UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA MÁQUINAS SÍNCRONAS: OSCILACIONES PENDULARES. ESTABILIDAD DINÁMICA

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1 UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA ÁQUINAS SÍNCRONAS: OSCILACIONES PENDULARES. ESTABILIDAD DINÁICA iguel Angel Roríguez Pozueta

2 OSCILACIONES PENDULARES. ESTABILIDAD DINÁICA. INTRODUCCIÓN Existen mucas situaciones en las que en una máquina síncrona se proucen oscilaciones penulares; es ecir, un movimiento oscilante el rotor alreeor e un punto e equilibrio que se superpone a su movimiento e giro a velocia constante e sincronismo. Es sabio que cuano una máquina síncrona está acoplaa a una re e potencia infinita, las variaciones el ángulo e par δ se manifiestan como movimientos físicos el rotor superpuestos al movimiento e giro a la velocia e sincronismo. Así pues, supóngase una máquina síncrona en re e potencia infinita y funcionano en régimen estable en un punto e equilibrio con un ángulo e par ao. Si se prouce un cambio brusco e su estao (por ejemplo, por variación rápia el par o e la corriente e excitación) que la lleve a un nuevo punto e equilibrio con un nuevo valor el ángulo e par, la transición e un estao a otro no será irecta. En efecto, se proucirán una serie e oscilaciones penulares alreeor el nuevo punto e equilibrio (superpuestas al movimiento e giro a velocia e sincronismo) que se irán amortiguano con el tiempo asta que, finalmente, la máquina alcance el nuevo equilibrio. De forma análoga, supóngase aora una máquina síncrona en re e potencia infinita funcionano en un punto e equilibrio estable y que se prouce una perturbación transitoria que, temporalmente, la aparta el punto e equilibrio. Cuano la perturbación esaparezca la máquina volverá al punto e equilibrio realizano unas oscilaciones penulares alreeor el mismo que se amortiguan con el tiempo. Este tipo e oscilaciones penulares escritas asta aora y que se proucen en máquinas conectaas a una re e potencia infinita se enominan oscilaciones libres. Estas oscilaciones se eben a la existencia e un par sincronizante (véase el apartao one se analizó la estabilia estática) que tiene a llevar el rotor a la posición e equilibrio y que es similar al par elástico e un resorte. Inepenientemente e que la máquina funcione aislaa o en re, ay ocasiones en las que el par el motor que la mueve, si funciona como generaor, o e la carga mecánica que ebe accionar, si funciona como motor, no es constante sino que varía perióicamente en el tiempo. Esto sucee en los motores e explosión (e gasolina o Diesel) o en los compresores y bombas alternativos. Este par perióico provoca la aparición e unas oscilaciones penulares enominaas oscilaciones forzaas. Si las oscilaciones penulares, tanto libres como forzaas, son lo suficientemente granes puee suceer que no se amortigüen y provoquen un aumento continuao el ángulo e par. Esto a lugar a que la máquina piera el sincronismo (no puea mantener la velocia e sincronismo). Esta situación ebe evitarse, por lo que es importante el estuio e la estabilia e la máquina frente a las situaciones que originan oscilaciones penulares (estabilia inámica). --

