Carrera de Contabilidad SEPARATA DE MATEMÁTICA. Año 2011 Ciclo I

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1 Carrera de Contabilidad SEPARATA DE MATEMÁTICA Año 011 Ciclo I El presente documento es una recopilación de información obtenida en libros de autores prestigiosos y diversos sitios de internet. El uso de este material es estrictamente educativo y sin fines de lucro Edición de circulación restringida sustentada en la Legislación sobre Derechos del Autor DECRETO LEGISLATIVO 8 Artículo 43 Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitida sin autorización del autor. La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes de instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de lucro

2 SESIÓN 1 LOS NÚMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros representado por: Z= {,-3.--1, 0,1,,3 } es una extensión de los números naturales. OPERACIONES ENTRE NÚMEROS ENTEROS ADICIÓN a + b = c, donde a, b y c є Z a; b: Sumandos c: Suma PROPIEDAD: La suma de dos números enteros es otro entero NOTA: La adición de los números enteros debe contemplar lo siguiente: a) La suma de dos números enteros positivos es positivo. Ejemplo: = 1 b) La suma de dos números enteros negativos es otro negativo. Ejemplo = -17 c) La suma de un número entero positivo y otro negativo será positivo o negativo, de acuerdo al signo del número mayor. Ejemplos: = = -7 SUSTRACCIÓN a b = c, donde a, b y c є Z a: Minuendo b: Sustraendo c: Diferencia PROPIEDAD: Para obtener la diferencia de dos números enteros, al minuendo se suma el opuesto del sustraendo, es decir: Ejemplos: = -7 + (-9) = = -1 + (16) = = 3 + (-8) = = 15 + (6) = 1 a b = a + (-b)

3 MULTIPLICACIÓN a. b = c, donde a, b y c є Z a: Multiplicando b: Multiplicador c: Producto PROPIEDAD: El producto de dos números enteros es otro entero. NOTA: 1. La multiplicación tiene la siguiente regla de signos: (+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = - (-) (+) = -. El producto de enteros se puede representar de la siguiente manera: (a)(b) = a*b Ejemplos: o (-5)(-4) = 0 o (-3)(7) = -1 o (5)(-8) = -40 o (-3)(-)(4)(-6) = -144 o (-)(-1)(5) = 10 POTENCIACIÓN Es una multiplicación abreviada, es decir: =3 6 Generalizando tenemos: a.a.a.a.a a = a n ; n factores a n = p a: Base n: Exponente p: Potencia PROPIEDADES: 1) (-a) EXPONENTE PAR = +p; a Z + ) (-a) EXPONENTE IMPAR = - p; a Z + 3) (a) 0 = 1; a 0; a Z 4) (a) 1 = a; a Z 5) (a) EXPONENTE PAR O IMPAR = +p; a Z + 6) 1 (a) -n = n a ; a Z 3

4 RADICACIÓN Es una operación inversa de la potenciación es decir: n a = b n: Índice de la raíz a: Radicando o cantidad sub radical. b: Raíz PROPIEDADES: DIVISIÓN El cociente de dos números enteros es otro número entero. a : b = c, donde a, b, y c є Z, siendo b 0 a: Dividendo b: Divisor c: Cociente NOTA: La regla de signos para la división es la siguiente: Ejemplos: (+4) : (-) = - (-0) : (-5) = +4 01) = ( + ) : ( + ) = + ( - ) : ( - ) = + ( + ) : ( - ) = - ( - ) : ( + ) = - 0) = 03) -3 ( ) + ( )= 04) ( )( ) = 05) (-15) : (5) = 06) (-64) : (-16) = 07) (-) + (-3) 3 (7) = 08) 10 (4)(5)-(4)() + 60 :( -1 : 4)= 09) ( : ) = 10) (-)(3) + (16)(3) = 11) (-* *9 + 4 *5) = 1) n a = ± b, "n" par o impar, a z + ) n a Z, "n" par, a Z - 3) n a = -b,"n" impar, a Z - EJERCICIOS 4

5 0 1) (-3 + (5*-4 - (-6 *3)) + (-4 ) = 13) (-* 4 + 3*-7 + 5*6) - (1*5 + (-4) ) = 3 14) - 5 : -5 - (-8 : * + (-5) ) - (-8) = 3 15) 65 : : 30 + (-1) 16) (-7) + (-11 : : 16) + (-0) = 17) (-36 : + -3 : 3 + (-50 : : 13)) = ) - 35 : 7 + -( * * ) = ) 65 : * 7 + -(10 * 8 + (-3) - (-) ) = 0) Si A = 4, B = - 10, C = 8, hallar : A - B - C (A - 4B) : C (A - B - C) LA CALCULADORA CIENTÍFICA Es una herramienta auxiliar para obtener en forma inmediata, diversos cálculos aritméticos como financieros, con el apoyo de los docentes se conocerán no solo las funciones básicas sino, como almacenar datos de una fórmula financiera, para obtener el valor numérico respectivo. 1. Si Va = I n 1 + i - 1 EJERCICIOS a) Halle el valor de Va, siendo I = 35.50; n = 14; i = 0,035 b) Halle el valor de Va, siendo I = 5,554.33; n = /5; i = 0,04. Hallar el Valor de M si H=.500,63 i=15% y n=0,5: M= H 1 + I n 3. En la siguiente formula hallar: I = Va [(1 + i) n 1)]= Si: Va = ; i = 0,035; n = 0. n 4. Sea: Vf = Va(1 + i) Hallar el valor de Vf para: Va = S/ ; i = 0,035; n = Si Va = Vf. n = 1 + i Hallar el valor numérico en el siguiente caso: Vf= 7.000; n = 8; i = 0,0 SESIÓN LOS NÚMEROS RACIONALES El conjunto de números racionales está definido por: Q = a / a Z b Z b FRACCIÓN: Indica las partes en que se ha dividido un todo o unidad. Es una división en forma indicada de dos números enteros, y se expresa así. 5

6 a, además b 0 b TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN a b Numerador Denominador NOTA: Recordar, el numerador indica las partes que se toman de un todo fraccionado. El denominador representa las partes que se dividen un todo. Ejemplo: son las partes tomadas, de las 1 en que se ha dividido la unidad Finalmente diremos, el resto de la anterior fracción es = 1 OPERACIONES CON FRACCIONES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS Recordemos que las fracciones homogéneas se caracterizan porque tienen el mismo denominador y se procede a sumar o restar de acuerdo al siguiente esquema: a c a ± c ± = b b b Ejemplos: 1) = = = ) = ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS Las fracciones heterogéneas se caracterizan por tener diferentes denominadores, para sumar o restar podemos considerar el siguiente procedimiento: a c ad ± bc ± = b d bd NOTA: El esquema anterior se aplica cuando se tienen dos fracciones. Ejemplos: 3 7 *3 + 5* = = = 5 7 5*

