INSTITUTO DE INVESTIGACION ANILLO DE REPRESENTACIÓN DE LOS GRUPOS DE LIE

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1 3UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA INSTITUTO DE INVESTIGACION ANILLO DE REPRESENTACIÓN DE LOS GRUPOS DE LIE ROEL MARIO VIDAL GUZMAN ( al Resolución N R) Lima Perú 2010

2 INDICE Pág. I. RESUMEN II. INTRODUCCION III. MARCO TEORICO IV MATERIALES Y MÉTODOS V RESULTADOS VI DISCUSION VII REFERENCIAS

3 I RESUMEN El presente trabajo toma en cuenta objetos de la física y química que tienen propiedades que son modelables matemáticamente a través de los grupos algebraicos y a partir de ellos, aplicando la teoría de las representaciones de grupos y los anillos de representación de los grupos que resultan ser de Lie, visualizar y descubrir propiedades adicionales a las obtenidas por medios empíricos, tomando como ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica: teoría de los átomos, química cuántica, teoría del estado sólido y mecánica cuántica relativista. Entre ellas destacan el análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones relacionadas con la teoría del estado sólido. Se muestra que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados implicados. Sorprendentemente también pronostican que las moléculas a veces pueden cambiar de simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir de un conjunto de estados base posible que se relacionan el uno con el otro por las operaciones de simetría de la molécula. Del mismo modo, con la teoría de grupos se ha logrado pronosticar los cambios de propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado y usar para construir modelos simples e imponer, digamos, la simetría axial sobre una situación lográndose una simplificación significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar una descripción física. El grupo completo de simetría es conocido como el grupo de Poincaré. Por lo que se explica, tiene un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, para la teoría cuántica de campos. 3

4 II INTRODUCCION Una representación de grupo es una "descripción" de un grupo como grupo concreto de transformaciones (o grupo de automorfismos) de un cierto objeto matemático. Las representaciones de grupo son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. También aparecen en ciertas aplicaciones de la cristalografía y en geometría. La teoría de representación y de anillo de grupo es importante porque permite la reducción de algunos problemas de la teoría de grupos al álgebra lineal, que tiene una teoría muy bien entendida. Hay un análogo de esta teoría para muchas clases importantes de grupos infinitos; tales como las representaciones de los grupos y de las álgebras de Lie y teorema de Peter-Weyl para los grupos topológicos compactos. El presente trabajo toma en cuenta objetos de la física y química que tienen propiedades que son modelables matemáticamente a través de los grupos algebraicos y a partir de ellos, aplicando la teoría de la representación de grupos y los anillos de representación de los grupos que resultan ser de Lie, visualizar y descubrir propiedades adicionales a las obtenidas por medios empíricos, tomando como ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica A diferencia de los tratados mencionados, el autor busca que contribuir dotar al estudiante y al profesional e investigador una herramienta necesaria de consulta, actualización y orientación básica, usando la didáctica matemática general como soporte para su desarrollo y aprendizaje. Muchos de los grupos algebraicos y topológicos modelan el comportamiento de la mayoría de los grupos importantes de la física, química y geometría, es el caso que 4

5 estudios teóricos sobre los primeros han descubierto y aun pueden descubrir muchas propiedades adicionales que podrían traducirse en comportamientos físicos y químicos; en este trabajo nos proyectamos indagar y descubrir tales relaciones. Asimismo, se analiza una serie de temas que en otras fuentes bibliográficas o bien no se estudian o bien se exponen de forma muy superficial. Entre ellas destacan el análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones relacionadas con la teoría del estado sólido. Este trabajo está pensado principalmente para los estudiantes de física, y será de una gran utilidad para los estudiantes de doctorado y científicos ya formados, tanto físicos como químicos, que deseen estudiar la teoría de grupos para poderla utilizar como un instrumento más en sus investigaciones. Los grupos de simetría son grupos que constan de simetrías de objetos matemáticos dados que son de naturaleza geométrica, como el grupo de simetría introductorio del cuadrado, o de naturaleza algebraica, como las ecuaciones polinómicas y sus soluciones. Conceptualmente, la teoría de grupos se puede pensar como el estudio de la simetría. Las simetrías en matemáticas simplifican en gran manera el estudio de objetos geométricos o analíticos. En el campo de la química, como por ejemplo la cristalografía, el espacio se agrupa y los grupos puntuales de simetría describen simetrías moleculares y simetrías cristalinas. Estas simetrías son subyacentes al comportamiento físico y químico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis en mecánica cuántica de estas propiedades. No sólo hay grupos útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en moléculas, sino que sorprendentemente también pronostican que las moléculas a veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir desde un conjunto de estados base posibles que se relaciona el uno con el otro por las operaciones de simetría de la molécula. 5

6 Del mismo modo, la teoría de grupos ayuda a pronosticar los cambios de propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado, por ejemplo, de forma cristalina cúbica a una forma cristalina tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos, donde el cambio desde un estado paraeléctricos en un estado ferroeléctricos sucede a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio desde el estado de paraeléctricos de alta simetría hasta el estado de ferroeléctricos de más baja simetría, acompañado por un llamado modo de fonó blando, un modo de enrejado vibracional que pasa por la frecuencia cero a la transición. [49] Los grupos de Lie son de importancia fundamental en física: El teorema de Noether conecta las simetrías continuas con las leyes de conservación. La rotación, así como las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de la mecánica. Se puede, usar para construir modelos simples e imponer, digamos, la simetría axial sobre una situación y conducirá típicamente a una simplificación significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar una descripción física. Por otro las transformaciones de Lorentz, que relacionan las medidas del tiempo y la velocidad de dos observadores en movimiento relativo el uno respecto del otro se pueden deducir puramente desde la teoría de grupos, expresando las transformaciones como simetría rotacional del espacio Minkowski. La representación de un grupo de Lie desempeña un papel importante en el estudio de la simetría continua. Una herramienta básica en su estudio es el uso de las representaciones 'infinitesimales' correspondientes de las álgebras de Lie. 6