3 . PARES A CONSIDERAR EN LAS OSCILACIONES PENDULARES Consiérese una máquina síncrona con el convenio e signos generaor. Si trabaja en un punto e equilibrio estable, el ángulo e par δ permanecerá constante y se tenrá este equilibrio e pares mecánico y e la máquina síncrona: m () m es el par mecánico e la máquina motriz (turbina e gas, iráulica, ) que acciona a la máquina síncrona (tenrá signo negativo si la máquina síncrona funciona como motor movieno una carga mecánica. En este caso, m es el par e esta carga). es el par eléctrico e la máquina síncrona. Es positivo cuano actúa como generaor y, en consecuencia, es un par e frenao opuesto al par el motor m. es negativo si la máquina síncrona actúa como motor vencieno el par resistente m e la carga mecánica. ientras se proucen oscilaciones penulares la máquina no está en equilibrio, la velocia Ω tiene oscilaciones y no se verifica la iguala e pares (). En este caso, aparecen nuevos pares y la ecuación mecánica pasa a ser: + + () m i es el par e inercia proucio por las variaciones en la velocia. a es el par amortiguaor ebio a los rozamientos y, sobre too, a la acción el evanao amortiguaor. A continuación se van a analizar estos pares. i a.. Par mecánico m El par mecánico es constante en mucas ocasiones. Esto sucee en máquinas motrices e tipo turbina (e gas, e vapor o iráulica) y en cargas mecánicas como bombas centrífugas o ventilaores. Sin embargo, existen ocasiones en las que el par mecánico es variable. Esto sucee en máquinas motrices como los motores e explosión (Diesel o e gasolina) o las máquinas e vapor e pistón y en cargas como los compresores alternativos e pistón. En este caso las variaciones e par son perióicas y epenen el tipo e motor y el número e cilinros. El par se puee escomponer, pues, en serie e Fourier y consierarlo como la suma e un término constante m0 y una serie e pares sinusoiales armónicos e frecuencias múltiplos y submúltiplos e la velocia meia Ω. En consecuencia, el par mecánico viene ao por esta expresión general: ( Ω t Ψ ) + + sen (3) m m0 m m0 m max --

4 En las máquinas con par constante el seguno sumano e (3) es nulo... Par eléctrico Si se esprecia la resistencia e las fases el estator y se emplea el convenio e signos e generaor, el par e una máquina síncrona e rotor cilínrico viene ao por esta relación: 3 V E 0 sen δ (4) Xs Ω En las máquinas e polos salientes ay que sumar, aemás, el par e reluctancia. Pero en la mayor parte e los casos el par e reluctancia se puee espreciar y se empleará la relación (4) también para las máquinas síncronas e polos salientes (entonces se utilizaría la reactancia síncrona longituinal X en lugar e X s en (4)). En el caso e que la máquina esté conectaa a una re e potencia infinita, la resistencia R e las fases el estator sea espreciable, se mantenga constante la corriente e excitación (luego, E 0 es constante) y se puea suponer que la reactancia síncrona X s no varía, se tiene que el par epene sólo el ángulo e par δ: máx sen δ ; máx 3 V E 0 (5) X Ω s En las expresiones (4) y (5) se a consierao que la velocia el rotor permanece constante e igual a Ω. En realia, urante las oscilaciones penulares existen variaciones e la velocia alreeor el valor Ω, pero en la mayoría e los casos son lo suficientemente pequeñas como para consierar que su influencia sobre el par eléctrico es espreciable. Por esta razón, estas oscilaciones e velocia no se tienen en cuenta en las expresiones (4) y (5). En las oscilaciones penulares con la máquina conectaa a una re e potencia infinita el ángulo e par varía alreeor el corresponiente al punto e equilibrio final A. De esta manera, se puee consierar que urante las oscilaciones el ángulo e par δ es igual al ángulo δ A, corresponiente al punto e equilibrio A, más el ángulo e esvío δ : δ δa + δ (6) Con la máquina síncrona en re e potencia infinita, urante las oscilaciones alreeor el punto e equilibrio A existe un par sincronizante s que lleva finalmente a la máquina al equilibrio en A (véase el apartao en el que se trató e la estabilia estática). El par s es igual a la iferencia el par que tiene la máquina en un momento ao urante las oscilaciones y el par A el equilibrio final: (7) s A Cuano las variaciones e δ no son granes; es ecir, para ángulos e esvío δ no superiores a 0º, se euce que: -3-

