PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA, Y CÁLCULO NUMÉRICO

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1 PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA, Y CÁLCULO NUMÉRICO Apuntes del curso para Ingeniería Química Dr. Omar Abel Lucero Año 2002 I-I

2 I-I

3 PROGRAMA DE PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA, Y CÁLCULO NUMÉRICO (412-0 de IQ, Plan 245-9, 4to cuatrimestre / 2 o año) Objetivos: Capacitar al alumno para el análisis estadístico de datos, y para la integración de los conceptos estadísticos a la toma de decisiones. Además, capacitarlo para aplicar algunos de los métodos del cálculo numérico. Carga horaria y correlativas Teóricas: Teóricas: Miércoles, 15:30 a 18:00. Aula 203 2½ horas semanales. en el edificio de Ingeniería de la ciudad universitaria; ver la identificación del aula en la página web. Prácticas: 1 módulo de 2 ½ horas. Hay dos comisiones: Laboratorio de computación. Una hora por semana; dos comisiones. La cátedra establecerá la comisión al cual concurrirá cada alumno. La concurrencia al laboratorio de computación es obligatoria. Correlativa: Aprobada, Introducción a la Informática. Sistema de evaluación Promoción Para promocionar la materia se deben aprobar dos exámenes parciales, y cuando corresponda deberá aprobar también un coloquio sobre los temas que en los parciales mostró desconocer. Además, deben haber cumplido con la asistencia al laboratorio de computación. Si por razones de causa mayor un alumno no pudo cumplir con la asistencia requerida al laboratorio, deberá demostrar que maneja el utilitario computacional estadístico, al nivel requerido para el curso. La nota mínima para aprobar un parcial es de 65 puntos (sobre un máximo de 100 puntos). Si el estudiante no aprobó un parcial, podrá recuperarlo. Sólo se puede recuperar un parcial. Para los estudiantes que promocionan, la nota final es el promedio de las notas que obtuvo en los parciales (o un parcial y el recuperatorio) que aprobó. Los estudiantes están obligados a conocer todo el contenido del programa para promocionar la materia. La nota refleja la profundidad del dominio de los temas. Si un estudiante aprobó un parcial, pero no contestó alguna pregunta, o su respuesta fue errónea, al final del curso deberá rendir coloquio sobre los temas que no conoce. En este caso, para promocionar deberá aprobar el coloquio. Para aprobar el coloquio, el estudiante debe demostrar conocer adecuadamente todos los temas que la cátedra le de. Si no aprueba el coloquio queda libre en la materia. Por lo menos una semana antes del coloquio, cada estudiante será informado de los temas sobre los cuales será interrogado. calificaciones finales La calificación final en base 100 es convertida a calificación de acta de examen, según la siguiente tabla de conversión: I-II

4 Nota en base Nota para el 100 acta de examen revisión de exámenes Todo estudiante tiene el derecho a revisar su examen, y a reclamar por la calificación recibida. En caso de que el J.T.P. no coincida con el reclamo, el estudiante tiene el derecho a insistir en su reclamo ante el Profesor Titular de la materia. Reclame por su nota cuando esté convencido de que efectivamente la calificación debió ser mayor. En caso de que esté en duda, reclame. Es conveniente que los estudiantes revisen sus exámenes para saber en qué se equivocaron. Programa Aprobado por Resolución No. 447 del H.C.D. del 18 de Octubre de 1994 unidad 1: PROBABILIDADES Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso aleatorio. Espacios muestrales discretos y continuos. Definición de probabilidad. Sucesos mutuamente excluyentes. Adición de probabilidades. Probabilidad de sucesos compuestos. Probabilidad condicional. Sucesos independientes. unidad 2: Variables aleatorias (V. A.) Definición, población, y distribución de probabilidades. V. A. discretas y continuas. Propiedades de las distribuciones univariadas: momentos, esperanza, y varianza; media, mediana, moda, coeficientes de simetría y de curtosis. unidad 3: Modelos de probabilidad. Modelos para variables discretas: Binomial, Poisson, Modelos para variables continuas. Uniforme, Normal, Lognormal, exponencial. Teorema del Límite Central. Relaciones entre distintos modelos. Utilitarios para computadoras. unidad 4: Estadística descriptiva Muestra. Propiedades de la muestra. Métodos de muestreo. Descripción de variables discretas, o continuas, tablas, gráficos, medidas analíticas. unidad 5: Estimación de parámetros Estimadores puntuales; insesgados, consistentes. Estimación de los parámetros de los modelos estudiados. Distribuciones de probabilidad de los estimadores. χ 2, t de Student. Distribución de la media aritmética, la varianza muestral, la diferencia de medias normales, cociente de varianzas normales. Estimación por intervalos. Intervalo para la media y para la varianza de la Normal. unidad 6: Pruebas de hipótesis Clasificación de hipótesis. Tipos de errores. Pruebas sobre la media, y la varianza de una Normal. Pruebas de comparación de medias normales. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov, y de la χ 2. unidad 7: análisis de correlación y control estadístico de procesos Coeficiente de correlación. Regresión lineal simple, ajuste por mínimos cuadrados. Coeficiente de determinación. Empleo de transformaciones. Interpretación de los productos computacionales. Control estadístico de procesos, diagramas de control. I-III

