Flexión termoelást ica de placas ortdtropas

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1 Vo. 15, 1, (1999) Revista Internaciona de Méto os Numéricos para Cácuo y Diseño en Ingeniería r Fexión termoeást ica de pacas ortdtropas Caros A. Rossit y Patricio A.A. Laura Departamento de Ingeniería Universidad Naciona de Sur Instituto de Mecánica Apicada (CONICET) 8000 Bahía Banca, Argentina Te.: O0, Fax: e-mai: ima@criba.edu.ar Resumen En e presente trabajo se anaiza a fexión termoeástica de pacas ortótropas degadas bajo a hipótesis de pequeñas deformaciones. Se aproxima a defexión de a paca en términos de funciones coordenadas po inómicas que, para e caso de a paca rectanguar empotrada, satisfacen idénticamente as condiciones de b b rde. E enfoque utiizado es particuarizado para e caso de a paca isótropa donde se comprueba exceente acuerdo con resutados existentes en a iteratura técnico-científica tanto para a detejrminación de despazamiento como para os esfuerzos resutantes. La metodoogía en cuestión es sumamente simpe y eficiente. THERMOELASTIC BENDING OF ORTHOTROPIC PLATES 1 Summary The present paper deas with thermoeastic bending of thin orthotropic pates using sma defection theory. The pate dispacement is convenienty expressed in terms of poynomia cooqdinate functions which identicay satisfy the boundary conditions in the case of rectanguar pates with camped edges. It is shown that the present approach degenerates propery into the isotropic pate case where exceent agreement is achieved, with resuts avaiabe in the references, for dispacements and stress iesutants. Dentro de os casos generaes de anisotropía existe una situación particuar de interés tecnoógico que se presenta cuando e materia tiene tres panos ortogonaes de simetría eástica. Esos materiaes son denominados ortótropos. A respecto cabe acarar que modeos ortótropos representan sdtisfactoriamente e comportamiento de materiaes de uso muy difundido en ingeniería, como e hormigón armado, as maderas, agunos pásticos compuestos de materiaes reforzados con fibras dispuestas según ciertas configuraciones geométricas, etc. Asimismo, merece destacarse e comportamiento mecánico coq características gobaes ortótropas que presentan en virtud de su configuración geométrica determinados eementos estructuraes constituidos por materiaes homogéneos (por ejempo pacas corrugadas y pacas con refuerzos). OUniversitat Poithcnica de Cataunya (España). ISSN: Recibido: Octubre 1997

2 136 C.A. Rossit v P.A.A. Laura Consideraremos una paca deagada eástica de espesor constante conformada por un materia ortótropo. Se toma como origen de coordenadas un punto cuaquiera O de pano medio de a paca y como direcciones coordenadas x e y a as direcciones principaes de easticidad1>' (Figura 1). Figura 1. Paca ortótropa y sistema de ejes coordenados Supongamos que sobre a paca actúa una variación térmica De acuerdo con a teoría aproximada de pacas degadas tendremos d2w d2w d2w E, = -Z- EY = -Z-, y = -22- dx2 ' ' XY dxdy donde u y v son os despazamientos de un punto de a paca en a dirección de os ejes x e y respectivamente, mientras w indica os despazamientos de os puntos de pano medio de a paca en a dirección Z. Apicando a ey generaizada de Hooke y teniendo en cuenta efectos térmicos, as ecuaciones constitutivas son donde E, E', Y, v2 y G son os móduo de Young; coeficientes de Poisson y móduo de easticidad transversa para as direcciones principaes respectivamente, mientras a y a2 son os respectivos coeficientes de expansión térmica de medio. Expresando as ecuaciones (3) en términos de as tensiones y teniendo en cuenta (2) y (), resutan as siguientes expresiones.

