PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA, Y CÁLCULO NUMÉRICO

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA, Y CÁLCULO NUMÉRICO"

Transcripción

1 PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA, Y CÁLCULO NUMÉRICO Apuntes del curso para Ingeniería Química Dr. Omar Abel Lucero Año 2002 I-I

2 I-I

3 PROGRAMA DE PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA, Y CÁLCULO NUMÉRICO (412-0 de IQ, Plan 245-9, 4to cuatrimestre / 2 o año) Objetivos: Capacitar al alumno para el análisis estadístico de datos, y para la integración de los conceptos estadísticos a la toma de decisiones. Además, capacitarlo para aplicar algunos de los métodos del cálculo numérico. Carga horaria y correlativas Teóricas: Teóricas: Miércoles, 15:30 a 18:00. Aula 203 2½ horas semanales. en el edificio de Ingeniería de la ciudad universitaria; ver la identificación del aula en la página web. Prácticas: 1 módulo de 2 ½ horas. Hay dos comisiones: Laboratorio de computación. Una hora por semana; dos comisiones. La cátedra establecerá la comisión al cual concurrirá cada alumno. La concurrencia al laboratorio de computación es obligatoria. Correlativa: Aprobada, Introducción a la Informática. Sistema de evaluación Promoción Para promocionar la materia se deben aprobar dos exámenes parciales, y cuando corresponda deberá aprobar también un coloquio sobre los temas que en los parciales mostró desconocer. Además, deben haber cumplido con la asistencia al laboratorio de computación. Si por razones de causa mayor un alumno no pudo cumplir con la asistencia requerida al laboratorio, deberá demostrar que maneja el utilitario computacional estadístico, al nivel requerido para el curso. La nota mínima para aprobar un parcial es de 65 puntos (sobre un máximo de 100 puntos). Si el estudiante no aprobó un parcial, podrá recuperarlo. Sólo se puede recuperar un parcial. Para los estudiantes que promocionan, la nota final es el promedio de las notas que obtuvo en los parciales (o un parcial y el recuperatorio) que aprobó. Los estudiantes están obligados a conocer todo el contenido del programa para promocionar la materia. La nota refleja la profundidad del dominio de los temas. Si un estudiante aprobó un parcial, pero no contestó alguna pregunta, o su respuesta fue errónea, al final del curso deberá rendir coloquio sobre los temas que no conoce. En este caso, para promocionar deberá aprobar el coloquio. Para aprobar el coloquio, el estudiante debe demostrar conocer adecuadamente todos los temas que la cátedra le de. Si no aprueba el coloquio queda libre en la materia. Por lo menos una semana antes del coloquio, cada estudiante será informado de los temas sobre los cuales será interrogado. calificaciones finales La calificación final en base 100 es convertida a calificación de acta de examen, según la siguiente tabla de conversión: I-II

4 Nota en base Nota para el 100 acta de examen revisión de exámenes Todo estudiante tiene el derecho a revisar su examen, y a reclamar por la calificación recibida. En caso de que el J.T.P. no coincida con el reclamo, el estudiante tiene el derecho a insistir en su reclamo ante el Profesor Titular de la materia. Reclame por su nota cuando esté convencido de que efectivamente la calificación debió ser mayor. En caso de que esté en duda, reclame. Es conveniente que los estudiantes revisen sus exámenes para saber en qué se equivocaron. Programa Aprobado por Resolución No. 447 del H.C.D. del 18 de Octubre de 1994 unidad 1: PROBABILIDADES Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso aleatorio. Espacios muestrales discretos y continuos. Definición de probabilidad. Sucesos mutuamente excluyentes. Adición de probabilidades. Probabilidad de sucesos compuestos. Probabilidad condicional. Sucesos independientes. unidad 2: Variables aleatorias (V. A.) Definición, población, y distribución de probabilidades. V. A. discretas y continuas. Propiedades de las distribuciones univariadas: momentos, esperanza, y varianza; media, mediana, moda, coeficientes de simetría y de curtosis. unidad 3: Modelos de probabilidad. Modelos para variables discretas: Binomial, Poisson, Modelos para variables continuas. Uniforme, Normal, Lognormal, exponencial. Teorema del Límite Central. Relaciones entre distintos modelos. Utilitarios para computadoras. unidad 4: Estadística descriptiva Muestra. Propiedades de la muestra. Métodos de muestreo. Descripción de variables discretas, o continuas, tablas, gráficos, medidas analíticas. unidad 5: Estimación de parámetros Estimadores puntuales; insesgados, consistentes. Estimación de los parámetros de los modelos estudiados. Distribuciones de probabilidad de los estimadores. χ 2, t de Student. Distribución de la media aritmética, la varianza muestral, la diferencia de medias normales, cociente de varianzas normales. Estimación por intervalos. Intervalo para la media y para la varianza de la Normal. unidad 6: Pruebas de hipótesis Clasificación de hipótesis. Tipos de errores. Pruebas sobre la media, y la varianza de una Normal. Pruebas de comparación de medias normales. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov, y de la χ 2. unidad 7: análisis de correlación y control estadístico de procesos Coeficiente de correlación. Regresión lineal simple, ajuste por mínimos cuadrados. Coeficiente de determinación. Empleo de transformaciones. Interpretación de los productos computacionales. Control estadístico de procesos, diagramas de control. I-III

5 unidad 8: cálculo numérico (primera parte) Fuentes de errores, errores significativos. Inestabilidad. Ecuaciones no lineales. Aislamiento de raíces. Método de bisección. unidad 9: cálculo numérico (segunda parte) Interpolación y aproximación. Diferenciación e integración. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias. bibliografía: Libro del curso: Probabilidad, y Estadística para Ingenieros. I. Miller, J. Freund, y R. Johnson. Editorial Prentice-Hall. Además son adecuados para distintas partes del curso los siguientes libros: Probabilidad y Estadística, por Murray Spiegel. Editorial McGraw-Hill. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas, por Paul Meyer. Editorial Addison Wesley Iberoamericana. Libro recomendado para la parte de Cálculo Numérico: Métodos numéricos para ingenieros, por Steven Chapra, y Raymond Canale. McGraw-Hill. La cátedra proveerá a los alumnos resúmenes de clases de consulta opcional. La consulta a estos resúmenes no releva al alumno de la responsabilidad de consultar libros. Sugerencias para los estudiantes Sobre la materia La relación entre los temas que aprenderán durante el curso, es de tipo serial: todo los aprendido durante una clase, será utilizado más adelante en el curso. Por consiguiente, es conveniente que el estudiante esté al día con las clases teóricas, y los ejercicios prácticos. sobre el libro del curso Gran parte del libro del curso es material que el estudiante debe saber. Por consiguiente, la consulta del libro del curso es indispensable. costumbres de estudio Generalmente la más frecuente y principal dificultad que tienen los estudiantes son costumbres inadecuadas de estudio. A continuación, detallamos unas pocas sugerencias para un mejor aprendizaje. Ud. puede hacerles caso, o no, pero no las encuentre triviales o innecesarias (si lo hace, lo más probable es que Ud. necesite verificar si tiene un buen método de estudio). Estudie de acuerdo al ritmo de la materia: Es importante que siga las clases. Si Ud. pospone el estudio de la materia para dos días antes del examen parcial, está pretendiendo aprobar una materia con sólo unos pocos días de estudio. No lo conseguirá. Como regla práctica aproximada, semanalmente tiene que estudiar los temas de la materia durante el doble del tiempo de la duración de las teóricas y las prácticas. Esto indica que debe dedicar a la materia no menos de 12 horas semanales efectivas de estudio. Organice su tiempo; construya una tabla de horario semanal de estudio, y cúmplala!. Aprende mejor y más rápido si participa. Para evitar distraerse durante las clases, pregunte y pregúntese sobre los temas que están siendo desarrollados. No converse durante la clase. Cuando esté estudiando de los libros o sus apuntes, hágase preguntas: De qué trata este tema? Cómo se resuelve este ejercicio? Cuál es la diferencia entre este ejercicio (o tema), y otros anteriores?. En qué casos aplico esta técnica?. Repase. Repasar los temas explicados durante la clase, y lo que estudia de los libros es indispensable para aprender. I-IV