5 unidad 8: cálculo numérico (primera parte) Fuentes de errores, errores significativos. Inestabilidad. Ecuaciones no lineales. Aislamiento de raíces. Método de bisección. unidad 9: cálculo numérico (segunda parte) Interpolación y aproximación. Diferenciación e integración. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias. bibliografía: Libro del curso: Probabilidad, y Estadística para Ingenieros. I. Miller, J. Freund, y R. Johnson. Editorial Prentice-Hall. Además son adecuados para distintas partes del curso los siguientes libros: Probabilidad y Estadística, por Murray Spiegel. Editorial McGraw-Hill. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas, por Paul Meyer. Editorial Addison Wesley Iberoamericana. Libro recomendado para la parte de Cálculo Numérico: Métodos numéricos para ingenieros, por Steven Chapra, y Raymond Canale. McGraw-Hill. La cátedra proveerá a los alumnos resúmenes de clases de consulta opcional. La consulta a estos resúmenes no releva al alumno de la responsabilidad de consultar libros. Sugerencias para los estudiantes Sobre la materia La relación entre los temas que aprenderán durante el curso, es de tipo serial: todo los aprendido durante una clase, será utilizado más adelante en el curso. Por consiguiente, es conveniente que el estudiante esté al día con las clases teóricas, y los ejercicios prácticos. sobre el libro del curso Gran parte del libro del curso es material que el estudiante debe saber. Por consiguiente, la consulta del libro del curso es indispensable. costumbres de estudio Generalmente la más frecuente y principal dificultad que tienen los estudiantes son costumbres inadecuadas de estudio. A continuación, detallamos unas pocas sugerencias para un mejor aprendizaje. Ud. puede hacerles caso, o no, pero no las encuentre triviales o innecesarias (si lo hace, lo más probable es que Ud. necesite verificar si tiene un buen método de estudio). Estudie de acuerdo al ritmo de la materia: Es importante que siga las clases. Si Ud. pospone el estudio de la materia para dos días antes del examen parcial, está pretendiendo aprobar una materia con sólo unos pocos días de estudio. No lo conseguirá. Como regla práctica aproximada, semanalmente tiene que estudiar los temas de la materia durante el doble del tiempo de la duración de las teóricas y las prácticas. Esto indica que debe dedicar a la materia no menos de 12 horas semanales efectivas de estudio. Organice su tiempo; construya una tabla de horario semanal de estudio, y cúmplala!. Aprende mejor y más rápido si participa. Para evitar distraerse durante las clases, pregunte y pregúntese sobre los temas que están siendo desarrollados. No converse durante la clase. Cuando esté estudiando de los libros o sus apuntes, hágase preguntas: De qué trata este tema? Cómo se resuelve este ejercicio? Cuál es la diferencia entre este ejercicio (o tema), y otros anteriores?. En qué casos aplico esta técnica?. Repase. Repasar los temas explicados durante la clase, y lo que estudia de los libros es indispensable para aprender. I-IV

6 Memorice: Si no memoriza, está permanentemente a cero. Haga un sincero esfuerzo por memorizar. (Su capacidad de memorización y comprensión aumenta considerablemente si se entusiasma con lo que está estudiando). Entienda: Para entender hágase preguntas: Qué sucede si cambio los valores del problema? Compare lo que esperó a priori, con lo que resultó de los cálculos. Entusiásmese con lo que estudia: Para llegar a un objetivo de interés, mantenga su entusiasmo. Aprobar una materia es un objetivo que vale el esfuerzo. Evite desanimarse escuchando a gente pesimista que se dedica a tirar pálidas ; tampoco Ud. tire pálidas. Aprenda a estudiar: Consulte alguno de los numerosos libros que hay sobre métodos de aprendizaje. Un par de días aprendiendo sobre métodos de estudio, para aprovechar esas técnicas en los cinco años de universidad, es una buena inversión. No se engañe: La nota en un examen la pone Ud. con lo que demostró que sabe; el profesor solamente hace de intermediario objetivo. Haga una sola cosa a la vez si quiere lograr resultados. Cuando esté estudiando, no se distraiga pensando en otra cosa. Es difícil que alguien se pueda concentrar si escucha radio a un volumen fuerte. Es buena costumbre estudiar en grupo, siempre y cuando los integrantes del grupo no se distraigan hablando de otros temas. Pero, cuidado, parte del tiempo Ud. debe estudiar a solas para poder memorizar, y entender. Mantenga la perspectiva; contribuirá a entusiasmarlo en su estudio. Esto es la Universidad. Aquí está aprendiendo las técnicas y los conceptos para cambiar al mundo para mejor, en la disciplina que eligió; para elevar la calidad de vida de la sociedad; y para ganarse la vida de una manera divertida. Paso a paso lo está aprendiendo. Reconozca que es un afortunado: Le pagarán por hacer lo que a Ud. le gusta hacer!. I-V