5 δ (8) s K s K s es el par sincronizante específico para el punto e equilibrio A: K s 3 V E 0 máx cos δa cos δa (9) X Ω s La expresión (8) para el par sincronizante s es similar a la el par e un resorte en espiral. Cuano la máquina está en el punto e equilibrio A, el par sincronizante es cero. Pero cuano se la aparta e este punto e equilibrio, es como si se tensara un resorte que proujera el par s -tanto mayor cuanto mayor es el esvío δ respecto al punto e equilibrio- que ace volver a la máquina síncrona al punto A..3. Par e inercia i El par ebio a la inercia viene ao por esta relación: i Ω J (0) t Ω es la velocia angular instantánea el rotor y J es el momento e inercia e toas las partes giratorias. Si se trata e una máquina conectaa a una re e potencia infinita, es sabio que una variación δ el ángulo e par provoca que el rotor gire físicamente un ángulo eléctrico δ que se superpone al movimiento e giro a velocia constante e sincronismo Ω. Por lo tanto, la velocia Ω a la que se mueve el rotor será la suma e Ω más el incremento e velocia ebia a las variaciones e δ: δ Ω Ω + () p t p es el número e pares e polos e la máquina síncrona y aparece en la fórmula () para pasar el ángulo eléctrico δ a ángulo geométrico. Durante las oscilaciones el ángulo e esvío δ irá variano e forma amortiguaa asta anularse mientras que δ A permanece constante. Luego, a partir e la relación (6), se tiene que δ t t ( δ + δ ) A δ t () δ δ Ω Ω + Ω + (3) p t p t Ω t t Ω + p δ t p δ t p δ t (4) -4-

6 Lo que, finalmente, a lugar a i δ Ω J δ J J t p (5) t p t.4. Par amortiguaor a El par amortiguaor a atenúa las oscilaciones. En las oscilaciones libres a consigue que las oscilaciones penulares vayan reuciénose asta que, al final, se anulen y la máquina acabe funcionano en el punto e equilibrio estable final. Este par es la suma el ebio a los rozamientos y a la acción el evanao amortiguaor. Como este último es muco mayor que el e rozamientos, en lo que sigue sólo se tenrá en cuenta el efecto el evanao amortiguaor. El evanao amortiguaor es un evanao en cortocircuito situao en el rotor. También se consiera como evanao amortiguaor el cuerpo macizo el rotor por el que circularán corrientes e Foucault en cuanto se vea sometio a la acción e un campo magnético variable en el tiempo. En equilibrio y suponieno que el campo magnético el inucio carece e armónicos espaciales, tanto el campo magnético en el entreierro como el rotor giran a la misma velocia e sincronismo Ω y no aparecen corrientes en el evanao amortiguaor. Sin embargo, urante las oscilaciones penulares la velocia el rotor se aparta temporalmente e la e sincronismo y se inucen corrientes en el evanao amortiguaor, lo que provoca la aparición el par amortiguaor a. Este par a ebio al evanao amortiguaor es similar al e un motor e inucción (Fig. ). Por lo tanto, cuano la velocia se aparta poco e la e sincronismo; es ecir, cuano el eslizamiento s es pequeño, a es proporcional al eslizamiento. Fig. : Par e un motor asíncrono Aora bien en la expresión () el par a figura como un par e frenao, no como un par motor. Por lo tanto, para a ay que utilizar el convenio e signos contrario al e par motor que se a empleao en la Fig.. Luego, quea que: -5-

