MECÁNICA DE FLUIDOS II

Transcripción

1 Departamento e Ingeniería Mecánica MEÁNIA DE FIDOS II. APA ÍMITE. Introcción El concepto e capa límite e inicialmente introcio por el alemán ing Prantl en 94. Anqe las ecaciones qe escriben el movimiento e n lio viscoso habían sio esarrollaas antes qe Prantl introjera el concepto e capa límite (las ecaciones e Navier Stokes esarrollaas por Navier, 87, e inepenientemente por Stokes, 845), las iicltaes matemáticas para la solción e estas ecaciones (ecepto en algnos casos simples) imposibilitaban el estio teórico e los ljos viscosos. Prantl emostró qe mchos ljos viscosos peen ser analizaos iviieno el ljo en os regiones, na cercana a las ronteras sólias la otra comprenieno el resto el ljo. Prantl mostró qe los eectos viscosos el lio son consierables únicamente en la región elgaa aacente a la rontera sólia (capa límite). En la región era e la capa límite los eectos viscosos son espreciables el ljo pee analizarse como no viscoso, igra.. Eterior e capa límite: ljo no viscoso Interior e capa límite: ljo viscoso Figra. apa límite. En n ljo e capa límite, tanto los eectos viscosos como los inerciales son importantes como consecencia el número e nols,, es n parámetro aecao para caracterizar los ljos e capa límite. a longit característica saa en pee ser la longit en la irección el ljo sobre la cal la capa límite se esarrolla o algna meia el espesor e la capa límite. De manera similar qe en el ljo en n cto, el ljo e capa límite pee ser laminar o trblento. En el ljo e capa límite no eiste n valor único en one ocrre la transición e laminar a trblento. Esta transición se ve inlenciaa por Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

2 Departamento e Ingeniería Mecánica iversos actores como son: la rgosia e la spericie, el graiente e presión, la transerencia e calor pertrbaciones e corriente libre. Para ljos incompresibles sobre spericies planas e rgosia insigniicante (graiente e presión cero), en la asencia e transerencia e calor, la transición e ljo laminar a trblento pee ser retrasao hasta valores e /υ entre 3 4 millones si las pertrbaciones eternas son minimizaas. Sin embargo, bajo coniciones e ljo típicas la transición generalmente ocrre cano 5 5. a igra. presenta esqemáticamente el crecimiento e na capa límite sobre na placa plana. Inicialmente se presenta na región laminar a lo largo e na istancia corta a partir e el etremo rontal e la placa. Posteriormente aparece na región e transición para qe inalmente ocrra el esarrollo e la región trblenta. aminar Transición Trblento Figra. apa límite sobre na placa plana.. Espesor e apa ímite a capa límite es la región aacente a na spericie sólia one las erzas viscosas son importantes. El espesor e capa límite,, se eine como la istancia perpeniclar a la spericie, ese ésta hasta el pnto one la velocia el ljo es igal al 99 % e la velocia e corriente libre (.99). Si las erzas viscosas no eistieran en el ljo sobre na placa plana, la velocia en calqier pnto sería. Sin embargo, ebio a las erzas viscosas eistentes en el ljo, éste se ve retrasao entro e la capa límite e orma qe el ljo másico aacente a la spericie sólia es menor qe aqel qe pasaría a través e la misma región en asencia e spericies sólias. El ecremento el ljo másico ebio a la inlencia e las erzas viscosas es: ρ ( ) Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

3 Departamento e Ingeniería Mecánica Por otro lao, einieno el espesor e esplazamiento, * (igra.3), como la istancia qe, en asencia e erzas viscosas, la spericie sólia tenría qe esplazarse, para tener n éicit e masa igal al qe ocrre ebio a la eistencia e la capa límite, se tiene: ρ* ρ ( ) Dao qe para ljos incompresibles ρ constante, entonces: * ( /) ( /) a qe el integrano es esencialmente cero para..99 Área ( ) * Área ( ) θ Figra.3 Deinición e los espesores e capa límite El eecto e retaro el ljo entro e la capa límite proce también na rección en el momentm (cantia e movimiento) al comparar el ljo entro e la capa limite con n ljo no viscoso. Entonces, el momentm en el ljo qea einio como: ρ θ ρ ( ) one θ es el espesor e momentm está einio como el espesor e na capa e lio con velocia para la cal el momentm es igal a la péria e momentm a través e la capa limite. θ / ( /) / ( /) os espesores e esplazamiento e integral son enominaos espesores integrales. Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

