Teoremas del punto jo

Transcripción

1 Teoremas del punto jo María Guadalupe García 17 de abril de 013 1

2 ÍNDICE Índice 1. Introducción 3. Preliminares 4.1. Nociones Topológicas Espacios vectoriales topológicos Espacios localmente convexos Teorema del punto jo de Schauder Teorema del punto jo de Brouwer Teorema del punto jo de Schauder Aplicación: Teorema de Lomonosov Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja de 7

3 1. Introducción Consideremos una aplicación T de un conjunto M en si mismo. Nos preguntamos si existe algún punto en M que es aplicado en si mismo, es decir si la ecuación T (x) = x tiene solución. Si esto ocurre al punto x se lo llama punto jo de T. Los teoremas del punto jo garantizan la existencia del mismo bajo ciertas condiciones sobre T y M. Como consecuencia de teoremas del punto jo pueden ser obtenidos algunos de los resultados sobre existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales, soluciones de sistemas con innitas ecuaciones e incógnitas, medidas invariantes, existencia de subespacios invariantes, entre otros. En el presente trabajo vamos a estudiar dos teoremas del punto jo, los cuales se pueden considerar como una extensión del Teorema del punto jo de Brouwer y forman parte del Análisis Funcional no Lineal. Comenzaremos introduciendo algunas nociones necesarias para poder demostrar los teoremas. En la tercer sección enunciaremos y demostraremos el Teorema del punto jo de Schauder (1930), el cual extiende el dominio de validez del Teorema de Brouwer a espacios normados de dimensión innita pidiendo alguna condición adicional a la aplicación. Luego, como una aplicación veremos el Teorema de Lomonosov (1973) sobre la existencia de espacios invariantes no triviales para operadores acotados sobre espacios de Banach. En la cuarta sección probaremos el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski (1967) sobre puntos jos simultaneos de semigrupos de aplicaciones anes sobre espacios localmente convexos. Para ello utilizaremos el Teorema del punto jo de Marcov-Kakutani (1936) sobre puntos jos comunes de familias de aplicaciones anes. Por último, demostraremos la existencia de la medida de Haar sobre grupos topológicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Nardzewski. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 3 de 7

4 PRELIMINARES. Preliminares En esta sección se encuentran deniciones y resultados de topología y análisis funcional necesarios para demostrar los teoremas y desarrollar los ejemplos en el presente trabajo..1. Nociones Topológicas Denición.1.1. Sea X un conjunto. Una topología sobre X es una colección τ P(X) que verica las siguientes propiedades: 1., X τ,. Si {U α } α τ entonces α U α τ, n 3. Si {U k } n k=1 τ entonces U k τ. k=1 Es decir, τ es una topología si contiene a y a X, es cerrada por uniones arbitrarias y por intersecciones nitas. Al par (X, τ) se lo llama espacio topológico y a los elementos de τ conjuntos abiertos de X. Además, diremos que un conjunto A X es un entorno de x X si existe U τ tal que x U A. A lo largo de este trabajo usaremos la siglas ET para referirnos a espacios topológicos. Denición.1.. Una subbase S para una topología sobre X es una colección de subconjuntos de X cuya unión es igual a X. La topología generada por la subbase S se dene como la colección τ de todas las uniones de intersecciones nitas de elementos de S. Denición.1.3. Un espacio topológico (X, τ) se denomina espacio de Hausdor si para cada par x 1, x de puntos dintintos de X, existen entornos disjuntos U 1 y U de x 1 y x, respectivamente. Denición.1.4. Sea (X, τ) un ET. Se dice que X es separable si tiene un subconjunto denso numerable. Denición.1.5. Un espacio topológico (X, τ) se dice localmente compacto en x si existe algún subespacio compacto C de X que contenga un entorno de x. Si X es localmente compacto en cada uno de sus puntos, X se dice localmente compacto. Lema.1.6. Si Y es un subespacio compacto de un espacio de Hausdor X y x 0 un punto que no pertenece a Y entonces existen conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que x 0 U e Y V. Demostración. Sea x 0 un punto de X\Y. Por ser X un espacio de Hausdor, para cada y Y existen entornos disjuntos U y y V y de x 0 e y, respectivamente. La colección {V y } y Y es un cubrimiento de Y por conjuntos abiertos de X. Por la compacidad de Y podemos tomar una cantidad nita n n de conjuntos V y1,..., V yn que cubren Y. Denimos V = V yi y U = U yi. Luego, U y V son conjuntos abiertos disjuntos que contienen a x 0 e Y, respectivamenete. Teorema.1.7. Sea X un espacio de Hausdor. Entonces X es localmente compacto si, y sólo si dados x X y un entorno U de x existe un entorno V de x tal que V es compacto y V U. Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 4 de 7