6 Memorice: Si no memoriza, está permanentemente a cero. Haga un sincero esfuerzo por memorizar. (Su capacidad de memorización y comprensión aumenta considerablemente si se entusiasma con lo que está estudiando). Entienda: Para entender hágase preguntas: Qué sucede si cambio los valores del problema? Compare lo que esperó a priori, con lo que resultó de los cálculos. Entusiásmese con lo que estudia: Para llegar a un objetivo de interés, mantenga su entusiasmo. Aprobar una materia es un objetivo que vale el esfuerzo. Evite desanimarse escuchando a gente pesimista que se dedica a tirar pálidas ; tampoco Ud. tire pálidas. Aprenda a estudiar: Consulte alguno de los numerosos libros que hay sobre métodos de aprendizaje. Un par de días aprendiendo sobre métodos de estudio, para aprovechar esas técnicas en los cinco años de universidad, es una buena inversión. No se engañe: La nota en un examen la pone Ud. con lo que demostró que sabe; el profesor solamente hace de intermediario objetivo. Haga una sola cosa a la vez si quiere lograr resultados. Cuando esté estudiando, no se distraiga pensando en otra cosa. Es difícil que alguien se pueda concentrar si escucha radio a un volumen fuerte. Es buena costumbre estudiar en grupo, siempre y cuando los integrantes del grupo no se distraigan hablando de otros temas. Pero, cuidado, parte del tiempo Ud. debe estudiar a solas para poder memorizar, y entender. Mantenga la perspectiva; contribuirá a entusiasmarlo en su estudio. Esto es la Universidad. Aquí está aprendiendo las técnicas y los conceptos para cambiar al mundo para mejor, en la disciplina que eligió; para elevar la calidad de vida de la sociedad; y para ganarse la vida de una manera divertida. Paso a paso lo está aprendiendo. Reconozca que es un afortunado: Le pagarán por hacer lo que a Ud. le gusta hacer!. I-V

7 I-VI

8 1. CONCEPTOS BÁSICOS Sucesos y experimentos aleatorios Población Población es el conjunto de objetos que nos interesa. Los objetos pueden ser reales o abstractos; pueden existir; o podrán existir en el futuro. El conjunto de objetos puede ser finito, infinito numerable, o infinito no numerable. Estas dos últimas en la práctica son aproximaciones muy útiles. Ejemplos: Conjunto finito: Objeto: La superficie cubierta de cada una de las casas ocupadas por no más de 3 personas, en la ciudad de Córdoba, en la actualidad. Los objetos (las superficies cubiertas) existen ahora. Observemos que la superficie cubierta puede ser considerada un número real, pero la cantidad de objetos es finita. Conjunto finito: Objeto: La cantidad de puntos en cada uno de los 6 lados de un dado. Los objetos existen ahora. Hay 6 objetos que corresponden a cada uno de los lados. Conjunto infinito numerable: Objeto: La duración (número real) de cada una de las lamparillas eléctricas fabricadas por una línea de producción. La duración es un concepto, que tiene existencia potencial. El objeto tiene existencia real cuando una lamparita dejó de funcionar. Suponemos que la cantidad de lamparitas es tan grande que la podemos considerar infinita. Conjunto infinito numerable: Objeto: La cantidad de rayos que en un año cualquiera caerá sobre la ciudad de Córdoba. Aunque el conjunto es finito, en la práctica nos resultará cómodo estudiarlo como si fuese un conjunto de infinitos valores posibles. Los objetos son abstractos (cantidad de rayos), y están definidos recién al terminar cada año. Conjunto finito: Objeto: El peso (número real) del contenido de cada una de las latas de café que una línea de producción puede fabricar durante 1 hora. Los objetos existen recién al terminar una hora. En casos como este, frecuentemente haremos la aproximación de que la cantidad de objetos es tan grande que podemos considerar que forman un conjunto infinito no numerable. Conjunto finito: El color de los automóviles que pasan por la intersección de dos avenidas específicas, entre las 12 y las 13 horas. Muestra aleatoria La mayoría de las poblaciones no pueden ser analizadas en su totalidad. Esta limitación puede tener distintas causas: 1) La población, aunque de tamaño finito, es demasiado grande para examinar todos sus componentes. Razones económicas, u otras razones prácticas, lo desaconsejan. Ejemplo: 1) Intención de voto de la población, ante una elección. 2) Duración de las lámparas eléctricas que produce una fábrica. I-7

9 3) Resistencia a la rotura de piezas mecánicas fabricadas por una línea de producción. 2) La población es de tamaño infinito, y su existencia es potencial (todavía no existe, aunque existirá en el futuro). Ejemplos: 1) Número de rayos que caerán sobre una localidad durante un año Esta cantidad es un número finito. Sin embargo, como puede alcanzar un valor muy grande, es conveniente considerar que puede ser infinita. Los rayos todavía no existen, su existencia es potencial, ocurrirán en el futuro. 2) Duración de los neumáticos de determinado tipo que fabrica una empresa. El examen es destructivo. El objeto queda inservible una vez que se determinó su duración. La muestra es una parte de la población. En los casos de imposibilidad, o dificultad, para acceder a toda la población, se examina una muestra. La muestra está compuesta de elementos. Se denomina muestreo a la acción de tomar una muestra de una población. El muestreo debe garantizar que cualquier elemento de la población pueda ser extraído. Ejemplo: La población es el conjunto de los pesos del contenido de cada una de las latas de café producidas por una empresa durante un día. Pesar a todas las latas es económicamente inconveniente. Por esa razón, se extrae una muestra para inferir las características de la población. Muestra aleatoria es una muestra representativa de la población obtenida de manera que ni directa, ni indirectamente, se favorezca la elección de determinados elementos de la población. Solamente trabajaremos con muestras aleatorias. La muestra aleatoria se utiliza para inferir propiedades de la población. La inferencia de las propiedades de la población se realiza mediante métodos que veremos más adelante. La muestra es simple si el tipo de elemento extraído no depende de los anteriores. Solamente trabajaremos con muestras aleatorias simples. Ejemplo : Se desea tomar una muestra simple formada por 10 elementos de la producción diaria de calzado en una empresa, para analizar si se cumplen los requerimientos de calidad. Cada elemento está compuesto de un par de zapatos. Para construir la muestra simple, los pares se eligen a la hora cada hora. Para esto, un operario retira un par del final de la línea de producción cuando suena una chicharra que indica el momento de extracción. Esto no permite que el operario pueda inconscientemente elegir los pares de zapatos (la muestra no sería aleatoria), ni elegir un par de acuerdo al par anterior (la muestra no sería simple). Si se observan todos los objetos de una población, entonces se tiene un censo. Experimento aleatorio Definición: El experimento aleatorio es el procedimiento por el cual obtenemos una muestra aleatoria, y registramos la cualidad que nos interesa. El experimento aleatorio debe cumplir con los siguientes requisitos: El resultado de un experimento aleatorio es una muestra aleatoria compuesta de n elementos {x1,..., xn}. Debe tener más de un resultado posible, y solamente un resultado aparece cada vez que se ejecuta el experimento aleatorio. No debe ser posible establecer el resultado del experimento aleatorio de antemano. Es indispensable que las condiciones que rodean al experimento no varíen a lo largo del mismo (o de las repeticiones del mismo). Ejemplo: I-8

10 Se extrae una lata de café de la línea de producción, de manera que se garantice falta de intencionalidad en la elección. Un método sería retirar la lata enfrente al operador cada vez que al azar suena una chicharra. El resultado del experimento aleatorio es el peso del contenido de la lata. El experimento aleatorio se puede repetir un número arbitrario de veces, según sea la conveniencia y necesidad. Ejemplo : El caso anterior se puede repetir n veces. Se obtiene así n resultados xk {k=1,...,n} que consisten en el peso del contenido de n latas de café. Un experimento aleatorio puede ser con reposición o sin reposición del elemento examinado para obtener el resultado. Por ejemplo: Exp. aleat.: Retirar de una partida un recipiente que contiene café, y pesarlo. El recipiente no se regresa a la partida. Este es un experimento aleatorio sin reposición. Exp. aleat.: Lanzar un dado n veces, y observar el valor de la cara superior en cada una de las tiradas. Este es un experimento aleatorio con reposición (el valor no fue borrado después de leerlo). Espacio muestral Definición: El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio; y se lo simboliza S. A cada resultado posible de un experimento aleatorio se lo denomina punto muestral, o elemento de la muestra. Los puntos muestrales son mutuamente excluyentes entre si (solamente aparece uno por cada ejecución, o realización, del experimento aleatorio). TIPOS DE ESPACIOS MUESTRALES Espacio muestral Discreto: Tiene un número finito, o infinito numerable de puntos muestrales. Espacio muestral Continuo: Tiene un número infinito no numerable de puntos muestrales. Al espacio muestral S se lo elige de acuerdo a la población que se muestrea en el experimento aleatorio. Ejemplos: Experimento aleatorio: Lanzar un dado, y observar el valor de la cara superior. Espacio muestral S :{1,2,...,6}. Se toma al azar un tubo fluorescente de una línea de producción, y se determina su vida útil. Espacio muestral S: {x x 0) Se cuenta el número de rayos X que caen en una región durante un año cualquiera. Espacio muestral S:{X X 0, 1,...} Se observa la condición bromatológica de un producto extraído de una línea de producción (Por ejemplo, cereal deshidratado envasado). Espacio muestral S:{aceptable, inaceptable} Se lanza una moneda, y se observa la cara superior. Espacio muestral S:{cara, ceca}. Se elige un operario al azar, y se toma nota de su sueldo X, y su antigüedad en el puesto, Y. I-9