7 5 1 3*5-9* = = = 9 3 9*3 7 7 NOTA: Cuando hay más de dos fracciones se debe obtener el mcm de los denominadores. Ejemplos: = = mcm = (-33) = = mcm=1 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para esta operación recordar que el producto es igual a la multiplicación de los numeradores sobre los denominadores: a c a*c * = b d b *d Ejemplo: 3 4 3* 4 1 * = = = 5 6 5* FRACCIÓN DE FRACCIÓN: Recordar que 5 de 3 7 = 3 = 6, es decir, la palabra de significa multiplicar fracciones. POTENCIA DE UNA FRACCIÓN Al igual que en los números enteros la potenciación es una multiplicación abreviada donde se tiene un mismo factor que se repite n veces: Ejemplo: NOTA: Ejemplo: =1 n n a a a a a x x...n veces = = n donde b 0; n b b b b b 4 = = a b 0 a = 1 ; si 0 b POTENCIA DE UNA FRACCIÓN CON EXPONENTE NEGATIVO En este caso se invierten los términos de la fracción y el exponente será positivo. >0 Ejemplo: a b -n n b = a 7

8 = = 3 16 RAÍZ DE UNA FRACCIÓN Una consecuencia de la potenciación es la operación de radicación, tenemos: Ejemplos: n a b n a = ; donde b 0 n b 4 = = 7 3 DIVISIÓN DE FRACCIONES El cociente de dos fracciones se obtiene multiplicando al dividendo por el inverso del divisor: Ejemplo: OBSERVACIÓN: a a c Producto de extremos 1) : = b = b d c Producto de medios d 3 3* Ejemplo: 5 = = = 4 5* ) 1 = b a a b Ejemplo: 1 5 = a c a d a*d : = * = b d b c b *c * : = * = = = * = a*d b * c NOTA: Al simplificar fracciones se debe tener en cuenta lo siguiente: a) x + z x * z = nunca se hace esto b) x - z = nunca se hace esto x * a 8

9 c) x + z x - z d) x * z z * a = nunca se hace esto = esto es correcto EJERCICIOS 1) Efectuar : ) Simplificar: ) Resuelve: 4) Efectuar: 5) Resolver: * P = * * * ) Resolver: 7) Efectuar: * * *3 3* 4 4 *5-1 9

10 8) Simplificar: 9) Efectuar: 10) Efectuar: * 4 4 * * : ) Resolver: ) Efectuar: SESIÓN: 3 RAZONES Y PROPORCIONES : * * RAZÓN: Es la comparación que existe entre dos cantidades. Esta comparación se puede establecer: a) Por diferencia b) Por cociente RAZÓN ARITMÉTICA: Es la comparación de dos cantidades mediante una diferencia. Ejemplo: La razón aritmética de 8 libros y 10 cuadernos, será: 8-10 = 18 Se puede afirmar que 8 libros exceden en 18 al número de cuadernos; o, la razón aritmética es 18. Generalizando: A B = K (razón) A: Antecedente B: Consecuente. RAZÓN GEOMÉTRICA: Las cantidades se comparan mediante un cociente. 10

11 Ejemplo: La razón geométrica de 8 libros y 10 cuadernos será: 8 14 = 10 5 (razón) Generalizando: A =K (razón), de donde: B A=BK PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Es la comparación de dos razones geométricas. Es decir: a c = se lee: a es b como c es a d b d a y d, se denominan EXTREMOS de la proporción. b y c, se denominan MEDIOS de la proporción. PROPIEDAD FUNDAMENTAL Si a = c entonces ad = bc b d El producto de extremos es igual al producto de medios. EJERCICIOS 1) Hallar los valores x, y en las siguientes proporciones: a) x = y ; si x + y = c) 4 = 5 ; si y x = 0 x y b) x = ; si x + y = 18 y 7 ) Hallar los valores de a y b, si: a) a b = 3 ; a + b = 5 b) a = 1 ; si a + b = 8 b 3 d) x + y 17 = y 5 ; si x y = 105 c) a 1 = b 3 ; b a = 30 d) a =; a +b = 45 b e) a b = ; 5 4 a - b = 36 f) 7 = 4 ; a b a + b = 88 11

12 3) Se tiene que: = = A B C y además : A+B+C = 15; Hallar A + B + C PROBLEMAS 1) En un auditorio hay 400 personas; de las cuales 40 son mujeres. En qué relación se encuentran el número de hombres al número de mujeres? ) Dos números están en la relación de 3 a 4 y sumados dan 56. Hallar el mayor de dichos números. 3) Dos números se diferencian en 5; si la razón es 3/, determinar el número menor. 4) En una caja de caramelos hay de los sabores fresa y limón. Si por cada caramelo de fresa hay 3 caramelos de limón. Cuántos caramelos de fresa hay; si en total existen 80 caramelos? 5) En una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como es a 1. Si hay dos docenas de plátanos. Hallar el número de manzanas. 6) En un corral por cada 3 patos hay conejos y por cada conejo hay gallinas. Si se tiene 1 patos. Determinar el número de gallinas. 7) En un salón de clases por cada 10 alumnas hay 9 alumnos. Después que se retiran 8 alumnas y 3 alumnos, por cada 4 alumnas hay 5 alumnos. Hallar el número de alumnas que había al inicio. 8) En una fiesta hay 56 personas entre hombres y mujeres de tal manera que el número de mujeres es al número de hombres como 3 es a 4. Se retiran 6 mujeres. Cuántos hombres deben retirarse para que la relación de mujeres a hombres sea de 3 a 5? 9) Luis recibe 40 soles de su padre, enseguida compra un pantalón y dice: lo que gaste y no gaste están en la relación de 5 a 11. Cuánto le queda luego de hacer la compra? 10) Dos números están en la relación de a 5, pero agregando 175 a uno de ellos y 115 al otro, ambos resultados son iguales. Hallar el número mayor. REPARTO PROPORCIONAL Es la operación que consiste en dividir o repartir una cantidad en partes que sean directamente o inversamente proporcionales a ciertos números llamados índices de la proporcionalidad. TIPOS DE REPARTO Puede ser: DIRECTO 1) REPARTO SIMPLE INVERSO ) REPARTO COMPUESTO 1

13 REPARTO SIMPLE El reparto proporcional es simple cuando la división o reparto se hace en base a un conjunto de números llamados índice de proporcionalidad, puede ser: Directo o inverso REPARTO SIMPLE DIRECTO En este tipo de reparto la cantidad a repartir se realiza en forma directamente proporcional (D.P.) a los números índices. Ejemplo: Repartir 80 en partes D.P. a los números: ; 5 y 7. SOLUCIÓN: Sean A, B y C las partes a repartir y como son D.P. a los números índices (, 5 y 7) tenemos: A B C = = = k 5 7 De donde: A = k B = 5k C = 7k Como la suma de las partes resulta el todo, tenemos: A + B + C = 80 Reemplazando: k + 5k + 7k = 80 Luego las partes serán: 14k = 80 k = k = 0 A = k = (0) = 40 B = 5k = 5(0) = 100 C = 7k = 7(0) = 140 REPARTO SIMPLE INVERSO En este caso la cantidad que se va a repartir se hace en forma inversamente proporcional a los índices, invirtiendo los mismos y luego se procede a repartir en forma directa como en el caso anterior. PROCEDIMIENTO: a) Los números índices se invierten. b) Se saca el MCM de los denominadores (los números índices invertidos) c) Se multiplican a todos los números índices invertidos por el mcm y por la constante K. d) Se efectúa luego el reparto en forma D.P. (directamente proporcional). Ejemplo: Repartir 380 en forma IP a ; 5 y10 13

