UNIDAD 6 La semejanza y sus aplicaciones

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1 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Pág. 1 de 4 1 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en la figura. alcula su volumen. 18 cm 20 cm 10 cm yuda V Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la que se obtiene el tronco. Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor V', y de la menor, V: 20 cm 10 cm D 10 = = = ' ' 18 cm D' ' ' '' = = ' ' = ' 18 ' Por la semejanza de los triángulos V y ''V' se verifica: V 'V = '' 8 btén V y 'V. on el teorema de Pitágoras, halla las alturas V y V'. Volumen del tronco = V pirámide mayor V pirámide menor = V ' V =

2 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Pág. 2 de 4 2 Queremos hacer un sombrero de cartulina en forma de cono que cubra la sexta parte de la superficie de una esfera de radio 6 cm. alcula la cantidad de cartulina que necesitaremos. yuda d h r Hallamos la superficie del casquete que cubre el cono: 6 h 6 S casquete = 1 6 S esfera = 1 6 4π 2 = 24π cm 2 on la superficie del casquete hallamos su altura h: 2πh = 24π 8 h = En el triángulo rectángulo calculamos r, radio del cono: r 2 = r = Justifica que el triángulo es rectángulo y aplica en él el teorema de la altura para hallar d: r 2 = (6 h)(d + h) Sustituye r y h y obtén d. Halla la generatriz del cono en cualquiera de los triángulos o. Superficie lateral del cono: πrg =

3 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Pág. 3 de 4 3 Una pieza mecánica está formada por un cilindro y dos conos encajados en una esfera de radio 10 cm. alcula el volumen de la pieza en la que el radio del cilindro es 8 cm. ' 8 yuda Hay que hallar la altura de los conos y del cilindro. bserva el triángulo rectángulo y aplica el teorema de la altura. ' 4 Hemos llenado tres copas idénticas de forma distinta, tal como indica la figura. Si el volumen del líquido que contiene la primera es V, cuál será el volumen de líquido en las otras dos? r 1 3h 2h r 2 h yuda El volumen total es V = 1 3 π 2 3h = π 2 h Utiliza la semejanza de triángulos para hallar r 1 y r 2 en función de.

4 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Pág. 4 de 4 5 En un cono de radio 5 cm y altura 12 cm se inscribe una esfera. alcula su radio. P 5 cm yuda Los triángulos y P son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el ì. Por semejanza: alcula. Hipotenusa de P Hipotenusa de Ten en cuenta que =. = ateto menor de P ateto menor de

5 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Soluciones Pág. 1 de 4 1 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en la figura. alcula su volumen. 18 cm 20 cm 10 cm yuda V Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la que se obtiene el tronco. Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor V', y de la menor, V: 20 cm 10 cm D 10 = = = ' ' 18 cm D' ' ' '' = = ' ' = ' 18 ' Por la semejanza de los triángulos V y ''V' se verifica: V 'V = '' 8 btén V y 'V. on el teorema de Pitágoras, halla las alturas V y V'. Volumen del tronco = V pirámide mayor V pirámide menor = V ' V = = 5 2 cm; '' = 9 2 cm; V= 25 cm; 'V = 45 cm; V 23,98 cm; V' 43,16 cm V = 3 861,95 cm 3

6 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Soluciones Pág. 2 de 4 2 Queremos hacer un sombrero de cartulina en forma de cono que cubra la sexta parte de la superficie de una esfera de radio 6 cm. alcula la cantidad de cartulina que necesitaremos. yuda d h r Hallamos la superficie del casquete que cubre el cono: 6 h 6 S casquete = 1 6 S esfera = 1 6 4π 2 = 24π cm 2 on la superficie del casquete hallamos su altura h: 2πh = 24π 8 h = En el triángulo rectángulo calculamos r, radio del cono: r 2 = r = Justifica que el triángulo es rectángulo y aplica en él el teorema de la altura para hallar d: r 2 = (6 h)(d + h) Sustituye r y h y obtén d. Halla la generatriz del cono en cualquiera de los triángulos o. Superficie lateral del cono: πrg = h = 2 cm; r = 20 cm El triángulo es rectángulo ya que la tangente a la esfera desde,, es perpendicular al radio en el punto de tangencia. d = 3 cm 8 g = 45 = 6,71 cm lateral = 94,25 cm 2

7 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Soluciones Pág. 3 de 4 3 Una pieza mecánica está formada por un cilindro y dos conos encajados en una esfera de radio 10 cm. alcula el volumen de la pieza en la que el radio del cilindro es 8 cm. ' 8 yuda Hay que hallar la altura de los conos y del cilindro. bserva el triángulo rectángulo y aplica el teorema de la altura. ' x 2 20x + 64 = 0; ' = 4 cm; '' = 12 cm V = 2( π ) + π = 2 948,91 cm 3 4 Hemos llenado tres copas idénticas de forma distinta, tal como indica la figura. Si el volumen del líquido que contiene la primera es V, cuál será el volumen de líquido en las otras dos? r 1 3h 2h r 2 h yuda El volumen total es V = 1 3 π 2 3h = π 2 h Utiliza la semejanza de triángulos para hallar r 1 y r 2 en función de. r 1 = 2 3 ; r 2 = V 1 = 8 27 V; V 2 = 1 27 V

8 UNIDD 6 La semejanza y sus aplicaciones 7. yuda a la resolución de problemas: Soluciones Pág. 4 de 4 5 En un cono de radio 5 cm y altura 12 cm se inscribe una esfera. alcula su radio. P 5 cm yuda Los triángulos y P son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el ì. Por semejanza: alcula. Hipotenusa de P Hipotenusa de Ten en cuenta que =. = ateto menor de P ateto menor de = 5 8 = 3, ) 3 cm