5 .1 Nociones Topológicas Demostración. ) Si denimos C = V, entonces C es un conjunto compacto y contiene al entorno V de x. ) Sean X un espacio localmente compacto, x X y U un entorno de x. Tomamos la compacticación por un punto Y de X y denimos C = Y\U. Entonces C es cerrado en el espacio de Hausdor Y y por lo tanto C es un subespacio compacto de Y. Por el Lema.1.6 podemos tomar conjuntos abiertos disjuntos V y W tales que x V y C W. Entonces V es compacto en Y y además V C =, por lo tanto V U. Teorema.1.8. (Teorema de Baire). Sea (X, τ) un espacio topológico. Si X es localmente compacto Hausdor entonces para toda familia numerable {F n } n N de conjuntos cerrados de X se tiene que ( ) Fn = para todo n N implica que F n =. n N Esta condición se puede enunciar de las siguientes dos maneras: ( ) 1. Si F n entonces Fn para algún n N. n N. Dada la sucesión {G n } n N de conjuntos abiertos densos, se tiene que n NG n también es densa. Demostración. Probaremos el enunciado. Observar que, dados F n como en el enunciado 1, si consideramos G n = X\F n para cada n N, tenemos que G n = X\Fn y G n = X\ ( ) n = X\ F n. n N n NF n N Sean x X y U un entorno de x. Dado que G 1 es denso en X, U G 1. Sea y U G 1. Como U G 1 es abierto y X es localmente compacto, por el Teorema.1.7 existe un entorno V 1 de y tal que V 1 es compacto y V 1 V 1 U G 1. Ahora, dado que G es denso en X, V 1 G entonces existe un entorno V de algún punto de V 1 G tal que V es compacto y V V V 1 G. Luego, V G 1 G. Procediendo de esta manera, construimos una sucesión de conjuntos abiertos {V n } n N tal que: 1. V n es compacto para todo n N,. V n+1 V n+1 V n V n V 1 U, 3. V n k NG k. Ahora, dado que V 1 es compacto y la colección { V n tiene la propiedadde la intersección nita, }n N existe z V n. Entonces, z U n. Como U era un entorno arbitrario de x, tenemos que n N n NG x n NG n. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 5 de 7

6 PRELIMINARES.. Espacios vectoriales topológicos Denición..1. Un espacio vectorial topológico es un espacio topológico (X, τ) en el cual X es un F-espacio vectorial, la topología τ es de Hausdor y tal que con respecto a dicha topología a)la aplicación de X X X dada por (x, y) x + y es continua; b)la aplicación de F X X dada por (α, x) αx es continua. Usaremos las letras EV T para referirnos a espacio vectorial topológico. Denición... Sea X es un espacio vectorial sobre F y A X. Se dice que 1. A es balanceado si αa A para todo α F con α 1;. A es absorbente si para cada x X existe ε > 0 tal que tx A para 0 < t < ε. Denición..3. Sea X un espacio vectorial sobre F y A X. Entonces A es convexo si, y sólo si la linea recta [a, b] = {(1 t)a + tb : 0 t 1} A, donde a, b A. Denición..4. Sean X un EVT y A X. El conjunto A es acotado si para cada entorno U de cero existe s > 0 tal que A t U para todo t > s. Proposición..5. Sea X un EVT y V un entorno de cero. Entonces, 1. V contiene un entorno balanceado de cero;. Sea {r n } n F una sucesión estrictamente creciente. Si r n n Demostración. entonces X = r n V. 1. Sea V cualquier entorno de cero. Por la continuidad de la aplicación de F X X dada por (α, x) αx en el origen, existen δ > 0 y un entorno W de cero tal que αw V para todo α F con α < δ. Si consideramos U = αw entonces U es un entorno balanceado de cero y está contenido en V. α <δ. Sea x X jo. Como la aplicación h : F F X dada por h(α) = α x es continua, el conjunto A = {α F : αx V } es abierto y contiene a cero. Entonces, existe n 0 N tal que 1 r n A, n n 0. Lo cual implica que 1 r n x V, por lo tanto x r n V para n n 0. Luego, como esto es válido para cada x X tenemos que X = r n V. Proposición..6. Todo conjunto compacto en un EV T es acotado. Demostración. Sean X un EV T, K X un subconjunto compacto y V un entorno de cero. Por la Proposición anterior, existe un entorno balanceado W de cero contenido en V y K nw. Por la compacidad de K, podemos tomar una cantidad nita n 1 < n <... < n m tal que K n=1 n=1 n=1 m n i W. Dado que W es balanceado, n j W n i W si j < i, por lo tanto, K n m W. Luego, K tw tv si t > n m. Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 6 de 7

