matemáticas 2ESO tema 1 NÚMEROS ENTEROS

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1 matemáticas 2ESO tema 1 NÚMEROS ENTEROS curso 2018/2019

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3 SESIÓN 1 Números enteros El conjunto de los números enteros es el formado por los números positivos y negativos no decimales y por el 0. Los números enteros pueden representarse gráficamente en una recta. Los números enteros están ordenados. Su representación gráfica define su orden. Los números van creciendo a medida que nos desplazamos a la derecha en la recta. a < b b > a a es menor que b b es mayor que a 1. Representa en la recta los siguientes números enteros: 0, 1, -3, +7, -5, 4, -1, -4, +2, 3 0, -2, 3, -6, -9, 1, +10, 5, -7, 8 2. Representa mediante un número entero cada una de las siguientes situaciones. La temperatura es 5 grados bajo cero Pitágoras nación el año 580 a.c. Gerardo tiene una deuda de 2300 En un centro comercial, la 4 a planta y el 2 o sótano Los beneficios de la compañía fueron de La altura de la montaña es 3290m Un pozo de 205m de profundidad La temperatura es 19 grados sobra cero En un edificio de apartamentos, el nivel del garaje La planta baja de un edificio. 3

4 3. El genial matemático suizo Leonhard Euler murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petesburgo (Rusia) a la edad de 76 años años antes del nacimiento de Euler, nació Tales de Mileto, el que es considerado como el primer gran matemático griego. Tales vivió hasta los 78 años. 961 años después del fallecimiento de Tales se produjo la trágica muerte de Hipatia de Alejandría, la matemática más destacada de la antigüedad, a la edad de 45 años. Arquímedes, otro destacado matemático griego, que había nacido en el año 310 a.c., murió con la misma edad que Hipatia y también en trágicas circunstancias. En la India, 863 años después del fallecimiento de Arquímedes, nació Brahmagupta, el primer matemático en dar unas reglas para operar con números negativos y con el 0. Vivió hasta los 72 años de edad. El último matemático de esta historia, Zenón de Elea, nació 1160 años antes del fallecimiento de Brahmagupta. Zenón, famoso por sus paradojas, murió el año 430 a.c. Completa la tabla siguiente [para simplificar los cálculos se ha supuesto que sí hubo un año 0]: MATEMÁTICO año nacimiento año fallecimiento edad Tales de Mileto Zenón de Elea Arquímedes Hipatia de Alejandría Brahmagupta Leonhard Euler Arquímedes Hipatia de Alejandría Leonhard Euler Caricaturas de la colección El Rostro Humano de las Matemáticas 4

5 SESIÓN 2 4. Escribe el signo < o > para indicar qué número es mayor o menor Señala en cada recta los números indicados. -1, 3, 5 +5, 9, 11-3, 0, 2-6, -4, Completa la siguiente tabla. 7. Un termómetro marca 3º sobre cero. Después de una hora, la temperatura desciende 5º y después de otra hora, la temperatura desciende 4º más. Finalmente, la temperatura sube 6º y se estabiliza. Cuál es la temperatura final?. Dibuja las fluctuaciones de temperatura en la recta numérica. Puedes utilizar un diagrama como el de la figura 8. En el Polo Norte no hay tierra firma, solo el Océano Ártico, que en su mayor parte está congelado. Sin embargo, en la región polar sur hay un continente, la Antártida. La Antártida tiene una superficie de km 2 y el 95% de su superficie está cubierta de hielo. En la región central de la Antártida se suelen registrar temperaturas entre 50ºC y 20ºC. Las temperaturas mínimas registradas en el continente antártico han sido: 83ºC en el interior 60ºC en la costa. Responde las siguientes cuestiones: a. Cuántos km 2 de la Antártida están cubiertos de hielo? b. Qué temperatura es menor 50ºC or 20ºC? c. Calcula el incremento de temperatura cuando pasa de 60ºC a 20ºC bajo cero d. Calcula la diferencia entre las temperaturas mínimas del interior y la costa e. Representa gráficamente las temperaturas mencionadas en el enunciado 5

