Tema 13. Geometría (II). Producto escalar, vectorial y mixto. Aplicaciones en el espacio.

Transcripción

1 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Tema 3. Geometía II. Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio.. Podcto escala de dos ectoes libes.. Defiició.. Itepetació geomética.3. Epesió aalítica. Podcto ectoial de dos ectoes libes... Defiició.. Itepetació geomética.3. Epesió aalítica 3. Podcto mito de 3 ectoes libes 3.. Defiició 3.. Itepetació geomética 3.3. Epesió aalítica 4. Aplicacioes 4.. Aplicacioes co ectoes 4... Módlo ecto itaio 4... Áglo de dos ectoes. Vectoes pepediclaes Vecto omal a plao diecto de a ecta 4.. Áglo ete elemetos del espacio 4... Áglo ete dos ectas 4... Áglo ete dos plaos Áglo ete plao a ecta 4.3. Distacias ete elemetos del espacio Distacia ete dos ptos Distacia de pto a a ecta Distacia de pto a plao Distacia de a ecta a plao Distacia ete dos plaos Distacia ete dos ectas 4.4. Poeccioes Poecció de pto sobe plao Poecció de pto sobe a ecta Poecció de a ecta sobe plao 4.5. Elemetos siméticos Simético de pto especto a oto pto Simético de pto especto a plao Simético de pto especto a a ecta Simético de a ecta especto a plao 4.6. Rectas qe se apoa sobe otas dos ectas Se apoa e las dos ectas pasa po oto pto Se apoa e las dos ectas paalela a ota ecta 4.7. Cálclo de áeas olúmees Áea del paalelogamo del tiáglo Volme del paalelepípedo el tetaedo. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com

2 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio.. Podcto escala de dos ectoes... Defiició El cso ateio se estdió a la defiició de podcto escala paa ectoes e el plao este cso la etedeemos al espacio si la tecea coodeada de los ectoes es la podemos paticlaia al podcto escala e el plao. Defiició: El podcto escala de dos ectoes libes es úmeo eal escala defiido como: cos dode: - so los módlos de los ectoes - cos es el coseo del áglo qe foma los ectoes si se aplica desde el mismo pto Si ecedas e física el tabajo ealiado al desplaa a masa es igal al podcto escala de la fea el desplaamieto W F d F dcos α El áglo qe foma dos ectoes es el qe a del pimeo al segdo e el setido hoaio Popiedades del podcto escala de dos ectoes: - El podcto escala de ecto po si mismo es igal al cadado del módlo: cos cos0 - El podcto escala es comtatio pes cos cos pes 360º- el coseo cmple cosαcos360-α - El podcto escala es distibtio especto a la sma de ectoes: - El podcto escala de dos ectoes es lo si sólo si so pepediclaes o algo de los ectoes es ceo: 0 90º ó 70º ó 0 /o 0 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com

3 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio... Itepetació geomética del podcto escala Se pede elacioa geométicamete el podcto escala de dos ectoes co la poecció de ecto sobe el oto: po po dode : - po es el alo de la poecció de sobe - po es el alo de la poecció de sobe Demostació: P po Q po PQ cos mltiplicado cos po.3. Epesió aalítica del podcto escala. A pati de la popiedad distibtia del podcto escala del podcto escala de los ectoes itaios podemos obtee la epesió aalítica del podcto escala de dos ectoes calesqiea. Veamos pimeo el podcto escala de los ectoes itaios: i i cos0 j j cos0 k k cos0 i j j i i k k i j k k j cos90 0 De esta maea el podcto de dos ectoes defiido aalíticamete como: iee Demostació: i j k i j k i i j k j i j k k i j k Ejemplos: so pepediclaes cosα α cos 3 5 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 3

4 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio.. Podcto ectoial de dos ectoes.. Defiició Defiició: el podcto ectoial de dos ectoes libes es oto ecto qe desigaemos como qe se defie a pati de las sigietes popiedades: - módlo se - diecció la pepedicla simltáeamete a - setido el de aace a deechas de sacacochos giado de a * * Setido del podcto ectoial Popiedades del podcto ectoial: - El podcto ectoial es aticomtatio. El módlo la diecció o cambia peo el setido es el opestoe egla sacacochos. - El podcto ectoial es distibtio co la sma: - El podcto ectoial es lo siempe qe se cmple a de las dos sigietes codicioes: a o de los dos ectoes o los dos so los b so ectoes paalelos 0º a qe se00 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 4