7 .3 Espacios localmente convexos.3. Espacios localmente convexos Denición.3.1. Sea X es un EV sobre F. Una seminorma es una función p : X [0, ) tal que: 1. p (x + y) p (x) + p (y),. p (αx) = α p (x). Puede pasar que p (x) = 0 aunque x 0. Sean X un espacio vectorial y P una familia de seminormas sobre X. Si τ es la topología sobre X que tiene como subbase los conjuntos {x : p (x x 0 ) < ε} donde p P, x 0 X y ε > 0 entonces un subconjunto U de X es abierto si, y sólo si para todo x 0 U existen p 1,..., p n P y ε 1,..., ε n > 0 n tal que {x X : p i (x x 0 ) < ε i } U. Con esta topología X es un EV T. Denición.3.. Un espacio localmente convexo es un espacio vectorial topológico X cuya topología está denida por una familia de seminormas P tales que {x : p (x) = 0} = {0}. Abreviaremos espacio localmente convexo con las letras ELC. Observación.3.3. La condición {x : p (x) = 0} = {0} hace que la topología denida por la p P familia de seminorma P sea de Hausdor. En efecto, si x, y X son puntos distintos, existe p P tal que p (x y) 0. Entonces p (x y) > ε, para algún ε > 0. Si U = { z : p (x z) < ε } y V = { z : p (y z) < ε } entonces U y V son entornos disjuntos de x e y, respectivamente. Denición.3.4. Sea K un subconjunto de un espacio vectorial X. 1. Un subconjunto A es extremal en K si para cada x, y K se cumple que p P [x, y] A x, y A donde [x, y] = {(1 t)x + t y : t (0, 1)} es el segmento abierto que une x con y.. z K es un punto extremal si el conjunto {z} es extremal en K, es decir si para cada par de puntos x, y K se tiene que z [x, y] x = y = z. Denotaremos por Ext(K) al conjuntos de los puntos extremales de K. Denición.3.5. Sea X un F-espacio vectorial. El espacio dual algebraico de X es el conjunto X = {ϕ : X F : ϕ es lineal}. Si (X, τ) es un espacio vectorial topológico, se denomina dual topológico de X al conjunto { } X τ = (X, τ) = ϕ X : ϕ es τ-continua. El espacio X τ tiene estructura de espacio vectorial, denimos el elemento (α ϕ + ψ) X τ como (α ϕ + ψ)(x) = α ϕ(x) + ψ(x) para x X, con α F y ϕ, ψ X τ. Si X es un C-espacio vectorial entonces denotaremos por X R y (X, τ) R a sus duales pensándolos como R-espacios vectoriales. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 7 de 7

8 PRELIMINARES Denición.3.6. Sea X es un ELC y X τ su dual topológico. A la topología sobre X inducida por la familia de seminormas {p ϕ : ϕ X τ }, donde p ϕ (x) = ϕ(x), x X se la denomina topología débil de X y se la denota por wk ó σ(x, X τ ). A la topología sobre X τ inducida por la familia de seminormas {p x : x X}, donde p x (ϕ) = ϕ(x), ϕ X τ se la denomina topología débil * de X τ y se la denota por wk ó σ(x τ, X). Observación.3.7. Un subconjunto U es débilmente abierto en X si, y sólo si para todo x 0 U existen ϕ 1,..., ϕ n X τ y ε > 0 tales que n {x X : ϕ i (x x 0 ) < ε} U. Una red {x i } i I X converge débil a x 0 si, y sólo si ϕ(x i ) converge a ϕ(x 0 ) para toda ϕ X τ. De forma similar, un subconjunto U es abierto en X τ con la topología débil * si para toda ϕ 0 U existen x 1,..., x n X y ε > 0 tales que n {ϕ X τ : (ϕ ϕ 0 )(x i ) < ε} U. y una red {ϕ i } i I X τ converge débil * a ϕ si, y sólo si ϕ i (x) converge a ϕ(x) para todo x X. Lema.3.8. Si S 1 K es un conjunto extremal de K y S S 1 es un conjunto extremal de S 1 entonces S es un conjunto extremal de K. Demostración. Sean x, y K y t (0, 1) tales que (1 t)x + ty S. Dado que S S 1 y S 1 es un conjunto extremal de K, x, y S 1. Ahora, como S es un conjunto extremal de S 1, concluimos que x, y S. Lema.3.9. Sean X un espacio vectorial, A X y f X tal que s = sup {f(x) : x A} <. Si A f = {x A : f(x) = s} entonces A f es un conjunto extremal de A. Demostración. Sean x, y A y t (0, 1) tales que (1 t)x + ty = z A f. Si x / A f entonces f(x) < s, por lo tanto f(z) = (1 t)f(x) + tf(y) < s. Análogamente, si y / A entonces f(z) < s. Por lo tanto z / A f, llegamos a una contradicción. Denición Sea X un EV y A un subconjunto de X. La cápsula convexa de A es el conjunto co(a) = {C : A C, C es convexo}. Si X es un EVT, llamamos cápsula convexa cerrada de A al conjunto Es decir, co(a) es la clausura de co(a). co(a) = {C : A C, C es convexo y cerrado}. Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 8 de 7

