 5. ( + cos )d + ( + cos ) = 0: 6. cos cos d + sen sen cos = 0: 7. (sen sen e ) = (e + cos cos )d: 8. 1 sen d sen = 0: 9. (1 + )d + (1 ) = 0: 10. ( 3 + cos )d + (3 + sen ) = 0: 11. d = 1 d + 1 : Ejercicio 6 Resuelva las ecuaciones siguientes, encontrando un factor integrante: a. (3 ) d = 0: b. ( 1) d + ( ) = 0: c. + d + 3 3 4 = 0: d. (3 + ) ( + ) = 0: e. ( ) d + = 0: f. ( 4 e + 3 + ) d + ( 4 e 3) = 0: Ejercicio 7 Resuelva las ecuaciones siguientes: a. d = (1 + ) : b. d = 3 : c. = ( 5 + 3 + ) d: d. ( + ) = ( ) d: e. = ( + + 9 ) d: Ejercicio 8 Resuelva los siguientes ejercicios como ecuaciones lineales: a. d 3 = 4 : b. + = 1 1+e : c. (1 + ) + d = cot d: d. + = e + : e. + cot = csc : f. ( 3 ) d = :
Ejercicio 9 La notacion habitual =d implica que es la variable independiente e la dependiente. Al tratar de resolver una ecuanción diferencial, resulta a veces útil remplazar por ; trabajar con la ecuacion resultante. Aplíque este metodo a las ecuaciones siguientes: a. (e )= ; b. = e : Ejercicio 10 Entre las ecuaciones diferenciales que siguen ha algunas representativas de todos los tipos. Resuelva. 1. (1 )=. ( + 3 + 1)d + ( 3 + 5) = 0 3. = p + 4. d = ( 3 ) 5. ( 3 + )d = ( 3 ) 6. + d = cos d 7. = + d 8. (e 3 )+ e = 3 9. + () = 0 10. ( + )d = 11. + = cos 1. (6 + 4 + 3)d + (3 + + ) = 0 13. cos( + )d = sin( + )d + sin( + ) 14. ( e + cos )d + (e + e ) = 0 15. log( ) = 1 + log( ): 16. + = e : 17. ( + 3 )d = ( ) 18. (1 + )+ = 4 3 : 19. e sin d + e cos = sin d + sin : 0. (1 + )+ = 0 1. (e + ) = ( e )d:. e (1 + )d = (e e ): Ejercicio 11 En los problemas del 1 al 4, encuentre la solución general de cada ecuación diferencial dada. 3
1. + 1 = sin ; > 0. (sin ) + 3 = ; < 0 3. + (tan ) = sin ; = < < = 4. + = e ; > 0 Ejercicio 1 En los problemas del 1 al 4, encuentre la solución de cada problema con valores iniciales dado. Indicar el intervalo en el que es válida la solución. 1. + = + 1; (1) = 1. + = e ; (1) = 1 3. + (cot ) = csc ; ( ) = 1 4. + = sin ; () = 1 Ejercicio 13 Resuelva cada una de las ecuaciones de los problemas del 1 al 8. Indique las regionesdel plano para las que se satisfacen las condiciones del teorema fundamental de eistencia unicidad. d = 1.. d = (1+ 3 ) 3. + sin = 0 4. = 1 + + + 5. = (cos )(cos ) 6. = (1 ) 1 7. d = e +e 8. d = 1+ Ejercicio 14 En cada uno de los problemas, del 1 al 5 encuentre un factor integrante resuelva la ecuación dada. 1. (3 + + 3 )d + ( + ) = 0. 0 = e + 1 3. d + sin = 0 4. d + ( e ) = 0 5. e d + (e cot + csc ) = 0 Ejercicio 15 Demuestre que las ecuaciones de los problemas 1 al 15 son homogéneas, encuentre sus soluciones. 1. 3. 5. d = +. d = 0 d = ++ 4. d = +3 d = 4 3 6. d = 4 3 7. d = +3 8. ( +3 + )d = 0 9. d = + 10. ( + ) d = 0 11. ( ) + ( + ) = 0 4
1. + 0 = 0 13. ( + ) 0 = 14. 3 d + ( 4 + 4 ) = 0 15. ( + p ) d = Ejercicio 16 Resolver los siguientes problemas por cualquier método. 1. d = 3. ( + )d ( ) = 0 3. d = + 3+3 ; (0) = 0 4. ( + e ) d = 0 5. d = + +1 + 6. d 7. d = 8. d 9. d = + = 1 ; (1) = 0 + 3 sugerencia : sea u = + = sin +1 + ; () = 1: 10. (3 + )d ( + ) = 0 11. ( + )d + ( + e ) = 0 1. d + = 1 1+e 13. d = () 1 d 14. ( + )d + ( + ) = 0; () = 3 15. (e + 1) d = 16. d = + e 17. d = e + 3 18. ( + 3)d = 19. d = ; (1) = 0. 0 = e + 1. 0 = + e. d = 1 +1 ; ( 1) = 1 3. 0 + e = 0 4. sin cos d + cos sin = 0 5. + d + + = 0 6. ( + 1)d + = 0 5
7. (cos sin )d tan sin = 0 8. 9. 30. d = 3 3 +3 d = +p d = 3 1 ; (0) = 1 31. ( + )d + ( ) = 0 3. d = 3 + 3 +3 ; (1) = Ejercicio 17 Determinar el tipo (ordinaria o parcial), linealidad, orden grado de las ecuaciones diferenciales siguientes: 1. + d = 0. () 3 = 3 1 3. d 3 d 3 4 4. 4 d d d 5 + = 0 d d = 4 d3 d 3 @u 5. @t = 4 @ u @ + @u @ 6. d 3 = sin 7. + = sin Ejercicio 18 Determinar el tipo (separable, homogénea, eacta, lineal) de las ecuaciones diferenciales 1. ' 1 () 1()d = ' () (). () = e sin sin 3. + + = 0 4. ( + 1) + ( + 1) 4 d = 0 5. = + p + 6. = 3 7. e ( + ) = 1 Ejercicio 19 Encontrar la solución general (ECUACIONES SEPA- RABLES). 1. d = e3. = 3. sin e d = 4. d = 1+ 6
5. 6. = d 1+ p + 1 d = 7. = 8. ln d = (+1) 9. = e 10. ( + 9) + = 0 Ejercicio 0 Resolver el problema con valor inicial. 1. ( 1)+ = 0; (0) = 1. cot + = ; (0) = 1 3. = 4; (0) = 4. ( 1)+ = 0; (0) = 1 5. = 3 =3 ; () = 0 Ejercicio 1 Hallar la solución general (ECUACIONES HOMOGÉNEAS) a) ( ) = ( )d b) ( + ) d = 0 c) + = d) ( + p )d = Ejercicio Resolver el problema con valor inicial. ( + ) = d (0) = 1 Ejercicio 3 Encontrar la solución general (ECUACIONES EXAC- TAS). a. d + ( ) = 0 b. (1 + p p )d = 0 c. e d ( + e ) = 0 d. (1 + sin )d cos = 0 e. (sin + sin )d + ( cos + cos ) = 0 f. d + = 0 g. + + = 0 h. ( cos + e ) + (sin + e 1) = 0 i. d + ( 1) = 0 j. ( + 3 )d + ( 3 3 ) = 0 k. e d [ + e ] = 0 l. cos = [1 + sin()] d 7
Ejercicio 4 Obtener la solución general (ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN) 1. = 4. ( + 1)= 4 + 3. ( + e )d = 0 4. + sin = e cos 5. + d = 8 cos d 8