7 III MARCO TEORICO Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de uno objeto geométrico, químico o físico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterable el objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una después de la otra. Tales grupos de simetría, especialmente los Grupos de Lie continuos, tienen un papel importante en muchas disciplinas académicas. Los grupos de matrices, por ejemplo, se pueden usar para entender las leyes físicas fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la química molecular. Un grupo es un conjunto, G, conjuntamente con una operación binaria " " que combina dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento denotado a b. El símbolo " " es un elemento general para representar una operación concretamente dada. Para poderse calificar como un grupo, el conjunto y la operación (G, ), tienen que satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo: 1. Clausura. 2. Propiedad asociativa. 3. Elemento identidad. 4. Elemento inverso. Para todo a, b de G, el resultado de la operación a b también pertenece a G. Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación (a b) c = a (b c). Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumple la ecuación e a = a e = a. Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a b = b a = e, donde e es el elemento identidad. 7

8 El orden en el cual se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no tiene que dar necesariamente el mismo que operando b con a; la ecuación a b = b a puede no ser siempre cierta. Los grupos, para los que la ecuación a b = b a se cumple siempre, se denominan abelianos (en honor a Niels Abel). Ejemplos Las matrices cuadradas de n columnas con coeficientes reales y determinante distinto de cero forman un grupo con el producto de matrices, grupo que no es conmutativo cuando n>1. Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienen al considerar grupos de transformaciones, donde la operación es la composición de aplicaciones y el elemento neutro es la identidad: El grupo de los movimientos del espacio o grupo de isometría del espacio euclídeo, el grupo de las semejanzas del plano. El grupo de Galileo, formado por las transformaciones del espacio y el tiempo que conservan los sistemas de referencia inerciales). El grupo de Lorentz de la teoría de la relatividad. Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto de Grupo de Lie, que son los grupos definidos por operaciones continuas sobre curvas, superficies o variedades de dimensión mayor. La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en Física como en Matemática radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo. Algo parecido sucede en Física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las 8

9 partículas elementales de dicho sistema. De hecho, aunque aún no conozcamos las teorías físicas por venir, la clasificación de grupos de Lie ya nos proporciona la lista de los posibles grupos de simetrías infinitesimales. Un grupo de Lie es una variedad diferenciable real o compleja que es también un grupo tal que las operaciones de grupo: multiplicación e inversión son funciones analíticas. Los grupos de Lie son importantes en análisis matemático, física, química y geometría porque sirven para describir la simetría de estructuras analíticas. Mientras que el espacio euclídeo R n es un grupo de Lie real (con la adición ordinaria de vectores como operación de grupo), ejemplos más típicos son grupos de matrices inversibles ( multiplicación de matrices), por ejemplo el grupo SO(3) de todas las rotaciones en el espacio de 3 dimensiones. Dentro de una clase dada de teoría de representación, los resultados se diferencian dependiendo de la clase de grupo de automorfismos que se busque. Un posible 'blanco' para el homomorfismo de la definición son los grupos de permutaciones. Pero los 'blancos' más importantes son grupos de matrices sobre algunos cuerpos, o, más generalmente, grupos de transformaciones lineales inversibles de un espacio vectorial. El caso más importante es el cuerpo de los Números complejos (es decir, las representaciones son homomorfismos a un grupo de matrices complejas o de transformaciones lineales inversibles de un espacio vectorial complejo). Si el espacio vectorial es finito dimensional, entonces las representaciones son también finito dimensionales. En general, un conjunto X se dice que soporta una representación conjuntista o representación por permutación de un grupo G si hay una función, ρ de G a X X, el conjunto de las funciones de X a X tales que para g 1, g 2 en G, y x en X ρ(g 1 g 2 )[x] = ρ(g 1 )[ρ(g 2 )[x]]. 9

10 Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ(g) es una biyección (permutación) para todo g en G. Así podemos equivalentemente definir una representación de permutación como un homomorfismo de grupos de G al grupo simétrico S X de X. Una representación de un grupo finito G es un homomorfismo de grupos de G en el grupo general lineal GL(n, C) de las matrices complejas invertibles de orden n. El estudio de tales representaciones se llama teoría de representación. Ejemplo Considere el número complejo u = exp(2πi/3) que tiene la propiedad u³ = 1. El grupo cíclico C 3 = { 1, u, u² } tiene una representación ρ dada por: (las tres matrices son ρ(1), ρ(u) y ρ(u²) respectivamente). Esta representación se dice fiel, porque ρ es inyectiva. Dos representaciones ρ 1 y ρ 2 se dicen equivalentes si las matrices se diferencian solamente por un cambio de base, es decir si existe A en GL(n, C) tal que para todo x en G: ρ 1 (x) = Aρ 2 (x)a -1. Por ejemplo, la representación de C 3 dado por las matrices: es una representación equivalente a la mostrada arriba. Cada matriz cuadrada de orden n describe una función lineal desde un espacio vectorial n-dimensional V a sí mismo (una vez que se ha elegido una base para V). Por lo tanto, cada representación ρ: G -> GL n define una acción de grupo en V dada por g.v = (ρ( g))(v) (para g en G, v en V). Se puede de hecho definir una 10