7 I-VI

8 1. CONCEPTOS BÁSICOS Sucesos y experimentos aleatorios Población Población es el conjunto de objetos que nos interesa. Los objetos pueden ser reales o abstractos; pueden existir; o podrán existir en el futuro. El conjunto de objetos puede ser finito, infinito numerable, o infinito no numerable. Estas dos últimas en la práctica son aproximaciones muy útiles. Ejemplos: Conjunto finito: Objeto: La superficie cubierta de cada una de las casas ocupadas por no más de 3 personas, en la ciudad de Córdoba, en la actualidad. Los objetos (las superficies cubiertas) existen ahora. Observemos que la superficie cubierta puede ser considerada un número real, pero la cantidad de objetos es finita. Conjunto finito: Objeto: La cantidad de puntos en cada uno de los 6 lados de un dado. Los objetos existen ahora. Hay 6 objetos que corresponden a cada uno de los lados. Conjunto infinito numerable: Objeto: La duración (número real) de cada una de las lamparillas eléctricas fabricadas por una línea de producción. La duración es un concepto, que tiene existencia potencial. El objeto tiene existencia real cuando una lamparita dejó de funcionar. Suponemos que la cantidad de lamparitas es tan grande que la podemos considerar infinita. Conjunto infinito numerable: Objeto: La cantidad de rayos que en un año cualquiera caerá sobre la ciudad de Córdoba. Aunque el conjunto es finito, en la práctica nos resultará cómodo estudiarlo como si fuese un conjunto de infinitos valores posibles. Los objetos son abstractos (cantidad de rayos), y están definidos recién al terminar cada año. Conjunto finito: Objeto: El peso (número real) del contenido de cada una de las latas de café que una línea de producción puede fabricar durante 1 hora. Los objetos existen recién al terminar una hora. En casos como este, frecuentemente haremos la aproximación de que la cantidad de objetos es tan grande que podemos considerar que forman un conjunto infinito no numerable. Conjunto finito: El color de los automóviles que pasan por la intersección de dos avenidas específicas, entre las 12 y las 13 horas. Muestra aleatoria La mayoría de las poblaciones no pueden ser analizadas en su totalidad. Esta limitación puede tener distintas causas: 1) La población, aunque de tamaño finito, es demasiado grande para examinar todos sus componentes. Razones económicas, u otras razones prácticas, lo desaconsejan. Ejemplo: 1) Intención de voto de la población, ante una elección. 2) Duración de las lámparas eléctricas que produce una fábrica. I-7

9 3) Resistencia a la rotura de piezas mecánicas fabricadas por una línea de producción. 2) La población es de tamaño infinito, y su existencia es potencial (todavía no existe, aunque existirá en el futuro). Ejemplos: 1) Número de rayos que caerán sobre una localidad durante un año Esta cantidad es un número finito. Sin embargo, como puede alcanzar un valor muy grande, es conveniente considerar que puede ser infinita. Los rayos todavía no existen, su existencia es potencial, ocurrirán en el futuro. 2) Duración de los neumáticos de determinado tipo que fabrica una empresa. El examen es destructivo. El objeto queda inservible una vez que se determinó su duración. La muestra es una parte de la población. En los casos de imposibilidad, o dificultad, para acceder a toda la población, se examina una muestra. La muestra está compuesta de elementos. Se denomina muestreo a la acción de tomar una muestra de una población. El muestreo debe garantizar que cualquier elemento de la población pueda ser extraído. Ejemplo: La población es el conjunto de los pesos del contenido de cada una de las latas de café producidas por una empresa durante un día. Pesar a todas las latas es económicamente inconveniente. Por esa razón, se extrae una muestra para inferir las características de la población. Muestra aleatoria es una muestra representativa de la población obtenida de manera que ni directa, ni indirectamente, se favorezca la elección de determinados elementos de la población. Solamente trabajaremos con muestras aleatorias. La muestra aleatoria se utiliza para inferir propiedades de la población. La inferencia de las propiedades de la población se realiza mediante métodos que veremos más adelante. La muestra es simple si el tipo de elemento extraído no depende de los anteriores. Solamente trabajaremos con muestras aleatorias simples. Ejemplo : Se desea tomar una muestra simple formada por 10 elementos de la producción diaria de calzado en una empresa, para analizar si se cumplen los requerimientos de calidad. Cada elemento está compuesto de un par de zapatos. Para construir la muestra simple, los pares se eligen a la hora cada hora. Para esto, un operario retira un par del final de la línea de producción cuando suena una chicharra que indica el momento de extracción. Esto no permite que el operario pueda inconscientemente elegir los pares de zapatos (la muestra no sería aleatoria), ni elegir un par de acuerdo al par anterior (la muestra no sería simple). Si se observan todos los objetos de una población, entonces se tiene un censo. Experimento aleatorio Definición: El experimento aleatorio es el procedimiento por el cual obtenemos una muestra aleatoria, y registramos la cualidad que nos interesa. El experimento aleatorio debe cumplir con los siguientes requisitos: El resultado de un experimento aleatorio es una muestra aleatoria compuesta de n elementos {x1,..., xn}. Debe tener más de un resultado posible, y solamente un resultado aparece cada vez que se ejecuta el experimento aleatorio. No debe ser posible establecer el resultado del experimento aleatorio de antemano. Es indispensable que las condiciones que rodean al experimento no varíen a lo largo del mismo (o de las repeticiones del mismo). Ejemplo: I-8