9 .3 Espacios localmente convexos Proposición En un espacio normado la cápsula convexa de todo conjunto nito es compacta. Demostración. Sea (X, ) un espacio normado y {x 1,..., x n } X. Por la denición de cápsula convexa, { } co({x 1,..., x n }) = α i x i : α i = 1 con α i [0, 1] para i = 1,..., n y puede expresarse como la imagen del conjunto compacto { } (α 1,..., α n ) R n : α i = 1 con α i [0, 1] para i = 1,..., n mediante la aplicación continua dada por (α 1,..., α n ) α i x i. Luego, co({x 1,..., x n }) es compacta. Vamos a utilizar el corolario del siguiente Teorema de Hahn-Banach para demostrar el Teorema de Krein-Milman. Se puede encuentra una demostración de los mismos en [9]. Teorema.3.1. (Teorema de separación de Hahn-Banach). Sea (X, τ) un EV T. Si U y V son subconjuntos convexos, disjuntos y no vacíos de X tales que U es abierto, entonces existen ϕ (X, τ) y t R tales Re(ϕ(x)) < t < Re(ϕ(y)) para todo par x U, y V. Corolario Sea (X, τ) un ELC. Si K y F son dos subconjuntos convexos, disjuntos y no vacíos de X tales que K es compacto y F es cerrado entonces existen ϕ (X, τ) R, ε > 0 y t R tales que ϕ(x) t ε < t ϕ(y) para todo par x K, y F. Teorema (Teorema de Krein-Milman). Si X un ELC y K un subconjunto compacto, convexo y no vacío de X entonces Ext(K) y K = co(ext(k)). Demostración. Veamos que Ext(K). Sea C la colección de todos los subconjuntos extremales, compactos y no vacíos de K ordenada parcialmente por la inclusión al revés, es decir si A, B C, A B si, y sólo si B A. La colección C es no vacía ya que K C. Sea A una subcolección de C totalmente ordenada y consideremos S = A. Dado que A está totalmente ordenada, tiene la propiedad de la intersección nita, y como los elementos de A son cerrados y K es compacto, S. Además, S es compacto por ser un subconjunto cerrado de K, y es un conjunto extremal de K, pues si x, y K y t (0, 1) con (1 t) x + t y S, entonces (1 t) x + t y A para todo A A. Como los elementos de A son conjuntos extremales de K, tenemos que x, y A, para todo A A. Luego, x, y S, y por lo tanto A tiene una cota superior. Entonces, por el Lema de Zorn, C tiene un elemento maximal, es decir existe M C tal que B M (M B) para todo B C. Veamos que M tiene un único punto. Si aplicamos el Lema.3.9 a cada f X τ el conjunto M f es compacto y extremal de M. Entonces, por el Lema.3.8, M f es extremal de K para toda f X τ, luego por la maximalidad de M tenemos Departamento de Matemática - UNLP Hoja 9 de 7 A A

10 PRELIMINARES que M f = M, f X τ. Por lo tanto, cada f X τ es constante sobre M. Luego, como X τ separa puntos tenemos que M contiene un solo elemento, que es un punto extremal de K. Ahora veamos que K = co(ext(k)). Sea H = co(ext(k)). ) Como K es compacto y convexo, H K, y por lo tanto H también es compacto. ) Supongamos que existe x 0 K\H. Dado que {x 0 } es cerrado y H es compacto, por el Corolario.3.13, existen f : X R lineal y continua, t R y ε > 0 tales que para todo x H f(x) t ε < t f(x 0 ). Entonces, f(h) < t f(x 0 ). Por el Lema.3.9, K f = {x K : f(x) = sup x K f(x)} K es extremal de K. Por lo visto en la primera parte de la demostración, K f tiene un punto extremal, al cual llamamos e. Por el Lema.3.8, e es extremal de K. En particular, K f Ext(K), pero por la desigualdad vista antes, f(e) = sup x K f(x) f(x 0 ) t > f(ext(k)). Así obtenemos una contradicción. Por lo tanto, K co(ext(k)). Lema Sea X un espacio localmente convexo. Si K 1,..., K n son subconjuntos compactos y convexos de X enntonces co(k 1... K n ) = co(k 1... K n ). Demostración. Veamos que co(k 1... K n ) es cerrado. Dado que X es un espacio de Hausdor, basta ver que co(k 1... K n ) es compacto. Sea { } K = α i x i : α i [0, 1], α i = 1 y x i K i, i = 1,..., n. Si α [0, 1] y x, y K, entonces αx + (1 α)y = α α i x i + (1 α) β i y i = (αα i x i + (1 α)β i y i ) con α i, β i [0, 1] tales que α i = 1, β i = 1 y x i, y i K i para i = 1,..., n. Si denimos r i = αα i + (1 α)β i para cada i = 1,..., n entonces r i = 1, αx + (1 α)y = αα i x i + (1 α)β i y i r i r i, y por la convexidad de cada K i, αα ix i +(1 α)β i y i r i K es convexo. Luego, K = co(k 1... K n ). K i. Entonces αx + (1 α)y K, y por lo tanto Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 10 de 7

11 .3 Espacios localmente convexos Ahora, sea {e i } n la base canónica de Rn y consideremos el conjunto { } C = α i e i : α i [0, 1] y α i = 1. Sea f : C K 1... K n K la aplicación dada por f((α 1,..., α n, x 1,..., x n )) = α i x i. Dado que f es continua, el conjunto C K 1... K n es compacto, por ser producto nito de conjuntos compactos, y f(c K 1... K n ) = K, tenemos que K es compacto. Teorema Sean X es un espacio localmente convexo y K un subconjunto compacto y convexo de X. Si F K tal que K = co(f ) entonces Ext(K) F. Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que F es cerrado. Sea x 0 Ext(K)\F. Dado que F es cerrado y no contiene a x 0, existe una seminorma continua p sobre X tal que F {x X : p (x x 0 ) < 1} =. Sea U 0 = { x X : p (x) < 1 3}, entonces (x0 +U 0 ) (F +U 0 ) =, por lo tanto x 0 / (F + U 0 ). n Como F es compacto podemos tomar y 1,..., y n F tales que F (y k + U 0 ). Consideremos K k = co(f (y k + U 0 )). Entonces K k y k + U 0 y K k K. Como K 1,..., K n son conjuntos compactos y convexos, por el Lema.3.15 co(k 1... K n ) = co(k 1... K n ). Por lo tanto, K = co(f ) = co(k 1... K n ). Como x 0 K, tenemos que x 0 = α k x k con x k K k, α k 0 y α k = 1. Pero x 0 es punto k=1 extremal de K, entonces x 0 = x k para algún k. Esto implica que x 0 K k y k + U 0 F + U 0, llegamos a una contradicción. k=1 Departamento de Matemática - UNLP Hoja 11 de 7