11 representación de un grupo como acción de ese grupo en un cierto espacio vectorial, evitando de tal modo la necesidad de elegir una base y la restricción a los espacios vectoriales finito-dimensionales. Si V tiene un subespacio propio no trivial W tal que W está contenido en V y es estable por la representación ρ, entonces la representación se dice reducible. Una representación reducible se puede expresar como una suma directa de subrepresentaciones (solamente par a los grupos finitos son las representaciones reducibles necesariamente descomponibles). Si V no tiene ningún tal subespacio, se dice una representación irreducible. El carácter de una representación ρ: G -> GL n es la función χ : G -> C que envía g en G a la traza (suma de los elementos diagonales) de la matriz ρ(g). Por ejemplo, el carácter de la representación dada arriba se da por: χ(1) = 2, χ(u) = 1 + u, χ(u²) = 1 + u². Si g y h son miembros de G en igual clase de conjugación, entonces χ(g) = χ(h) para cualquier carácter; los valores de un carácter por lo tanto tienen que ser especificados solamente para las diversas clases de conjugación de G. Más aún, las representaciones equivalentes tienen los mismos caracteres. Si una representación es la suma directa de sub representaciones, entonces el carácter correspondiente es la suma de los caracteres de las sub representaciones. Los caracteres de todas las representaciones irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres, con las clases de conjugación de elementos como las columnas, y caracteres como las filas. La tabla de caracteres es siempre cuadrada, y las filas y las columnas son ortogonales con respecto al producto interior en C m, que permite que se compute las tablas de caracteres más fácilmente. La primera fila de la tabla de caracteres siempre consiste en unos, y corresponde a la representación trivial (la representación de dimensión uno que consiste en las matrices 1 1 que contienen la entrada 1). Ciertas propiedades del grupo G se pueden deducir de su tabla de caracteres: 11

12 El orden de G viene dado por la suma de (χ(1))² sobre los caracteres en la tabla. G es abeliano si y solamente si χ(1) = 1 para todos los caracteres en la tabla. G tiene un subgrupo normal no trivial (es decir G no es un grupo simple) si y solamente si χ(1) = χ(g) para algún carácter χ no trivial en la tabla y un cierto elemento no-identidad g en G. La tabla de caracteres en general no determina un grupo salvo isomorfismo: por ejemplo, el grupo cuaterniónico Q y el grupo dihedral de 8 elementos (D 8 ) tienen la misma tabla de caracteres. Un anillo del grupo es un anillo R[G] construido de un anillo R y un grupo G (escrito multiplicativamente). El anillo del grupo se escribe a veces simplemente como RG. Bovdi (2001) Como R- módulo, el anillo R[G] es módulo libre sobre R en los elementos de G. Si R es un campo K, el anillo del grupo se llama el álgebra del grupo; es un espacio vectorial sobre K, con vectores de la base dado por los elementos de G. Los elementos del anillo del grupo son combinaciones lineales finitas de elementos de G con coeficientes en R. La multiplicación es definida por la operación del grupo en G extendido por linealidades y distributividad, y el requisito es que los elementos de R conmuten con los elementos de G. El elemento de la identidad de G es la identidad multiplicativa del anillo R[G]. Representaciones de un anillo del grupo Un módulo M sobre R[G] es entonces igual que una representación lineal de G sobre el campo R. No hay razón particular de limitar R para ser un campo aquí. Sin embargo, los resultados clásicos fueron obtenidos primero cuando R es un campo complejo y G es un grupo finito, así que este caso merece la atención cercana. siempre que la característica del campo R no divida el orden del grupo finito G, entonces R[G] es semisimple (Teorema de Maschke). 12

13 Cuando G es un grupo finito abeliano, el anillo del grupo es conmutativo, y su estructura es fácil de expresar en términos de raíces de la unidad. Cuando R es un campo de característica p, y el número primero p divide el orden del grupo finito G, entonces el anillo del grupo es no semisimple: tiene un Radical de Jacobson diferente de cero, y esto da el tema correspondiente de teoría modular de la representación más profundo. En el presente trabajo de investigación nos dedicaremos al estudio de los grupos, el comportamiento y propiedades de sus elementos además de las diferentes aplicaciones que estos tienen. De esta manera el lector podrá preguntarse si este tema es del todo útil y si servirá o no en la concepción de conocimientos en nuestra formación ya que el concepto de grupos es natural. En física, el grupo de Lorentz es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio de Minkowski, la composición clásica de todas los fenómenos físicos no gravitacionales. Matemáticamente es un subgrupo del grupo lineal GL(R 4 ) y también puede ser dotado de la estructura de grupo topológico. Curtis (1992). El grupo de Lorentz es isomorfo al grupo ortonormal generalizado O(3,1), es decir, el grupo de transformaciones lineales que deja invariante la métrica del espacio de Minkowski o grupo de isometría del espacio de Minkowski. Matemáticamente está formado por cualquier matriz que satisfaga la relación: El grupo de Lorentz no es el conjunto más general de transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones de la teoría general de la relatividad, ya que no incluye las 13

14 traslaciones espacio temporales. De hecho, el grupo de Lorentz es el subgrupo maximal del grupo de Poincaré tal que no incluye las traslaciones. El grupo de Lorentz está formado por cuatro componentes conexas, algunos de los subgrupos más importantes de dicho grupo son: El subgrupo con transformaciones de Lorentz cuyo determinante es igual a 1. El subgrupo de Lorentz de trasformaciones propias, que es un subgrupo del anterior tal que todas las transformaciones dentro de él cumplen que Λ 00 > 0. El subgrupo de rotaciones en isomorfo a, que es un subgrupo del anterior. El subgrupo de transformaciones ortocrono formado por todas aquellas transformaciones tales que Λ 00 > 0. El grupo de Lorentz propio consta de todos los elementos de determinante unidad, que no incluyan ninguna inversión temporal o espacial. El grupo de Lorentz propio es un subgrupo conexo, de hecho coincide con la componente conexa maximal que contiene al elemento neutro o identidad. Dicho grupo es isomorfo al grupo de Möbius PSL (2,C). El grupo de Lorentz no es un grupo conexo, aunque sí lo es el grupo formado por las transformaciones de Lorentz propias. Aunque este subgrupo es conexo no es simplemente conexo. Su espacio recubridor es precisamente el grupo especial lineal complejo de dos dimensiones SL (2,C), que puede identificarse con el grupo de las matrices de componentes complejas de 2x2 y determinante igual a la unidad. Para ver la relación entre el grupo de Lorentz y su grupo recubridor, consideremos un punto del espacio de Minkowski en forma de matriz hermítica: 14