6 SESIÓN 3 9. Un día del pasado invierno en Gijón, la máxima temperatura alcanzada fue de 8ºC y la mínima de 3ºC bajo cero. Ese mismo día, en la ciudad rusa de Novosibirsk, la temperatura máxima fue de 12ºC y la mínima de 21ºC. a. Dibuja una gráfica que represente las temperaturas mencionadas en el texto b. Calcula la variación de temperatura en Gijón c. Calcula la variación de temperatura en Novosibirsk d. En Gijón, pudo ser la temperatura de 4ºC en algún momento del día?, por qué? e. En Gijón, pudo ser de 4ºC?, por qué? f. En Novosibirsk, pudo haber temperaturas positivas en algún momento del día? g. Cuál es la diferencia entre las temperatura máximas de Gijón y Novosibirsk? h. Cuál es la diferencia entre las temperatura mínimas de Gijón y Novosibirsk? i. En qué ciudad se produjo mayor diferencia entre la temperatura máxima y mínima del día? 10. Indica el valor que tomas como origen y utiliza números enteros para describir estas situaciones. Faltan 12 segundos para que el avión despegue La profundidad del pozo es 245m La guerra civil española comenzó en 1936 Arquímedes nació el año 287 antes de Cristo El puerto de montaña tiene 1140m de altura Yolanda está nadando en la playa 6

7 11. Expresa las siguientes variaciones usando números enteros. un ascensor baja 4 plantas crecer 15cm en un año los beneficios cayeron un submarinista desciende a 30m de profundidad ganar 120 en la quiniela Un pozo de 205m de profundidad hace 10ºC menos que ayer el precio de la gasolina subió 3 céntimos 12. Arquímedes, el gran matemático Griego nació el año 287 a.c. y murió el año 212 a.c. Cuánto años vivió? 13. Tales de Mileto, uno de los Siete Sabios de Grecia, murió en el año 546 a.c. a la edad de 94 años. En qué año nació? SESIÓN 4 Valor absoluto de un número entero Todo número, excepto el 0, tiene un opuesto, el que tiene el signo contrario. El opuesto de +5 es 5; el opuesto de 6 es +6. El valor absoluto de un número entero es el valor del número sin tener en cuenta el signo. Por tanto, un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto. 14. Representa en la recta numérica los números enteros con valor absoluto 3 y los de valor absoluto 5 los números enteros con valor absoluto menor que 6 los números negativos con valor absoluto menor que 11 y mayor que 3 7

8 2ESO matemáticas tema 1: números enteros curso 2018/2019 Una gaviota vuela a 21m sobre el nivel del mar. Desciende 8m para buscar comida y cuando ve a su presa, desciende otros 14m más. Una vez que ha capturado su presa, se eleva 12m. Responde a las siguiente cuestiones. 15. a. Dibuja una gráfica que represente lo que se describe en el texto. b. Calcula la altura a la que captura la presa. c. Calcula la altura final de la gaviota. d. Calcula la diferencia entre la altura inicial y final de la gaviota. e. Calcula la diferencia entre la altura máxima y mínima de la gaviota. En el planeta Tierra, el monte Everest es la cima más alta, con un altitud de 8848m sobre el nivel del mar. La mayor profundidad del planeta se encuentra en el Océano Pacífico, en la Fosa de las Marianas. Aquí la profundidad llega a los 10863m. 16. En Asturias, la mayor altura se alcanza en Torrecerredo, con 2650m sobre el nivel del mar. La zona más profunda del mar Cantábrico se encuentra en el Cañón Submarino de Avilés, con 4750m de profundidad. Torrecerredo a. b. c. d. Dibuja una gráfica que represente lo que se describe en el texto Qué diferencia de altura hay entre la cima del Everest y la de Torrecerredo? Cuántos kilómetros es más profunda la Fosa de las Marianas que el Cañón de Avilés? Si estás en la cima de Torrecerredo, cuántos metros hay que descender para llegar a la profundidad de la Fosa de las Marianas? e. Si estás en el fondo del Cañón de Avilés, cuántos metros hay que ascender para alcanzar la cima del Everest? f. Calcula la diferencia de altura entre la cima del Everest y el punto más profundo de la Fosa de las Marianas. g. Calcula la diferencia de altura entre la cima de Torrecerredo y el punto más profundo del Cañón de Avilés 8