12 3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER 3. Teorema del punto jo de Schauder En la presente sección vamos a trabajar sobre subconjuntos convexos de espacios de Banach y las funciones no serán asumidas lineales ó anes Teorema del punto jo de Brouwer Teorema (Teorema del punto jo de Brouwer). Si 1 d <, B es la bola unitaria cerrada de R d y f : B B es una función continua, entonces existe un punto x en B tal que f(x) = x. Existe distintas demostraciones del Teorema del punto jo de Brouwer (191), entre ellas se encuentran algunas analiticas [4], otras que utilizan geometría diferencial [1] o topología algebraica [8]. Observación El Teorema de Brouwer vale para cualquier conjunto K homeomorfo a la bola unitaria cerrada B R n. En efecto, si f : K K es una función continua y g : K B es un homeomorsmo entonces la aplicación h := g f g 1 : B B es continua. Por el Teorema del punto jo de Brouwer, existe x B tal que h(x) = x, luego, y = g 1 (x) es punto jo de f. En particular, vale para cualquier conjunto compacto y convexo de un espacio normado de dimensión nita como veremos en el corolario Antes de enunciar el corolario vamos a probar una proposición necesaria para su demostración. Proposición Si H es un espacio del Hilbert, K es un subconjunto cerrado, convexo y no vacío de H, y h H, entonces existe un único punto k 0 K tal que h k 0 = dist(h, K) inf { h k : k K}. Demostración. Basta considerar el caso h = 0. En efecto, si la Proposición se cumple para h = 0, dado h H, como el conjunto K := K h { = k h } : k K es convexo, cerrado y no vacío, podemos aplicarle la Proposición y hallar k tal que k = dist(0, K) { = inf k : k K }. Entonces k 0 = k + h es el elemento buscado. Supongamos que h = 0 y sea d := dist(0, K) = inf { k : k K}. Por denición de ínmo, dado n N existe una sucesión {k n } n K que converge en norma a d. Por la regla del paralelogramo, k n k m = 1 ( k n + k m ) k n + k m y dado que K es convexo, kn+km, kn km K, entonces k n+k m d. Dado ε > 0, sea n 0 N tal que n n 0, k n < d ε. Luego, por la desigualdad anterior, si n, m n 0 entonces k n k m < 1 (d + 1 ε ) d = 1 4 ε. Por lo tanto, {k n } n es de Cauchy. Entonces, dado que H es completo y K es cerrado, existe k 0 K tal que k n k 0 0. Además, k n k 0, entonces por unicidad del límite, k 0 = d. n n Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 1 de 7

13 Para ver la unicidad, supongamos que existe k 0 K tal que k 0 = k 0 + k 0 K. Entonces k 0 + d k 0 1 ( ) k 0 + k 0 = d, 3.1 Teorema del punto jo de Brouwer k 0 = d. Por convexidad, y por la regla del paralelogramo, Luego, k 0 k 0 d k 0 + = k 0 = 0, por lo tanto k 0 = k 0. = d k 0 k 0. Corolario (Corolario del Teorema de Brouwer). Si K es un subconjunto convexo, compacto y no vacío de un espacio normado de dimensión nita X y f : K K es una función continua, entonces existe un punto x en K tal que f(x) = x. Demostración. Dado que X es un espacio normado de dimensión nita, es isomorfo a C d o R d, y por lo tanto es homeomorfo a R d o R d. Entonces, basta considerar X = R d, con 1 d <. Si K = { x R d : x r } el resultado se deduce del Teorema de Brouwer pues la aplicación g : K B dada por g(x) = x r es un homeomorsmo, Si K es cualquier subconjunto convexo de R d, tomamos r > 0 tal que K B { x R d : x r }. Sea φ : B K la función dada por φ(x) = y K, donde y K es el único punto de K que satisface que x y K = dist(x, K). La aplicacion φ está bien denida por la Proposición y cumple que φ(x) = x para todo x K. Veamos que φ es continua. Sea {x n } n una sucesión en B y x B tal que x n n x, entonces dado ε > 0 existe n 0 N tal que d(x n, x) < ε, n n 0. Si jamos n n 0, por la denición de φ, tenemos que Entonces, Por lo tanto, d(x n, φ(x n )) d(x n, φ(x)) y d(x, φ(x)) d(x, φ(x n )). d(x n, φ(x n )) d(x n, φ(x)) d(x n, x) + d(x, φ(x)) ε + d(x, φ(x)). d(x, φ(x)) d(x, φ(x n )) d(x, x n ) + d(x n, φ(x n )) < ε + d(x n, φ(x n )) < ε + d(x, φ(x)). Con lo cual, d(x, φ(x)) d(x, φ(x n )) < ε + d(x, φ(x)). Luego, lim n d(x, φ(x n )) = d(x, φ(x)). Departamento de Matemática - UNLP Hoja 13 de 7