7 Ω Ω a K s K K' ( Ω Ω) (6) Ω a ( Ω Ω ) K' ; K K' (7) Ω Si se trata e una máquina conectaa a una re e potencia infinita se cumple la relación (3). En este caso, la expresión (7) se convierte en: Por lo tanto, si se enomina K a a esta constante: δ a K' (8) p t K a K' K (9) p Ω p se llega finalmente a: a δ δ K K a a (0) t t 3. OSCILACIONES LIBRES Para comprener mejor el fenómeno e las oscilaciones libres se va a analizar en las Figs. y 3 el caso e un alternaor síncrono e rotor cilínrico conectao a una re e potencia infinita y accionao por una turbina iráulica en la que se aumenta súbitamente el par mecánico. Como es abitual, se suponrá que la resistencia R e las fases el estator es espreciable, que se mantiene constante la corriente e excitación (luego, E 0 es constante) y que la reactancia síncrona X s no varía. Por lo tanto, el par eléctrico e la máquina síncrona viene ao por la curva característica e la Fig. 3. Inicialmente el sistema turbina-alternaor está funcionano en equilibrio en el punto 0 one los pares mecánico y eléctrico son iguales y el ángulo e par vale δ 0. En el instante t 0 (véase la Fig. ) se aumenta bruscamente el par m e la turbina (por ejemplo, abrieno súbitamente su válvula e amisión) lo que ará que, tras una serie e oscilaciones, la máquina alcance un nuevo estao e equilibrio en el punto A one vuelven a igualarse los pares mecánico y eléctrico y el ángulo e par es δ A. La transición ese el estao 0 al estao A no es instantánea. En el instante t 0 el par mecánico m a aumentao e forma prácticamente instantánea ese el valor 0 al valor A. Sin embargo, el par eléctrico e la máquina síncrona no puee variar bruscamente. Esto se ebe a que, en re e potencia infinita, las variaciones el par eléctrico son ebias a las variaciones en el ángulo δ, las cuáles conllevan giros el rotor superpuestos a la rotación a la velocia Ω. La inercia mecánica el rotor impie que estos movimientos el rotor sean bruscos. -6-

8 Figs. y 3: Oscilaciones libres en un alternaor síncrono en re e potencia infinita tras una variación brusca el par motor. -7-

9 Por lo tanto, en el instante t 0 el sistema tiene un esequilibrio e pares mecánico e la turbina y eléctrico el alternaor (véase la primera gráfica e la Fig. ). Al ser el primero mayor que el seguno, la máquina empieza a acelerar y la velocia Ω el rotor comienza a ser mayor que Ω (véase la tercera gráfica e la Fig. ). Al girar el rotor más eprisa que el campo magnético el ángulo e par δ empieza a crecer (véase la seguna gráfica e la Fig. ). En el instante t el ángulo e par vale δ A y, consecuentemente, el par eléctrico es A, igual al par mecánico proucio por la turbina. Sin embargo, la máquina no se quea en este punto pues la aceleración que se a io proucieno entre los instantes t 0 y t ace que en t la velocia no sea la síncrona, sino que alcanza su valor máximo Ω máx, y la energía cinética almacenaa entre t 0 y t provoca que se sobrepase el punto A. Entre los instantes t y t el ángulo e par es superior a δ A y, como se aprecia en la Fig. 3, el par eléctrico es superior al par mecánico (que vale A ). Por consiguiente, entre t y t existe un proceso e eceleración y la velocia va reuciénose, pero toavía sigue sieno superior a Ω (ver la Fig. ). Esto origina que el ángulo e par aún siga aumentano. Al final, en el instante t, la máquina se encuentra en el punto extremo E y el ángulo e par a alcanzao su valor máximo δ E (ver las Figs. y 3), mientras que la velocia es igual a la e sincronismo Ω. A partir el instante t el par eléctrico sigue sieno superior al par mecánico por lo que la velocia continúa isminuyeno, pero aora por ebajo e Ω. Al girar el rotor con una velocia inferior a la síncrona el ángulo e par δ comenzará a isminuir; aunque toavía es superior a δ Α. En el instante t 3 el ángulo e par vuelve a valer δ Α, pero la aceleración negativa que lleva la máquina ace que se vuelva a sobrepasar este punto y el ángulo e par siga isminuyeno. En t 3 la velocia alcanza su valor mínimo Ω min. A partir e t 3 el ángulo e par es inferior a δ A y, consecuentemente, el par eléctrico es inferior al par mecánico e la turbina. Luego, el sistema se acelera y la velocia vuelve a aumentar, aunque, e momento, se mantiene por ebajo e Ω. Analizano e esta manera los emás instantes e tiempo se comprueba que se proucen una serie e oscilaciones el ángulo e par alreeor el punto δ Α y e la velocia alreeor e la velocia síncrona Ω. Estas oscilaciones se van amortiguano (ver la Fig. ) y al final la máquina alcanza el punto e equilibrio A con la velocia síncrona Ω. 4. ESTABILIDAD DINÁICA. ÉTODO DE LA IGUALDAD DE LAS ÁREAS En el fenómeno oscilante explicao en el apartao anterior la máquina no piere su estabilia. Las oscilaciones van amortiguánose y la máquina es capaz e alcanzar un estao e equilibrio final en el punto A. Esto es así porque en too momento el par sincronizante; es ecir, la iferencia entre los pares eléctrico y mecánico (igual al par A en el punto e equilibrio final), tiene a que la máquina vaya acia el punto A. En concreto, cuano la máquina alcanza el punto E, one el -8-