15 Cuyo determinante es precisamente Y entonces la acción del grupo sobre el espacio de Minkowski puede escribirse como: Y esa acción sobre matrices hermíticas es equivalente a la acción del grupo de Lorentz sobre el espacio-tiempo de Minkowski. Un detalle importante es que tanto la matriz P como su negativa -P inducen la misma transformación de Lorentz. De hecho, la aplicación inducida de SL(2,C). en el grupo de Lorentz es dos a uno. Una propiedad interesante del grupo SL(2,C) es que es semisimple lo cual permite construir sus representaciones de una manera peculiar simple, como suma directa de representaciones irreducibles. Este hecho es muy importante en las aplicaciones físicas. Esta propiedad hace que en realidad el grupo de Lorentz de la relatividad especial más sencillo de manejar matemáticamente que el grupo de Galileo de la mecánica newtoniana. Grupo especial ortogonal El grupo especial ortogonal (o grupo ortonormal especial), abreviado usualmente, es un grupo de Lie que puede ser representado como un subgrupo del grupo ortogonal. El grupo real SO(n) se puede identificar con el grupo de rotaciones del espacio. El grupo especial unitario ordinariamente se toma como real, es decir,. aunque también se han definido generalizaciones complejas El grupo SO(2) El grupo especial unitario real puede identificarse con el grupo de rotaciones del plano euclídeo. Y por tanto se trata de un grupo de Lie unidimensional. Existen varias representaciones de este grupo: 15

16 1. SO(2) puede identificarse con el círculo unidad con la operación: donde 2. SO(2) puede identificarse con los números complejos de módulo unidad de la forma 3. SO(2) es isomorfo a U(1), y por tanto identificable con él. 4. Finalmente SO(2) admite representación como matrices 2x2 de la forma: Este grupo no es simplemente conexo, su grupo recubridor universal es. El grupo SO(3) Este grupo es isomorfo al grupo de rotaciones del espacio euclídeo tridimensional y es representable por el conjunto de matrices ortogonales 3x3 y con determinante igual la unidad. El grupo SO(4) Admite además de la representación como conjunto de matrices ortogonales de determinate uno, una representación basada en el álgebra de los cuaterniones. De hecho cada uno de los subgrupos tridimensionales de las rotaciones isoclínicas de SO(4) puede ser identificado con el conjunto de los cuaterniones unitarios. El grupo SO(2,C) Este grupo resulta ser isomorfo al grupo multiplicativo de los complejos. Topológicamente pueden ser representados por el plano complejo al que se le ha quitado el punto de origen ( z = 0) y por tanto es un grupo conexo aunque no simplemente conexo. Grupos SO(p,q) reales 16

17 Estos grupos constituyen una generalización de los grupos SO(n) reales. Grupo lineal general de un espacio vectorial Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo F, entonces escribimos GL(V) o Aut(V) para el grupo de todos los automorfismos de V, es decir el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas V V, junto con la composición funcional como operación de grupo. Si la dimensión de V es n, entonces GL(V) y GL(n,F) son isomorfos. El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de una base en V. Una vez que se haya elegido una base, cada automorfismo de V se puede representar como una matriz inversible n por n, que establece el isomorfismo. Grupo lineal del espacio euclídeo Si consideramos el espacio euclídeo n-dimensional o R n como espacio vectorial su grupo lineal estará representado por todas las aplicaciones lineales que admiten inversa. Si escojemos una base cualquiera para ese espacio vectorial, cada aplicación lineal podría expresarse mediante una matriz. Entonces el grupo lineal vendrá representado por el conjunto de todas las matrices que representan aplicaciones lineales que admiten inversa, y por tanto, por matrices cuyo determinante es diferente de cero (ya que el álgebra lineal establece que una aplicación lineal invertible viene representada en una base por una matriz de determinante diferente de cero). Grupo lineal especial El grupo lineal especial, SL(n, F), es el grupo de todas las matrices con determinante 1. Que esto forma un grupo se sigue de la regla de multiplicación de determinantes. SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F).Curtis (1992). Si escribimos F para el grupo multiplicativo de F (excluyendo el 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupos det: GL(n, F) F. 17

18 El núcleo de la función es precisamente el grupo lineal especial. Por el primer teorema del isomorfismo vemos que GL(n, F)/SL(n, F) es isomorfo a F. De hecho, GL(n, F) se puede escribir como producto semidirecto de SL(n, F) por el F : GL(n, F) = SL(n, F) F Cuando F es R o C, SL(n) es un subgrupo de Lie de GL(n) de dimensión n²-1. El álgebra de Lie de SL(n) consiste en todas las matrices n n sobre F con traza nula. El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de las transformaciones lineales de R n que preservan el volumen y la orientación. El grupo SL(n, C) es simplemente conexo mientras que no lo es SL(n,R). SL(n, R) tiene el mismo grupo fundamental que GL + (n, R), es decir, Z para n = 2 y Z 2 para n > 2. Los llamados grupos clásicos son subgrupos de GL(V) que preserven una cierta clase de producto interior en V. Éstos incluyen el grupo ortogonal, O(V), que preserva una forma bilineal simétrica en V, grupo simpléctico, Sp(V), que preserva una forma bilineal anti-simétrica en V, grupo unitario, U(V), que preserva una forma hermitiana en V (cuando F = C). Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de los grupos de Lie. Los cuales resultan útiles en física por ejemplo el grupo SO(3,1) puede identificarse con el grupo de Lorentz especial que aparece en la teoría de la relatividad especial. El uso de la teoría de las representaciones de grupos se ilustra tomando como ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica: teoría de los átomos, química cuántica, teoría del estado sólido y mecánica cuántica relativista. 18