14 3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER Dada la sucesión {φ(x n )} n K, por la compacidad de K, existe una subsucesión {φ(x nk )} k convergente. Sea y K tal que φ(x nk ) y. Entonces, por la continuidad de la función distancia, d(x, φ(x nk )) converge a d(x, y). Luego, por la unicidad del límite, d(x, y) = d(x, φ(x)). Como y K, por la denición de φ, tenemos que y = φ(x). Por lo tanto, φ es continua. Dado que φ es continua y φ(x) = x, la composición f φ : B K B es una función continua. Entonces, por el Teorema de Brouwer, existe x B tal que (f φ)(x) = x, pero como (f φ)(b) K, tenemos que x K. Luego, x = f(φ(x)) = f(x). 3.. Teorema del punto jo de Schauder El Teorema del punto jo de Schauder fué generalizado a espacios topológicos localmente convexos en lugar de espacios normados por Tychono en En 001, Cauty demostró que todo subconjunto convexo y compacto de un espacio vectorial topológico (sin la necesidad de suponer convexidad local) tiene la propiedad del punto jo. Este problema estuvo abierto desde 1930, cuando Schauder demostró el teorema original del punto jo, y era conocido como la conjetura de Schauder. El Teorema del punto jo de Schauder se puede considerar como una generalización del Teorema del punto jo de Brouwer en dimensión innita, aunque es falsa si no se pide una condición adicional a la función, como veremos en los siguientes ejemplos. El primero de ellos se debe a Kakutani (1943). Ejemplo Consideremos el espacio de Hilbert H := L ( π, π) con la base ortonormal {e n } n Z, donde e n (t) = eint π. Denimos la aplicación lineal T : H H dada por ( ) T x n e n = n e n+1, n Zx n Z la cual es una isometría. La función f : H H dada por f(x) = 1 x e 0 + T (x), es continua y además si x 1, f(x) 1 x + T (x) 1 x + x 1, es decir f(b 1 (0)) B 1 (0). Sin embargo, f no tiene un punto jo en la bola unitaria. Supongamos que existe x B 1 (0) tal que f( x) = x, entonces x 0. Además, x < 1, pues en caso contrario f( x) = T ( x) y por lo tanto T ( x) = x, pero esto es absurdo ya que el único punto jo de T es x = 0. Dado que x H, admite un único desarrollo en serie de Fourier dado por x = n Zx n e n, donde x n = x, e n. Como x = T ( x), tenemos que es decir, ( x T ( x) = x f( x) 1 x ) e 0 = 1 x e 0, (x n x n 1 ) e n = 1 x e 0. n Z Luego, por unicidad de la serie, tenemos que { 0 si n 0. x n x n 1 = 1 x si n = 0 Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 14 de 7

15 3. Teorema del punto jo de Schauder Por lo tanto, x j = x 1 x 0 = x i, j y i 1, lo que es absurdo pues por la identidad de Parseval, n Zx n = x <. Ejemplo 3... Sea H = l y B = { x l : x 1 }. Consideremos la aplicación f : B B dada por f(x) = ( 1 x, x 1, x,...). Entonces, f es continua y f(x) = 1. Si existe x B tal que f( x) = x entonces f( x) = x = 1, y por la denición de f, f( x) = ( 1 x, x 1, x,...) = (0, x 1, x,...) = x. Por lo tanto, 0 = x 1 = x =..., es decir x = 0 lo cual es absurdo. Luego, f no tiene un punto jo. Denición Sean X un espacio normado y E X. Una función f : E X se dice compacta si f es continua y f(a) es compacta, siendo A un subconjunto acotado de E. Observación Si E es un subconjunto compacto de X entonces toda función f : E X es compacta. En efecto, si A es un subconjunto acotado de E entonces f(a) es un subconjunto cerrado en el conjunto compacto f(e), por lo tanto es compacto. Vamos a necesitar el siguiente Lema para demostrar del Teorema de Schauder. Lema Sean K un subconjunto compacto de un espacio normado X, ε > 0 y A un subconjunto nito de K tal que K {B(a, ε) : a A}. Denimos la aplicación φ A : K X dada por φ A (x) = {ma (x)a : a A} {ma (x) : a A}, donde m a (x) = 0 si x a ε y m a (x) = ε x a si x a ε. Entonces, φ A es una función continua y φ A (x) x < ε para todo x K. Demostración. Por denición m a (x) 0 para cada a A y {m a (x)a : a A} > 0 para todo x K, entonces φ A está bien denida sobre K. Además, φ A es continua, pues para cada a A, m a : K [0, ε] lo es. En efecto, sean ε > 0, x 1 B(a, ε) y x K\B(a, ε) tales que d(x 1 x ) < δ. Si tomamos 0 < δ ε entonces m a (x 1 ) m a (x ) = ε x 1 a x a x 1 a x x 1 < δ ε. Por otra parte, φ A (x) x = {ma (x)(a x) : a A}, {ma (x) : a A} y si m a (x) > 0 entonces x a < ε. Por lo tanto, φ A (x) x {ma (x) a x : a A} {ma (x) : a A} < ε. Teorema (Teorema del punto jo de Schauder). Sea E un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio normado X. Si f : E X es una aplicación compacta tal que f(e) E, entonces existe x E tal que f(x) = x. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 15 de 7