10 Se extrae una lata de café de la línea de producción, de manera que se garantice falta de intencionalidad en la elección. Un método sería retirar la lata enfrente al operador cada vez que al azar suena una chicharra. El resultado del experimento aleatorio es el peso del contenido de la lata. El experimento aleatorio se puede repetir un número arbitrario de veces, según sea la conveniencia y necesidad. Ejemplo : El caso anterior se puede repetir n veces. Se obtiene así n resultados xk {k=1,...,n} que consisten en el peso del contenido de n latas de café. Un experimento aleatorio puede ser con reposición o sin reposición del elemento examinado para obtener el resultado. Por ejemplo: Exp. aleat.: Retirar de una partida un recipiente que contiene café, y pesarlo. El recipiente no se regresa a la partida. Este es un experimento aleatorio sin reposición. Exp. aleat.: Lanzar un dado n veces, y observar el valor de la cara superior en cada una de las tiradas. Este es un experimento aleatorio con reposición (el valor no fue borrado después de leerlo). Espacio muestral Definición: El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio; y se lo simboliza S. A cada resultado posible de un experimento aleatorio se lo denomina punto muestral, o elemento de la muestra. Los puntos muestrales son mutuamente excluyentes entre si (solamente aparece uno por cada ejecución, o realización, del experimento aleatorio). TIPOS DE ESPACIOS MUESTRALES Espacio muestral Discreto: Tiene un número finito, o infinito numerable de puntos muestrales. Espacio muestral Continuo: Tiene un número infinito no numerable de puntos muestrales. Al espacio muestral S se lo elige de acuerdo a la población que se muestrea en el experimento aleatorio. Ejemplos: Experimento aleatorio: Lanzar un dado, y observar el valor de la cara superior. Espacio muestral S :{1,2,...,6}. Se toma al azar un tubo fluorescente de una línea de producción, y se determina su vida útil. Espacio muestral S: {x x 0) Se cuenta el número de rayos X que caen en una región durante un año cualquiera. Espacio muestral S:{X X 0, 1,...} Se observa la condición bromatológica de un producto extraído de una línea de producción (Por ejemplo, cereal deshidratado envasado). Espacio muestral S:{aceptable, inaceptable} Se lanza una moneda, y se observa la cara superior. Espacio muestral S:{cara, ceca}. Se elige un operario al azar, y se toma nota de su sueldo X, y su antigüedad en el puesto, Y. I-9