11 Espacio muestral S: {0< X, 0 < Y}. Suceso (o Evento) Definición: Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. También puede ser conjunto completo S, y el conjunto vacío. Si cualquiera de los puntos muestrales que componen a un suceso aparece durante un experimento aleatorio, entonces el suceso ocurrió. Dos sucesos son mutuamente excluyentes si ambos no pueden ocurrir simultáneamente. En este caso no tienen puntos muestrales comunes. el Ejemplo : E: se lanza un dado y se observa la cara superior. S:{1,2,...,6} Suceso 1 : Sale el 4; Puntos muestrales cuya ocurrencia indica la ocurrencia del suceso 1: {4}. Suceso 2: Sale par {2,4,6} Suceso 3 : Sale el 7; { } Suceso 4: Sale un número cualquier del 1 al 6; {S}. Ejemplo de sucesos mutuamente excluyentes: Suceso A: Sale par Suceso B: Sale impar. A y B son mutuamente excluyentes. Operaciones sobre sucesos Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera de S (es decir, dos sucesos definidos en S). Las operaciones unión e intersección se definen como sigue: UNIÓN A B : Suceso formado por los puntos muestrales que pertenecen a A ó a B, ó a ambos. Ejemplo El experimento aleatorio consiste en lanzar un dado, y registrar su lado superior. Sea A el suceso: "se observa par", Sea B el suceso "sale el 4". El suceso A B está compuesto de los sucesos elementales {2, 4, 6}. INTERSECCIÓN A B : Suceso formado por los puntos muestrales que pertenecen a A y B. Se lee "A intersección B", o también "A y B". Si A B son mutuamente excluyentes se cumple A B =, donde es el conjunto vacío. Ejemplo El experimento aleatorio, y los sucesos A y B están definidos como en el ejemplo anterior. En este caso, el suceso A B está compuesto del suceso elemental {4}. Sucesos complementarios Definición: A es el suceso complementario de A, si está compuesto de los puntos muestrales del espacio muestral S que no pertenecen a A. I-10

12 S: A A Diagrama de Venn de un suceso A y su suceso complementario A. Ejemplo Sea un experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, y registrar el lado superior. Sea el suceso B definido por "sale el 4". El suceso complementario B' está definido por los sucesos elementales {1, 2, 3, 5, 6}. Sucesos simples y sucesos compuestos Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, y observar el número en la cara superior. El espacio muestral es {1,..., 6}. El resultado que se obtiene directamente del experimento se denomina suceso simple. En este caso los sucesos simples son los resultados {1,...,6}. Se denomina suceso compuesto, a un suceso definido por la ocurrencia de alguno de varios sucesos simples. Por ejemplo, definimos al suceso A: salió un número par. Este suceso está compuesto por los resultados (o sucesos) {2, 4, 6}. Si el experimento aleatorio consiste en determinar directamente si salió par o impar, sería equivalente a reemplazar en el dado los valores 2, 4, ó 6 por la palabra par ; y los valores 1, 3, ó 5 por la palabra impar. En este caso, el espacio muestral del experimento es {par, impar}, y cada uno de esos dos resultados es un suceso simple. Veremos más adelante que definir a un suceso A por medio de la ocurrencia de alguno de varios sucesos simples, que tengan la misma probabilidad de ocurrir simplifica (o vuelve posible) el cálculo de la probabilidad del suceso A. Frecuencia relativa Un experimento aleatorio se repite n veces. Sea f el número de veces que salió un suceso determinado. La frecuencia relativa de un suceso determinado f r se define por fr = n f. Se cumple: 0 f r 1 Probabilidad Frecuencia relativa y probabilidad Supongamos un experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda, y una vez que este se detuvo en un lugar, observar si el lado superior es cara o ceca. Este experimento aleatorio se repite 100 veces. De esas 100 repeticiones, supongamos que se observa el resultado "cara" 53 veces. La frecuencia relativa de "cara" es 0,53. Luego, comenzamos otra nueva secuencia de repeticiones de ese experimento aleatorio. La moneda es lanzada 200 veces, y se observa que "cara" ocurre 104 veces. La frecuencia relativa de "cara" es en este caso igual a 0,52. Estamos en presencia de un grupo de secuencias de repeticiones de un experimento aleatorio. En este caso, el grupo está compuesta de dos secuencias de repeticiones del experimento aleatorio. Sea ahora un grupo de secuencias de repeticiones de experimentos aleatorio. Para cada secuencia de ni {i=1, 2, 3,..., m} repeticiones calculamos la frecuencia relativa f r (n i ) de ocurrencia de un suceso A. La frecuencia relativa fr(ni) está definida por: f r ( n ) i ( n ) f = i i ; n i I-11

13 donde f i (n i ) es el número de veces que apareció el suceso A en las n i repeticiones del experimento aleatorio. Usamos el símbolo f r (n i ) para indicar que la frecuencia relativa fue calculada usando los datos producidos por ni repeticiones. Para cada nueva secuencia de repeticiones del experimento aleatorio, aumentamos el número de repeticiones ni. Por ejemplo, n 1 =100, n 2 =200, n 3 =300,..., n m = Detenemos la repetición del experimento aleatorio cuando se construyeron un total de m secuencias de repeticiones. Si m (cantidad de secuencias de repeticiones del experimento aleatorio), y ni (número de repeticiones en cada secuencia) son muy grandes se observa experimentalmente que la función f r (n i ) (para i = 1, 2, 3,..., m) fluctúa alrededor de un número; a ese número lo denominamos la probabilidad del suceso A. La oscilación ocurre dentro de un entorno sucesivamente más pequeño a medida que crece n i. La siguiente figura describe gráficamente los resultados de un grupo de secuencias de repeticiones del experimento aleatorio. fr(n i ) 1 P(A) 0,5 0 n i Definimos a la probabilidad del suceso A por: P (A)= f n cuando el número de repeticiones del fr = P. n experimento tiende a infinito. Escribimos está definición de la siguiente manera lim ( A ) Axiomas de la probabilidad 1) 0 P(A) 1 2) P(S) = 1 3) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, se cumple: P( A B) = P(A) + P(B). 4) Si A1, A2,... es un conjunto infinito de sucesos mutuamente excluyentes, se cumple: P( A1 A2 A3...) = P (A i ). i = 1 Resultados igualmente probables Los axiomas de la probabilidad conducen a las siguientes dos reglas para calcular probabilidades cuando un espacio muestral finito está compuesto de puntos muestrales (resultados posibles) que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Sea un experimento aleatorio con un espacio muestral finito S: {E 1,..., E n }. Por hipótesis, cada punto muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir. Por consiguiente: P(E 1 ) =...=P(E n ) = p ; donde p es un valor constante que satisface los requerimientos de una probabilidad. Por hipótesis, los puntos del espacio muestral son mutuamente excluyentes. Por consiguiente se cumple: P(E 1... E n ) = P(E 1 ) P(E n ) = 1, pues E 1... E n = S. Por consiguiente, la probabilidad de cada punto muestral es: I-12