14 A = 1/ (10k) P 5k 380 B = 5 1/5 (10k) k C = 10 1/10(10k) k mcm (;5 y 10 = 10) Luego: 5k + k + k = 380 8k = 380 k = k = 47,50 A = 5(47,50) = 37,50 B = (47,50) = 95 C = 1(47,50) = 47,50 REPARTO COMPUESTO Consiste en repartir una cantidad en forma DP e IP a la vez. PROCEDIMIENTO: 1) El reparto IP se transforma a DP invirtiendo los índices, luego se multiplica por los índices DP ) Se multiplican luego los productos anteriores por el mcm de los denominadores. 3) El reparto se realiza con los nuevos índices. Ejemplo: PARTES D.P. (ÍNDICES) I.P. Repartir 1.88 en forma DP a y 5, a la vez y a la vez IP a 10 y 90 PARTES DP IP.. < > DP 8k A 10 < > (1/10)(90) = 18K 188 B 5 90 < > 5(1/90)(90) = 5K 3K mcm (10; 90 = 90) < > : equivale Luego: 3k = 1.88 Las partes son: A = 18K = 18(56) = 1008 B = 5K= 5(56) = 80 K= 188 =

15 PROBLEMAS 1) Al repartir S/ en tres partes DP a 3; 5 y 6 e IP a 7 ; 18 ; 00 ; respectivamente. Determinar Cuál es la diferencia entre las dos mayores partes? ) Un padre desea repartir una propina de S/. 504 entres sus hijos en forma proporcional a sus edades que son 15; 9 y 18 años, respectivamente. Cuánto recibirá cada hijo? 3) En una competencia de ciclismo se reparte S/..775 entre los tres primeros puestos en forma inversamente proporcional al tiempo empleado que fueron 4, 30 y 36 minutos. Qué cantidad de dinero recibieron cada uno de los primeros puestos? 4) Repartir en partes directamente proporcionales a 5, 14 y 0. 5) Una persona reparte entre tres niños S/ en forma inversamente proporcional a sus edades, que son 8; 1; 14 años respectivamente Cuánto le tocó a cada uno? 6) Una casa comercial tiene tres deudas en diferentes bancos. Al primero le debe S/.1.800, al segundo S/ y al tercero S/ Si su haber es de S/ Cuánto abonará a cada banco? 7) Una empresa tiene un local valorizado en S/ y dos autos valorizados en S/ cada uno, se decide vender todo para poder cumplir con las tres obligaciones, de tal manera que se repartirá de la siguiente manera al primero 1 partes, al segundo 8 partes y al tercero 4 partes. Cuánto le corresponde a cada uno? 8) Repartir 150 en tres partes que sean a la vez directamente proporcionales a /3, 4/5 y /7 e inversamente proporcionales a 1/6, 3/10 y 5/14. 9) Una empresa deberá repartir S/ entre cuatro empleados tomando en cuenta sus inasistencias, si estas fueron ; 4; 6; 8; determinar cuánto le correspondió a cada uno. 10) Una entidad desea realizar una obra benéfica entre cuatro centros educativos, en base a una puntuación, determinada por el desempeño del equipo de docentes y personal administrativo que labora en estos centros; la cantidad que se repartirá será S/ y el puntaje de cada centro fue 1, 10; 8 y 6 puntos respectivamente. Cuánto recibió cada centro? REGLA DE COMPAÑÍA La regla de compañía tiene como finalidad el reparto de ganancias o pérdidas entre los diversos socios que conforman una empresa o negocio; es un caso particular del reparto proporcional. Este reparto es directamente proporcional a los capitales y al tiempo que estuvo cada socio en dicho negocio. Ejemplo: Tres socios forman una empresa; el primero aporta S/..000 en dos años; el segundo aporta S/ en cuatro años; y el tercero aporta S/ en cinco años. Cuánto corresponde a cada socio, sabiendo que la ganancia es S/ ? SOLUCIÓN: Este problema lo resolvemos como los problemas de reparto proporcional. Sean A; B y C los tres socios. 15

16 SOCIOS CAPITALES (C) TIEMPO (T) (C)(T) A = 000 años < > (4k) G: B = años < > (1k) C = años < > (5k) < > : equivale 1k = K = 4000 = SOCIO A : 4K = 4( 000) = SOCIO B : 1K = 1( 000) = SOCIO C : 5K = 5( 000) = PROBLEMAS 1) Katy, Gabriela y María, aportaron S/..100; S/. 700 y S/ , por medio año; año y medio; dos años respectivamente para realizar un negocio si la ganancia fue S/ Cuánto le toca a cada socia por su inversión? ) Tres amigos se asociaron para invertir en un restaurant aportando cada uno los siguientes capitales: S/ ; S/ y S/ , si obtuvieron una utilidad de S/ y trabajaron ; 3 y 1 año respectivamente. Cuánto recibe el que aportó mayor capital? 3) En un negocio Luisa, Juana y Fiorella aportaron S/ ; S/ y S/ respectivamente; después de tres meses de iniciado el negocio, Juana se retira, si al término de los 6 meses de iniciada la actividad comercial la utilidad de Fiorella excede a la de Luisa en S/ Cuánto de utilidad le corresponde a Juana? 4) Una persona inicia un negocio, con un cierto capital, después de cinco meses acepta un socio el cual aporta S/. 100 menos que el primero, tres meses después acepta a otro socio el cual invierte S/. 500, si el negocio duro un año al final del cual el primero y el segundo ganaron S/. 180 y S/. 70, respectivamente. Hallar la ganancia del tercer socio? 5) Tres socios forman un negocio aportando capitales que están en la relación de ; 3 y 4, si la utilidad total fue S/ Hallar la menor ganancia. 6) Katty, Susan, Carla y Rosa aportaron S/ ; S/ ; y S/ respectivamente en un negocio; si la actividad comercial fracasó y las dos primeras pierden S/. 70 menos que lo que pierden las dos últimas. Cuánto pierde Carla? 7) Se han asociado tres personas aportando la primera S/..000 durante seis meses; la segunda S/ durante ocho meses y la tercera S/ durante diez meses, al finalizar la operación obtuvieron una ganancia de S/ Cuánto le corresponde a cada socio? 8) Dos socios forman una compañía aportando S/..000 y S/ respectivamente. Al cabo de 3 meses ingresa otro socio aportando cierto capital, si el negocio duró año y medio; cuando se repartieron las utilidades le tocó igual parte a los que aportaron mayor capital. Cuál fue el capital impuesto por el tercer socio? 9) Tres personas forman una sociedad, el primero aportó S/ , el segundo S/ durante 8 meses y el tercero S/..000 durante 14 meses. Al repartir las utilidades de 1k 16