19 Asimismo, se analiza una serie de temas que en otras monografías o bien no se estudian o bien se exponen de forma muy superficial. Entre ellas destacan el análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones relacionadas con la teoría del estado sólido. Este trabajo está pensado principalmente para los estudiantes de física, y será de una gran utilidad para los estudiantes de doctorado y científicos ya formados, tanto físicos como químicos, que deseen estudiar la teoría de grupos para poderla utilizar como un instrumento más en sus investigaciones. grupo de simetría Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo denominado un grupo diédrico, y se denota D 4. Tiene las siguientes simetrías: La operación identidad que lo deja todo tal como estaba, denotada id; rotaciones del cuadrado de 90 a la derecha, 180 a la derecha, y 270 a la derecha, notadas r 1, r 2 y r 3, respectivamente; reflexiones respecto de los ejes vertical y horizontal (f v y f h ), o respecto de las dos diagonales (f d y f c ). Como: f h r 1 = f c pero r 1 f h = f d. D 4 no es abeliano. Homomorfismos de grupo Los homomorfismos de grupo son las funciones que conservan la estructura del grupo. Una función a: G H entre dos grupos es un homomorfismo si la ecuación a(g k) = a(g) a(k). se cumple para todos los elementos g, k de G, es decir el resultado es el mismo tanto si se hace la operación de grupo antes como si se hace después de aplicar la función a. Este requisito asegura que a(1 G ) = 1 H, y también que a(g) 1 = a(g 1 ) para todo g de 19

20 G. Así un homomorfismo de grupo respeta toda la estructura de G proporcionada por los axiomas de grupo. Dos grupos G y H se denominan isomorfos si existen homomorfismos de grupo a: G H y b: H G, tales que aplicando las dos funciones una después del otro (en cada uno de los dos órdenes posibles) dan la función identidad de G y H, respectivamente. Es decir, a(b(h)) = h y b(a(g)) = g para cualquier g de G y h de H. Desde un punto de vista abstracto, los grupos isomorfos comportan la misma información. Por ejemplo, demostranr que g g = 1 para algún elemento g de G es equivalente a demostrar que a(g) a(g) = 1, porque aplicando a a la primera igualdad da la segunda, y aplicando b a la segunda da otro golpe la primera. Ejemplos y aplicaciones Existen muchas aplicaciones prácticas de los grupos. La criptografía depende de la combinación del enfoque de teoría de grupos abstractos conjuntamente con el conocimiento algorítmico obtenido en la teoría de grupos computacional. Las aplicaciones de la teoría de grupo no se restringen a las matemáticas; las ciencias como la física, la química y la informática también se benefician del concepto. Grupos cíclicos Las 6 raíces complejas de la unidad forman un grupo cíclico. Un grupo cíclico es un grupo todos los elementos del cual son potencias. Un ejemplo típico para esta clase de grupos es el grupo de raíces complejas enésimas de la unidad, formado por los números complejos z que satisfacen z n = 1 (y la operación de multiplicación). Cualquier grupo cíclico con n elementos es isomorfo a este grupo. Nussbaum (2005) Grupos de simetría En el campo de la química, como por ejemplo la cristalografía, el espacio se agrupa y los grupos puntuales de simetría describen simetrías moleculares y simetrías 20

21 cristalinas. Estas simetrías son subyacentes al comportamiento físico y químico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis en mecánica cuántica de estas propiedades. Por ejemplo, la teoría de grupos se usa para mostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados implicados. No sólo hay grupos útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en moléculas, sino que sorprendentemente también pronostican que las moléculas a veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría cuando adopta un estado particular de baja simetría a partir desde un conjunto de estados base posibles que se relacionan el uno con el otro por las operaciones de simetría de la molécula. Del mismo modo, la teoría de grupos ayuda a pronosticar los cambios a propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre un cambio de estado, por ejemplo, de forma cristalina cúbica a una forma cristalina tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroelèctricos, donde el cambio desde un estado paraelèctrico en un estado ferroelèctrico sucede a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio desde el estado de paraelèctrico de alta simetría hasta el estado de ferroelèctrico de más baja simetría, acompañado por un llamado modo de fonó blando, un modo de enrejado vibrational que pasa por la frecuencia cero a la transición. Tal ruptura espontánea de la simetría ha encontrado aplicación más allá, en física de partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de bosons de Goldstone. Los grupos de simetría mencionados como por ejemplo los grupos de Mathieu se usan en teoría de códigos, que se aplica en la corrección de errores en los datos transmitidos, y a los reproductores de CDs. Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois, que caracteriza funciones que tienen primitivas de una forma prescrita, dando criterios teóricos de grupo para cuando las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales tienen soluciones en determinadas formas analíticas. Las propiedades 21

22 geométricas que permanecen estables bajo acciones de grupo se investigan en la teoría de los invariantes geométricos. Grupo lineal general y teorías de la representación Los grupos de matrices constan de matrices junto con la multiplicación de matrices. El grupo lineal general GL(n,R) consiste en todas las matrices de n por n invertibles con coeficientes reales. Para referirse a sus subgrupos se habla de grupos de matrices o grupos lineales. El ejemplo de grupo diédrico mencionado más arriba puede ser visto como un (muy pequeño) grupo de matrices. La teoría de representación es al mismo tiempo una aplicación del concepto de grupo y elemento importante para una comprensión más profunda de los grupos. Estudia los grupos por sus acciones de grupo sobre otros espacios. Una clase ancha de representaciones de grupo son las representaciones lineales, es decir el grupo está actuando sobre un espacio vectorial, como por ejemplo el espacio euclídeo tridimensional R 3. Una representación de G en un espacio vectorial real n- dimensional es simplemente un homomorfismo de grupo ρ: G GL(n, R) desde el grupo hasta el grupo lineal general. De este modo, la operación de grupo, que se puede dar de manera abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices que lo hacen accesible a cálculos explícitos. Dada una acción de grupo, esto da otros medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. Por otro lado, también produce información sobre el grupo. Las representaciones de grupo son un principio de organización en la teoría de grupos finitos, Grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos, especialmente grupo (localmente) compactos. Un grupo se denomina finito si tiene un número limitado de elementos. El número de elementos se denomina la orden del grupo G. Una clase importante es la de los grupos simétricos. Por ejemplo, el grupo simétrico sobre 3 letras es el grupo que 22