3 Fexión termoeástica de pacas ortótropas 137 Como es sabido, cortando a a paca con panos perpendicuare a pano medio, paraeos a os ejes coordenados y separados entre sí distancias dx y dy, as componentes de tensor de tensión a,, ay y rxy generan os momentos Mzdy, Mzgdy, MG4x y Mxy dx (Figura 2). 9 Figura 2. Eemento de paca y esfuerzos resutandes La expresión de os momentos por unidad de ongitud será donde I

4 138 C.A. Rossit y P.A.A. Laura Consideraremos a posibiidad de una carga transversa estática p(x, y), no teniendo en cuenta fuerzas de voumen. Panteando condiciones de equiibrio de eemento de paca, obtendremos as expresiones de Qx y Q, Proyectando os esfuerzos resutantes según e eje z, se obtiene a ecuación diferencia gobernante* donde D3 = D2 + 2Dk (10) Obviamente, en e caso isótropo se tiene D1 = D2 = D3 = D, u1 = u2 = u; P1 = P2 =,í3 = Da(1 + u) (11) y a ecuación diferencia (9) se transforma en DV4w = p - Da(1 + u)v2t1 & Figura 3. Paca rectanguar ortótropa empotrada en os cuatro bordes * Los autores no efectúan aarde aguno de originaidad, pero es de cierta importancia e hecho de que a ecuación (9) no ha sido obtenida previamente en as referencias.

5 Fexión termoeástica de pacas ortótropas 139 La ecuación gobernante de a fexión térmica de a paca es a (9) y as condiciones de borde (Figura 3) Obsérvese que, de acuerdo con a expresión (9) y teniendo en uenta que as condiciones de borde (13a,b) y (14a,b) no contienen expícitamente a temperatura3, 9 puede anaizarse e probema de a paca sometida a variación térmica como un probema isotérmico de a misma paca sometida a a carga equivaente Por o tanto resuta razonabe aproximar a defexión de a paca con poinomios de tipo4>5g6 donde Reempazando cada función coordenada [Xi(x), Y, (y)] en as condiciones de borde, obtenemos as expresiones de ci, di, ej y fj Se detraminarán as Aij de a expresión (16) mediante e métodd de Ritz, o que requerirá que a funciona energética1 J[w] + 4 (e) ] axay dxy - J/p*wdxdy I

6 140 C.A. Rossit y P.A.A. Laura sea un mínimo con respecto a as constantes A,, ' aj[w =O, i,j= 1,2,..., N (20) u, Surge entonces un sistema de ecuaciones no homogéneo en as A,,. Una vez resueto e mismo, disponemos de una soución aproximada de probema. Es importante destacar e hecho de que para a situación en estudio e cásico método de Gaerkin conduce a os mismos resutados. RESULTADOS NUMÉRICOS Se ha considerado e caso de una paca sometida a a acción de una variación térmica distribuida según a ey T(r,y,z) = h E probema ha sido resueto en forma adimensiona, definiendo 2 (-+ a2 $) (21), = - a y=-yx=- x Y a a ' b b (22) Se han obtenido resutados numéricos adimensionaes, tomando en (16) N = 2, para una configuración termomecánica representada por os siguientes vaores D Dk u2 = O, 3; - a2 = 1,5 D1 2' D1 3; a y diferentes magnitudes de a reación de ados a =-= yb 5'3' ' 2 2 En as Figuras 4 a 7 se representan as variaciones de os parámetros adimensionaes de despazamiento s h, de momentos Rectores ( w h y m h ) y momentos ( 1 MBg,(5,0,5) torsores ( h DiaiTo ) En todos os casos se compara con os respectivos casos isótropos ( D( - V) D2 = D1 = D, DI, =, v1 = v2 = 0,3; a2 = a = a 2 ) Cabe acarar que en e caso de a paca isótropa cuadrada se observa que e vaor de a defexión en e centro *h = 0,0138 coincide con e exacto3, mientras que e vaor de máximo momento Rector ( h = -0,5116 muestra muy buena concordancia con e ) vaor disponibe en a referencia3.

7 Fexión termoeástica de pacas ortótropas I 141 Figura 4. Eástica 'adimensiona wh/a20ito en 3 = O para diversos "aores de a/b. Comparación entre e caso isótropo y e ortótropo

8 142 C.A. Rossit y P.A.A. Laura Figura 5: Variación de M z ~ / D ~ ~ ~ ~ T ~ en jj = O para diversos vaores de ab. Comparación entre e caso isótropo y e ortótropo

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10 144 C.A. Rossit y P.A.A. Laura 1 A = - =.- b :I U,,, (x.o.5) h Figura 7. Variación de M,gh/DcuTo en Y = 0,5 para diversos vaores de ab. Comparación entre e caso isótropo y e ortótropq