17 S/ , proporcionales al capital y el tiempo, el segundo y el tercero recibieron juntos S/ Qué tiempo estuvo colocado el capital del primero? 10) Eduardo inaugura una empresa aportando S/ ; a los 4 meses Desiré aporta los 3/4 de lo aportado por Eduardo más S/ ; a los 8 meses Rolando aportó 1/5 de lo que habían aportado los dos socios anteriores. Al cabo de dos años ganaron S/ Determinar cuánto ganó cada uno? SESIÓN 4 REGLA DE TRES DEFINICIÓN La regla de tres es el procedimiento que permite hallar un término desconocido en una proporción geométrica donde intervienen dos o más magnitudes (magnitud es todo aquello que puede ser medido y expresado mediante un número y una unidad), que tienen una relación de proporcionalidad. La regla de tres puede ser simple o compuesta REGLA DE TRES SIMPLE: La regla de tres simple puede ser directa o inversa. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Las magnitudes son directamente proporcionales. VALORES: a b Como son DP, entonces su cociente es constante, es decir: a c = b x entonces : b *c x= a Ejemplo: SOLUCIÓN: c Si 4 cuadernos cuestan S/. 48. Cuánto costarán 6 cuadernos? x 4 S/ x A más cuadernos más desembolso de dinero, por lo tanto estas cantidades son directamente proporcionales. Seis cuadernos cuestan S/. 7 soles. 48 *6 88 x = = = S / REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Las magnitudes son inversamente proporcionales. VALORES m n p Como son inversamente proporcionales IP, el producto de sus valores es constante, es decir: m * n = p * x, en donde despejando x, tenemos: x 17

18 m*n x= p Ejemplo: Si 6 obreros demoran 0 días para realizar una obra. Cuántos días demorarían 8 obreros en hacer la misma obra en las mismas condiciones? 6 ob. 0 D 8 ob. X A mayor número de obreros entonces, menos número de días tardaran en realizar la obra, por lo tanto las cantidades son inversamente proporcionales, entonces: Se tardarán 15 días en terminar la obra. 6 * 0 = 8 * x, donde despejan REGLA DE TRES COMPUESTA En este caso utilizaremos el método de las líneas, el cual considera lo siguiente: CAUSA: Es todo aquello que se realiza o ejecuta en una obra, pudiendo ser efectuada por trabajadores, máquinas, etc. CIRCUNSTANCIA: Es el tiempo, la forma, como se produce o como se fabrica algo. EFECTO: Es todo lo realizado, lo producido, lo consumido, lo gastado, etc. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN La forma más adecuada será la siguiente: CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO a b c d e x El valor de x se obtiene mediante la siguiente expresión: (d)(e)(c) x= (a)(b) Ejemplo: Para pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros tardan 1 días. Cuántos días se necesitarán para pavimentar 10 metros de la misma pista con 4 obreros menos? CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO 18 ob 1 d. 180 m. 14 ob x d. 10 m. 18 *1 * x = = = *

19 PROBLEMAS 1) Por dos horas y media de prácticas en una conocida Institución Financiera ubicada en Lima, un egresado del IFB ha cobrado S/. 40. Cuánto cobrará por 8 horas? ) Cinco obreros descargan la arena contenida en un camión en una hora y media. Cuánto tardarían en hacerlo obreros? 3) Un salón de clases del IFB conformado por 40 alumnos ha decidido realizar un campamento y han llevado provisiones para 7 días. Para cuántos días habrá comida si se incorpora al campamento 30 alumnos más? 4) Se ha estimado que debería haber libros de matemáticas por cada 50 alumnos matriculados en el curso para consulta en la Biblioteca del IFB. Calcula cuántos libros se necesitarán si son 450 los alumnos que llevan este curso? 5) Un Supermercado está vendiendo en oferta 350 gramos de jamonada de ternera a S/.5 Cuántos kilos podré comprar con S/. 40? 6) Un ómnibus de la empresa Viaje seguro a la velocidad de 80 km/h se demora 9 horas en cubrir la ruta Lima-Huarmey. Cuánto tardará un auto en recorrer la misma distancia a 10 km/h.? 7) Por un trabajo contable de 5 días se gana S/ Cuánto ganaré por 0 días de trabajo? 8) Una planta embotelladora llena 1.00 botellas por minuto. Cuántas cajas de 1 botellas se llenarán en 1 hora y media? 9) Un automóvil de carrera que va a 10 km/h tarda 0 minutos en recorrer una distancia entre dos ciudades. A qué velocidad debe ir para hacer la misma distancia en 1 minutos? 10) El IFB ha organizado una maratón donde se tiene que recorrer 1 km. un alumno ha recorrido en los 8 primeros minutos de su carrera,4 km. Si mantiene esa misma velocidad en todo su recorrido, Cuánto tardará en completar toda la carrera? 11) Un padre decide dejar una herencia a sus hijos de tal forma que a cada uno le corresponda una cantidad proporcional a su edad. Al mayor que tiene 0 años, le corresponde dólares. Cuánto le dará a sus otros dos hijos de 18 y 1 años de edad? A cuánto asciende el monto total de la herencia? 1) Si ocho secretarias tardan 3 horas para digitar 7 páginas. Cuánto tardarán 6 secretarias para digitar 90 páginas?. 13) Para construir 600 metros de una obra, 30 obreros han trabajado 1 días a razón de 10 h/d. Cuantos días de 6 horas necesitaran 36 obreros de igual rendimiento para hacer 900 metros de la misma obra? 14) Cuarenta y cuatro obreros trabajando 10h/d han empleado 1 días para hacer una zanja de 440m. de largo, m. de ancho y 1,5m. de profundidad. Cuánto tiempo más emplearan 4 obreros trabajando 8 h/d para cubrir otra zanja de 00m. de largo, 3m. de ancho y 1m. de profundidad? 15) Trabajando 10 h/d durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. Cuántas toneladas serían necesarias para mantener trabajando 9 h/d durante 85 días, 3 hornos más? 16) Se contrató una obra para ser terminada en 0 días por 15 obreros que trabajan 8 h/d. Habían trabajado ya 5 días, cuando se acordó que la obra quedase terminada 3 días antes del plazo estipulado para lo cual se contrataron 5 obreros más. Diga si la jornada deberá aumentar o disminuir y en cuanto. 17) Si 7 excavadoras mueven 88m 3 de tierra en 6 horas. Cuántos m 3 moverán 10 excavadoras en 3 horas? 19