11 Espacio muestral S: {0< X, 0 < Y}. Suceso (o Evento) Definición: Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. También puede ser conjunto completo S, y el conjunto vacío. Si cualquiera de los puntos muestrales que componen a un suceso aparece durante un experimento aleatorio, entonces el suceso ocurrió. Dos sucesos son mutuamente excluyentes si ambos no pueden ocurrir simultáneamente. En este caso no tienen puntos muestrales comunes. el Ejemplo : E: se lanza un dado y se observa la cara superior. S:{1,2,...,6} Suceso 1 : Sale el 4; Puntos muestrales cuya ocurrencia indica la ocurrencia del suceso 1: {4}. Suceso 2: Sale par {2,4,6} Suceso 3 : Sale el 7; { } Suceso 4: Sale un número cualquier del 1 al 6; {S}. Ejemplo de sucesos mutuamente excluyentes: Suceso A: Sale par Suceso B: Sale impar. A y B son mutuamente excluyentes. Operaciones sobre sucesos Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera de S (es decir, dos sucesos definidos en S). Las operaciones unión e intersección se definen como sigue: UNIÓN A B : Suceso formado por los puntos muestrales que pertenecen a A ó a B, ó a ambos. Ejemplo El experimento aleatorio consiste en lanzar un dado, y registrar su lado superior. Sea A el suceso: "se observa par", Sea B el suceso "sale el 4". El suceso A B está compuesto de los sucesos elementales {2, 4, 6}. INTERSECCIÓN A B : Suceso formado por los puntos muestrales que pertenecen a A y B. Se lee "A intersección B", o también "A y B". Si A B son mutuamente excluyentes se cumple A B =, donde es el conjunto vacío. Ejemplo El experimento aleatorio, y los sucesos A y B están definidos como en el ejemplo anterior. En este caso, el suceso A B está compuesto del suceso elemental {4}. Sucesos complementarios Definición: A es el suceso complementario de A, si está compuesto de los puntos muestrales del espacio muestral S que no pertenecen a A. I-10

12 S: A A Diagrama de Venn de un suceso A y su suceso complementario A. Ejemplo Sea un experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, y registrar el lado superior. Sea el suceso B definido por "sale el 4". El suceso complementario B' está definido por los sucesos elementales {1, 2, 3, 5, 6}. Sucesos simples y sucesos compuestos Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, y observar el número en la cara superior. El espacio muestral es {1,..., 6}. El resultado que se obtiene directamente del experimento se denomina suceso simple. En este caso los sucesos simples son los resultados {1,...,6}. Se denomina suceso compuesto, a un suceso definido por la ocurrencia de alguno de varios sucesos simples. Por ejemplo, definimos al suceso A: salió un número par. Este suceso está compuesto por los resultados (o sucesos) {2, 4, 6}. Si el experimento aleatorio consiste en determinar directamente si salió par o impar, sería equivalente a reemplazar en el dado los valores 2, 4, ó 6 por la palabra par ; y los valores 1, 3, ó 5 por la palabra impar. En este caso, el espacio muestral del experimento es {par, impar}, y cada uno de esos dos resultados es un suceso simple. Veremos más adelante que definir a un suceso A por medio de la ocurrencia de alguno de varios sucesos simples, que tengan la misma probabilidad de ocurrir simplifica (o vuelve posible) el cálculo de la probabilidad del suceso A. Frecuencia relativa Un experimento aleatorio se repite n veces. Sea f el número de veces que salió un suceso determinado. La frecuencia relativa de un suceso determinado f r se define por fr = n f. Se cumple: 0 f r 1 Probabilidad Frecuencia relativa y probabilidad Supongamos un experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda, y una vez que este se detuvo en un lugar, observar si el lado superior es cara o ceca. Este experimento aleatorio se repite 100 veces. De esas 100 repeticiones, supongamos que se observa el resultado "cara" 53 veces. La frecuencia relativa de "cara" es 0,53. Luego, comenzamos otra nueva secuencia de repeticiones de ese experimento aleatorio. La moneda es lanzada 200 veces, y se observa que "cara" ocurre 104 veces. La frecuencia relativa de "cara" es en este caso igual a 0,52. Estamos en presencia de un grupo de secuencias de repeticiones de un experimento aleatorio. En este caso, el grupo está compuesta de dos secuencias de repeticiones del experimento aleatorio. Sea ahora un grupo de secuencias de repeticiones de experimentos aleatorio. Para cada secuencia de ni {i=1, 2, 3,..., m} repeticiones calculamos la frecuencia relativa f r (n i ) de ocurrencia de un suceso A. La frecuencia relativa fr(ni) está definida por: f r ( n ) i ( n ) f = i i ; n i I-11