10 ángulo e par es máximo, el par E es superior a A y esto provoca que la máquina ecelere y, al final, tras las oscilaciones, acabe en el punto e equilibrio A. Pero, si la oscilación ubiera sio más grane, puiera ser que la máquina alcance ángulos e par superiores a 90º. En este caso, una vez superaos los 90º (o π/ raianes), mayores valores e δ significan que el par eléctrico isminuye. Aún así, si en la primera oscilación el punto extremo E tiene un par E superior a A la máquina será capaz e estabilizarse en el punto A (Fig. 4). Fig. 4: Funcionamiento estable con δ E > π/ Pero, si en la primera oscilación el ángulo e par supera el valor corresponiente al punto G (Fig. 5), one G A ; G π δa δ () empezará a suceer que el par eléctrico es inferior al par mecánico y la máquina se acelerará inefiniamente, alejánose caa vez más el punto A y acabará por perer el sincronismo. Fig. 5: La máquina pererá estabilia si urante las oscilaciones el ángulo e par supera el valor δ G. Por lo tanto, para saber si las oscilaciones penulares arán perer el sincronismo a la máquina síncrona abrá que eterminar cuál será el mayor valor el ángulo e par δ E urante la primera oscilación. Para ello se utiliza el métoo e iguala e las áreas. -9-

11 Supóngase que la máquina síncrona carece el par amortiguaor a. En este caso las oscilaciones serán mayores e lo que son en realia. Luego, esta es una ipótesis conservaora: se supone una situación peor que la realia. Si no existe par amortiguaor, el incremento e energía cinética que se va acumulano mientras la máquina acelera ese el punto 0 asta el punto A (Fig. 6) será la misma que luego se piere mientras ecelera ese el punto A asta el punto E. Por lo tanto, en la suposición e que a es nulo, el ángulo δ E se etermina buscano el punto E one la energía cinética peria ese A asta E iguale a la ganaa entre 0 y A. Fig. 6: étoo e iguala e las áreas En la Fig. 6 se muestra la curva e potencia e una máquina síncrona, que es similar a la curva e par. Se puee emostrar que la energía cinética que el sistema va ganano mientras acelera entre los puntos 0 y A es proporcional al área S. Por otra parte, la energía cinética que se piere en el proceso e eceleración entre A y E es proporcional al área S. En consecuencia, el punto E se etermina imponieno la conición e que las áreas S y S sean iguales. Si sucee que el punto E se encuentra por encima el punto A, el sistema será estable; pero en caso contrario será inestable. El límite e estabilia inámica se proucirá cuano el punto E se encuentre exactamente a la misma altura que el nuo A (Fig. 7). Fig. 7: Límite e estabilia inámica -0-