5 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio... Itepetació geomética del podcto ectoial Sea dos ectoes co oige comú. Si tasladamos el ecto sobe el etemo de el de sobe el etemo de se foma paalelogamo e figa h se El áea del paalelogamo es h siedo h se. Así el áea del paalelogamo es igal al módlo del podcto ectoial de los dos ectoes qe lo foma a se.3. Epesió aalítica del podcto ectoial Paa calcla la epesió aalítica del podcto ectoial eamos el podcto ectoial de los ectoes itaios: k i j k j i k j k i k j i k k i j i k j i j i j A pati de estos podctos ectoiales la popiedad distibtia podemos calcla de foma secilla el podcto ectoial de dos ectoes i j k i j k 0 k - j - - k 0 i j - i 0 - i - j - k Se pede calcla fácilmete a pati del sigiete detemiate: i j k Ejemplo: 0 0 i 0 j k 0 i j k Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 5

6 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. 3. Podcto Mito de 3 ectoes. 3.. Defiició El podcto mito de tes ectoes es alo méico defiido a pati del podcto ectoial escala. Defiició: el podcto mito de 3 ectoes qe se desiga como [ ] se obtiee del podcto escala del pime ecto po el ecto esltate de mltiplica ectoialmete los otos dos ectoes: [ ] Popiedades del podcto mito: - Si pemtamos dos ectoes del podcto mito este cambia de sigo: -[ ] [ ] [ ] [ ] - El podcto mito es distibtio especto a la sma de ectoes: [ ' ][ ] [ ' ] - [ ] 0 si algú ecto es lo o so coplaaios liealmete depedietes. 3.. Itepetació geomética del podcto mito. Cosideemos los tes ectoes aplicados sobe el mismo oige foma paalelepípedo co ss poeccioes. Se cmple qe el olme del paalelepípedo es igal al alo absolto del podcto mito de los tes ectoes qe lo foma V paalelepipedo aea baseh cos [ ] h 3.3. Epesió aalítica del podcto mito Aplicado la epesió aalítica del podcto ectoial escala de los apatados ateioes es fácil e como el podcto mito se pede poe a pati del sigiete detemiate: [ ] Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 6

7 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 7 Ejemplo: [0--000] so coplaaios es deci liealmete depedietes. Ejecicios: pag 48 a b c 44'' 40' 0º cos cos 7'' 4' 33º cos cos ' 9º7'7' cos cos. pag ; cos cos cos 30 cos 30 solcioes Dos Ec Ec Ec

8 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. 4. pag 48 a 3 k-kk k k k 4k k k 6k 3 k 6 b : 96 Ec 0 Ec Ec ± i j k Ota foma más secilla k k k c k 0 Ec 3-59 Ec -3-4 Ec 3 Resoliedo el sistema -30 k ±4 96 k 89. pag i j k 3 7i 7 j 7k i 7 3 i j k i 3 i j 7k 3 j 7 j 3 k 7 7i 4 j 7k 3 k 7 0i 3 j 9k Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 8

9 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 9. pag 74 Es el podcto mito [ ] pag cos 0cos cos 0 se se 4. Aplicacioes 4.. Aplicacioes co ectoes 4... Módlo ecto itaio A pati del podcto escala es fácil calcla el módlo el ecto itaio de dicho ecto. Módlo: Po oto el ecto itaio de ecto es oto ecto co misma diecció setido peo co módlo idad. Paa calclalo se diide el ecto po s módlo: 4.. Áglo de dos ectoes A pati del podcto escala o del módlo del podcto ectoial es fácil calcla el áglo qe foma dos ectoes: cos se Lego si dos ectoes so pepediclaes se cmple: - 0 -