14 P(E i ) = n 1, para cualquiera de los puntos muestrales i. Ejemplo.: Exp. Aleatorio: Se lanza un dado, y se observa el valor de la cara superior. Espacio muestral S: {1,2,...,6}. Todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad, por hipótesis, y esta es igual a 1 / 6. CASO DE UN ESPACIO MUESTRAL INFINITO Si el espacio muestral es infinito, es imposible que todos los sucesos elementales tengan la misma probabilidad. Porque en este caso no podrían cumplirse simultáneamente todos los requisitos sobre la probabilidad: P(E i ) = constante 1; y P ( E i ) = 1. i = 1 Por consiguiente, para que los puntos muestrales tengan la misma probabilidad, el espacio muestral debe ser finito. PROBABILIDAD DE UN SUCESO Sea un experimento aleatorio, y su correspondiente espacio muestral S formado por n resultados posibles E 1,...,En. Suponemos que todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad de ocurrir. Dentro de ese espacio muestral definimos a un suceso A, que está compuesto por un número finito de puntos muestrales: A:{E1,...,Em}; m n. Por definición, el suceso A ocurre si el resultado del experimento aleatorio es alguno de los puntos muestrales mutuamente excluyentes E1,...,Em. Se cumple por consiguiente: P(A) = P(E1... Em ) = P(E1) P(Em) = n m. pues P(Ei) = 1/n para cualquier i. Este resultado se expresa de la siguiente manera: P(A) = Numero de casos favorables Numero de casos totales ; donde Número de casos favorables es el número de puntos muestrales que indican que el suceso A ocurrió. El número de casos totales es el número de puntos muestrales en S. Ej.: Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado ocurra el suceso salió par. Suceso A, salió par, :{2,4,6}. S:{1,2,...,6} P(A) = casos favorables / total de resultados posibles = 1 / 2. Interpretación de la probabilidad A fin de interpretar de una manera concreta la probabilidad de un suceso, conviene recordar que esa probabilidad es el cociente de casos favorables sobre los casos totales, cuando estos últimos son un número grande. Para muchas aplicaciones, un total de 100 posibles resultados es un conjunto grande. Ejemplo Si decimos que al lanzar una moneda hay una probabilidad 0,5 de que salga cara, esto indica que en 100 lanzamientos consideramos razonable que haya aproximadamente 50 resultados salió cara. I-13

15 Regla general de la adición Teorema: Si A y B son dos sucesos cualesquiera (ahora no requerimos que sean mutuamente excluyentes). Se cumple: P(A B ) = P(A) + P(B) - P( A B). Ejemplo: Experimento aleatorio: lanzar un dado y leer su cara superior. Suceso A: Sale par. P(A) = 1/2. Suceso B: Sale el número 3. P(B) = 1/6. P(A B ) = 1/2 + 1/6-0 = 4 /6. Probabilidad del complementario Teorema: Si A es un suceso, y A es su complementario entonces se cumple que P(A ) = 1 - P(A). Esto se deduce de P(A A ) = P(A) + P(A ) = P(S) = 1.Por consiguiente: P(A ) = 1 - P(A). En algunos problemas importantes, el cálculo de P(A) se simplifica si primero se calcula P(A ), y luego se usa la regla anterior para calcular P(A). Ej.: Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número comprendido en el intervalo cerrado [2, 6]? Suceso A: A:{2,...,6} ; Suceso A :{1}. P(A ) = 1 / 6. P(A) = 1 - P(A ) = 5 / 6. Probabilidad condicional Sea un experimento aleatorio E, cuyo espacio muestral es S. Sean A y B sucesos que forman parte del espacio muestral S. A y B pueden ocurrir simultáneamente. En algunas repeticiones del experimento aleatorio, B ocurrirá cuando no ocurre A; en otras repeticiones B ocurrirá simultáneamente con A. La siguiente figura ilustra al espacio muestral y a los sucesos A, A, y B. S A A B Ejemplo. Exp. aleatorio: Se lanza un dado. Se definen los sucesos: A: Salió par; A : sale impar; B: sale un número igual o mayor que 4. El suceso B puede ocurrir, o no, conjuntamente con A. El suceso B I A se denomina que B ocurra, sabiéndose que A ocurrió. La probabilidad P(B I A) se denomina probabilidad condicional de B sabiendo que ya ocurrió A. Se cumple: P (A B) P(B Ι A) con P(A) 0. P (A) I-14

16 Regla general de la probabilidad de interseccion de sucesos Si A y B son dos sucesos definidos en el espacio muestral S, se tiene P(A B) = P(B A) P(A) ; con P(A) 0. = P(A B) P(B) ; con P(B) 0. Ejemplo: Un mazo de cartas españolas está compuesto de 40 cartas agrupadas en 4 clases. El experimento aleatorio, que se repite dos veces, consiste en extraer una carta sin reposición. Definimos a los siguientes sucesos: Suceso A: Sale el 4 de oro en la primera extracción; suceso B: sale el as de oro en la segunda extracción. P(A) = 1/40; P(B A) = 1/ 39; P(A B) = P(B A) P(A) = (1/39) (1/40) = 1/ Mediante un análisis de las frecuencias relativas, veremos a continuación como se llega al concepto de probabilidad condicional. Sea el experimento aleatorio E que es repetido n veces. En esas n repeticiones, el suceso A se presentó en f A repeticiones. En este último subconjunto de f A repeticiones del experimento aleatorio, el suceso B se presentó f AB veces. El cociente f AB / f A es la frecuencia relativa del suceso B, sabiendo que ocurrió A. Se cumple: f AB / f A = (f AB / n ) / (f A / n). Si n tiende a infinito, se tiene: lim fab / n = P(A B); lim f A / n= P(A). Reemplazando se obtiene la definición de probabilidad condicional: P (A B) P (B A), con P(A) 0. P (A) Para resolver algunos problemas es más fácil calcular la probabilidad condicional. En esos casos la relación anterior se utiliza para despejar la probabilidad P(A B). En otros casos es P(A B) el termino fácil de calcular, y la expresión anterior se utiliza para calcular la probabilidad condicional P(B A). Ejemplo. Cálculo de P(A B) a partir de P(B A). Se extraen dos cartas de un mazo de 40 cartas españolas.. Hallar la probabilidad de que ambas cartas sean as, en los siguientes dos tipos de extracción: a) Con reposición. b) Sin reposición. Definimos los sucesos A: Sale un as en la primera extracción. B: Sale un as en la segunda extracción. La solución del problema está dada por P(A B). a) Con reposición. P(A) = 4/40 porque hay 4 ases en 40 cartas; y P(B A) = 4/40, porque la carta extraída anteriormente fue regresada al mazo; por consiguiente, sigue habiendo 4 ases en el mazo. Queda, entonces: P(A Β) = (4/40) (4/40) = 0,01. b) Sin reposición. P(A)= 4/40; no cambia con respecto a su valor en la opción anterior. Con respecto al suceso B, la probabilidad que necesitamos calcular es P(B A). Ahora es P(B A) = 3/39, porque en la primera extracción se obtuvo un as (por hipótesis) y la carta no fue regresada al mazo. Queda, entonces: P(A Β) = (4/40) (3/39) = 0,007. I-15

17 Sucesos independientes Definición: Si A y B son dos sucesos, y se cumple P(B A) = P(B), los sucesos son independientes entre si. En este caso se tiene: P(B A) P(A) = P(B) P(A). En razón de que se cumple, P(B / A) P(A) = P( A B), se tiene: Para dos sucesos A y B independientes entre si, se cumple: P( A B) = P(B) P(A). Independencia entre B y A significa que el que haya ocurrido el suceso A, no afecta la probabilidad de la ocurrencia del suceso B, y viceversa. Ejemplo: El experimento aleatorio anterior con un mazo de cartas españolas. Ahora la extracción es con reposición (Después de extraer la primera carta, y de observar el resultado, la carta se regresa al mazo y se baraja nuevamente). Al ser un experimento aleatorio con reposición, la probabilidad del suceso B en la segunda extracción, no depende del resultado de la primera extracción. Se tiene en este caso: P(A B) = P(A) P(B) = (1/40) (1/40) = 1/1600. Teorema de la probabilidad total PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL Definición: Una partición de un espacio muestral S es un conjunto de sucesos A i [i=1,...,n] que son mutuamente excluyentes entre si, y que ocupan todo el espacio muestral. Además, todos los Ai pueden ocurrir. Una partición está definida por las siguientes propiedades: Ai Aj = A i = S P(Ai) 0 Ejemplo: E: Se lanza un dado. El espacio muestral es S:{1,2,...,6}. Cada uno de los puntos muestrales es un suceso, y entre todos forman una partición de S, porque se satisfacen los requerimientos 1 a 3 de la definición. E: Se lanza un dado. Se definen los sucesos P 1 : sale un valor par; P 2 : sale un valor impar. Los sucesos P 1 y P 2 definen una partición del espacio muestral S. Observemos en ese último ejemplo que en base a la partición se puede definir un nuevo espacio muestral S 2, función de los puntos muestrales del espacio S. En este caso es S 2 :{par, impar}. Ej.: Se lanza un dado. Los sucesos P 1 : sale par, P 2 : sale impar, P 3: sale el número 2, no son una partición porque P 1 y P 3 no son mutuamente excluyentes. Ej.: Se lanza un dado. Sucesos: P 1 : sale par, P 2 : sale el número 3, o 5. Los sucesos P 1 y P 2 no definen una partición del espacio muestral porque no lo abarcan totalmente (falta el punto muestral 1). Probabilidad total Supongamos un espacio muestral S, sobre el cual se definió una partición del mismo [Ai, i={1,..., u}]. Un suceso B en el espacio muestral S, se presentará conjuntamente con uno y solo uno I-16