20 18) Si 15 personas hacen un trabajo en 14 días, trabajando 8 horas diarias, Cuántas personas serán necesarias para hacer el mismo trabajo en 8 días trabajando horas diarias? 19) Una familia de 4 personas ha pagado por 5 días de vacaciones 460 dólares. Cuánto habrían pagado 9 personas por 4 días? 0) Una familia de 9 personas ha pagado por 7 días de vacaciones en el Cusco.079 dólares. Si una familia ha estado de vacaciones 6 días y pagado 990 dólares. Cuántas personas tiene la familia? 1) Diez vacas consumen en 6 días un total de 1.30 kg. de forraje. Si tenemos kg. de forraje, Cuántas vacas pueden comer durante 9 días? ) Dieciséis obreros trabajando 9 horas diarias en 1 días hacen 60 sillas. Cuántos días necesitarán 40 obreros trabajando una hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas? EL CAMBIO MONETARIO En toda sociedad la moneda constituye el instrumento de cambio para la adquisición bienes o servicios. Todo bien es medido en unidades de la unidad monetaria. NOTAS: 1. En las diversas actividades comerciales se le reconoce como un medio para cancelar deudas.. Es un medio que nos permite tener dinero en una entidad financiera para alguna necesidad futura. 3. El Banco Central de Reserva, es el ente autónomo que fija la política monetaria en un país, asimismo establece las condiciones para el sistema de cambio monetario. 4. EL BCR establece el tipo de cambio monetario en relación a la monea de un país que generalmente tiene mayor desarrollo, estabilidad económica y baja inflación. 5. Las monedas utilizadas para el tipo de cambio en los últimos años son: El Dólar Americano, el Marco Alemán, el Yen Japonés, el Franco Suizo, últimamente el Euro, el Yuan 6. La fortaleza de una moneda se presenta cuando el precio aumenta en relación a una moneda extranjera, o el tipo de cambio baja. 7. Una moneda local es fuerte si el tipo de cambio baja. Si el tipo de cambio sube la moneda local es débil. PRINCIPALES DIVISAS de MONEDA COMPRA S/. VENTA S/. DÓLAR CANADIENSE DÓLAR AMERICANO EURO FRANCO SUIZO 0

21 LIBRA ESTERLINA YEN YUAN DÓLAR HONG KONG Complete el cuadro anterior con el cambio del día EJERCICIOS Resolver los siguientes casos haciendo uso del tipo de cambio del día. S/. DÓLAR HONGK DÓLAR A DÓLAR C YUAN YEN EURO FRANCO S LIBRA EST FRANCO SUIZO SESIÓN 5-6: PORCENTAJE POR CIENTO : Es la cantidad que se toma de cada 100 unidades. Ejemplo: 1) El 4 por ciento será: 4 = 0,04 = 4% 100 ) El 1% de jóvenes gustan de la gaseosa A, significa que de cada 100 jóvenes, 1 prefieren la gaseosa A. OBSERVACIONES : 1. El resultado de hallar el por ciento de un número se denomina porcentaje: 1

22 Ejemplo: 5% de 80 = 5 * 80 = 0,05(80) = Si una cantidad disminuye o aumenta en a%, entonces tenemos: Ejemplo: (100 - a)% (100 +a)% Si una cantidad aumenta en 18% se tiene 118% Si una cantidad disminuye en 7% se tiene 93% DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS El primer descuento (o aumento) se aplica a la cantidad inicial y a partir del segundo descuento (o aumento), se aplica a la cantidad que ha quedado del descuento (o aumento) anterior: ab A U = a + b + % 100 ab D U = a + b - % 100 Ejemplos: Determinar el aumento y descuento único del 5% más el 3% 5 * 3 A U = % = 8,15% * 3 D U = % = 7,85% 100 FIJACIÓN DE PRECIOS Toda empresa debe fijar un precio a sus productos o servicios. Precio de venta es la cantidad de dinero que se cobra por un producto y/o servicio, incluye el impuesto de ley (IGV) Para fijar el precio se debe tener en cuenta todos los costos asociados con la producción y comercialización del producto, el que se expresa por unidad de producto, y luego se le agrega un margen de utilidad con el fin de obtener una ganancia. La ganancia puede expresarse también como un porcentaje del costo o del valor de venta. COSTO + MARGEN DE UTILIDAD (%) = VALOR DE VENTA 1) Hallar el 18% de 1800 ) Hallar el 0,008% de 0, 3) Hallar el 0% del 40% de ) Hallar el 53% de 00 5) Hallar el 0,08% de 0,05% de VALOR DE VENTA + I.G.V. = PRECIO DE VENTA PROBLEMAS

23 6) Cuándo recibiré más? : Si me dan el 17% de 00 Si me dan el 0,08% de Si me dan los 5/6 % DE ) El 50% del 40% del 30% de 600 es : 8) En una fábrica se han hecho productos, el 60% de ellos lo hace la maquina A y el resto B. Si se sabe que el 5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% de B también. Cuántos defectuosos hay en total? 9) A cómo debo vender lo que me costó S/. 33 para ganar el 17% del valor de venta? 10) Una empresa encuestadora, manifiesta que en el horario que pasan un noticiero 3 de cada 5 televisores encendidos sintonizan dicho programa. Qué % representan dicha sintonía? 11) La población de cierta ciudad fue de habitantes, si la tasa de mortalidad fue de 8%. Cuántos fallecidos hubo en dicha ciudad? 1) El precio de un horno microondas es S/. 40. El vendedor descuenta el 10%, pero por una pequeña YAYA, rebaja el 5% adicional. Cuánto se pagó finalmente por el horno? 13) En una de las galerías de Gamarra se ofrecen descuentos sucesivos del 0% y 30% en la sección de ropa. Cuál sería el descuento único? 14) El precio de una lavadora es S/.4.00 se ganó el 14% del costo más el 5% del valor de venta. Cuánto costó la lavadora?. 15) En una fiesta se observa que el 0% de los asistentes son hombres y de las mujeres el 75% están casadas. Si hay 8 mujeres solteras. Cuántos hombres habían en la fiesta? 16) De 60 empleados que hay en una empresa el 40% son mujeres. Cierto día faltó a trabajar el 50% de las mujeres y el 5% de los varones. Cuántos asistieron a trabajar? 17) Si soledad se retiró del casino con S/.40, habiendo perdido primero el 0% y luego ganando el 50% de lo que le quedaba. Con cuánto fue al casino? 18) Si un televisor tiene un precio que corresponde al 0% menos de otro similar cuyo precio es S/ Cuál es el precio del primer televisor? 19) Un confeccionista recibe como pago S/ por hacer 700 uniformes de una empresa. El metro de tela cuesta S/. 1. Hay dos clases de uniforme el de hombre y el de mujer. Para el de hombre se necesitan,5 m. y para el de mujer m. El material de tela trabajada cuesta S/. 3,50 para ambos uniformes. Qué porcentaje del monto recibido queda como ganancia, si la empresa cuenta con 500 hombres y 00 mujeres? 0) Sobre la venta de cierto articulo existe un impuesto del 10%, y una vez que este impuesto ha sido cargado se aplica otro impuesto del 4% sobre el total. Si el articulo está marcado en S/. 50. Cuánto habrá que pagar por el? 1) Un fabricante confecciona un producto a un costo de S/. 0, el precio es S/. 3,5. Expresar la utilidad como porcentaje del precio de costo y precio de venta. ) A qué precio debe venderse un artículo, sabiendo que su costo fue S/ y que el margen de utilidad será del 0% del valor de venta? 3) Encontrar el valor de factura, dado: a) Precio de lista = S/. 750, con descuento. del 30% y 10%. b) Precio de lista = S/. 950, con descuento. del 15%, y 5%. 4) Una empresa gráfica tiene un costo de S/.15 por la edición de un diccionario que lanzará próximamente, el margen de utilidad (MU) que aplican es del 10% de su costo. Hallar el valor de venta del libro. 5) Una casa de hospedaje sabe que su costo unitario diario, por habitación simple, es de S/. 0 y su MU es de 10% del valor de venta. Hallar el valor de venta de la habitación por día. 3