13 donde f i (n i ) es el número de veces que apareció el suceso A en las n i repeticiones del experimento aleatorio. Usamos el símbolo f r (n i ) para indicar que la frecuencia relativa fue calculada usando los datos producidos por ni repeticiones. Para cada nueva secuencia de repeticiones del experimento aleatorio, aumentamos el número de repeticiones ni. Por ejemplo, n 1 =100, n 2 =200, n 3 =300,..., n m = Detenemos la repetición del experimento aleatorio cuando se construyeron un total de m secuencias de repeticiones. Si m (cantidad de secuencias de repeticiones del experimento aleatorio), y ni (número de repeticiones en cada secuencia) son muy grandes se observa experimentalmente que la función f r (n i ) (para i = 1, 2, 3,..., m) fluctúa alrededor de un número; a ese número lo denominamos la probabilidad del suceso A. La oscilación ocurre dentro de un entorno sucesivamente más pequeño a medida que crece n i. La siguiente figura describe gráficamente los resultados de un grupo de secuencias de repeticiones del experimento aleatorio. fr(n i ) 1 P(A) 0,5 0 n i Definimos a la probabilidad del suceso A por: P (A)= f n cuando el número de repeticiones del fr = P. n experimento tiende a infinito. Escribimos está definición de la siguiente manera lim ( A ) Axiomas de la probabilidad 1) 0 P(A) 1 2) P(S) = 1 3) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, se cumple: P( A B) = P(A) + P(B). 4) Si A1, A2,... es un conjunto infinito de sucesos mutuamente excluyentes, se cumple: P( A1 A2 A3...) = P (A i ). i = 1 Resultados igualmente probables Los axiomas de la probabilidad conducen a las siguientes dos reglas para calcular probabilidades cuando un espacio muestral finito está compuesto de puntos muestrales (resultados posibles) que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Sea un experimento aleatorio con un espacio muestral finito S: {E 1,..., E n }. Por hipótesis, cada punto muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir. Por consiguiente: P(E 1 ) =...=P(E n ) = p ; donde p es un valor constante que satisface los requerimientos de una probabilidad. Por hipótesis, los puntos del espacio muestral son mutuamente excluyentes. Por consiguiente se cumple: P(E 1... E n ) = P(E 1 ) P(E n ) = 1, pues E 1... E n = S. Por consiguiente, la probabilidad de cada punto muestral es: I-12

14 P(E i ) = n 1, para cualquiera de los puntos muestrales i. Ejemplo.: Exp. Aleatorio: Se lanza un dado, y se observa el valor de la cara superior. Espacio muestral S: {1,2,...,6}. Todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad, por hipótesis, y esta es igual a 1 / 6. CASO DE UN ESPACIO MUESTRAL INFINITO Si el espacio muestral es infinito, es imposible que todos los sucesos elementales tengan la misma probabilidad. Porque en este caso no podrían cumplirse simultáneamente todos los requisitos sobre la probabilidad: P(E i ) = constante 1; y P ( E i ) = 1. i = 1 Por consiguiente, para que los puntos muestrales tengan la misma probabilidad, el espacio muestral debe ser finito. PROBABILIDAD DE UN SUCESO Sea un experimento aleatorio, y su correspondiente espacio muestral S formado por n resultados posibles E 1,...,En. Suponemos que todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad de ocurrir. Dentro de ese espacio muestral definimos a un suceso A, que está compuesto por un número finito de puntos muestrales: A:{E1,...,Em}; m n. Por definición, el suceso A ocurre si el resultado del experimento aleatorio es alguno de los puntos muestrales mutuamente excluyentes E1,...,Em. Se cumple por consiguiente: P(A) = P(E1... Em ) = P(E1) P(Em) = n m. pues P(Ei) = 1/n para cualquier i. Este resultado se expresa de la siguiente manera: P(A) = Numero de casos favorables Numero de casos totales ; donde Número de casos favorables es el número de puntos muestrales que indican que el suceso A ocurrió. El número de casos totales es el número de puntos muestrales en S. Ej.: Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado ocurra el suceso salió par. Suceso A, salió par, :{2,4,6}. S:{1,2,...,6} P(A) = casos favorables / total de resultados posibles = 1 / 2. Interpretación de la probabilidad A fin de interpretar de una manera concreta la probabilidad de un suceso, conviene recordar que esa probabilidad es el cociente de casos favorables sobre los casos totales, cuando estos últimos son un número grande. Para muchas aplicaciones, un total de 100 posibles resultados es un conjunto grande. Ejemplo Si decimos que al lanzar una moneda hay una probabilidad 0,5 de que salga cara, esto indica que en 100 lanzamientos consideramos razonable que haya aproximadamente 50 resultados salió cara. I-13