23 consta de todas las posibles permutaciones de las tres letras ABC, es decir contiene los elementos ABC, ACB..., hasta CBA, en total 6 (o 3 factorial) elementos. Esta clase es fundamental en la medida que cualquier grupo finito se puede expresar como subgrupo de un grupo simétrico. Herstein (2000). El orden de un elemento a en un grupo G es el entero positivo más pequeño n tal que a n = e. En grupos infinitos, tal n puede no existir, en este caso el orden de a se llama que es infinito. El orden de un elemento es igual a el orden del grupo cíclico generado por este elemento. Técnicas de recuento más sofisticadas, por ejemplo recuento de clases laterales, producen afirmaciones más precisas sobre grupos finitos: El teorema de Lagrange establece que para un grupo G el orden de cualquier subgrupo H es un divisor del correspondiente G. Hall (2006) Grupos topológicos La circunferencia goniomètrica al plano complejo con la multiplicación compleja es un Grupo de Lie y, por eso, un grupo topológico. Es topológico puesto que la multiplicación y división complejas son continuas. Es una variedad y por lo tanto un Grupo de Lie. Algunos espacios topológicos se pueden dotar de una ley de grupo. De forma que la ley de grupo y la topología encajen bien, las operaciones de grupo tienen que ser funciones continuas, es decir, g h, y g 1 no tienen que variar repentinamente si g y h varían sólo un poco. Tales grupos se denominan grupos topológicos, y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos. Los ejemplos más básicos son los reales R con la adición, ( R \ {0}, ), y de forma similar con cualquiera otro cuerpo topológico como los números complejos o los números de p-ádicos. Grupos de Lie 23

24 Los grupos de Lie (en honor a Sophus Lie) son grupos que también tienen una estructura de variedad diferenciable, es decir son espacios que se asemejan localmente un poco al espacio euclídeo de dimensión adecuada. Otra vez, la estructura adicional, aquí la estructura de variedad diferenciable, tiene que ser compatible, es decir las funciones que corresponden a la multiplicación y la inversa tienen que ser suaves. Los grupos de Lie son de importancia fundamental en física: El teorema de Noether conecta las simetrías continuas con las leyes de conservación. La rotación, así como las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de la mecánica. Se pueden, por ejemplo, usar para construir modelos simples e imponer, digamos, la simetría axial sobre una situación y conducirá típicamente a una simplificación significativa en las ecuaciones que hay que resolver para proporcionar una descripción física. Fulton (2006). Otro ejemplo son las transformaciones de Lorentz, que relacionan las medidas del tiempo y la velocidad de dos observadores en movimiento relativo el uno respecto del otro. Se pueden deducir puramente desde la teoría de grupos, expresando las transformaciones como simetría rotacional del espacio Minkowski. Este espacio sirve en can la ausencia significativa de gravitación como modelo del espacio-tiempo en relatividad especial. El grupo completo de simetría del espacio de Minkowski, es decir incluyendo traslaciones, es conocido como el grupo de Poincaré. Por el que se ha explicado, tiene un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, para la teoría cuántica de campos. Las simetrías que varían con la posición son centrales a la descripción moderna de interacciones físicas con la ayuda de la teoría de gauge. Sierro (2003). Formalmente, una representación del grupo de Lie G en un espacio vectorial V (sobre un cuerpo K) es un homomorfismo de grupo G Aut(V) desde G al grupo de automorfismos de V. Si se elige una base para el espacio vectorial V, la representación se puede expresar como homomorfismo en el GL(n, K). esto se conoce como representación matricial. Si el homomorfismo es de hecho un monomorfismo, la representación se dice fiel. Una representación unitaria se define de la misma manera, excepto que G va en las 24

25 matrices unitarias; las álgebras de Lie entonces mapean en matrices antihermitianas. Si G es un grupo semisimple, sus representaciones finito-dimensionales pueden ser descompuestas como sumas directas de las representaciones irreducibles. Si G es un grupo de Lie compacto conmutativo, entonces sus representaciones irreducibles son simplemente los caracteres continuos de G: Una representación cociente es un módulo cociente del anillo grupo. En física, y específicamente, en la física de partículas, el isospín (espín isotópico o espín isobárico) es un número cuántico relacionado a la interacción fuerte y aplicado a las interacciones del neutrón y el protón. Este término se deriva de espín isotópico, pero éste término se confunde con dos isótopos de núcleos que tengan diferentes cantidades de nucleones, mientras la rotación del isospín mantiene el número de nucleones. Los físicos nucleares prefieren llamarlo espín isobárico, que es más preciso en su significado. La simetría del isospín es un subconjunto de la simetría del sabor que se ve en forma más amplia en las interacciones de bariones y mesones. La simetría de isospín conserva un concepto importante en la física de partículas y una cerrada examinación de esta simetría históricamente lleva directamente al descubrimiento y entendimiento de los quarks y la teoría de Yang- Mills. Passman (2007). El isospín fue introducido por Werner Heisenberg para explicar muchas simetrías relacionadas: La masa de los neutrones y los protones son casi idénticos: son casi degenerados y se los llama nucleones. Así el protón tiene carga positiva y el neutrón es neutro, son casi idénticos en todos los otros aspectos. La fuerza de la interacción fuerte entre cualquier par de nucleones es la misma, independiente de si interactúan como protones o como neutrones. La masa de un pión que media entre la interacción fuerte y los nucleones es la misma. En particular, la masa de un pión positivo (y su antipartícula) es cercamente idéntica a la de un pión neutro. 25