24 6) Un taller de confección de polos publicitarios sabe que su costo unitario es de S/. 40, su MU lo considera como un 50% del costo. Hallar el precio. 7) Una empresa de producción de componentes para computadoras tiene un costo total de S/ y produce 500 artículos, su MU es de 70% del valor de venta. Hallar el valor de venta de cada unidad. 8) Una empresa vitivinícola tiene costos fijos de S/ y costos variables de S/ Fabrica botellas y establece un MU del 30% del costo. Hallar el precio de venta unitario. 9) La agencia de Publicidad AKM tiene los siguientes costos para la instalación de afiches: Alquiler de local S/ ; servicios de luz, agua y teléfono S/..000; insumos publicitarios S/ ; mano de obra S/ El Margen de utilidad es del 40% del costo y se confeccionan 800 afiches. Hallar el precio de cada afiche. 30) Para un concierto musical una empresa de espectáculos compró una determinada marca de refresco en lata a un costo de S/.,35 cada unidad y la vendieron a un precio de S/. 4,50. Hallar: a) El MU sobre el costo. b) El MU sobre el valor de venta. 31) Un Supermercado vende, en su sección de alimentos preparados, ensaladas a S/. 15,49 por kilo, aplicando un MU del 1,5 % del costo. Halle el costo del kilogramo de ensalada. 3) Una importadora de vehículos compra un determinado modelo a un costo de $ 8.453,95 y lo venden con un MU del 37,45% del valor de venta. Hallar el valor de venta. 33) Una fábrica de toallas de baño tiene un costo total de S/ y produce unidades, su MU es de 60% del costo, Hallar el valor de venta de cada unidad. 34) Una empresa fabricante de USB tiene un costo total de S/ y fabrica componentes, su MU es de 10% del costo. Hallar el precio unitario. 35) Una empresa fabrica 00 extinguidores y tiene los siguientes costos: alquiler de local S/ , servicios S/ , en total; materia prima S/. 4 por artículo, mano de obra S/. 5 por artículo. El margen de utilidad es del 0% del costo. Hallar el precio de venta y el total de IGV pagado. PORCENTAJE Y PLANILLAS A continuación se plantean una serie de problemas para lo cual deberá consignarlos siguientes datos: Remuneración Básica Asignación Familiar % Descuento por AFP (Promedio) % Pago por las dos primeras horas extras % Pago de horas extras a partir de la 3º hora % Descuento por Impuesto de 5º Categoría % Descuento por impuesto de 4º Categoría % Aporte Essalud del empleador % 4

25 PROBLEMAS 1) Un trabajador tiene una remuneración básica y en la semana laboro durante tres días de 4 p.m. hasta las 5,30 p.m., de 4 p.m. hasta las 6 p.m. y de 4 p.m. hasta las 7,30 p.m. Cuál será su remuneración semanal, está afiliado al SNP y no tiene familia? ) Un operario que labora en remalle de prendas percibe un jornal de S/.8 diarios y tiene familia, además tiene las siguientes horas extras: lunes de 4 p.m. a 6 p.m.; martes de 4 p.m. a 5,30 p.m. calcular su ingreso neto semanal, sabiendo que está afiliado a una AFP. 3) Un empleado percibe un sueldo mensual de S/. 1.00, tiene familia y está afiliado a una AFP, determinar su ingreso neto. 4) Una Asistente en Contabilidad percibe un sueldo de S/ , tiene familia, está afiliada al SNP, y recibió un adelanto de S/. 400, tuvo horas extras de 4 p.m. a 7,30 p.m., determinar el ingreso neto mensual. 5) Un asistente de producción en una fábrica de calzado percibe un ingreso mensual de S/ , no tiene familia y está afiliado a una AFP, además laboró un lunes de 3 p.m. a 4,30 p.m., viernes de 3 p.m. a 6,30 p.m. determinar su sueldo neto. 6) Un asistente de gerencia financiera percibe un ingreso mensual de S/ , tiene familia y está afiliado al SNP. Calcular el ingreso neto, además del descuento mensual por impuesto de 5º categoría. SESION 7-8 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESION ALGEBRAICA Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + ó se llaman términos de la expresión. ELEMENTOS DE UN TERMINO ALGEBRAICO 5 ± 3 x y EXPONENTES VARIABLES SIGNO COEFICIENTE TERMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos cuya variable es idéntica. Ejemplo: En la expresión: 7x x + x²- 3 + x + 9 x Los términos semejantes son: 7x; 4x; x -8 ; -3 5

26 x ; 9 x ADICION Y SUSTRACCION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En los siguientes casos comenzamos por asociar los términos semejantes antes de consolidarlos en un sólo término. El uso de la propiedad asociativa y distributiva de la suma permite simplificar las expresiones semejantes cuando sumamos o restamos expresiones algebraicas. Ejemplos: (x + x ) +( 3x 7)= x + 3x+ x - 7= 6x - 7 (9x³ -11x ² +18x -1) + (x ² + 6x + 5 ) = 9x³ + -11x² + x ² +18x +6x = 9x ³ -10x ² + 4 x + 4 NOTA: Para hallar la diferencia entre dos polinomios al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo, es decir: Ejemplo: A (x) - B (x)= A (x) + [- B (x)] A(x) = 3x 5x + 9 B (x) = -7x + 9x 1 A(x) B(x) = (3x 5x + 9) + (7x 9x + 1) A(x) B (x) = 3x 5x x 9x + 1 A(x) B (x) = 10x 14x + 10 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar expresiones algebraicas nos valemos de la propiedad distributiva y de la propiedad asociativa. Aplicar la propiedad distributiva significa que cada término de una de las expresiones se multiplicará por cada término de la otra expresión y luego se suman todos esos productos. Ejemplo: Hallar el producto de: (X + )(3x -1) = (x) (3x) + (x) (-1) + () (3x) + () (-1) = 3x² - x + 6x - = 3x ² + 5x (a + b)² = a ² +ab + b ² (a - b)² = a ² - ab + b ² (a b)(a b) a b (x + a)(x + b) = x +(a + b)x + ab (ax + b)(cx + d)=acx +(ad + bc)x + bd Ejemplos: PRODUCTOS ESPECIALES a) (x + 3) = x + (x)(3) + 3 = x + 6x + 9 6