12 Es ecir, partieno el punto e equilibrio estable 0, con el par 0, se puee aumentar e forma brusca el par asta un valor límite A tal que las áreas S y S e la Fig. 7 sean iguales. El ángulo e par δ A es inferior a 90º, por lo que este criterio e estabilia es más exigente que el e la estabilia estática. Obsérvese que el límite e estabilia inámica no es un valor fijo sino que epene e cual sea el punto 0 e equilibrio inicial. 5. OSCILACIONES LIBRES DE PEQUEÑA APLITUD Sea la máquina síncrona cilínrica en re e potencia infinita escrita en el apartao 3 (oscilaciones libres). En el punto e equilibrio final se cumplirá que: Durante las oscilaciones se verificará la relación e pares (): Combinano las expresiones anteriores se euce que m A () m + i + a () + + A i a ( A ) + i a (3) s i a s es el par sincronizante, igual a la iferencia el par eléctrico menos el par A en el punto e equilibrio. Supóngase, e momento, que el par amortiguaor a es espreciable. Sucee entonces que + 0 (4) s i Consiérese que las oscilaciones son e pequeña amplitu, lo que significa que los ángulos e esvío δ no superan el valor e 0º. En este caso, se puee utilizar la expresión (8) para obtener el par sincronizante. Por otra parte, la relación (5) proporciona el par e inercia. Luego, se euce que K s La solución e esta ecuación iferencial es el tipo J δ δ + 0 (5) p t δ δ cos ( ωp t ) ; ( π ) máx ω (6) p f p ω p es la pulsación e las oscilaciones libres y f p es la frecuencia propia e oscilación el sistema. Sustituyeno (6) entro e la relación (5) y operano se llega a --

13 p K ω s p ; J f p ωp p K s (7) π π J De (7) se euce que f p no es constante. Depene e K s que, según se aprecia en la relación (9), varía con el punto A e equilibrio final, con la corriente e excitación (que influye sobre E 0 ) y el nivel e saturación e la máquina síncrona (que afecta a X s ). La frecuencia propia e oscilación es máxima en vacío y isminuye con la carga. Al acercarse la máquina al límite e estabilia estática (one δ 90º y K s 0) la frecuencia propia f p tiene a anularse. En el caso e no espreciar el par amortiguaor a se obtiene que el ángulo e esvío δ va isminuyeno su amplitu con el tiempo y, aemás, la frecuencia propia e oscilación f p es ligeramente menor que la calculaa meiante la fórmula (7). Consierano a se obtiene la siguiente expresión para f p : f p p Ks p Ka (8) π J J 6. OSCILACIONES FORZADAS EN UNA ÁQUINA SÍNCRONA Cuano una máquina síncrona tiene su eje acoplao a un motor o a una carga mecánica cuyo par m no es constante, aparecen unas oscilaciones forzaas en la velocia y en la posición angular el rotor. Como ya se inicó en el apartao (Pares a consierar en las oscilaciones penulares), en este caso el par mecánico m se puee expresar como la suma el par meio m0 y e unos pares armónicos m : ( Ω t Ψ ) + + sen (3) m m0 m m0 m max El oren e los armónicos m e par epene el tipo e máquina consierao. El armónico e oren más bajo (primer armónico o armónico funamental) es el e mayor amplitu y, consecuentemente, el que ejerce mayor efecto sobre las oscilaciones forzaas. En un motor e explosión monocilínrico e 4 tiempos, Diesel o e gasolina, el oren el primer armónico es / por repetirse el ciclo caa os vueltas. Si el motor es e 4 tiempos y os cilinros, el armónico funamental tiene un oren y si es e 4 cilinros, el primer armónico es. En un motor e explosión e os tiempos y oble efecto, el oren el armónico funamental es si es e os cilinros, 4 si es e 4 cilinros, etc. En el análisis e las oscilaciones forzaas ay que istinguir entre os casos. Uno es cuano la máquina síncrona está aislaa, en el cual sólo existen oscilaciones forzaas. Otro es cuano la máquina está conectaa a una re e potencia infinita, en el cual existen tanto oscilaciones libres como forzaas y puee llegar a proucirse un fenómeno e resonancia que provoca que la máquina piera el sincronismo. --