15 Regla general de la adición Teorema: Si A y B son dos sucesos cualesquiera (ahora no requerimos que sean mutuamente excluyentes). Se cumple: P(A B ) = P(A) + P(B) - P( A B). Ejemplo: Experimento aleatorio: lanzar un dado y leer su cara superior. Suceso A: Sale par. P(A) = 1/2. Suceso B: Sale el número 3. P(B) = 1/6. P(A B ) = 1/2 + 1/6-0 = 4 /6. Probabilidad del complementario Teorema: Si A es un suceso, y A es su complementario entonces se cumple que P(A ) = 1 - P(A). Esto se deduce de P(A A ) = P(A) + P(A ) = P(S) = 1.Por consiguiente: P(A ) = 1 - P(A). En algunos problemas importantes, el cálculo de P(A) se simplifica si primero se calcula P(A ), y luego se usa la regla anterior para calcular P(A). Ej.: Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número comprendido en el intervalo cerrado [2, 6]? Suceso A: A:{2,...,6} ; Suceso A :{1}. P(A ) = 1 / 6. P(A) = 1 - P(A ) = 5 / 6. Probabilidad condicional Sea un experimento aleatorio E, cuyo espacio muestral es S. Sean A y B sucesos que forman parte del espacio muestral S. A y B pueden ocurrir simultáneamente. En algunas repeticiones del experimento aleatorio, B ocurrirá cuando no ocurre A; en otras repeticiones B ocurrirá simultáneamente con A. La siguiente figura ilustra al espacio muestral y a los sucesos A, A, y B. S A A B Ejemplo. Exp. aleatorio: Se lanza un dado. Se definen los sucesos: A: Salió par; A : sale impar; B: sale un número igual o mayor que 4. El suceso B puede ocurrir, o no, conjuntamente con A. El suceso B I A se denomina que B ocurra, sabiéndose que A ocurrió. La probabilidad P(B I A) se denomina probabilidad condicional de B sabiendo que ya ocurrió A. Se cumple: P (A B) P(B Ι A) con P(A) 0. P (A) I-14

16 Regla general de la probabilidad de interseccion de sucesos Si A y B son dos sucesos definidos en el espacio muestral S, se tiene P(A B) = P(B A) P(A) ; con P(A) 0. = P(A B) P(B) ; con P(B) 0. Ejemplo: Un mazo de cartas españolas está compuesto de 40 cartas agrupadas en 4 clases. El experimento aleatorio, que se repite dos veces, consiste en extraer una carta sin reposición. Definimos a los siguientes sucesos: Suceso A: Sale el 4 de oro en la primera extracción; suceso B: sale el as de oro en la segunda extracción. P(A) = 1/40; P(B A) = 1/ 39; P(A B) = P(B A) P(A) = (1/39) (1/40) = 1/ Mediante un análisis de las frecuencias relativas, veremos a continuación como se llega al concepto de probabilidad condicional. Sea el experimento aleatorio E que es repetido n veces. En esas n repeticiones, el suceso A se presentó en f A repeticiones. En este último subconjunto de f A repeticiones del experimento aleatorio, el suceso B se presentó f AB veces. El cociente f AB / f A es la frecuencia relativa del suceso B, sabiendo que ocurrió A. Se cumple: f AB / f A = (f AB / n ) / (f A / n). Si n tiende a infinito, se tiene: lim fab / n = P(A B); lim f A / n= P(A). Reemplazando se obtiene la definición de probabilidad condicional: P (A B) P (B A), con P(A) 0. P (A) Para resolver algunos problemas es más fácil calcular la probabilidad condicional. En esos casos la relación anterior se utiliza para despejar la probabilidad P(A B). En otros casos es P(A B) el termino fácil de calcular, y la expresión anterior se utiliza para calcular la probabilidad condicional P(B A). Ejemplo. Cálculo de P(A B) a partir de P(B A). Se extraen dos cartas de un mazo de 40 cartas españolas.. Hallar la probabilidad de que ambas cartas sean as, en los siguientes dos tipos de extracción: a) Con reposición. b) Sin reposición. Definimos los sucesos A: Sale un as en la primera extracción. B: Sale un as en la segunda extracción. La solución del problema está dada por P(A B). a) Con reposición. P(A) = 4/40 porque hay 4 ases en 40 cartas; y P(B A) = 4/40, porque la carta extraída anteriormente fue regresada al mazo; por consiguiente, sigue habiendo 4 ases en el mazo. Queda, entonces: P(A Β) = (4/40) (4/40) = 0,01. b) Sin reposición. P(A)= 4/40; no cambia con respecto a su valor en la opción anterior. Con respecto al suceso B, la probabilidad que necesitamos calcular es P(B A). Ahora es P(B A) = 3/39, porque en la primera extracción se obtuvo un as (por hipótesis) y la carta no fue regresada al mazo. Queda, entonces: P(A Β) = (4/40) (3/39) = 0,007. I-15