26 En mecánica cuántica, cuando un hamiltoniano tiene una simetría, esta simetría se manifiesta en si misma a través de un conjunto de estados que tienen (casi) la misma energía; esto es, los estados son degenerado. En la física de partículas, la masa es sinónimo de energía (desde que se conoce que E = mc²) y así la masa degenerada del neutrón y el protón en una simetría hamiltoniana describe la interacción fuerte. El neutrón tiene la masa ligeramente superior: la masa degenerada no es exacta. El protón está cargado, el neutrón no. Sin embargo, en este caso se podría en general por mecánica cuántica, la apariencia de la simetría puede ser imperfecta, como si fuera una perturbación de otras fuerzas. que dan lugar a ligeras diferencias entre estados. La contribución de Heisenberg fue al señalar que la formulación matemática de esta simetría es en algunos aspectos similar a la formulación matemática del espín, de donde se deriva su nombre "isospín". Para ser preciso, la simetría isospín está dada por la invarianza del hamiltoniano de las interacciones fuertes bajo la acción de un grupo de Lie SU(2). El neutrón y el protón están asignados a un doblete (el espín-1/2 o una representación fundamental) de SU(2). Los piones son asignados a un triplete (el espín-1 o representación adjunta) de SU(2). Solo si es el caso de un espín regular, el isospín está descrito por dos números, I, el isospín total y I 3 el componente del espin de vector en la dirección dada. El protón y el neutrón tienen ambos I=1/2, cuando ellos permanecen en el doblete. El protón tiene I 3 =+1/2 o ísospín-arriba' y el neutrón tiene I 3 =-1/2 o 'isospín-abajo'. Los piones, que permanecen en el triplete, tienen I=1 y π +, π 0 y π tienen, respectivamente I 3 =+1, 0, 1. La mecánica cuántica (conocida originalmente como mecánica ondulatoria) es una de las ramas principales de la física, y uno de los más grandes avances del siglo veinte para el conocimiento humano, que explica el comportamiento de la materia y de la energía. La mecánica cuántica describe en su visión más ortodoxa, cómo cualquier sistema físico, y por lo tanto todo el universo, existe en una diversa y variada multiplicidad de estados los cuales, habiendo sido organizados matemáticamente por los físicos, son denominados autoestados de vector y valor 26

27 propio. De esta forma la mecánica cuántica explica y revela la existencia del átomo y los misterios de la estructura atómica; lo que por otra parte, la física clásica, y más propiamente todavía la mecánica clásica, no podía explicar debidamente. Mecánica cuántica es la base de los estudios del átomo, los núcleos y las partículas elementales (siendo ya necesario el tratamiento relativista), pero también en teoría de la información, criptografía y química. Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes: Al ser imposible fijar a la vez la posición y el momento de una partícula, se renuncia al concepto de trayectoria, vital en mecánica clásica. En vez de eso, el movimiento de una partícula queda regido por una función matemática que asigna, a cada punto del espacio y a cada instante, la probabilidad de que la partícula descrita se halle en tal posición en ese instante (al menos, en la interpretación de la Mecánica cuántica más usual, la probabilística o interpretación de Copenhague). A partir de esa función, o función de ondas, se extraen teóricamente todas las magnitudes del movimiento necesarias. Existen dos tipos de evolución temporal, si no ocurre ninguna medida el estado del sistema o función de onda evolucionan de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, sin embargo, si se realiza una medida sobre el sistema, éste sufre un "salto cuántico" hacia un estado compatible con los valores de la medida obtenida (formalmente el nuevo estado será una proyección ortogonal del estado original). Existen diferencias perceptibles entre los estados ligados y los que no lo están. La energía no se intercambia de forma continua en un estado ligado, sino en forma discreta lo cual implica la existencia de paquetes mínimos de energía llamados cuantos, mientras en los estados no ligados la energía se comporta como un continuo. 27

28 Descripción de la teoría bajo la interpretación de Copenhague. Robinson (1998) Para describir la teoría de forma general es necesario un tratamiento matemático riguroso, pero aceptando una de las tres interpretaciones de la mecánica cuántica (a partir de ahora la Interpretación de Copenhague), el marco se relaja. La Mecánica cuántica describe el estado instantáneo de un sistema ( estado cuántico) con una función de onda que codifica la distribución de probabilidad de todas las propiedades medibles, u observables. Algunos observables posibles sobre un sistema dado son la energía, posición, momento y momento angular. La mecánica cuántica no asigna valores definidos a los observables, sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad. Las propiedades ondulatorias de la materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda. Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo. Esta evolución es determinista si sobre el sistema no se realiza ninguna medida aunque esta evolución es estocástica y se produce mediante colapso de la función de onda cuando se realiza una medida sobre el sistema (Postulado IV de la MC). Por ejemplo, una partícula moviéndose sin interferencia en el espacio vacío puede ser descrita mediante una función de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posición media. Según pasa el tiempo, el centro del paquete puede trasladarse, cambiar, de modo que la partícula parece estar localizada más precisamente en otro lugar. La evolución temporal determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuación de Schrödinger. Algunas funciones de onda describen estados físicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo, estos estados se llaman estacionarios, son estados propios del operador hamiltoniano y tienen energía bien definida. Muchos sistemas que eran tratados dinámicamente en mecánica clásica son descritos mediante tales funciones de onda estáticas. Por ejemplo, un electrón en un átomo sin excitar se dibuja clásicamente como una partícula que rodea el núcleo, mientras que en mecánica cuántica es descrito por una nube de probabilidad estática que rodea al núcleo. 28