18 de los sucesos Ai (porque por definición de partición, los A i son mutuamente excluyentes). Por consiguiente, se cumple: B = (B A1) (B A2)... (B Au), donde cada uno de los términos entre paréntesis es mutuamente excluyente con los otros. Se cumple P(B) = P(B A1) P(B Au). Si usamos la definición de probabilidad condicional, se obtiene P (Ai B) P (B A) i = P (A i ) reemplazando se obtiene: u P(B) = P (B A i ) P (A i ). i = 1 Esta expresión es el teorema de la probabilidad total. Se usa para calcular la probabilidad de un suceso que puede ocurrir asociado a otros sucesos (Los Ai). Ejemplo: E: Se lanza un dado. S: {1,2,..,6}. Suceso B: sale par. Partición de S: los puntos muestrales 1,2,...,6. Calcular la probabilidad P(B). Se cumple: P(B) = P(B s=1) P(1) P(B s=6) P(6). Además se cumple: P(B s=1) = 0, por ser sucesos mutuamente excluyentes. P(B s=2 ) = 1, por definición de suceso salió par. Reemplazando para todos los sucesos de la partición se tiene: P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 1 / 2. Técnicas de conteo Las siguientes siguientes dos técnicas de conteo las usaremos en una siguiente sección para calcular probabilidades. Permutaciones Dados n objetos diferentes, una permutación de esos objetos es un ordenamiento de los mismo. Dos permutaciones son distintas entre si en el caso que esos n objetos estén en distinto orden. Ej.: Objetos : A, B, C No. de permutación Permutación 1 A B C 2 A C B 3 B A C 4 B C A 5 C A B I-17

19 6 C B A El número de permutaciones de n objetos, P n, es igual a n! Combinaciones Definición. Una combinación de n objetos diferentes en grupos de r objetos (o combinación de n objetos, de orden r) es un grupo de r objetos elegidos entre los n objetos. Dos combinaciones difieren entre si en el caso de que estén formadas por diferentes objetos, sin tener en cuenta el orden en que se encuentran en el grupo. Ej.: Objetos A, B, C. Las combinaciones de 3 objetos de orden 2 son: A B ; B C; C A A B y B A es la misma combinación. El número total, n C r, de combinaciones de orden r que se pueden forman con n objetos: está dado por: n n! nc r = =. r r! (n - r)! En el caso anterior es 3C 2 = 3! = 3. 2! (3-2)! nc r se denomina número combinatorio de n sobre r. Al número n se lo denomina numerador. Dos números combinatorios de igual numerador n, se dicen que son de órdenes complementarios si son nc r y nc (n-r) Los números combinatorios de igual numerador y órdenes complementarios son iguales. En efecto, se cumple: n n! n = =. n r ( n r)! r! r I-18

Tema 3. Concepto de Probabilidad

Tema 3. Concepto de Probabilidad Tema 3. Concepto de Probabilidad Presentación y Objetivos. El Cálculo de Probabilidades estudia el concepto de probabilidad como medida de incertidumbre. En situaciones donde se pueden obtener varios resultados

Más detalles

PROGRAMA ANALÍTICO. UBICACIÓN EN EL PLAN DE ESTUDIO DE MECÁNICA: 1er. CUATRIMESTRE DE 2do. AÑO

PROGRAMA ANALÍTICO. UBICACIÓN EN EL PLAN DE ESTUDIO DE MECÁNICA: 1er. CUATRIMESTRE DE 2do. AÑO PROGRAMA ANALÍTICO DEPARTAMENTO: CIENCIAS BÁSICAS CARRERAS: INGENIERÍA MECÁNICA - INGENIERÍA QUÍMICA ASIGNATURA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CÓDIGO: 0406 AÑO ACADÉMICO: 2015 PLAN DE ESTUDIO: MECÁNICA 2005

Más detalles

Introducción a la Teoría de Probabilidad

Introducción a la Teoría de Probabilidad Capítulo 1 Introducción a la Teoría de Probabilidad Para la mayoría de la gente, probabilidad es un término vago utilizado en el lenguaje cotidiano para indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento

Más detalles

2. Probabilidad. Estadística. Curso 2009-2010. Ingeniería Informática. Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24

2. Probabilidad. Estadística. Curso 2009-2010. Ingeniería Informática. Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24 2. Probabilidad Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24 Contenidos 1 Experimentos aleatorios 2 Algebra de sucesos 3 Espacios

Más detalles

Academia de Matemáticas. Apuntes para la Materia de Estadística II. Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial.

Academia de Matemáticas. Apuntes para la Materia de Estadística II. Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial. UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas Academia de Matemáticas Apuntes para la Materia de Estadística II Guía Básica para el Estudio de la Estadística

Más detalles

Tema 3 Probabilidades

Tema 3 Probabilidades Probabilidades 1 Introducción Tal vez estemos acostumbrados con algunas ideas de probabilidad, ya que esta forma parte de la cultura cotidiana. Con frecuencia escuchamos a personas que hacen afirmaciones

Más detalles

PROGRAMA DE CURSO. Código Nombre MA3403 Probabilidades y Estadística Nombre en Inglés Probability and Statistics SCT 6 10 3 2 5

PROGRAMA DE CURSO. Código Nombre MA3403 Probabilidades y Estadística Nombre en Inglés Probability and Statistics SCT 6 10 3 2 5 PROGRAMA DE CURSO Código Nombre MA3403 Probabilidades y Estadística Nombre en Inglés Probability and Statistics SCT Unidades Horas de Horas Docencia Horas de Trabajo Docentes Cátedra Auxiliar Personal

Más detalles

Conceptos Básicos de Probabilidad

Conceptos Básicos de Probabilidad Conceptos Básicos de Probabilidad Debido a que el proceso de obtener toda la información relevante a una población particular es difícil y en muchos casos imposible de obtener, se utiliza una muestra para

Más detalles

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

TEORIA DE LA PROBABILIDAD TEORIA DE LA PROBABILIDAD 2.1. Un poco de historia de la teoría de la probabilidad. Parece evidente que la idea de probabilidad debe ser tan antigua como el hombre. La idea es muy probable que llueva mañana

Más detalles

Clase 4: Probabilidades de un evento

Clase 4: Probabilidades de un evento Clase 4: Probabilidades de un evento Definiciones A continuación vamos a considerar sólo aquellos experimentos para los que el EM contiene un número finito de elementos. La probabilidad de la ocurrencia

Más detalles

Probabilidad Para Ingenieros Apuntes EII-346. Ricardo Gatica Escobar, Ph.D.