14 6.. Oscilaciones forzaas en una máquina síncrona aislaa Consiérese un alternaor síncrono que funciona aislao y que está movio por un motor alternativo (que tiene un par mecánico con oscilaciones). En este caso la frecuencia e la tensión V será igual a la e la f.e.m. E 0, pues no ay una re que obligue a mantener constante la frecuencia. Por lo tanto, las oscilaciones en la velocia e rotación afectan e igual manera a ambas magnitues y el ángulo e par δ (ángulo entre los fasores E 0 y V ) permanece prácticamente constante urante las oscilaciones. Dese luego, las oscilaciones en la velocia arán lugar a variaciones e la posición angular el rotor superpuestas al movimiento e giro a la velocia meia Ω. Sin embargo, en una máquina aislaa estas variaciones e la posición angular el rotor no se corresponen con variaciones el ángulo e par δ. En consecuencia, las variaciones en la posición el rotor ya no provocan variaciones en el par eléctrico e la máquina síncrona. Luego, aora el par eléctrico es constante urante las oscilaciones y no existe el par sincronizante s. Por lo tanto, el par mecánico meio m0 está equilibrao por el par eléctrico y los emás pares mecánicos armónicos se equilibran con pares e inercia y e amortiguación. Así pues, el balance e pares ao por la relación () se esobla en: m máx 0 m (9) ( Ω t Ψ ) i a sen + (30) En estas oscilaciones el par amortiguaor a es pequeño. Si se esprecia el par amortiguaor y se aplica el principio e superposición a la ecuación (30), esta se escompone en una serie e ecuaciones; una para caa armónico. Estas ecuaciones son así: m máx sen Ω Ω J (3) t ( t Ψ ) Resolvieno la ecuación iferencial (3) se euce que: Ω ( Ω χ ) Ω + Ω Ω + Ω max sen t (3) m máx Ω max (33a) J Ω 3π χ Ψ Ω Ω max cos ( Ω t Ψ ) (33b) Se aprecia que los armónicos e menor oren (e menor valor e ) -que son, aemás, a los que correspone normalmente un mayor valor e m máx - son los que ejercerán mayor influencia en las oscilaciones. Por esta razón, mucas veces e estos armónicos sólo se tiene en cuenta el primero (el armónico funamental). Se efine el coeficiente e irregularia ε como este cociente: -3-

15 Ωmáx Ωmin Ωmáx Ω ε min (34) Ωmáx + Ωmin Ω Si sólo se tiene en cuenta el armónico funamental suceerá que: ( Ω Ψ ) Ω Ω Ω (35) max cos t máx máx Ω Ω + Ω (36) Ω Ω Ω (37) min máx one es el oren armónico más pequeño (el el armónico funamental). Sustituyeno (36) y (37) en (34) y tenieno en cuenta la relación (33a) se euce que ε ( Ω + Ω ) ( Ω Ω ) máx máx Ω Ω Ω m máx Ω máx ε (38) J eiante esta expresión se comprueba que cuano la máquina síncrona funciona aislaa sólo se puee reucir la amplitu e las oscilaciones aumentano el momento e inercia J. Esto se puee conseguir construyeno la máquina e forma que su rotor tenga un momento e inercia alto o acoplano un volante e inercia en el eje e la máquina. 6.. Oscilaciones forzaas en una máquina síncrona en re e potencia infinita Consiérese una máquina síncrona, tanto actuano como generaor o como motor, conectaa a una re e potencia infinita y sometia a la acción e un par mecánico variable ao por la relación (3). Las oscilaciones en el par mecánico provocarán oscilaciones en la velocia y en la posición e angular el rotor superpuestas al movimiento a la velocia e sincronismo Ω. Estas oscilaciones e la posición angular repercuten como oscilaciones el ángulo e par δ, por lo que el par eléctrico no será constante y aparecerá un par sincronizante s (iferencia entre el par eléctrico en un momento ao y el par eléctrico en el punto meio e oscilación). Aemás, la re e potencia infinita imponrá que la frecuencia f y la velocia e sincronismo Ω permanezcan invariables. Las oscilaciones el ángulo e par se realizarán alreeor el punto meio A one el par eléctrico iguala al par mecánico meio. Luego: A δ (39) m0 A δ δ + ; δ δ δ sen ( Ω t λ ) (40) max -4-

