Decrició breve del tema Iferecia Etadítica Tema 7. Itroducció. Itervalo de Cofiaa Determiació del tamaño muetral 3. Cotrate de hiótei Geeralidade de lo cotrate Metodología del cotrate Regió de rechao y -valor Relació etre IC y cotrate de hiótei Alguo cotrate articulare Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III Objetivo Decrició breve del tema Etudio de la etimació mediate cojuto, lo Itervalo de Cofiaa. Realiació de cotrate de hiótei etadítica co ivele de igificació fijado de atemao y mediate -valore.. Itroducció. Itervalo de Cofiaa Determiació del tamaño muetral 3. Cotrate de hiótei Geeralidade de lo cotrate Metodología del cotrate Regió de rechao y -valor Relació etre IC y cotrate de hiótei Alguo cotrate articulare Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 3 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 4
Itroducció Ua hiótei e cualquier afirmació co la que ereamo ua creecia obre ua ditribució oblacioal. U cotrate de hiótei e ua rueba etadítica que o idica i debemo rechaar (o o) tale afirmacioe a artir de la obervacioe de ua muetra. A artir de ua muetra, cotruiremo tambié etimadore que toma como valor u itervalo. Decrició breve del tema. Itroducció. Itervalo de Cofiaa Determiació del tamaño muetral 3. Cotrate de hiótei Geeralidade de lo cotrate Metodología del cotrate Regió de rechao y -valor Relació etre IC y cotrate de hiótei Alguo cotrate articulare Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 5 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 6 Itervalo de Cofiaa Dada ua robabilidad fijada de atemao odemo cotruir u itervalo a artir de la iformació que o roorcioa ua muetra aleatoria X,X,,X y que cotiee u arámetro θ co robabilidad. Obteemo u Itervalo de Cofiaa co ivel de cofiaa utituyedo lo etimadore de θ or u etimació. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 7 P P Itervalo de Cofiaa Cotrucció de u IC, método del ivote. El objetivo e bucar do etadítico, tale que ( θ ( X, X, K, X ) < θ < θ ( X, X, K, X )) = Partimo de u etimador de θ co ditribució coocida, i e Normal, teemo ( θ ) i < θ < θ = θ ~ N( θ, ) θ θ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 8 θ
Itervalo de Cofiaa U IC ara el arámetro θ al ivel de cofiaa cotruido a artir de u etadítico co ditribució ormal tedrá la forma θ [ θ, θ ] θ θ dode P(Z ) = ara Z~N(,). Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 9 Itervalo de Cofiaa Determiació del tamaño muetral. E geeral, u IC ara θ uede ecribire como [ θ a, θ b] dode a y b deede de. El ivel de cofiaa ;. La variaa del etimador de θ ; 3. El tamaño muetral. El tamaño muetral afecta a la variaa del etimador. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III Itervalo de Cofiaa Determiació del tamaño muetral. Fijado u ivel de error e la etimació del arámetro (equiv. la amlitud del IC), odemo calcular el tamaño muetral. Bata reolver la ecuació ab = A, dode A e la amlitud deeada del IC. Decrició breve del tema. Itroducció. Itervalo de Cofiaa Determiació del tamaño muetral 3. Cotrate de hiótei Geeralidade de lo cotrate Metodología del cotrate Regió de rechao y -valor Relació etre IC y cotrate de hiótei Alguo cotrate articulare Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III
Cotrate de Hiótei Mediate u cotrate de hiótei, cotratamo ua afirmació obre la oblació a artir de ua muetra. La afirmació que queremo cotratar recibe el ombre de hiótei ula (H ) la duració media de u aalgéico e µ, H : µ = µ No rechaamo la hiótei ula, alvo que haya ua fuerte evidecia e cotra uya. Cotrate de Hiótei La hiótei alterativa (H ) e lo que ocurre cuado o ocurre H H : µ µ H : µ < µ Para rechaar la hiótei ula (y quedaro co la alterativa), lo dato ha de motrar ua gra evidecia a favor de H. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 3 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 4 Cotrate de Hiótei Tio de hiótei Simle: eecifica u valor úico del arámetro H : µ = µ Comueta: el arámetro uede tomar vario valore H : µ µ Tio de cotrate Bilaterale: o iterea valore a dcha. e iq. de uo fijo H : µ = µ ; H : µ µ Uilaterale: ólo o iterea lo valore a u lado H : µ = µ ; H : µ < µ equiv. a H : µ µ ; H : µ < µ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 5 Cotrate de Hiótei Si deeamo garatiar algo, debemo oerlo e la hiótei alterativa. Ate u euciado del tio Podemo afirmar que la media oblacioal e uerior a µ? lateamo: H : µ = µ ; H : µ µ Si o lateamo el refutar algo, debemo oerlo e la hiótei ula (u cotrario e la alterativa). Ate u euciado del tio El fabricate afirma que la media e µ, odemo refutar ea afirmació? lateamo: H : µ = µ ; H : µ µ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 6