9 SESIÓN 5 Operaciones con números enteros Suma y resta Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos y se pone el signo de los sumandos. Para sumar dos números enteros de signo distinto se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto. EJEMPLOS 17. Efectúa las siguientes sumas de números enteros (+12) + (+4) = ( 88) + ( 19) = (+13) + ( 39) = ( 6) + ( 9) = ( 40) + ( 5) = ( 4) + ( 4) = ( 43) + ( 11) = (+57) + (+78) = (+34) + (+31) = (+3) + ( 5) = (+2) + (+3) = ( 6) + (+16) = ( 10) + (+7) = ( 390) + (+460) = (+4) + ( 2) = ( 21) + (+31) = ( 50) + (+40) = ( 18) + (+29) = (+9) + ( 4) = (+65) + ( 25) = (+90) + ( 114) = La forma de escribir números y operaciones, con tantos signos y paréntesis, se puede simplificar teniendo en cuenta las siguientes reglas: Los números positivos pueden escribirse sin signo: +5 = 5 Cuando un signo + aparece delante de un paréntesis, se puede eliminar el paréntesis manteniendo el signo del paréntesis: + (+4) = 4 + ( 9) = 9 Cuando un signo aparece delante de un paréntesis, se puede eliminar el paréntesis cambiando el signo dentro del paréntesis: (+4) = 4 ( 9) = 9 Se puede eliminar el 1 er paréntesis: (+1) + (+4) = ( 6) + ( 9) = 6 9 (+9) + ( 4) = 9 4 (+2) (+3) = 2 3 9

10 18. Aplica las reglas descritas arriba para simplificar las siguientes expresiones: SESIÓN Simplifica estas expresiones y efectúa las operaciones: a. (+2) (+4) b. ( 8) + ( 9) c. (+23) ( 39) d. ( 9) + ( 5) e. ( 4) + ( 5) f. ( 4) ( 4) g. ( 13) ( 18) h. (+7) (+11) i. (+4) + (+1) j. (+34) ( 40) k. (+9) (+3) l. ( 6) (+6) m. ( 15) + (+9) n. ( 30) (+60) o. (+5) + ( 2) p. ( 1) + (+3) q. ( 50) (+40) r. ( 1) + (+2) s. (+8) + ( 4) t. (+65) + ( 25) u. (+20) ( 14) v. ( 3) + ( 14) w. (+15) ( 2) x. ( 20) (+1) Operaciones con números enteros Multiplicación y división Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta que se deben determinar el valor absoluto y el signo del resultado. Tanto en el producto como en el cociente, los signos se operan de acuerdo a la regla de los signos. producto cociente Para multiplicar y dividir números enteros se procede del modo siguiente. Calcula el signo del resultado, operando el signo de los factores según la regla de los signos. Calcula el valor absoluto del resultado, multiplicando o dividiendo (según corresponda) el valor absoluto de los factores]. EJEMPLOS 10

11 20. Efectúa los siguientes productos y cocientes con números enteros: a. (+2) (+4) b. ( 8) : ( 2) c. (+13) ( 3) d. ( 6) ( 9) e. ( 40) : ( 5) f. ( 4) : ( 4) g. ( 3) ( 11) h. (+35) : (+7) i. (+34) : (+2) j. (+3) ( 5) k. (+21) : (+3) l. ( 6) (+16) m. ( 10) (+7) n. ( 390) : (+10) o. (+4) : ( 2) p. ( 21) (+3) q. ( 50) : (+10) r. ( 18) (+9) s. (+9) ( 4) t. (+65) : ( 1) u. (+90) : ( 30) v. ( 91) ( 1) w. ( 35) (+2) x. (+10) : (+5) SESIÓN 7 Operaciones con números enteros Jerarquía de las operaciones Cuando tienes que hacer operaciones combinadas con números enteros, debes tener en cuenta que las operaciones deben de hacerse en el orden correcto, y ese orden es: paréntesis potencias/raíces productos/cocientes sumas/restas 21. Efectúa las operaciones combinadas siguientes: a b. ( 20) 5 4 c. 7 ( 4 6) d. +12 ( 7 10) e. (24 6) 3 12 f. 1 ( 3) + ( 4) 2 g. 5 + ( 3) ( 2) 9 h ( 4) 3 i. ( 7 8) ( 6 + 9) j. ( 2 6) 4 10 k ( 5) l. ( ) ( 5 9) m. ( ) 4 ( 2) n. 7 ( 1) ( 4) 30 o ( 2) p. 51 ( 3) + ( 6) 4 q ( 4) r s t. +45 ( 3) + ( 5) u. ( 4) v. ( 20 15) 7 w. ( ) ( 5) x. ( ) Efectúa las siguientes operaciones con números enteros: a. (+3) ( 4) b. ( 8) ( 2) c. (+13) + ( 3) d. ( 5) ( 9) e. ( 40) + ( 15) f. ( 3) + ( 11) g. (+55) : (+5) h. ( 4) + ( 4) i. (+34) + (+2) j. (+90) ( 30) k. (+9) ( 4) l. (+65) ( 1) m. ( 29) + (+3) n. ( 50) (+10) o. ( 8) (+9) p. (+30) : ( 5) q. (+21) (+3) r. ( 6) (+16) s. ( 30) (+10) t. (+14) : ( 2) 11