16 En consecuencia, la ecuación mecánica () se convierte en m (4) A m ( A ) + i + a s + i a + (4) Si se aplica el principio e superposición en la expresión (4), esta se escompone en una serie e ecuaciones, una por caa armónico. Si, aemás, se esprecia el par amortiguaor a y las oscilaciones penulares son e pequeña amplitu (con δ < 0º), la ecuación para caa armónico es e esta forma: i a m máx sen J δ Ω (43) p t ( t Ψ ) Ks δ + Resolvieno esta ecuación iferencial se obtiene que: m máx δ máx (44a) J Ω Ks p λ Ψ + π δ δ max sen ( Ω t Ψ ) (44b) La frecuencia forzaa para el armónico e oren es Ω F (45) π f que se enominará simplemente f F cuano se trate el armónico funamental (el e menor oren ). Comparano las relaciones (7), (44a) y (45) se llega a la siguiente relación: m máx m máx fp δ máx (46) f F Ks ( ff fp ) K s f p De esta expresión se euce que si la frecuencia forzaa para un armónico e oren tiene el mismo valor que la frecuencia propia e oscilación; es ecir, si ff f F fp ; (47) f p -5-

17 la máquina entra en resonancia y las oscilaciones se acen prácticamente infinitas. Esto provoca que la máquina piera el sincronismo, por lo que esta es una situación a evitar a toa costa en el funcionamiento e una máquina síncrona. Si no se esprecia el par amortiguaor se obtiene que m máx δ máx (48) J Ω Ka + Ω Ks p El par amortiguaor ace que en caso e resonancia las oscilaciones no lleguen a ser tan granes. Pero aún así, ay que procurar que la máquina síncrona funcione en un estao lo suficientemente alejao e la situación e resonancia. Como las frecuencias forzaas vienen eterminaas por el par mecánico, sólo se puee alejar el sistema e la zona e resonancia moificano la frecuencia propia. Para ello se actúa sobre el momento e inercia J el conjunto e las partes giratorias. Para estar suficientemente lejos e la conición e resonancia se recomiena que la frecuencia propia f p sea, al menos, un 0% menor que la frecuencia forzaa f F el armónico funamental. Es ecir, se recomiena que se cumpla esta conición: f 0,8 (49) p f F Si se cumple la relación (49) para la frecuencia forzaa el armónico funamental, con muca mayor razón se cumplirá para los emás armónicos que tienen frecuencias forzaas más altas. Luego, si se verifica la relación (49) para el armónico funamental se está seguro e que la máquina funciona lo suficientemente lejos e la conición e resonancia para toos los armónicos. En algunos casos el conseguir que se cumpla la relación (49) exige aumentar muco el momento e inercia, con el consiguiente encarecimiento el grupo. Entonces recomiena que la frecuencia propia f p sea, al menos, un 0% mayor que la frecuencia forzaa f F el armónico funamental; pero sin ser mayor el oble e f F. Es ecir, se recomiena que se cumpla lo siguiente: f, ; fp ff (50) p f F Esta solución a lugar a oscilaciones mayores que con la conición (49) (en la relación (46) se aprecia que aunque la iferencia, en valor absoluto, entre f F y f p sea la misma; se obtienen oscilaciones mayores cuanto mayor es f p ). Aemás, abrá que comprobar que, aunque se cumpla la relación (50) para el armónico funamental, se está suficientemente lejos e la conición e resonancia para los emás armónicos. Por otra parte, la frecuencia propia f p no tiene un valor constante, como ya se constató anteriormente en el apartao sobre las oscilaciones libres. Esto abrá que tenerlo en cuenta cuano se apliquen las coniciones (49) y (50) y utilizar en ellas el máximo o el mínimo valor previsto para f p, respectivamente. -6-