Probabilidad Para Ingenieros Apuntes EII-346. Ricardo Gatica Escobar, Ph.D. Probabilidad Para Ingenieros Apuntes EII-346 Ricardo Gatica Escobar, Ph.D. 5 de noviembre de 2003 Capítulo 1 Introducción 1.1. Definiciones y Conceptos Básicos Definiciones Fenómeno: Cualquier ocurrencia

Más detalles

TEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

TEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIMENTOS: EJEMPLOS Deterministas Calentar agua a 100ºC vapor Soltar objeto cae Aleatorios Lanzar un dado puntos Resultado fútbol quiniela

Más detalles

Profesor Miguel Ángel De Carlo PROBABILIDAD. Tercer año del Profesorado de Matemática

Profesor Miguel Ángel De Carlo PROBABILIDAD. Tercer año del Profesorado de Matemática Profesor Miguel Ángel De Carlo PROBABILIDAD Tercer año del Profesorado de Matemática 2 Probabilidad 3er año M.A.D.C Cap.I Definiciones de Probabilidad 3 Introducción La probabilidad es uno de los instrumentos

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 7 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A OPCIÓN A (3 puntos) Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo

Más detalles

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo ESTIMACIÓN puntual y por intervalo ( ) Podemos conocer el comportamiento del ser humano? Podemos usar la información contenida en la muestra para tratar de adivinar algún aspecto de la población bajo estudio

Más detalles

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida

Más detalles

"CONTRASTES DE HIPÓTESIS" 4.4 Parte básica

CONTRASTES DE HIPÓTESIS 4.4 Parte básica 76 "CONTRASTES DE HIPÓTESIS" 4.4 Parte básica 77 4.4.1 Introducción a los contrastes de hipótesis La Inferencia Estadística consta de dos partes: Estimación y Contrastes de Hipótesis. La primera se ha

Más detalles

1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B(1, p), donde

1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B(1, p), donde Soluciones de la relación del Tema 6. 1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B1, p), donde p = P X = 1) = P la persona presente síntomas)

Más detalles

Unidad 9. Estimación

Unidad 9. Estimación Unidad 9 Estimación Estimación En los capítulos anteriores se han estudiado las nociones fundamentales de distribución de probabilidad y distribución muestral. Estamos ya en condiciones de tratar los métodos

Más detalles

Carrera: MCM - 0531. Participantes. Representantes de las academias de Ingeniería Mecánica de Institutos Tecnológicos.

Carrera: MCM - 0531. Participantes. Representantes de las academias de Ingeniería Mecánica de Institutos Tecnológicos. 1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Carrera: Clave de la asignatura: Horas teoría-horas práctica-créditos Probabilidad y Estadística Ingeniería Mecánica MCM - 0531 3 2 8 2.- HISTORIA DEL

Más detalles

Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005

Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005 Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005 SOLUCIÓN MODELO A 1. En una población de fumadores se quiere examinar la relación entre el número de cigarrillos que consumen diariamente y el número

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Probabilidad

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Probabilidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Índice 1. Experimentos aleatorios 2 1.1. Espacio muestral...................................... 2 1.2. Los sucesos.........................................

Más detalles

I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE ESTADÍSTICA CICLO VI GRADO UNDÉCIMO

I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE ESTADÍSTICA CICLO VI GRADO UNDÉCIMO 1 I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE ESTADÍSTICA CICLO VI GRADO UNDÉCIMO 2 TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD 1 1. VARIABLE ALEATORIA, ESPACIO MUESTRAL, TÉCNICAS DE CONTEO 6 1.1. VARIABLE ALEATORIA 6 1.1.1. Clasificación

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA

INFERENCIA ESTADÍSTICA INFERENCIA ESTADÍSTICA Pensemos en los tres siguientes ejemplos: Hacemos una encuesta entre los clientes de una tienda para preguntarles su opinión sobre cambios generales que pretendemos hacer en diversas

Más detalles

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD 1 UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Facultad de Químicas. RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD Ejercicio 1º.- Se lanzan dos monedas y un dado. Se pide: 1) Describir

Más detalles

ANALISIS DE DATOS EN PSICOLOGIA I (Grupos 12, 13, 14, 16 y 17) Programa de la asignatura; curso 2006/07

ANALISIS DE DATOS EN PSICOLOGIA I (Grupos 12, 13, 14, 16 y 17) Programa de la asignatura; curso 2006/07 1 ANALISIS DE DATOS EN PSICOLOGIA I (Grupos 12, 13, 14, 16 y 17) Programa de la asignatura; curso 2006/07 A.- OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA El objetivo principal de esta asignatura es contribuir a familiarizar

Más detalles

Programa de la asignatura Curso: 2007 / 2008 ESTADÍSTICA (3174)

Programa de la asignatura Curso: 2007 / 2008 ESTADÍSTICA (3174) Programa de la asignatura Curso: 2007 / 2008 ESTADÍSTICA (3174) PROFESORADO Profesor/es: SANTIAGO RUIZ MIGUEL - correo-e: rumi@ubu.es FICHA TÉCNICA Titulación: INGENIERÍA DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

Más detalles

Probabilidad. La probabilidad de un suceso es un nombre que pertenece al intervalo [0, 1]

Probabilidad. La probabilidad de un suceso es un nombre que pertenece al intervalo [0, 1] Probabilidad Un fenómeno es aleatorio si conocemos todos sus posibles resultados pero no podemos predecir cual de ellos ocurrirá. Cada uno de estos posibles resultados es un suceso elemental del fenómeno

Más detalles

Tema 7: Estadística y probabilidad

Tema 7: Estadística y probabilidad Tema 7: Estadística y probabilidad En este tema revisaremos: 1. Representación de datos e interpretación de gráficas. 2. Estadística descriptiva. 3. Probabilidad elemental. Representaciones de datos Cuatro

Más detalles

SUCESOS. PROBABILIDAD. BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS SUCESOS

SUCESOS. PROBABILIDAD. BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS SUCESOS 1 SUCESOS Experimento aleatorio. Es aquel que al repetirlo en análogas condiciones, da resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. Ejemplos: - Lanzar una moneda

Más detalles

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS USANDO MINITAB

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS USANDO MINITAB ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS USANDO MINITAB Tercera Edición EDGAR ACUÑA FERNANDEZ UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS e-mail:edgar@math.uprm.edu homepage:math.uprm.edu/~edgar

Más detalles

Variables aleatorias continuas

Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas Hemos definido que una variable aleatoria X es discreta si I X es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos

Más detalles

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA VICERRECTORADO ACADÉMICO SECRETARÍA ARAGUA VENEZUELA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA VICERRECTORADO ACADÉMICO SECRETARÍA ARAGUA VENEZUELA REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA VICERRECTORADO ACADÉMICO SECRETARÍA ARAGUA VENEZUELA Carrera: Ingeniería Eléctrica Semestre: III Unidad Curricular: Estadística Código:

Más detalles

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005 Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 005 SOLUCIÓN MODELO A 1. Una persona se está preparando para obtener el carnet de conducir, repitiendo un test de 0 preguntas. En la siguiente tabla

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de la primera Unidad. Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo

Soluciones de los ejercicios de la primera Unidad. Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo Soluciones de los ejercicios de la primera Unidad Dr. Víctor Hernández Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo 5 de marzo de 0 Índice general Ejercicio.. Manejo del formalismo de los sucesos.............

Más detalles

Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística

Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística Estadística y metodología de la investigación Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística 1. Introducción 1 2. Variables aleatorias 1 2.1. Variable

Más detalles

Probabilidad. Relación de problemas 5

Probabilidad. Relación de problemas 5 Relación de problemas 5 Probabilidad 1. Una asociación consta de 14 miembros, de los cuales 6 son varones y 8 son mujeres. Se desea seleccionar un comité de tres hombres y tres mujeres. Determinar de cuántas

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD GUÍA DE TRABAJO 2 Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre 2010 1. La dureza Rockwell de un metal

Más detalles

Estadística Administrativa I

Estadística Administrativa I 1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Carrera: Clave de la asignatura: Horas teoría-horas práctica-créditos Estadística Administrativa I Licenciatura en Administración ADT-0426 2-3-7 2.-

Más detalles

FACULTAD DE ENFERMERIA MAESTRÌA EN ENFERMERIA PROGRAMA DEL CURSO ESTADÌSTICA AVANZADA CODIGO MC1114 REQUISITOS EG2113 CREDITO: 4

FACULTAD DE ENFERMERIA MAESTRÌA EN ENFERMERIA PROGRAMA DEL CURSO ESTADÌSTICA AVANZADA CODIGO MC1114 REQUISITOS EG2113 CREDITO: 4 FACULTAD DE ENFERMERIA MAESTRÌA EN ENFERMERIA PROGRAMA DEL CURSO ESTADÌSTICA AVANZADA CODIGO MC1114 REQUISITOS EG2113 CREDITO: 4 REQUISITO LICENCIATURA EN ENFERMERÌA PROFESOR 1. Justificación. Se requiere