4 Departamento e Ingeniería Mecánica apa ímite Sobre na Placa Plana en Régimen aminar: Solción Eacta a solción para la capa límite laminar sobre na placa plana e obtenia por H. Blasis en 98. Para n ljo biimensional en estao estable con graiente e presión espreciable, las ecaciones e gobierno se recen a: con las coniciones e rontera: / + v/ / + v / υ / en en Blasis propso na solción e similaria e tipo: / g() one / one es el espesor e la capa límite es nción e,, υ tal qe: [/(υ )] / Introcieno la nción e corriente,ψ, one ψ ψ v a cal satisace la ecación e continia. Sstiteno v entro e las ecaciones e gobierno, el resltao es na sola ecación con na variable epeniente ψ. Deinieno la nción e corriente aimensional como: ( ) ψ υ Se obtiene el sistema con na variable epeniente () mientras qe es la variable inepeniente. Aplicano las sstitciones anteriores, se obtiene: Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

5 Departamento e Ingeniería Mecánica Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios + + v v υ υ υ υ υ ψ υ υ ψ ψ Al ierenciar las componentes e la velocia se tiene: 3 3 υ υ De orma qe la ecación e cantia e movimiento en la irección se transorma en: + en en con 3 3 De esta orma, la ecación ierencial parcial e segno oren qe gobierna el crecimiento e la capa límite bajo régimen laminar se transorma en na ecación ierencial orinaria no lineal e tercer oren con las coniciones e rontera aecaas. Blasis resolvió esta ecación empleano na epansión en series e potencias. a misma ecación e más tare reselta en orma más precisa por Hoarth []. os valores e, / / se mestran en la tabla.. El peril e velocia se obtiene e orma aimensional al graicar / contra empleano los valores obtenios e la tabla mostraa. De la tabla se observa qe en 5., /.99. Deinieno el espesor e capa límite,, como el valor e para el cal /.99, entonces: 5. / 5. υ El eserzo cortante en la pare pee epresarse como:

6 Departamento e Ingeniería Mecánica Así μ μ / υ.33 μρ / el coeiciente e eserzo cortante en la pare,, es: ρ.664 Tabla. Valores obtenios e la solción eacta / v Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

7 Departamento e Ingeniería Mecánica Hoarth., On the soltion o the laminar bonar laer eqations, Proceeings o the Roal Societ o onon, A64, 938, pp Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

8 Departamento e Ingeniería Mecánica.3 Ecación Integral e Momento Al consierar n volmen e control entro e la capa límite, es posible obtener na epresión e la ecación e cantia e movimiento qe sea nción e la istancia a lo largo e la spericie sólia. Esta epresión pee aplicarse tanto al ljo laminar como trblento. Partieno e la segna le e Neton, se tiene: - Ecación e cantia e movimiento (Momento) r r v D F ma m m m + + v t Dt t + z Forma Integral r r r r Fs + F v + ( n) A t ρ V ρ S - Ecación e continia S r r ( n) A ρ ; m Ent. Sal Para ljo permanente en estao permanente V ρ v t r r r r Fs + F ρ ( n) A S. m Para el análisis el campo e ljo en la capa límite, se consiera el elemento ierencial einio en el esqema por a-b-c- Figra.4 Volmen e control ierencial en la región e capa límite Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

9 Departamento e Ingeniería Mecánica Ecación e continia Fljo e entraa (a-b): m ρz Fljo e salia (c-):. mc ρz + m. m ab. + Fljo en la rontera (b-c):... mbc ment m sal. m ρz ρz. m + Ecación e momento -Entraa (a-b): -Salia (c-): -Salia (b-c): ab c bc ρ( ) z ρ( ) z + ρ( ) z Ferzas e spericie ( F s ): ρ ( ) z -Entraa (a-b): F ab Pz ; Ppresión P P + + z -Salia (c-): ( ) F c Para la rontera (b-c), se consiera na erza einia por: F bc P + P z -Spericie, rontera (a-): Fa (z) onsierano qe: << se obtiene: P ρ( ) + ρ ; one P P() Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