16 3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER Demostración. Si denimos K = f(e), entonces por hipótesis K E. Para cada n N, sean A n un subconjunto nito de K tal que K {B(a; 1/n) : a A} y φ n = φ An la aplicación denida en el Lema anterior. Luego, por la denición de φ n y la convexidad de E tenemos que φ n (K) co(k) E, entonces f n φ n f aplica E en si mismo. Además, por el Lema 3..5, para todo x E. f n (x) f(x) < 1/n Sea X n el espacio lineal generado por el conjunto A n y denimos E n = E X n. Entonces, X n es un espacio normado de dimensión nita, E n es un subconjunto convexo por denición y compacto de X n ya que E n es cerrado relativo de X n, siendo este último un espacio de Hausdor, y f n : E n E n es continua por ser composición de funciones continuas. Por el Corolario 3.1.4, existe un punto x n E n tal que f n (x n ) = x n. { Dado que {f(x n )} n N es una sucesión en el conjunto campacto K, existe una subsucesión f(xnj ) } j N y un punto x 0 K tal que f(x nj ) x 0. Dado que f nj (x nj ) = x nj, tenemos j que x nj x 0 f nj (x nj ) f(x nj ) + f(xnj ) x 0 1 n j + f(x nj ) x 0. Luego, x nj j x 0 y, dado que f es una función continua, f(x 0 ) = lim n f(x nj ) = x 0. Otra forma de demostrar el Teorema del punto jo de Schauder es probar que el conjunto compacto y convexo E es homeomorfo a un subconjunto compacto y convexo H del cubo de Hilbert H 0 = { {x n } n=1 l : x n 1 } y que si ϕ : H H es una aplicación continua entonces existe n 1 x H tal que ϕ(x) = x. Luego, utilizar el hecho que la propiedad del punto jo se preserva por homeomorsmos Se puede encontrar la demostración detallada en [8] Aplicación: Teorema de Lomonosov Lomonosov demostró en 1973 que un operador T sobre un espacio de Banach, el cual no es múltiplo de la identidad y conmuta con un operador compacto no nulo, tiene un subespacio invariante no trivial. Cuando este resultado apareció causo gran interés tanto por la conclusión como por la simplicidad de su prueba utilizando el Teorema del punto jo de Schauder. En particular, cualquier operador compacto en un espacio de Banach tiene un subespacio invariante no trivial. Denición Si X e Y son espacios de Banach y A : X Y es una transformación lineal, entonces A es compacto si A(B(X)) es compacto en Y, siendo B(X) la bola unitaria en X. Denotamos con B 0 (X, Y) al conjunto de todos los operadores compactos de X en Y; B 0 (X) = B 0 (X, X). Denición Sean X es un espacio de Banach y T B(X). Un subespacio invariante de T es un subespacio lineal cerrado M de X tal que T (x) M para todo x M. El subespacio M es no trivial si es distinto de (0) ó X. Denotamos Lat(T ) a la colección de todos los subespacios invariantes de T. Si A B(X) entonces Lat(A) = {Lat(T ) : T A}. Teorema (Teorema de Mazur). Si X es un espacio de Banach y K es un subconjunto compacto de X entonces co(k) es compacto. Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 16 de 7

17 3.3 Aplicación: Teorema de Lomonosov Demostración. Dado que co(k) es completo, basta ver que es totalmente acotado. Como K es compacto, dado ε > 0 podemos tomar una cantidad nita x 1, x,..., x n de elementos n de K tales que K B(x j, ε 4 ). Sea C = co {x 1, x,..., x n }. Por la Proposición.3.11, C es compacto entonces nuevamente existen y 1, y,.., y m C tales que C existe z co(k) tal que w z < ε 4, además z = m l α r z r, con z r K, α r 0 y r=1 para cada z r existe x j(r) tal que x j(r) z r < ε 4. Entonces, z l α r x j(r) = r=1 l α r (z r x j(r) ) r=1 B(y i, ε ). Si w co(k), 4 l α r = 1. Ahora, r=1 l α r z r x j(r) < ε 4. l l Dado que α r x j(r) C, existe y i C tal que α r x j(r) y i < ε 4. r=1 r=1 m Por la desigualdad triangular, co(k) B(y i, ε). Por lo tanto, co(k) está totalmente acotado. Lema (Lema de Lomonosov). Si A es una subálgebra de B(X) tal que el operador identidad I A, Lat(A) = {(0), X} y K es un operador compacto no nulo sobre X entonces existe A A tal que ker(ak I) (0). Demostración. Sea K un operador compacto no nulo y supongamos, sin perdida de generalidad, que K = 1 (en caso contrario podemos tomar el operador K K ). Tomemos x 0 X tal que K(x 0 ) > 1 y sea S = {x X : x x 0 1} la bola unitaria centrada en x 0. Entonces, 0 / S, pues si 0 S entonces x 0 1, por lo tanto 1 < K(x 0 ) K x 0 1 lo cual es una contradicción. Además, si x S entonces K(x 0 ) K(x) K x 0 x 1, pero K(x 0 ) > 1, por lo tanto K(S) está acotado lejos de cero, luego 0 / K(S). Dado que K es un operador compacto, K(S) es compacto. Como A es un álgebra, para todo elemento no nulo x X, {T (x) : T A} es un subespacio invariante para A y contiene un elemento no nulo, pues dado que I A, x = I(x) {T (x) : T A}, por lo tanto {T (x) : T A} Lat(A). Luego, por hipótesis, {T (x) : T A} = X. Entonces, para cada elemento no nulo x X, en particular para todo y K(S), existe T A tal que T (y) x 0 < 1, es decir K(S) {y : T (y) x 0 < 1}, siendo {y : T (y) x 0 < 1} conjuntos abierto. Entonces, por T A la compacidad de K(S) podemos tomar una cantidad nita de operadores T 1, T,..., T n A tal que n K(S) {y : T j (y) x 0 < 1}. Ahora, para cada y K(S) y 1 j n, sea r=1 a j (y) = max {0, 1 T j (y) x 0 }. Dado que T j es continua, a j es continua en la bola cerrado B 1 (x 0 ) y se anula en el borde, como además se anula en (B 1 (x 0 )) c, por el Lema del Pegamiento, a j resulta continua. Por la elección del Departamento de Matemática - UNLP Hoja 17 de 7