27 5 5 5 b) (x - ) = (x ) - ()(x )() = x - 4x + 4 c) (x + 6)(x - 6) = x - 6 = x - 36 d) (a - 10)(a +10) = a -10 = a -100 e) (x + 6)(x + 9) = x + (6 + 9)x + (6)(9) = x + 15x + 54 f) (x - 6)(x - 10) = x + (-6-10)x + (-6)(-10) = x + (-16)x + 60 = x - 16x + 60 EJERCICIOS 1) Dados: P(x) = 4x - 5x + 3 ; 3 Q(x) = x - x + 5 Hallar: P (x ) + Q (x) ) Sean: 3) Si : 4 P(x) = 5x - 3x + 1 ; 4 Q(x) = x - 3 Hallar: P (x) Q (x) 4 3 P(x) = x - x + 3 ; 4 3 Q(x) = x - x - 3 Hallar: P(x) Q (x) 4) Efectuar E + F, si: E = 1 + x - x F = x - x - 1 5) Efectuar la multiplicación de los siguientes polinomios: a)(x - 4x + )(x - 1) 4 3 b)(x - 8x + 4x + 5x - 5)(4x - 3) c)(x + y - z)(x - y + 3z) d)(0,3x - 0,4y)(0,6x - 0,8y) e) x - y x - y

28 6) Efectuar en forma directa: a) (a + 3) = b) (b - 4) = c) (x + 6)(x - ) = 4 3 d) (x + 5y ) = e) (x + 5)(x - 5) = f) (3x + 4y ) = g) (a - 3b) = h) (x + 9)(x - 13) = i) (x - 3)(5x - 4) = 7) Efectuar: (x + ) - (x + 1) + x 8) Determinar A+B; si: 9) Si a-b = b c = 6; hallar: A = (x + 4) - (x + 3)(x + 6) B = (x + 7) - (x + 11)(x + 5) (a - b) + (b - c) + (a - c) M= 10) Si: (a + 3b)(a - 3b) = 0 ; hallar el valor de: a b 11) Si: a + b = 60 a.b = 10 (a - b) Hallar el valor de: M= 1) Simplificar: a + b a + c b + c M = + + c b a si : a +b + c = 0 ; SESIONES 9-10 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE DEFINICIÓN Una ecuación de primer grado es aquella cuyo mayor exponente de su variable es uno, verificando la igualdad para un valor determinado de su incógnita o variable. Una ecuación de primer grado, reducida, adquiere la siguiente forma: a x + b = 0, a 0 Esta ecuación se denomina ecuación lineal, donde x es la incógnita; a, b єr, (coeficientes). Ejemplo: 10x + 1 = 4x + 8

29 Ejemplos: 1) Resolver la siguiente ecuación: Se sugiere seguir los siguientes pasos: 3 x +1 - (x -1) + 4 = 1 + (3 - x) a) Efectuar primero las operaciones que se encuentran dentro del corchete, es decir: 3 x + 1-4x = x b) Se reducen los términos semejantes, dentro de los signos de agrupación: x + 4 = 7 - x c) Efectuamos la multiplicación de 3 y por sus respectivos corchetes: 9-6x + 4 = 14-4x d) Agrupamos las variables en el lado izquierdo de la igualdad y los términos independientes al lado derecho, cuidando de cambiar el signo de las mismas: e) Culminamos las operaciones pendientes: -6x + 4x = x = 1 f) Finalmente la solución de la ecuación estará representada por 1 x = - ) Hallar el valor de x en la siguiente expresión: x - 3-5x 1 - = - 3x 4 3 Para este caso se sugiere: a) Multiplicar la igualdad por el común denominador, en este caso 1: x - 3-5x = 1-3x 4 3 ; luego tendremos: x - 3-5x 1(1) - 1 = 1-1(3x) 4 3 b) Efectuamos los productos indicados y/o simplificamos: 1-3(x - 3) = 4( - 5x) - 36x c) Culminadas las multiplicaciones pendientes, tendremos: 1-6x + 9 = 8-0x - 36x d) Finalmente procedemos como en el ejemplo anterior: 36x + 0x - 6x = x - 6x = x = x =

30 COSTOS FIJOS Y COSTOS VARIABLES En la producción de cualquier bien intervienen dos tipos de costos que se conocen como costos fijos y costos variables. COSTOS FIJOS: (CF) Son los costos que un empresario debe tomar en cuenta sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no depende del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas; intereses sobre préstamos; pago de servicios (agua, luz, teléfono). COSTOS VARIABLES: (CV) Son los costos que dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos producidos. Ejemplos de costos fijos son los costos de materiales y la mano de obra. COSTO TOTAL: (CT) El costo total está dado por: INGRESO: (I) CT = CV + CF Es lo que se recibe por la venta de un bien particular y se expresa así: Donde: I : Ingreso Pv : Precio de venta por unidad q : Número de unidades UTILIDAD (U) La utilidad está dado por: Ejemplos: I = (Pv). (q) U = I CT 1) Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de S/. 5 por unidad y costos fijos de S/ Cada unidad tiene un precio de venta de S/. 1. Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de S/ SOLUCIÓN: Sea x el número de unidades que deben ser vendidas. DATOS: CV = S/.5x CF = S/ PV = S/. 1x U = S/ Como el costo variable por unidad es de S/. 5; en x será: 5x 30

31 El ingreso: I = (Pv). (q) = 1x (1) El CT. = CV + CF = 5x () Sabemos que: U = I CT (3) Reemplazando 1 y en 3 Tenemos: U = 1x (5x ) Por condición del problema U = Entonces: 1x (5x ) = Resolviendo: 1x 5x = x = x = x = = RESPUESTA: Se deben de vender unidades para obtener dólares de utilidades. ) Un empresario dispone de $ Planea invertir parte del dinero en bonos libres de impuestos con un interés del 6% y el resto en bonos sujetos a impuestos con un interés de 9%. Desea ganar $ por año en intereses de la inversión. Encuentre la cantidad que debe invertir a cada tasa de interés. SOLUCIÓN: Sea x la cantidad invertida al 6%; la otra inversión será: ( x), a una tasa del 9%; en un año. I 1 = 6% x I = ( x) 9% I 1 = 0,06 x I = 0,09 ( x) Como el interés total es igual a $ y es igual a: I = I 1 + I = 0,06x + 0,09 ( x) = 0,06x ,09x - 0,06x + 0,09x = ,03x = 55 x = 55 0,03 x = RESPUESTA: El empresario debe invertir $ al 6% y $ al 9%. EJERCICIOS 1) Hallar i en la ecuación: ,7 = (1 + i) 5 1 ) En la ecuación hallar S : = S 5 (1.30) 31