10 Departamento e Ingeniería Mecánica Aplicano la ecación e Bernolli en la región e ljo no-viscoso se obtiene qe: P ρ Introcieno la integral para la capa límite, se epresa como:, la ecación e cantia e movimiento en orma integral, ( ( ρ) ρ ) + ρ + Para simpliicar esta ecación, se aplica la sigiente erivaa: ( ( ρ) ρ) ρ( ) + Al sstitir el término corresponiente en la ecación e cantia e cantia e movimiento, se obtiene: ρ( ) + ρ( ) Deinieno na neva variable: Se obtiene: Entonces para esta neva variable se eine la ecación: ρ( ) + ρ( ) Para constante; los graientes e presión ρ( ) P son espreciables. Por lo tanto ρ( ) ( ) Esta ecación se obtiene al consierar: - Fljo en estao permanente - Fljo incompresible - Despreciano erzas e cerpo (gravea) Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

11 Departamento e Ingeniería Mecánica - la ecación se pee aplicar al ljo laminar o trblento - Es necesario tener na epresión qe relaciona el eserzo cortante, con el peril e velocia o espesor e capa límite ) ( ) ( ρ Ejemplo: Para n ljo laminar el peril e velocia se eine como: c b a + + one la coniciones e rontera aplicaas son: ; ; ; Para ljo laminar se pee aplicar: μ Para aplicar la ecación e cantia e movimiento, se representa el eserzo cortante en nción e la neva variable, esto es: μ ( ) μ μ Sstiteno en la ecación e cantia e movimiento, se obtiene: ) ( ) ( ρ μ Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

12 Departamento e Ingeniería Mecánica Para obtener na epresión el espesor e capa límite,, se integra se hace na separación e variables, esto es: μ ρ( ) 5 -Separano variables: 5μ ρ Integrano ambos laos e la ecación aplicano la conición ; se obtiene: 3μ 5.48 ρ μ ρ También pee epresarse como: 3μ ρ 5.48 Para el eserzo cortante, se pee obtener na epresión el coeiciente e eserzo cortante en la pare,, esto es: ρ Done: μ μ v t ρ.33μ. 33 μ μρ Sstiteno en, se obtiene μρ ρ ρ ρμ μ.664 ρ.664 Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

13 Departamento e Ingeniería Mecánica Para ierentes periles e velocia en la capa límite se obtienen solciones con la ecación integral e la cantia e movimiento Distribción e velocia 3 3 π sin Solción eacta Graientes e presión en capa límite ano cte los graientes e presión en la capa límite no son espreciables tienen n eecto sobre el comportamiento el ljo entro e la región e capa límite. Por ejemplo, consierano n cto one se esarrolla la capa límite se tienen graientes e presión, el eecto e estos se mestra en el sigiente esqema: Figra.5 Fljo en capa límite con graientes e presión. El pnto e separación sobre la rontera sólia (spericie) se ientiica con:. Entonces P se establece qe para, el ljo no se separa e la spericie. Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

14 Departamento e Ingeniería Mecánica P n graiente e presión averso: >, es na conición necesaria para la separación e la capa límite. omparano los periles e velocia momento, igra.6, se pee observar qe se necesita maor graiente e presión averso en el régimen e ljo trblento para provocar la separación e la capa límite. Figra.6 Periles aimensionales sobre na placa plana..5 Ferza e arrastre ano n cerpo se encentra inmerso en n lio eperimenta na erza, F, ebio a la acción el movimiento el lio. Generalmente se establecen erzas e spericie ebio al eserzo cortante a la presión, esto es, r r F ( F) F ( F) + s s one la componente paralela en la irección el ljo se ientiica como la erza e arrastre se ivie en las erzas ebio al eserzo cortante e presión, qe se representan como: s P F A A F p pa Para entener el eecto e la erza e arrastre, se consiera el caso e na placa plana epesta a n ljo con na velocia niorme,. A Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