10 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio Vecto omal a plao diecto de a ecta Dado plao e ecació geeal :ABCD0 demostemos lo dicho e el tema ateio qe el ecto ABC es pepedicla al plao : Sea P A B C D0 Sea P A B C D0 Restado - A - B - C - 0 Podemos epesa esta igaldad a pati del sigiete podcto escala del ecto ABC el ecto P P coteido e el plao: ABC P P lego es ecto pepedicla a calqie ecto coteido e el plao lego es pepedicla a. itesecció de dos plaos : : A B A B C C D D 0 0 Sea la ecta dada como Se cmple qe la ecta coteida e lego el ecto diecto de la ecta es pepedicla a lego se pede epesa como el podcto ectoial de : i j k A B C Ejemplo: A 3 3 P P B C 3 : 4.. Áglo ete los elemetos del espacio i j k 5i 5 j Áglos ete dos ectas. Sea dos ectas cos ectoes diectoes so el áglo qe foma estas dos ectas es el mismo qe foma ss ectoes diectoes: cos Casos: a ectas pepediclaes 0 b ectas paalelas λ 4.. Áglos ete dos plaos. 5 k Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 0

11 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com Sea dos plaos cos ectoes omales so espectiamete. Si llamamos α al áglo ete los dos ectoes omales el áglo qe foma los dos plaos es 80º-α. cos 80º 80º Casos: a plaos pepediclaes: 0 b plaos paalelos: λ 4..3 Áglos ete a ecta plao. Sea a ecta co ecto diecto plao co ecto omal. Si llamamos α el áglo qe foma. El áglo qe foma la ecta el plao seá 90º-α: cos 90º 90º Ejecicio 6 pag 48 α 90-α

12 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Ejecicio 7 pag 48 Ejecicio 8 pag Distacia ete los elemetos del espacio Distacia ete dos ptos La distacia ete dos ptos P Q del espacio es igal al módlo del ecto PQ es deci: dpq Distacia ete pto a ecta La distacia de pto P a ecta co ecto diecto Q pto peteeciete a es la míima distacia ete P la ecta. Ha dos fomas de obtee la distacia ete P PQ a dp b dp PQ po PQ PQ PQ Demostació: Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com

13 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. a P PQ h a paalelogamo baseh dp PQ despejado: dp PQ Q b P PQ h dph Po el teoema de Pitágoas: PQ po PQ Q po PQ Distacia ete pto plao La distacia ete pto P plao co ecto omal A B C pto del plao Q es la meo distacia qe eiste ete este pto el plao. S alo méico es: PQ A0 B0 C0 D d P po PQ A B C Demostació PQ A - 0 B - 0 C - 0 A B C -A 0 -B 0 -C 0 -D-A 0 -B 0 -C 0 a qe A B C -D al peteece P al plao. Q po PQ P Distacia ete a ecta plao Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 3

14 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Paa calcla la distacia ete a ecta co ecto diecto pto P plao co ecto omal A B C pto Q pimeo teemos qe compoba la posició elatia ete ambos. Así segú sea esta: a Se cota d0 b Recta coteida e el plao d0 c So paalelas d d P po PQ PQ A 0 B A 0 B C 0 C D Distacia ete dos plaos Paa estdia la distacia ete dos plaos pimeo se tiee qe estdia la posició elatia de ambas. Así distigimos: A Si los plaos se cota o so el mismo d 0 B Si so paalelos d'dp dq dode P es pto de Q de Distacia ete ectas Paa estdia la distacia ete dos ectas P s s Q pimeo se tiee qe estdia la posició elatia de ambas. Así distigimos: A Rectas qe se cota ds0 B Rectas paalelas dsdpsdq dode P es pto de Q de s. C Rectas qe se ca: el pocedimieto a segi es el sigiete: hallamos el plao qe cotiee a la ecta es paalela a s. La distacia ete las dos ectas es la misma qe la distacia de s al plao es deci la distacia ete pto de la ecta s el plao. PQ d s d s d Q s PQ s [ PQ s ] s Q ds s Ejecicio 3 pag 76 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 4

15 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Ejecicio 9 pag 75 Ejecicio 9 págia 76 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 5

16 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Ejecicio 30 págia 76 Ejecicio 33 págia 76 Ejecicio 39 págia 76 Ejecicio 45 págia 76 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 6

17 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Ejecicio: Calcla la distacia ete el plao : 3-30 : Poeccioes 4.4. Poecció de pto sobe plao La poecció de pto P sobe plao es el pto M sitado e el plao a meo distacia de P. Calclado este pto podemos calcla la distacia ete el plao el pto como la distacia ete P s poecció M. El pto M es tal qe la ecta qe pasa po P M es otogoal al plao. Así obtedemos M como itesecció del plao co la ecta otogoal a qe pasa po P. Pasos paa obtee M:. Calclamos ecta pepedicla a ecto diecto A B C qe pasa po P. Calclamos itesecció del plao co la ecta obteida e. P M 4.4. Poecció de pto sobe a ecta La poecció de pto P sobe a ecta es el pto M sitado e la misma ecta a meo distacia de P. Calclado este pto podemos calcla la distacia ete la ecta el pto como la distacia ete P s poecció M. Pasos paa obtee M:. Calclamos el plao pepedicla a ecto omal qe pasa po P. Calclamos itesecció de la ecta el plao obteido e. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 7

