Tema 52. Producto escalar de vectores. Producto vectorial y mixto. Aplicaciones: resolución problemas físicos y geométricos
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- Antonio Blanco Río
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1 TEMA 5.Podcto escala de ectoes. Podcto ectoial mito. Resolció poblemas físicos geométicos Tema 5. Podcto escala de ectoes. Podcto ectoial mito. Aplicacioes: esolció poblemas físicos geométicos. Itodcció. Cambio coceptal de la geometía co Descates Femat (S XVII. Aitmetiació de la geometía. Utiliació del podcto escala ectoial e poblemas físicos e S XVI XVII ` Defiició aiomática de los podctos escalaes ectoial e s XIX (Cato.. Defiicioes peias. Espacio afí: tea A(Π, V, ϕ dode se cmple Π es cojto o acio de elemetos deomiados ptos; V espacio ectoial ϕ a aplicació qe elacioa ectoes co ptos. Co popiedades: ϕ(p,q PQ ϕ(p,q+ ϕ(q,r ϕ(p,r P Π V etoces Q Π: tal qe ϕ(p,q Ejemplos: plao afí A (Π, R, ϕ espacio afí A 3 (Π 3, R 3, ϕ. 3. Podcto escala. Espacio Eclideo. 3. Defiició ejemplos. Podcto escala: aplicació, f, qe actúa sobe VV paa llea al cepo R. Aioma (Comtatia: Aioma (defiida positio: > si Aioma 3 (distibtia: ( + + Aioma 4 (distibtio co el podcto escala: ( α α ( Otas popiedades a pati de la defiició: ( + +. α α. ( (.. Ejemplos: E V R i i i E Vf[a,b] cojto de fcioes cotias f( g( b f ( g( d. a A todo espacio afí A(Π, V, ϕ co podcto escala defiido se deomia Espacio Eclídeo. 3.. Noma de ecto. Distacia ete ptos. Noma de V: aplicació qe os elacioa ecto de V co el cepo: Popiedades: Elaboado po Jose Lis Loete Aagó (loetejl@gmail.com
2 TEMA 5.Podcto escala de ectoes. Podcto ectoial mito. Resolció poblemas físicos geométicos : λ λ + + Distacia ptos: a aplicació qe os elacioa estos dos ptos co el cepo. d(p,q d(p,q P Q d(p,qd(q,p d(p,q d(p,r+d(r,q Ejemplos: E R : i i ; e f[a,b] : f( f( d. espacio ectoial qe tega a aplicació oma se deomia espacio omado. Vectoes co oma idad se llama itaios. Poposició: es posible costi espacio co base co ectoes itaios. 3.3.Otogoalidad áglo ete ectoes. Dos ectoes V otogoales,, si s podcto escala es (. Áglo ete dos ectoes: cos( 3.3.Podcto escala e R R. b a Vectoes otoomales: e e e cos( e, e cos( si i j i j i j i j cos(9 sii j e e e e (, (, e + e e + e + e e e e ( ( ( Noma: + Áglo: cos (, 4. Podcto Vectoial. 4.. Defiició. Catetoopesto hipotesa Oietació: dos bases misma oietació si detemiate cambio base es positio. Podcto ectoial (sólo e 3 dimesioes: : se( ( ( La oietació de (, es la misma qe la base { e, e, e3} Elaboado po Jose Lis Loete Aagó (loetejl@gmail.com
3 TEMA 5.Podcto escala de ectoes. Podcto ectoial mito. Resolció poblemas físicos geométicos 3 Popiedades: ( + + λ λ λ ( ( ( 4.. Epesió aalítica e R 3 del podcto ectoial. Base otoomal { e, e, e}. Se fija la oietació. Regla mao deecha e iqieda. ( e e ( e e (3 e e e e e e, e, e3 Itepetació geomética: el módlo del podcto ectoial es el áea del paalelogamo qe geea. 5. Podcto Mito. Defiició: [,, ] (, ] ( [, cos( se(, (cos( Itepetació geomética: el alo absolto del podcto mito es el olme del paalelepípedo qe foma los tes ectoes. Valo aalítico: [,, ] Popiedades: [,, ] {,, } so liealmete idepedietes. [,, ] [, ] [,, ] - [, ] [, ] [,, ] [ λ,, ][, λ, ][,, λ ]λ [,, ] [ + ',, ][,, ]+[ ',, ] 6. Aplicacioes, esolció de poblemas geométicos físicos. 6.. Aplicacioes a poblemas geométicos. Distacia: Ete ptos P Q : d(p,q PQ ( P Q + ( P Q + ( P Q Pto ecta: PQ PQ Elaboado po Jose Lis Loete Aagó (loetejl@gmail.com
4 TEMA 5.Podcto escala de ectoes. Podcto ectoial mito. Resolció poblemas físicos geométicos 4 Pto ecta: d(p, PQ Rectas qe se ca: Cálclo de áglos: ( (ˆ, d(, s cos ( s ( AB Dos ectas:, s cos Dos plaos:,, cos Recta plao:, 9 P P P s, 9cos se Ecació del plao: A+ B+ C+ D 6.. Tigoometía. Áea de tiáglo: Aea ABC AB a b + c bc cos( A Teoema del coseo: b a + c bc cos( B a a b+ c b+ c c a + b bc cos( C se ( A se( B se( C Teoema del seo: Demostació po el áea. a b c BC Dem: ( ( 6.3. Física. Tabajo de a fea: W F d Fd cos( α Moimieto cicla: L p m Electomagetismo: Vecto de Poitig (fljo de eegía: S E H Fea de Loet: F q ( H Teoema de Gass paa el cálclo del campo eléctico: EdS sp q ec ε Teoema de Ampee paa el cálclo de campo magético: B dl I ec µ 7. Coclsioes. Coteto co secdaia bachilleato: Podcto escala e R e 4º de la ESO e Matemáticas I º Bachilleato. Elaboado po Jose Lis Loete Aagó (loetejl@gmail.com