Más detalles

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Probabilidad 2008

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Probabilidad 2008 Probabilidad 2008 EJERCICIO A Laura tiene en su monedero 6 monedas francesas, 2 italianas y 4 españolas. Vicente tiene 9 francesas y 3 italianas. Cada uno saca, al azar, una moneda de su monedero y observa

Más detalles

Elementos de Combinatoria

Elementos de Combinatoria Elementos de Combinatoria 1 Introducción Previamente al estudio de la probabilidad en sí, conviene dedicar algún tiempo al repaso de las técnicas combinatorias. Recordemos que la Combinatoria es la parte

Más detalles

Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática

Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática Víctor Hernández Eduardo Ramos Ildefonso Yáñez c Víctor Hernández, Eduardo Ramos, Ildefonso Yánez EDICIONES CDÉMICS Probabilidad y sus aplicaciones

Más detalles

MOOC UJI: La Probabilidad en las PAU

MOOC UJI: La Probabilidad en las PAU 3. Definición intuitiva de probabilidad: ley de Laplace La palabra probabilidad, que usamos habitualmente, mide el grado de creencia que tenemos de que ocurra un hecho que puede pasar o no pasar. Imposible,

Más detalles

Ideas estocásticas fundamentales

Ideas estocásticas fundamentales Ideas estocásticas fundamentales 1 Objetivos Experimentar un proceso de aprendizaje de ideas estocásticas fundamentales a partir de una situación didáctica adecuada para Educación Secundaria. Introducir

Más detalles

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EMPLEANDO EXCEL Y GRAPH

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EMPLEANDO EXCEL Y GRAPH CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EMPLEANDO EXCEL Y GRAPH 1) ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Dado dos variables, la correlación permite hacer estimaciones del valor de una de ellas conociendo el valor de la otra variable.

Más detalles

Clase 8: Distribuciones Muestrales

Clase 8: Distribuciones Muestrales Clase 8: Distribuciones Muestrales Distribución Muestral La inferencia estadística trata básicamente con generalizaciones y predicciones. Por ejemplo, podemos afirmar, con base a opiniones de varias personas

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Probabilidad 2008

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Probabilidad 2008 Probabilidad 2008 EJERCICIO 1A Laura tiene en su monedero 6 monedas francesas, 2 italianas y 4 españolas. Vicente tiene 9 francesas y 3 italianas. Cada uno saca, al azar, una moneda de su monedero y observa

Más detalles

Grado polinomial y diferencias finitas

Grado polinomial y diferencias finitas LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección Aprenderás la terminología asociada con los polinomios Usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de

Más detalles

Teoría de Probabilidad

Teoría de Probabilidad Matemáticas Discretas L. Enrique Sucar INAOE Teoría de Probabilidad Considero que la probabilidad representa el estado de la mente con respecto a una afirmación, evento u otra cosa para las que no existe

Más detalles

Diagramas de frecuencias relativas

Diagramas de frecuencias relativas LEIÓN ONENSAA 10.1 iagramas de frecuencias relativas En esta lección crearás diagramas de círculo calcularás frecuencias relativas crearás diagramas de barras de frecuencias relativas y diagramas de círculo

Más detalles

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PRUEBAS DE HIPÓTESIS Muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe

Más detalles

TITULACIÓN: NEGOCIOS INTERNACIONALES ASIGNATURA: ESTADÍSTICA CURSO: PRIMERO SEMESTRE: SEGUNDO TIPO: FORMACIÓN BÁSICA IDIOMA: CASTELLANO CRÉDITOS: 6

TITULACIÓN: NEGOCIOS INTERNACIONALES ASIGNATURA: ESTADÍSTICA CURSO: PRIMERO SEMESTRE: SEGUNDO TIPO: FORMACIÓN BÁSICA IDIOMA: CASTELLANO CRÉDITOS: 6 TITULACIÓN: NEGOCIOS INTERNACIONALES ASIGNATURA: ESTADÍSTICA CURSO: PRIMERO SEMESTRE: SEGUNDO TIPO: FORMACIÓN BÁSICA IDIOMA: CASTELLANO CRÉDITOS: 6 OBJETIVOS: Conceptos básicos: población, muestra y variable.

Más detalles

Diana del Pilar Cobos del Angel. Experimento: Es una prueba o ensayo. Es el proceso de obtener una observación.

Diana del Pilar Cobos del Angel. Experimento: Es una prueba o ensayo. Es el proceso de obtener una observación. Diana del Pilar Cobos del Angel Términos básicos Experimento: Es una prueba o ensayo. Es el proceso de obtener una observación. Eventos Simples: Cualquier resultado básico de un experimento. Un evento

Más detalles

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Probabilidad y Estadística ( ) x n P(X x) = p i (1 p) n i i σ 2 X i=0 µ X = np = np(1 p) Variables Aleatorias Discretas y algunas Distribuciones de Probabilidad Raúl D. Katz Pablo A. Sabatinelli 2013 Índice

Más detalles

EJERCICIOS RESUMEN. Aplicación: INFERENCIA ESTADÍSTICA. Nota técnica preparada por: Mayte Zaragoza Benítez Fecha: 13 de mayo de 2013

EJERCICIOS RESUMEN. Aplicación: INFERENCIA ESTADÍSTICA. Nota técnica preparada por: Mayte Zaragoza Benítez Fecha: 13 de mayo de 2013 Aplicación: INFERENCIA ESTADÍSTICA EJERCICIOS RESUMEN Nota técnica preparada por: Mayte Zaragoza Benítez Fecha: 13 de mayo de 2013 Página1 DESCRIP Ejercicio 1 Los siguientes son los números de cambios

Más detalles

T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE

T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE 1. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIA CONVERGENCIA CASI-SEGURA CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA CONVERGENCIA EN LEY ( O DISTRIBUCIÓN)

Más detalles

CAPÍTULO I MATEMÁTICAS

CAPÍTULO I MATEMÁTICAS CAPÍTULO I MATEMÁTICAS 1. CONJUNTOS En el lenguaje común, conjunto es, hasta cierto punto, sinónimo de colección, clase o grupo. Sin embargo, en el desarrollo de este estudio, veremos que la noción matemática

Más detalles

Una introducción a la ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Una introducción a la ESTADÍSTICA INFERENCIAL Una introducción a la ESTADÍSTICA INFERENCIAL José Chacón Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento No comercial Compartir bajo la misma licencia.5 de Creative Commons. Para ver una copia de esta

Más detalles

Condicionales. (Programando con tarjetas) Meta: Esta clase introduce los condicionales, especialmente bucles y sentencias if. RESUMEN: OBJETIVO:

Condicionales. (Programando con tarjetas) Meta: Esta clase introduce los condicionales, especialmente bucles y sentencias if. RESUMEN: OBJETIVO: 10 NOMBRE DE LA CLASE: Condicionales (Programando con tarjetas) Duración: 45-60 minutos : Preparación: 2 minutos Meta: Esta clase introduce los condicionales, especialmente bucles y sentencias if. RESUMEN:

Más detalles

PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

PROBABILIDAD Y COMBINATORIA 7 PROBABILIDAD CONTENIDOS Probabilidad de un suceso Sucesos independientes Probabilidad condicional Relaciones entre estadística y probabilidad Análisis de la frecuencia relativa Combinatoria, variaciones

Más detalles

CATEDRA: Estadística I. DEPARTAMENTO Ciencias Básicas

CATEDRA: Estadística I. DEPARTAMENTO Ciencias Básicas CATEDRA: Estadística I DEPARTAMENTO Ciencias Básicas CARRERA Administración, Comercio Exterior, Comercialización, Economía, Contador Público, Comunicación y Sistemas de Información TURNO Mañana y Noche

Más detalles

Documento no controlado, sin valor

Documento no controlado, sin valor HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS 1. Nombre de la asignatura Estadística Industrial 2. Competencias Diseñar estrategias de mantenimiento mediante el análisis de factores humanos, tecnológicos,

Más detalles

Mapa Curricular / Matemáticas Séptimo Grado

Mapa Curricular / Matemáticas Séptimo Grado ESTADO LIBRE ASOCIADO DE PUERTO RICO Programa de Matemáticas Mapa Curricular / Matemáticas Séptimo Grado Estándar, Dominio N.SO.7.2.1 Modela la suma, resta, multiplicación y división con números enteros,