32 3) Hallar x en: x x - = 6 4 4) Resuelva la ecuación: 5p + 1 3p - 3 9p - 3 = + 3(p + 1) 3(p + 1) 3(p + 1) 5) Hallar p en la ecuación: = p ( 1 + 0,0 x 17) 6) Hallar x en: x = - x 6 3 7) Hallar x : x x + 10 = ) Hallar x en: x - x x = ) Hallar x en: x - 3 x - 8 x = ) Hallar i en la ecuación: 1.899,77 = (1 + i) 7 11) Con una calculadora hallar el valor de x aproximando el resultado al centésimo: 9,06 x + 3,59 (8x 5) = 1,07x + 0,561 1) Hallar el valor de x : x - 4 3x - 1 5x = ) Si se cumple que: a = 1 b. Hallar: (a + b) (a + b ) x - 5x ) Hallar x si: =1 x - 4x + 10 a + b 4 15) Si: = a - b 5 ; Hallar: a b PROBLEMAS 1) Carolina tiene S/. 10 y pierde 3 veces consecutivos 1/; 1/3 y 1/4, de lo que le iba quedando Con cuanto se queda? ) Luego de regalar los /3 de mi dinero y enseguida perder los /17 del resto, me quedaron S/. 450 Cuánto tenía al inicio? 3) Luego de ganar 3 veces consecutivos 1/5 del dinero que iba acumulando tengo.160 soles Con cuánto inicie el juego? 4) Se va a repartir S/ Si a Pedro le corresponde 5/9 del total y sólo ha recibido 3/8 de su parte Cuánto le falta recibir? 5) Mario reparte su fortuna entre sus 4 hijos al mayor le da la mitad; al segundo le da 1/3 del resto, al tercero le da 1/4 de lo que queda. Si el último recibió S/. 600 Cuánto recibió el segundo? 6) Compro un terno con los 3/8 de mi dinero y un reloj por S/. 00. Si lo invertido ha sido los /5 de mi dinero Cuánto tenía? 7) Di a mi hermano los /7 de lo que tenía y a mi primo S/. 38. Si con esto he dispuesto de los 5/8 de mi dinero. Cuánto tenia? 8) Si me pagaran una cantidad que me deben; equivalente a los /7 de lo que tengo, podría gastar S/.30 y me quedarían S/ Cuánto tengo? 9) He recibido S/. 50 después de haber gastado /3 de lo que tenía al principio y tengo ahora S/. 4 más que al principio Cuánto tenia? 10) Un padre reparte S/.48 entre sus dos hijos los 3/7 de la parte que dio al mayor equivale a los 3/5 de la parte que dio al menor. Cuánto dio a cada uno? 3

33 11) Dos hermanos pagan una deuda que asciende a los /5 de S/ , la parte que pago el menor equivale a los /9 de la parte que pago el mayor Cuánto pago cada uno? 1) Cuando vendo un auto en S/ gano los /7 del costo. En cuánto tendría que venderlo para ganar los /5 del costo? 13) Si gastara los /5 de lo que tengo y donara S/. me quedaría con los /7 de lo que tengo. Cuánto me queda? 14) Una propiedad es de tres personas al primero corresponde 5/1, al segundo 1/3, y al tercero 1/4, si se vende en S/ Cuánto corresponde a cada uno? 15) Si doy a mi hermano los /5 de lo que tengo menos S/., me quedarían S/. 11. Cuánto tengo? 16) Usted recibe como sueldo un cheque por S/. 59 cada semana. Si sus deducciones por impuestos; retiro; cuota sindical y seguro médico constituyen 6% de su salario Cuál es su salario semanal antes de las deducciones? 17) Carmen Luján invirtió S/ de dos maneras: una parte al 6% y otra al 4%. En total ganó S/ en intereses en un año Cuánto invirtió al 4%. 18) José recibió S/ por la venta de un terreno. Invirtió una parte al 5% de interés y el resto al 4% de interés. Ganó un total de S/..90 en intereses en un año Cuánto invirtió al 5%? 19) Una compañía fabrica un producto a un costo variable de $,0 por unidad. Si los costos fijos son de $ y si cada unidad se vende a $ 3 Cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de $ ? 0) Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables a $ 6 por unidad y costos fijos de $ Cada unidad tiene un precio de venta de $ 10. Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $ ? ECUACIONES CON DOS VARIABLES Es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado que presenta la siguiente expresión: ax + by = c (1) ex + fy = d Dónde: x ; y son las variables o incógnitas, a; b; c; e; f son los coeficientes. Ejemplo: 4x + 5y = 335 VARIABLES: x e y 9x + 14y = 850 COEFICIENTES: 4; 5; 9; 14; 335; 85 A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema de dos ecuaciones lineales en las variables x e y que consiste en hallar sus valores, para que al reemplazarlas sean verdaderas simultáneamente. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS Se sugieren los siguientes pasos: () MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1) Se despeja una variable de cualquier ecuación. ) El valor de la variable en el paso (1), se reemplaza en la otra ecuación y obtenemos una ecuación de una variable. 33

34 Mostraremos este método con el ejercicio anterior: Despejamos x en la ecuación (1) 3x - 4y = 1...( 1) x + 3y = 1...( ) 3x = 1 + 4y Reemplazamos (3) en () así: x = 1 + 4y 3.(3) x + 3y = y + 3y = 1 3 MCM: 3 (1 + 4y) + 3y = 1 3 (1 + 4y) + 9y = y + 9y = 36 17y = 36 17y = 34 y = y = Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas (1) ó () en nuestro caso lo haremos en (1). 3x 4y = 1 3x 4() = 1 3x 8 = 1 3x = x = 9 Se procede así: x = 9 3 x = 3 Cs 3, MÉTODO DE IGUALACIÓN 1) Se despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones. ) Luego se igualan, obteniéndose un valor, que luego será reemplazado en una de las ecuaciones. 34

35 Ejemplo: Resolver el sistema empleando el método de igualación: Despejamos x de (1) y () En (1): x = 1 + 4y 3 En (): 1-3y x = Igualamos ambas expresiones: Resolvemos la ecuación hallando y 3x - 4y = 1...(1) x + 3y = 1...() 1 + 4y 3 1-3y = (1 + 4y) = 3(1 3y) + 8y = 36 9y 8y + 9y = 36 17y = 34 y = = Reemplazamos este valor en (1) ó (); lo haremos en (1): 3x 4y = 1 3x 4() = 1 3x 8 = 1 3x = x = 9 Se sugieren los siguientes pasos: Cs: 3, MÉTODO DE REDUCCIÓN 1. Se igualan los coeficientes de una de las variables de las dos ecuaciones, procurando que sean inversos aditivos.. Al sumar ambas ecuaciones se eliminará una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación obtenida en el paso y tenemos el valor de una incógnita. 4. Luego reemplazamos el valor de esta incógnita en cualquiera de las ecuaciones dadas y obtenemos el valor de la otra variable. 35

36 Ejemplo: Resolver el sistema, empleando el método de reducción: Vamos a igualar los coeficientes de y. 3x - 4y = 1...(1) x + 3y = 1...() Multiplicando la ecuación (1) por 3: 9x 1y = 3 Multiplicando la ecuación () por 4: 8x + 1y = 48 Sumamos la ecuación (1) y (): 17x = 51 x = 51 =3 17 x = 3 Reemplazando: x = 3 en cualquiera de las ecuaciones: (1) ó () En nuestro caso reemplazaremos en (1). 3x 4y = 1 3(3) 4y = 1 9 4y = 1-4y = 1 9-4y = - 8 y = -8 = -4 Cs: 3; NOTA: Como observarás cualquier método elegido, nos permite obtener el mismo resultado. EJERCICIOS 1. Al resolver: x + y = 5 x - y = 1. Al resolver: x + y = 4 3. Si: x - y = 55 x - 5y = x - y = - Hallar x -1 + y -1 Hallar: x + y Hallar: (x + y) 36