18 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. P M Poecció de a ecta sobe plao La poecció de a ecta ecto diecto pto P sobe plao ecto omal pto Q es ota ecta s sitada e el plao tal qe la poecció de calqie pto de sobe se eceta e s. Dos fomas de obtee la poecció: a Dos pasos:. Obteemos la poecció de dos ptos de P P sobe M M. Calclamos la ecta qe pasa po M M. b Dos pasos:. Hallamos el plao qe pasa po es pepedicla a. Dos ectoes diectoes del plao so el ecto omal del plao ABC. U pto del plao es el pto P de la ecta. La poecció s es la ecta itesecció ete los dos plao P P M M s Ejecicio 6 pag 49 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 8

19 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio Elemetos siméticos Simético de pto especto a oto pto. El simético de pto PP P P especto a plao es oto pto MM M M es oto pto P tal qe M es el pto medio del segmeto PP. Se cmple etoces: P M P M P M P M P M P M P d P d M P Simético de pto especto a plao. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 9

20 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. El simético de pto P sobe plao es oto pto P tal qe se cmple qe los dos ptos eqidista del plao la ecta qe pasa po P P pepedicla a. Paa calcla P dos pasos: Paso : calclamos M la poecció de P sobe. Paso : El simético P es el pto simético de P especto M. P M Simético de pto especto a a ecta. El simético de pto P sobe a ecta es oto pto P tal qe se cmple qe los dos ptos eqidista de la ecta la ecta qe pasa po P P cota es pepedicla a. Paa calcla P dos pasos: Paso : calclamos M la poecció de P sobe. Paso : El simético P es el pto simético de P especto a M. P P M Simético de a ecta especto a plao. Sea a ecta plao el simético de la ecta sobe el plao es ota ecta qe es la qe se eía eflejada e el plao si este fea espejo. Paa obteela dos pasos. Paso : tomamos dos ptos de P P calclamos ss siméticos especto P P. Si o de los ptos qe tomamos es el pto de itesecció de la ecta el plao siempe qe se cote s simético es el mismo. Paso : la ecta bscada es la qe cotiee a P P P Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 0

21 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. P P P P M s M M s M P P P P Ejecicio 35 pag 5 Ejecicio 36 pag 5 Ejecicio 40 pag 5 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com

22 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio Rectas qe se apoa e otas ectas Se apoa e las dos ectas pasa po oto pto Dadas dos ectas pto dado P bscamos ota ecta s qe cote a estas dos ectas se apoe qe pase po el pto P. Paa obtee la ecta s teemos qe tilia el sigiete pocedimieto aalítico e 3 pasos: Paso : Hallamos el plao qe cotiee a a P Paso : Hallamos el plao qe cotiee a a P Paso 3: La ecta bscada es la itesecció de. s P Se apoa e las dos ectas paalela a ota dada Bscamos a ecta s tal qe cote otas dos dadas qe sea paalela a ota co ecto diecto. Paa obteela saemos el sigiete pocedimieto geomético co 3 pasos: Paso : Hallamos el plao qe cotiee a la ecta ecto diecto. Paso : Hallamos el plao qe cotiee a la ecta ecto diecto. Paso 3: La ecta s bscada es la itesecció de Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com

23 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. s Ejemplo: detemia la ecació de la ecta qe se apoa e las ectas: pasa po P- 3 3 Paso : calclo del plao qe se apoa e pasa po P: el ecto 3 es diecto del plao además pasa po los ptos P- po calqiea de la ecta e coceto po Q 0-. Co estos dos ptos fomamos oto ecto diecto del plao PQ 0 geeal es: 3 3. Tomado Q como pto del plao la ecació del plao e epesió 0 0 : Paso : calclo del plao qe se apoa e pasa po P: pasa po los ptos P- po calqiea de la ecta po ejemplo Q 0 además tiee ecto diecto 3.El oto ecto diecto seá Q P 30. La ecació de es: : Paso 3: s es la itesecció de s: Cálclo de áeas olúmees Áeas del tiáglo del paalelogamo El áea de paalelogamo de lados o paalelos podcto ectoial defiido como: A paalelogamo como imos e el Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 3