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3 Observación: En todos los ejercicios se ha puesto A, como notación de contrario de A. Ejercicio nº 1.- En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar

Más detalles

Tema 5. Variables aleatorias discretas

Tema 5. Variables aleatorias discretas Tema 5. Variables aleatorias discretas Resumen del tema 5.1. Definición de variable aleatoria discreta 5.1.1. Variables aleatorias Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada suceso

Más detalles

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ESTADISTICA Y PROBABILIDAD Introducción Para incrementar los conocimientos que se tienen acerca del mundo es necesario emplear los métodos y las inferencias estadísticas. Sin embargo debido a la amplitud

Más detalles

PARTE 1 PROBLEMAS PROPUESTOS FACTORIAL. 2. 31 Calcular:

PARTE 1 PROBLEMAS PROPUESTOS FACTORIAL. 2. 31 Calcular: PARTE 1 FACTORIAL 2. 31 Calcular: PROBLEMAS PROPUESTOS i. 9!, (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 362880 ii. 10! (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 3628800 iii. 11! (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 39916800

Más detalles

Clase 3: Introducción a las Probabilidades

Clase 3: Introducción a las Probabilidades Clase 3: Introducción a las Probabilidades Introducción Tal vez estemos acostumbrados con algunas ideas de probabilidad, ya que esta forma parte de la cultura cotidiana. Con frecuencia escuchamos a personas

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 008 _ 0-048.qxd 9/7/08 9:07 Página 405 4 Probabilidad INTRODUCCIÓN En la vida cotidiana tienen lugar acontecimientos cuya realización es incierta y en los que el grado de incertidumbre es mayor o menor

Más detalles

IES ARROYO HONDO ACTIVIDADES REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO. Segunda parte. Curso 15/16. Fecha de entrega: 11/2/16

IES ARROYO HONDO ACTIVIDADES REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO. Segunda parte. Curso 15/16. Fecha de entrega: 11/2/16 IES ARROYO HONDO ACTIVIDADES REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO Segunda parte Curso 15/16 Fecha de entrega: 11/2/16 Nombre: Grupo: FUNCIONES Y GRÁFICAS: 1. Ricardo ha quedado con sus amigos para dar una vuelta

Más detalles

LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN

LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN Existen leyes del azar? Nuestro sentido común pareciera decirnos que el azar y las leyes son conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es porque no hay leyes

Más detalles

Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales

Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools http://www.mathematik.unikl.de/ mamaeusch Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales Paula Lagares Barreiro * Federico Perea

Más detalles

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos 1 Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos Herbert Mendía A. 2011-10-12 www.cimacien.org.gt Conocimientos previos necesarios Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Jerarquía

Más detalles

MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II

MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉODO DE GAUSS Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes. Transformaciones que mantienen la equivalencia.

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

Asignatura: Econometría. Conceptos MUY Básicos de Estadística

Asignatura: Econometría. Conceptos MUY Básicos de Estadística Asignatura: Econometría Conceptos MUY Básicos de Estadística Ejemplo: encuesta alumnos matriculados en la UMH Estudio: Estamos interesados en conocer el nivel de renta y otras características de los estudiantes

Más detalles

Carrera: ERF-1010 SATCA 1 3-2-5

Carrera: ERF-1010 SATCA 1 3-2-5 1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Carrera: Clave de la asignatura: SATCA 1 Estadística y Diseño de Experimentos Ingeniería en Energías Renovables ERF-1010 3-2-5 2.- PRESENTACIÓN Caracterización

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 2008 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

1 Tema 1: Estadística descriptiva

1 Tema 1: Estadística descriptiva PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Estadística Curso 2005-2006 Primero Licenciatura en Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha 1 Tema 1: Estadística descriptiva

Más detalles

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas Índice 3 Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas 3.1 3.1 Introducción.......................................... 3.1 3.2 Concepto de variable aleatoria................................

Más detalles

1.4 Cálculo de Probabilidades con Métodos de Conteo. Considerere un espacio muestral finito,

1.4 Cálculo de Probabilidades con Métodos de Conteo. Considerere un espacio muestral finito, 1 1.4 Cálculo de Probabilidades con Métodos de Conteo Considerere un espacio muestral finito, y defina, Luego, Ω = {ω 1,..., ω n }, P ({ω i }) = p i, i = 1,..., n P (A) = ω i A p i, A Ω Ω se dice equiprobable

Más detalles

PROBABILIDAD. Departamento Estadística e IO II (Métodos de Decisión) Universidad Complutense de Madrid

PROBABILIDAD. Departamento Estadística e IO II (Métodos de Decisión) Universidad Complutense de Madrid ROILIDD DEFINICIONES Fenómeno Determinista: se conoce el resultado del experimento antes de producirse. Fenómeno leatorio: no es posible conocer con certeza el resultado del experimento hasta que no se

Más detalles

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Ingeniería Técnica Industrial Métodos estadísticos de la ingeniería Métodos estadísticos de la ingeniería Ingeniería Técnica

Más detalles

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. Se extrae una carta de una baraja española, calcula la probabilidad de que: a) Sea un rey; b) Sea un oro; c) Sea el rey de oros; d) Sea un rey o un oros; e) Sea un rey o una

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 2º BACHILLERATO (Modalidad: Humanidades y Ciencias Sociales) Desarrollado en Decreto 67/2008, de 19 de junio. B.O.C.M.: 27 de junio de 2008. PROGRAMACIÓN

Más detalles

Notas de Probabilidades

Notas de Probabilidades 1 Introducción Notas de Probabilidades En la vida cotidiana nos encontramos con frecuencia con situaciones que producen varios resultados conocidos, sin poder determinar con exactitud cual de ellos ocurrirá.

Más detalles

Indicadores de la Variable.- Son aquellas cualidades o propiedades del objeto que pueden ser directamente observadas y cuantificadas en la práctica.

Indicadores de la Variable.- Son aquellas cualidades o propiedades del objeto que pueden ser directamente observadas y cuantificadas en la práctica. Las variables de un estudio. La variable es determinada característica o propiedad del objeto de estudio, a la cual se observa y/o cuantifica en la investigación y que puede variar de un elemento a otro

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1. Sean A y B dos sucesos y A, B sus complementarios. Si se verifica que p( B) = 2 / 3, p( A B) = 3 / 4 y p( A B) = 1/ 4, hallar: p( A), p( A B), y la probabilidad condicionada

Más detalles

LICENCIADO EN CIENCIAS AMBIENTALES PROGRAMA DE ESTADÍSTICA

LICENCIADO EN CIENCIAS AMBIENTALES PROGRAMA DE ESTADÍSTICA LICENCIADO EN CIENCIAS AMBIENTALES PROGRAMA DE ESTADÍSTICA CURSO 2010-2011 TITULACIÓN: CIENCIAS AMBIENTALES ASIGNATURA: ESTADISTICA ÁREA DE CONOCIMIENTO: Estadística e Investigación Operativa Número de

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

Las reglas se parecen un poco a las vistas relacionales. Especifican relaciones virtuales que no están

Las reglas se parecen un poco a las vistas relacionales. Especifican relaciones virtuales que no están BASES DE DATOS DEDUCTIVAS Introducción: El interés de los Sistemas de Gestión de Bases de Datos Deductivas tiende a incrementarse conforme se amplía su campo de aplicación (Gestión, Sistemas Expertos).

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 12 Distribución de una variable aleatoria Elaborado por la Profesora

Más detalles

5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Y MUESTRALES

5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Y MUESTRALES 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Y MUESTRALES 5.. Distribuciones de Probabilidad de una variable aleatoria continua Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x,

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones de agosto de 200. Estandarización Cuando se plantea un modelo de LP pueden existir igualdades y desigualdades. De la misma forma

Más detalles

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES Iniciamos el estudio del cálculo haciendo un repaso de funciones y gráficas, para luego introducirnos en el estudio de los ites. Esta unidad consta en el teto base, en el

Más detalles

Notas de Probabilidades y Estadística

Notas de Probabilidades y Estadística Notas de Probabilidades y Estadística Capítulos 1 al 12 Víctor J. Yohai vyohai@dm.uba.ar Basadas en apuntes de clase tomados por Alberto Déboli, durante el año 2003 Versión corregida durante 2004 y 2005,

Más detalles