5 TEMA 5.Podcto escala de ectoes. Podcto ectoial mito. Resolció poblemas físicos geométicos 5 Podcto escala e R 3, podcto ectoial mito e Matemáticas II º Bachilleato Elaboado po Jose Lis Loete Aagó (loetejl@gmail.com
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Nombe: Cuso: º Bachilleato B Examen I Fecha: 5 de febeo de 08 Segunda Evaluación Atención: La no explicación claa y concisa de cada ejecicio implica una penalización del 5% de la nota.- (,5 puntos) Halla
ECUACIONES DE LA RECTA
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos
Tema 5 Modos de convergencias de sucesiones de variables aleatorias
Tema 5 Modos de covegecias de sucesioes de vaiables aleatoias Itoducció Cuado se cosidea sucesioes y seies de vaiables aleatoias, es deci, sucesioes y seies de fucioes medibles, su covegecia puede se cosideada
Tema 6 Puntos, rectas y planos en el espacio
Tema 6 Puntos, ectas planos en el espacio. Punto medio. Los puntos A (,, ) B (-,, -) son vétices de un paalelogamo cuo cento es el punto M (,, ). Halla Los otos dos vétices las ecuaciones del lado AB.
Veamos cuáles son las interpretaciones geométricas para los distintos valores de n, que definirán la dimensión de los espacios vectoriales.
Pof. Adea Campillo Aálisis Matemático II Topología elemetal Recodemos cómo se defie u etoo de ceto R adio E = { R / < } Sabemos que ( R : < < < < < Esfea abieta e R Si geealizamos el cocepto de etoo e
IV. Geometría plana. v v2 2. u v = u v cos α
Talle de Matemáticas 16 IV. Geometía plana IR 2 = {(x, y)/x, y IR} puede identificase con el espacio de vectoes libes del plano utilizando la base canónica: v =(v 1,v 2 )=v 1 (1, 0) + v 2 (0, 1) = v 1
a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Calcular las distancias entre ellas. c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas.
º-Halla a y b paa que las ectas siguientes sean paalelas: x+ay - z s 4x y +6 z a ; b- x+y +bz º-Dadas las ectas de ecuaciones x z - y - (x, y,z) (,0,)+ (,,-) a) Estudia su posición elativa en el espacio.
TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS
Depatamento e Matemática º Bachilleato TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS 1- HAZ DE PLANOS PARALELOS Too lo plano paalelo a un plano Ax + By + Cz + D tenán el mimo vecto nomal que el e : n A, Po lo tanto, too
3) (1p) Estudia la posición relativa de recta y plano.
CURSO 007-008. 16 de mayo de 008. 1) (1p) Si A(x 1,y 1,z 1 ) y B(x,y,z ) son dos puntos del espacio, demuesta que [AB ]=(x -x 1,y -y 1,z -z 1 ). ) (1p) Deduce la ecuación vectoial de la ecta. ) (1p) Estudia
TEMA 10 :VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 0 :VECTORES EN EL ESPACIO. Coodenadas de un unto en el esacio Vamos a estudia el esacio R. Sus elementos son untos ue eesentaemos mediante tes coodenadas. Paa ello necesitamos fija un sistema de efeencia
z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u
Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos ( a, a ) y ( ) uuu uuu vecto son: = ( b a, b a, b a
TEOREMAS DE ESPACIO VECTORIAL
TEOEMAS DE ESPACIO ECTOIAL 1.-Sea u ojuto o vaío y se ( k,, ) u ampo. Se die que es u espaio vetoial sobe k si está defiidas dos leyes de omposiió, llamadas adiió y multipliaió po ua esala, tales que:
Matemáticas 4º ESO Fernando Barroso Lorenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA. r r
Fenando Baoso Loenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. Dados los vectoes cuyas coodenadas son u = ( 10, 2) y v = (13, 2), calcula el módulo u 43 u 298621 del vecto esultante de la siguiente combinación lineal w =
Facultad de Ciencias Curso Grado de Óptica y Optometría SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO
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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PROUTO ESLR a b a1 b1 + a b + a b (uando sepamos las coodenadas de a y b). a b a b cosx (uando queamos halla el ángulo que foman a y b). uando los vectoes son pependiculaes su
FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
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Ecuaciones de una recta
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