15 Departamento e Ingeniería Mecánica Fljo paralelo sobre na placa plana: arrastre por ricción onsierano n graiente e presión cero, el arrastre total sobre na placa plana es igal a la ricción, entonces: A F ρ A ρ D Para ljo laminar, se tiene e la solción eacta: A Entonces, ρ.664 D A A A.664( ) b b ; para Ab* Integrano se obtiene:.38 D ; one ρ μ También se peen obtener otras epresiones, como:.577 ρ s ( ) ; ljo trblento sobre toa la placa plana one: D.7 ( ) 5 De acero a atos eperimentales:.74 D ; vália para 5 ( ) 7 <.455 Otra epresión e einia por Schlichting como: D ; vália para. 58 (log ) 9 < Para el caso e capa límite qe inicialmente tiene n ljo laminar qe sre na transición a ljo trblento, el coeiciente e arrastre se moiica a la orma: D ; tenieno qe 5 ( ). 5 cr 5 Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

16 Departamento e Ingeniería Mecánica Fljo normal sobre na placa plana: arrastre por presión Si se tiene n ljo normal sobre na placa plana, se esarrolla n erza e arrastre relacionaa con la presión qe se ejerce sobre la placa. Esta erza se eine como: F p A pa one el ljo se separa en los etremos e la placa, generánose n retroceso e ljo (reljo), igra.7. El coeiciente e arrastre por presión se etermina, principalmente, por eperimentación one la relación e aspecto (ancho/alto) e la placa es el parámetro importante jnto con el número e nols. Este número se evalúa en nción e la altra e la placa, h, one a valores maores e, el coeiciente e arrastre es inepeniente el número e nols. Figra.7 Fljo normal sobre na placa plana. Para el caso e la placa plana epesta a n ljo normal, se tiene na gráica qe relaciona el coeiciente e arrastre con la relación e aspecto tenieno h >, igra.8. Figra.8 oeiciente e arrastre sobre na placa plana epesta a n ljo normal. one el número e nols se eine como: h ρh μ Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

17 Departamento e Ingeniería Mecánica Para otros objetos también eisten valores el coeiciente e arrastre, tabla.. Tabla. oeiciente e arrastre para otros objetos, h >. Fljo normal sobre na esera o cilinro: arrastre por ricción presión En el caso e na esera o cilinro en ljo crzao, tanto la ricción como la presión contriben al arrastre total también está relacionao con el número e nols, el cal se eine como: ρ μ Para no ha separación e capa limite sobre la esera la estela es laminar ominano el arrastre por ricción, igra.9. Para este caso, Stokes, emostró analíticamente qe las erzas inerciales son espreciables einió la erza arrastre como. coeiciente e arrastre como F D 3πμ D FD ρa Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

18 Departamento e Ingeniería Mecánica ano se incrementa hasta, el coeiciente ismine ebio a la separación e caa límite el arrastre es na combinación e ricción presión. ano el arrastre por ricción contribe con el 5% el arrastre total: Para el rango cano 3 < < 3 X 5 3 el coeiciente tiene poca variación. Sin embargo, el coeiciente rece abrptamente. Para < X la capa límite es laminar en la parte rontal e la esera la separación ocrre corriente arriba e la sección meia e la estera, con na estela trblenta, relativamente ancha, corriente abajo e la esera. 5 Para > X ocrre la transición en la capa limite (laminar a trblento) sobre la parte rontal e la esera. El pnto e separación se esplaza a la parte posterior e la esera el tamaño e la estela ismine. Para esta conición, la erza e arrastre por presión se rece el coeiciente cae abrptamente. Figra.9 oeiciente e arrastre sobre na esera. -Para eseras lisas, la transición ocrre a -Para eseras rgosas la transición ocrre Para n cilinro en ljo crzao el comportamiento es similar, pero con istintos valores para el coeiciente e arrastre, igra.. Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

19 Departamento e Ingeniería Mecánica Figra. oeiciente e arrastre para n cilinro en ljo crzao Peril aeroinámico a etensión e la región one eiste la separación e ljo, atrás e los cerpos en ljo normal, se pee recir o eliminar al iseñar objetos con orma aeroinámica, igra.. Esta moiicación al objeto rece el graiente e presión averso. Figra. oeiciente e arrastre total en n peril aeroinámico. 5 t Para n 4 el coeiciente e arrastre es e D. 6, one. 5 lo c cal representa n % menos el valor qe se obtiene para n cilinro en ljo crzao. En 93 la NAA (Nacional Avisor omittee or Aeronatics) esarrolló periles aeroinámicos e ljo laminar one la transición en la capa límite se presenta entre el 6% ó 63% e la longit e la cera ese el bore e ataqe (nariz) e peril. Para os periles simétricos e n 5 % e relación e espesor, t/c, igra., la transición en el peril NAA5 se lleva a cabo en /c.3 cerca el pnto e máimo espesor. Por lo tanto, la maor parte el peril tiene na capa límite trblenta con n coeiciente e arrastre e.6. D Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