24 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. El áea de tiáglo cos dos lados cotigos defiidos po los ectoes seá igal a la mitad del áea del paalelogamo cos lados o paalelos defiidos po los mismos ectoes. A tiáglo Volme del paalelepípedo del tetaedo. Como imos e la itepetació del podcto mito de 3 ectoes el olme de paalelepípedo de aistas cocetes e mismo étice es: V paalelpípedo [ ] U paalelepípedo pede descompoese e 6 tetaedos piámides de base tiagla igales así qe el olme de tetaedo de aistas cocete e mismo étice es: V tetaedo [ ] 6 Ejecicio 8 pag 74 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 4

25 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Ejecicio 0 pag 74 Ejecicio 38 pag 76 Jio 004. Peba A PR-. Ejecicios de la P.A.U. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 5

26 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. C-4 Jio 004. Peba B C-3. Septiembe 004. Peba A PR-. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 6

27 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. C-: Septiembe 004. Peba B C-: Septiembe de 005. Peba A. PR-: Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 7

28 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. C-3: Septiembe de 005. Peba B. C-4: Jio de 005. Peba A. C-: Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 8

29 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. PR-: C-: Jio de 006. Peba A. PR-: Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 9

30 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. C- Septiembe de 006. Peba A. PR-. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 30

31 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. C-. Septiembe de 006. Peba B. C-4 Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 3

32 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Otos ejecicios Ejecicio 9 pag 48 dp 4 Ejecicio 0 pag 48 a : -30 b :0 c :λ-λ0 d :0 Ejecicio pag 49 La ecta qe pasa po los dos ptos es :-λλλ Todo pto de cmple qe ss coodeadas so -λλλ. La distacia de C- a todo pto de la ecta es: d λ 3 λ λ 3. Opeado λ/ λ/6 Los ptos so etoces P0 Q-/3/34/3 Ejecicio 5 pag 49 a agm agm*3 los plaos se cota dos a dos. / 3 / 3 b la ecta e foma cotia es : el 3 simético es P -8/4/-/ c M/6/3-/6 Ejecicio pag 49 el pto más póimo es la poecció de P0 qe es M-3 Ejecicio 3 pag 49 El pto bscado es la itesecció de la ecta dada co el plao mediati del segmeto OA qe pasa po el pto medio de ambos pepedicla a OA este plao tiee ecació : La itesecció co la ecta es deci el pto eqidistate es 375 Ejecicio 4 pag 50 es el cojto de ptos del plao mediati es deci pasa po el pto medio de ambos pepedicla a ambos este plao es : Ejecicio 8 pag 50 a :7-50 b la ecta tiee ecto diecto 357 el ecto omal del plao es 0 6. Como o so pepediclaes etoces la ecta o eiste. c : Ejecicio 30 pag 50 : Ejecicio pag 74 A500; B0-0; C000. Áea tetaedo sma de las áeas de los 4 tiáglos: aeaabc 3000 áeaabo5 ; aeaaco5 aeabco0 Ejecicio pag 74 plao qe cotiee tiáglo :-30. Áglos A ˆ 58º 4' 4'' Bˆ 5º ' 356'' Cˆ 83º 47' 47'' Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 3

33 Uidad 3. Geometía II.Podcto escala ectoial mito. Aplicacioes e el espacio. Ejecicio 6 pag 74 Tes posibilidades eamos el alode a si el áglo de 90º es 7 ± el del étice A CA CB 0 a. Si a aeaabc3639 si 7 3 a aeaabc887. Ejecicio 36 pag 76 El plao pasa po el pto medio es pepedicla al ecto PQ 60-6 : --0 Ejecicio 37 pag 76 a b : 0 Ejecicio 4 pag 77 sea R pto geéico de la ecta Rλ0paa qe sea étice el lado PR pepedicla a al PQ o QR pepedicla a PQ lego: PR PQ 0 λ R0 el oto étice es T0 QR PQ 0 λ- R-0 el oto étice es T--0 b debe de se paalelas. Tema elaboado po José Lis Loete Aagó loetejl@gmail.com 33