29 Cuando se realiza una medición en un observable del sistema, la función de ondas se convierte en una del conjunto de las funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestión. Este proceso es conocido como colapso de la función de onda. Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son descritas por la función de onda instantánea justo antes de la reducción. Considerando el ejemplo anterior sobre la partícula en el vacío, si se mide la posición de la misma, se obtendrá un valor impredecible x. En general, es imposible predecir con precisión qué valor de x se obtendrá, aunque es probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas, donde la amplitud de la función de onda es grande. Después de que se ha hecho la medida, la función de onda de la partícula colapsa y se reduce a una que esté muy concentrada en torno a la posición observada x. La ecuación de Schrödinger es en parte determinista en el sentido de que, dada una función de onda a un tiempo inicial dado, la ecuación suministra una predicción concreta de qué función tendremos en cualquier tiempo posterior. Durante una medida, el eigen-estado al cual colapsa la función es probabilista y en este aspecto es no determinista. Así que la naturaleza probabilista de la mecánica cuántica nace del acto de la medida. En la formulación matemática rigurosa, desarrollada por Dirac y von Neumann, los estados posibles de un sistema cuántico están representados por vectores unitarios (llamados estados) que pertenecen a un Espacio de Hilbert complejo separable (llamado el espacio de estados). Qué tipo de espacio de Hilbert es necesario en cada caso depende del sistema; por ejemplo, el espacio de estados para los estados de posición y momento es el espacio de funciones de cuadrado integrable, mientras que la descripción de un sistema sin traslación pero con un espín nh es el espacio. La evolución temporal de un estado cuántico queda descrita por la ecuación de Schrödinger, en la que el hamiltoniano, el operador correspondiente a la energía total del sistema, tiene un papel central. El operador cuántico es el operador matemático que representa a una magnitud física (observable) en el formalismo de la mecánica cuántica. Matemáticamente los 29

30 operadores de la mecánica cuántica son aplicaciones lineales definidas sobre un conjunto o dominio en un espacio de Hilbert, y que deben satisfacer ciertas propiedades formales como la de ser autoadjuntos. Algunos operadores están definidos sobre todo el espacio de Hilbert, estos operadores se llaman continuos o acotados. Sin embargo, otros operadores cuánticos están definidos solo sobre un dominio denso en el espacio de Hilbert, pero no en todo el espacio de Hilbert. Por ejemplo el operador hamiltoniano, que representa la energía del sistema, suele ser un operador no-acotado, lo cual se corresponde con el hecho físico de que muchos sistemas no imponen un límite superior para el valor de la energía Operadores posición y momento lineal Resultan de especial interés las correspondencias entre la mecánica clásica y la cuántica de los operadores correspondientes a la posición y al momento lineal: Así, por ejemplo, la energía cinética, que se desarrolla como: al pasar los operadores a su versión cuántica queda de esta forma: Conmutación de operadores Se dice que dos operadores conmutan cuando cumplen: 30

31 Un teorema de importancia capital en la mecánica cuántica es el que sigue: "Si y solo si dos operadores conmutan, tienen un conjunto de funciones propias en común". Como se puede ver de forma muy sencilla a partir de las relaciones del apartado anterior, para una dirección espacial dada (digamos la x) los operadores posición y momento lineal no conmutan. Esto implica que no tienen ninguna función propia en común. Así pues, para cualquier función de ondas, si es posible determinar de forma reproducible la posición, en la determinación del momento lineal habrá siempre una contribución estadística. Este es un caso particular del principio de indeterminación de Heisenberg. Representación matricial de un operador Se dice que un operador es lineal cuando, para cualquier x, y, se cumple: De esta forma, un operador lineal esta completamente determinado si se conoce su efecto sobre todo vector. Como cualquier vector se puede definir como combinación lineal de los vectores de una base ( ), basta conocer como afecta un operador lineal a cada vector de una base para determinarlo completamente. Por otro lado, como también es un vector, siempre se puede describir como: 31

32 donde O ij es el componente del vector en la dirección. Estos componentes se pueden ordenar en forma de una matriz (cuadrada), que constituye otra descripción completa de operador., y recibe el nombre de representación matricial de un Un anillo del grupo G es el anillo R[G] construido de un anillo R y un grupo G (escrito multiplicativamente). El anillo del grupo se escribe a veces simplemente como RG. Como R-módulo, el anillo R[G] es módulo libre sobre R en los elementos de G. Si R es un campo K, el anillo del grupo se llama álgebra del grupo; es un espacio vectorial sobre K, con vectores de la base dado por los elementos de G. Los elementos del anillo del grupo son combinaciones lineales finitas de elementos de G con coeficientes en R. La multiplicación es definida por la operación del grupo en G extendido por linealidades y distributividades, y el requisito es que los elementos de R conmuten con los elementos de G. El elemento de la identidad de G es la identidad multiplicativa del anillo R[G]. Si R es conmutativo, entonces R[G] es álgebra asociativa sobre llama álgebra del grupo. R, y también se Si R y G son ambos comutativos (es decir, R es comutativo y G es grupo abelian), R[G] es comutativo. Si H es a subgrupo de G, entonces R[H] es un sub anillo de R[G]. Semejantemente, si S es el sub anillo de R, S[G] es el sub anillo de R[G]. Representaciones de un anillo de grupo Un módulo M sobre R[G] es como una representación lineal de G sobre el campo R. No hay razón particular de limitar R a ser un campo aquí. Sin embargo, los resultados clásicos fueron obtenidos primero cuando R es el campo complejo y G es un grupo finito, así que este caso merece la atención cercana. Fue demostrado que R[G] es un anillo semisimple, bajo esas condiciones, con las implicaciones profundas 32

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