20 Departamento e Ingeniería Mecánica Figra. oeiciente e arrastre por presión en os periles simétricos. a solción para recir el arrastre sobre el peril, es mover el pnto e máimo espesor, peril NAA66-5, para tener ljo laminar con n graiente e presión avorable, esto es, para. 63, para este peril: D. 35. Estos periles c aeroinámicos se san en el iseño e aviones sbsónicos. Para estos periles, el ljo 6 laminar se mantiene hasta 3. Ferza e levante (sstentación) Esta erza es la componente perpeniclar al área e la spericie ebio a la acción el ljo sobre la spericie. Para evalar la erza se eine n coeiciente e levante: F ρ A p Done A p es el área e proección (máima) el peril. Entonces para n peril aeroinámico los coeicientes e arrastre levante epenen el número e nols ρc c, einio en nción e la longit e cera el peril, el ánglo e ataqe μ α. Este ánglo e ataqe se establece entre la cera el peril el vector velocia e la corriente libre,. os coeicientes e arrastre levante para periles e ljo laminar se presentan en la igra.3, consierano n número e nols e 9 6. Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

21 Departamento e Ingeniería Mecánica Figra.3 oeicientes e arrastre levante en nción el ánglo e ataqe. Si el ánglo e ataqe se incrementa, el coeiciente e levante incrementa hasta alcanzar n valor máimo. Sin embargo, si sige amentano el ánglo e ataqe se proce n ecremento súbito en el coeiciente e levante. En las prebas sobre estos periles, se ientiica la separación el ljo sobre la spericie sperior. Si el ánglo e ataqe se incrementa el pnto e estancamiento se meve hacia atrás a lo largo e la spericie inerior el peril. En el peril aeroinámico, el ljo se acelera en la spericie sperior la presión se rece, propiciano el graiente e presión averso qe provoca la separación el ljo. Esta conición e ljo provoca n cambio súbito en el coeiciente e arrastre representa la transición el ljo en la parte sperior el peril. Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

22 Departamento e Ingeniería Mecánica Para las alas el avión e longit inita (envergara), el coeiciente e levante se rece el coeiciente e arrastre se amenta. El eecto e la envergara inita se representa a través e na razón e aspecto, ar, einia como: ar b A p one b es la longit e la envergara A p es el área e la plataorma (área e proección). Este eecto se mestra en las igras.4.5. Figra.4 Vórtices ormaos para na envergara inita. Figra.5 Eecto e la envergara inita sobre los coeicientes e arrastre levante. a teoría e alas e envergara o alargamiento inito preice qe el ánglo e ataqe amenta e acero a la cantia, Δ α πar provocano n n amento en el coeiciente e arrastre, Δ D Δα πar este término se conoce como arrastre incio. Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios

23 Departamento e Ingeniería Mecánica Entonces para n ala e envergara inita se tiene qe: D D, + Di D, + πar one D, es el coeiciente e arrastre para na envergara ininita. Finalmente se pee establecer qe el arrastre sobre periles aeroinámicos srge e erzas viscosas e presión, one el arrastre viscoso cambia con el número e nols, pero el ánglo e ataqe tiene poca inlencia, igra.6. Figra.6 Arrastre sobre cerpos con sin levante. Para el caso e na ala e avión o el avión completo, na aproimación útil e la relación sstentación-resistencia se obtiene al consierar el arrastre incio one el coeiciente e arrastre se representa como: D D, + D, i D, + πar one D, es el coeiciente e arrastre para sstentación (levante) cero. Para coniciones e velo en estao permanente, la sstentación o levante es igal al peso el avión, por lo tanto, W F ( ρ A) la velocia mínima e velo se obtiene al consierar. Entonces: ma mín W ρ ma A Dr. Armano Gallegos Mñoz Mecánica e Flios