17 Sucesos independientes Definición: Si A y B son dos sucesos, y se cumple P(B A) = P(B), los sucesos son independientes entre si. En este caso se tiene: P(B A) P(A) = P(B) P(A). En razón de que se cumple, P(B / A) P(A) = P( A B), se tiene: Para dos sucesos A y B independientes entre si, se cumple: P( A B) = P(B) P(A). Independencia entre B y A significa que el que haya ocurrido el suceso A, no afecta la probabilidad de la ocurrencia del suceso B, y viceversa. Ejemplo: El experimento aleatorio anterior con un mazo de cartas españolas. Ahora la extracción es con reposición (Después de extraer la primera carta, y de observar el resultado, la carta se regresa al mazo y se baraja nuevamente). Al ser un experimento aleatorio con reposición, la probabilidad del suceso B en la segunda extracción, no depende del resultado de la primera extracción. Se tiene en este caso: P(A B) = P(A) P(B) = (1/40) (1/40) = 1/1600. Teorema de la probabilidad total PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL Definición: Una partición de un espacio muestral S es un conjunto de sucesos A i [i=1,...,n] que son mutuamente excluyentes entre si, y que ocupan todo el espacio muestral. Además, todos los Ai pueden ocurrir. Una partición está definida por las siguientes propiedades: Ai Aj = A i = S P(Ai) 0 Ejemplo: E: Se lanza un dado. El espacio muestral es S:{1,2,...,6}. Cada uno de los puntos muestrales es un suceso, y entre todos forman una partición de S, porque se satisfacen los requerimientos 1 a 3 de la definición. E: Se lanza un dado. Se definen los sucesos P 1 : sale un valor par; P 2 : sale un valor impar. Los sucesos P 1 y P 2 definen una partición del espacio muestral S. Observemos en ese último ejemplo que en base a la partición se puede definir un nuevo espacio muestral S 2, función de los puntos muestrales del espacio S. En este caso es S 2 :{par, impar}. Ej.: Se lanza un dado. Los sucesos P 1 : sale par, P 2 : sale impar, P 3: sale el número 2, no son una partición porque P 1 y P 3 no son mutuamente excluyentes. Ej.: Se lanza un dado. Sucesos: P 1 : sale par, P 2 : sale el número 3, o 5. Los sucesos P 1 y P 2 no definen una partición del espacio muestral porque no lo abarcan totalmente (falta el punto muestral 1). Probabilidad total Supongamos un espacio muestral S, sobre el cual se definió una partición del mismo [Ai, i={1,..., u}]. Un suceso B en el espacio muestral S, se presentará conjuntamente con uno y solo uno I-16

18 de los sucesos Ai (porque por definición de partición, los A i son mutuamente excluyentes). Por consiguiente, se cumple: B = (B A1) (B A2)... (B Au), donde cada uno de los términos entre paréntesis es mutuamente excluyente con los otros. Se cumple P(B) = P(B A1) P(B Au). Si usamos la definición de probabilidad condicional, se obtiene P (Ai B) P (B A) i = P (A i ) reemplazando se obtiene: u P(B) = P (B A i ) P (A i ). i = 1 Esta expresión es el teorema de la probabilidad total. Se usa para calcular la probabilidad de un suceso que puede ocurrir asociado a otros sucesos (Los Ai). Ejemplo: E: Se lanza un dado. S: {1,2,..,6}. Suceso B: sale par. Partición de S: los puntos muestrales 1,2,...,6. Calcular la probabilidad P(B). Se cumple: P(B) = P(B s=1) P(1) P(B s=6) P(6). Además se cumple: P(B s=1) = 0, por ser sucesos mutuamente excluyentes. P(B s=2 ) = 1, por definición de suceso salió par. Reemplazando para todos los sucesos de la partición se tiene: P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 1 / 2. Técnicas de conteo Las siguientes siguientes dos técnicas de conteo las usaremos en una siguiente sección para calcular probabilidades. Permutaciones Dados n objetos diferentes, una permutación de esos objetos es un ordenamiento de los mismo. Dos permutaciones son distintas entre si en el caso que esos n objetos estén en distinto orden. Ej.: Objetos : A, B, C No. de permutación Permutación 1 A B C 2 A C B 3 B A C 4 B C A 5 C A B I-17

19 6 C B A El número de permutaciones de n objetos, P n, es igual a n! Combinaciones Definición. Una combinación de n objetos diferentes en grupos de r objetos (o combinación de n objetos, de orden r) es un grupo de r objetos elegidos entre los n objetos. Dos combinaciones difieren entre si en el caso de que estén formadas por diferentes objetos, sin tener en cuenta el orden en que se encuentran en el grupo. Ej.: Objetos A, B, C. Las combinaciones de 3 objetos de orden 2 son: A B ; B C; C A A B y B A es la misma combinación. El número total, n C r, de combinaciones de orden r que se pueden forman con n objetos: está dado por: n n! nc r = =. r r! (n - r)! En el caso anterior es 3C 2 = 3! = 3. 2! (3-2)! nc r se denomina número combinatorio de n sobre r. Al número n se lo denomina numerador. Dos números combinatorios de igual numerador n, se dicen que son de órdenes complementarios si son nc r y nc (n-r) Los números combinatorios de igual numerador y órdenes complementarios son iguales. En efecto, se cumple: n n! n = =. n r ( n r)! r! r I-18

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