12 SESIÓN Efectúa las siguientes sumas de números enteros: a b c d e f g h i j k l m n o p Efectúa las siguientes operaciones combinadas con números enteros: a ( 5) b. ( 20) 5 4 ( 1) c. 7 ( 1) ( 4) 3 d. 13 ( 1) + ( 4) 3 e. 6 ( 2 5) f. 3 ( 2) + ( 6) 2 g. 6 + ( 5) ( 3) 9 h. (30 6) 2 9 i j ( 5) k. ( 2 6) l ( 2) m ( 4) n. ( 4) ( 3) o ( 3) p. ( ) 3 ( 2) q. +12 ( 8 12) r. ( ) ( 5 9) s. 42 ( 3) + ( 6) 4 t. ( 30 19) 7 u v. +45 ( 3) + ( 5) ( 2) w. ( 4 8) ( 5 + 6) x. ( )

13 SESIÓN 9 Operaciones con números enteros Potencias de base entera Cuando hay que calcular potencias de base entera, lo primero que debe tenerse en cuenta es la diferencia entre a ( a) n = ( a) a del exponente n. n ( ) n a n = a a a a ( ) n and a n : 25. Calcula las siguientes potencias. ( ) este número puede ser positivo o negativo; el signo depende este número siempre es negativo. ( a) n = an si n impar a n si n par 3 4 = ( 2) 6 = ( 10) 3 = 5 3 = ( 4) 2 = 3 5 = 7 2 = ( 8) 2 = ( 1) 7 = ( 1) 12 = ( 9) 0 = 6 0 = 26. Calcula el exponente en cada caso. 3 = 27 ( 3) = 27 ( 3) = 81 3 = 81 ( 2) = 16 ( 2) = 32 2 = 32 ( 2) = 1 ( 1) = 1 ( 1) = 1 ( 4) = 4 ( 4) = 64 13

14 27. Efectúa las siguientes operaciones. a. ( 2) ( 2) = b. ( 7) ( 6) 2 = c. ( 3) 2 + ( 5) ( 3) 4 = d. ( 10) 3 ( 10) = SESIÓN Calcula las siguientes potencias. + ( 5) 3 ( 7) ( 6) 4 ( +3) 3 + ( 1000) 1 ( 10) 4 + ( 5 ) 4 ( 5) 9 ( 5) 2 ( 1) 31 + ( 1) Efectúa las siguientes operaciones. a. ( 1) 40 + ( 1) 41 + ( 2) 3 ( 5) 0 b. ( 3) ( 2) 5 ( 3) 3 c ( 2) 6 d. ( 3) 4 + ( 4) 5 ( 2) e. ( 3) 0 + ( 3) 1 ( 3) f. ( 8) ( 2) 5 ( 5) 3 ( ) ( 4) 1 g. 5 h ( ) 5 ( 8) i ( ) ( 2) ( ) 3 ( 3) ( 9) ( 10) j. 4 SESIÓN Efectúa las siguientes operaciones. a ( ) 12 + ( 7) ( ) b ( ) ( 5) ( 2) 3 1 c. 5 d ( ) e ( 5) ( ) 3 f. ( 8) 5 ( 8) 3 ( 4) ( ) g. 7 ( 5 + 3) 36 ( 3) h ( 4) 121 i. ( 1) ( 1) 14 ( )

15 ANEXO La frase oculta Efectúa las siguientes operaciones. El resultado te dirá dónde tienes que colocar la letra que acompaña a cada cuenta. Al final podrás leer una famosa frase de un personaje muy popular. (-6) (-4) (-3) = P (-9) (-3) = E 15+(-3) (-2) = C (-2) (-20:4) = O (-12):(-21+15) = T -16:4 = I 4+1 (-2) = E 42:(16 18) = L (-14) (-2):7 = C -6 (4 7) = L (-35):(-7) = R (-22):(-14 8) = M 40 (2-3) (-38) = U 27:(-3) = O -14 (3 7) = T (-3) (4+5 8) = R (12 24) (-6) = A -48:(15 9) = P (34 40):(52 54) = I

16 REFERENCIAS es.wikipedia.org IMÁGENES Dados. Letra Z. Caricaturas matemáticos. Gijón. Novosibirsk. Tales de Mileto. De Guillaume Rouille(1518?-1589) - "Promptuarii Iconum Insigniorum ", Dominio público, Gaviotas. Torrecerredo. 16