Cotrate de Hiótei Tio de errore Error de Tio I: Se rechaa la hiótei ula (H ) cuado e cierta, = P(Error Tio I) = P(rechao H H ) e el error má grave. Error de Tio II: No e rechaa la hiótei ula (H ) cuado e fala, β = P(Error Tio II) = P(o rechao H H ) ete error e meo imortate. Metodología del cotrate Etaa de u cotrate de hiótei: Ate de tomar la muetra. Defiir la hiótei ula y la alterativa. Erear e térmio etadítico uetro roblema.. Defiir ua medida de dicreacia etre la dato de la muetra y la hiótei ula. Decidir cómo medir la ditacia etre uetra etimació y el valor del arámetro egú H. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 7 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 8 Metodología del cotrate 3. Decidir qué dicreacia coideramo iadmiible. Decidir qué ditacia etre la etimació y el arámetro (egú H ) o demaiado grade. Ua ve tomada la muetra 4. Calcular la etimació del arámetro y u dicreacia. Si la ditacia de la etimació al valor del arámetro (egú H ) e grade, rechaamo H. Si e equeña, o la rechaamo. Medida de la dicreacia La dicreacia e ua medida de la ditacia del valor que toma el arámetro egú la hiótei ula a u etimador. i H : θ = θ etoce medimo d(, θ θ) La cotrucció de la dicreacia (cómo medimo la ditacia) deede de la hiótei alterativa del cotrate. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 9 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III
Medida de la dicreacia E el cotrate El igo de la dicreacia e irrelevate. E el cotrate H : θ θ H : θ = θ H : θ θ H : θ θ La dicreacia erá mayor cuato mayor ea θ θ el igo í Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III H : θ = θ H : θ θ imorta. Regió de rechao Calculamo qué dicreacia reulta iadmiible, qué ditacia etre el arámetro (egú H ) y u etimació o demaiado grade. Eta ditacia viee determiada or el ivel de igificació. Ete ivel de igificació e la máima robabilidad de error de tio I que etamo diueto a aumir. Habitualmete = ó 5 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III -.....3.4.5 Regió de rechao Fijado, teemo P(rechao H H ) = Coocemo la ditribució del etimador de θ (bajo H ) Dado el cotrate H : θ = θ ; H : θ θ Ditribució del etim ador Rechaamo H i - c c d (, θ θ ) θ θ c = El valor c e el que determia la regió de rechao. -4-4 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 3 Regió de rechao Dado el cotrate H : θ = θ ; H : θ < θ Rechaamo H i d (, θ θ ) θ θ < c -.....3.4.5 = Ditribució del etim ador c -4-4 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 4
Reolució del cotrate Para reolver el cotrate, calculamo la etimació del arámetro θ, calculamo u dicreacia reecto de θ y la comaramo co el valor crítico obteido ara el ivel de igificació fijado de atemao. Si la etimació de θ etá detro de la regió de rechao, hay evidecia uficiete ara rechaar H Si la etimació de θ etá fuera de la regió de rechao, o hay evidecia uficiete ara rechaar H U cotrate e etadíticamete igificativo i el reultado eerimetal dicrea má de lo tolerado a riori. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 5 -valor El -valor e el mayor ivel de igificació ara el que o e rechaa la hiótei ula, o equiv., el ivel crítico que e correode co u valor crítico igual a la dicreacia obervada -valor = P(dicreacia mayor que obervada H ) E la robabilidad de teer ua muetra eor que la que teemo, uueta cierta la hiótei ula. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 6 -valor Cuato meor ea el -valor, mayor grado de evidecia teemo e cotra de la hiótei ula. Si el -valor e 5 ó meor uele rechaare H -.....3.4.5 Ditribució del etimador c Dado el cotrate H : θ = θ ; H : θ < θ Bucamo el valor de cuado c toma el valor de la etimació e la muetra que teemo. -4-4 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 7 -valor Dado el cotrate H : θ = θ ; H : θ θ Bucamo el valor de cuado c (ó c) toma el valor de la etimació e la muetra que teemo -.....3.4.5 Ditribució del etimador - c c -4-4 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 8
Relació etre IC y Cotrate Dado u cotrate bilateral H : θ = θ ; H : θ θ co ivel de igificació, e rechaa la hiótei ula i θ o erteece al Itervalo de Cofiaa co ivel de cofiaa obteido ara θ. Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 9 Cotrate articulare Cotrate ara la media de ua oblació ormal o muetra grade co variaa coocida Hiótei ula. H : µ = µ Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ < µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado µ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 3 µ < µ Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la media de ua oblació ormal o a artir de ua muetra grade co variaa coocida. [ ] µ, co u ivel de cofiaa, dode P(Z ) = i Z~Ν(,) Cotrate articulare Cotrate ara roorció Hiótei ula. H : = Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : < Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado ( ) ( ) ( ) < Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 3 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 3
Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara ua roorció. Cotrate articulare Cotrate ara la media de ua oblació ormal co variaa decoocida ( ), co u ivel de cofiaa, dode P(Z ) = i Z~Ν(,) ( ) Hiótei ula. H : µ = µ Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ < µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado µ µ < µ t, t, t, Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 33 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 34 Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la media de ua oblació ormal co variaa decoocida. µ t, co u ivel de cofiaa, dode P(X t, ) =, t i X~t, Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 35 Cotrate articulare Cotrate ara la variaa de ua oblació ormal Hiótei ula. H : = Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : < Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado < χ, ó χ, < χ, Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 36 χ,
Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 37 Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la variaa de ua oblació ormal. co u ivel de cofiaa, dode P(X χ, ) = i X~χ,,, χ χ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 38 Cotrate articulare Cotrate ara la igualdad de media de do oblacioe ormale co variaa coocida Hiótei ula. H : µ = µ Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ < µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado < Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 39 Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la diferecia de media de do oblacioe ormale co variaa coocida. co u ivel de cofiaa, dode P(Z ) = i Z~Ν(,), µ µ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 4 Cotrate articulare Cotrate ara la igualdad de roorcioe de do oblacioe (muetra ideediete) Hiótei ula. H : = Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : < Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado < ) )( ( ) )( ( ) )( ( =
Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 4 Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la diferecia de roorcioe de do oblacioe (muetra ideediete). co u ivel de cofiaa, dode P(Z ) = i Z~Ν(,) ) ( ) (, ) ( ) ( Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 4 Cotrate articulare Cotrate ara la igualdad de media de do oblacioe ormale co variaa decoocida y ditita (muetra ideediete) Hiótei ula. H : µ = µ Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ < µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado < Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 43 Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la diferecia de media de do oblacioe ormale co variaa decoocida y ditita. co u ivel de cofiaa, dode P(Z ) = i Z~Ν(,), µ µ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 44 Cotrate articulare Cotrate ara la igualdad de media de do oblacioe ormale co variaa decoocida ero iguale Hiótei ula. H : µ = µ Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ < µ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : µ µ Rechao H cuado, < T t, T t, T t ) ( ) ( = T
Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la diferecia de media de do oblacioe ormale co variaa decoocida ero iguale. µ µ t co u ivel de cofiaa, dode P(X t, ) =, i X~t Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 45 t, T, T Cotrate articulare ( d d ) i= i = d Cotrate ara la igualdad de media e do oblacioe ormale co variaa decoocida (muetra relacioada), d = Hiótei ula. H : µ d = Hiótei alterativa. H : µ d d Rechao H cuado t d Hiótei alterativa. H : µ d < d Rechao H cuado < t d Hiótei alterativa. H : µ d d Rechao H cuado t,, Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 46 d, Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara la diferecia de media de do oblacioe ormale co variaa decoocida (muetra relacioada). µ µ d t, d t d,, co u ivel de cofiaa, dode P(X t, ) = i X~t Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 47 d Cotrate articulare Cotrate ara la igualdad de variaa de do oblacioe ormale Hiótei ula. H : = Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado F, Hiótei alterativa. H : < Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : Rechao H cuado <, ó F,, < F,, F,, Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 48
Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa ara el cociete de variaa de do oblacioe ormale. Cotrate articulare θ MV Cotrate aroimado ara el EMV Hiótei ula. H : θ = θ = L( θ θ MV ) F,,, F,, co u ivel de cofiaa, dode P(X F,, ) = i X~ F, F,, = F,, Hiótei alterativa. H : θ θ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : θ < θ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : θ θ Rechao H cuado θ MV θ θ θ θ θ MV < θ θ MV θ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 49 Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 5 Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa aroimado ara u EMV. θ [ θ, θ ] MV θ MV co u ivel de cofiaa, dode P(Z ) = i Z~Ν(,) Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 5 θ Cotrate articulare Cotrate ara la Poio (baado e EMV) Hiótei ula. H : λ = λ Hiótei alterativa. H : λ λ λ Rechao H cuado Hiótei alterativa. H : λ < λ λ Rechao H cuado < Hiótei alterativa. H : λ λ Rechao H cuado λmv = = ; λ λ Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 5 MV
Itervalo de Cofiaa articulare Itervalo de Cofiaa aroimado ara la λ de ua Poio (baado e EMV). [ ] λ, co u ivel de cofiaa, dode P(Z ) = i Z~Ν(,) Igacio Caco Deto. Etadítica, Uiveridad Carlo III 53