18 3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER subcubrimiento, para cada y K(S) existe al menos una función a j > 0, por lo tanto y la aplicación b j : K(S) R dada por b j (y) = a j(y) a j (y) está bien denida y además es continua pues a j lo es. Denimos ψ : S X por ψ(x) = b j (K(x))T j K(x). a j (y) > 0 Dado que b j, K y T j son continuas, ψ también lo es. Veamos que ψ(s) S. Si x S entonces K(x) K(S). Si b j (K(x)) > 0 entonces a j (K(x)) > 0 y por lo tanto tenemos que T j (K(x)) x 0 < 1. Luego, T j K(x) S, si b j (K(x)) > 0. Además, b j (K(x)) = 1 para todo x S, entonces ψ(x) es una combinación convexa de elementos de S, luego por ser S un conjunto convexo, ψ(s) S. El operador T j K B 0 para todo j. En efecto, si B es un conjunto acotado de X, dado que K es compacto, K(B) es compacto y como T j es continuo, T j (K(B)) también lo es. Ahora, dado que T j (K(B) es cerrado y está contenido en T j (K(B)), también es compacto y como la unión de n conjuntos precompactos es un conjunto precompacto, T j K(S) tiene clausura compacta. Por el Teorema de Mazur 3.3.3, co( n T j K(S)) es compacto. Pero este conjunto convexo contiene a ψ(s), ya que es combinación lineal de elementos de T j K(S), entonces, ψ(s) es compacto, ya que es un conjunto cerrado contenido en un conjunto compacto. Luego, ψ es una aplicación compacta sobre S. Por el Teorema del punto jo de Schauder 3..6, existe x 1 S tal que ψ(x 1 ) = x 1. Ahora, sean β j = b j (K(x 1 )) y A = β j T j. Entonces, A A y además A(K(x 1 )) = β j T j (K(x 1 )) = ψ(x 1 ) = x 1. Como x 1 0 pues 0 / S, y x 1 ker(ak I), tenemos que ker(ak I) 0. Denición Sea T B(X). Un subespacio hiperinvariante para T es un subespacio M de X tal que AM M para todo operador A en el conmutante T de T, es decir AM M si AT = T A. Observación Todo subespacio hiperinvariante para T es invariante. Teorema (Teorema de Lomonosov). Sea T B(X). Si T no es un múltiplo de la identidad y T K = KT para algún operador compacto no nulo K, entonces T tiene un subespacio hiperinvariante no trivial. Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 18 de 7

19 3.3 Aplicación: Teorema de Lomonosov Demostración. Sea A = T. Supongamos que T no admite un subespacio hiperinvariante no trivial, es decir Lat(A) = {(0), X}. Dado que A es un álgebra que contiene al operador identidad I, por el Lema de Lomonosov existe un operador A A tal que N = ker(ak I) (0). Además, N Lat(AK) y AK N es el operador identidad, en efecto si x N, AK(x) = AK(x) x + x = (AK I)(x) + x = x. Como ya vimos en la demostración del Lema anterior AK B 0, entonces AK N B 0. Esto implica que B N (0, 1) = AK(B N (0, 1)) es compacto, donde B N (0, 1) es la bola unitaria de N. Por lo tanto, N debe tener dimensión nita. Además, dado que A y K conmutan con T, para cada x N, AK(T (x)) = T (AK(x)) = T (x) entonces T (x) N, es decir N es invariante para T. Ahora, como N tiene dimensión nita, T N tiene un autovalor λ entonces M = ker(t λi) (0), pero si M = X entonces T = λi lo cual contradice que T no es múltiplo de la identidad. Además, si S A, para todo x M, (T λi)(s(x)) = T S(x) λs(x) = S(T (x)) λs(x) = S((T λi)(x)) = S(0) = 0. Entonces S(x) M, por lo tanto S(M) M. Luego, M es un subespacio no trivial hiperinavariante para T. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 19 de 7

20 4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI 4. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski 4.1. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski El resultado de este Teorema fué anunciado por el matemático Ryll-Nardzewski en 196, quién lo demostró con argumentos probabilísticos en 1967 ([7]). La demostración que seguiremos es una prueba geométrica dada por Namioka y Asplud en 1967 ([5]). Denición Sea K un conjunto convexo y V un espacio vectorial. Una aplicación T : K V se dice afín si T ( α j x j ) = α j T (x j ), donde x j K, α j 0 y α j = 1. El siguiente Teorema del punto jo para una familia de aplicaciones anes lo utilizaremos para demostrar el Teorema de Ryll-Nardzewski. Teorema (Teorema del punto jo de Markov-Kakutani). Si K es un subconjunto convexo, compacto y no vacío de un espacio localmente convexo X y F es una familia abeliana de aplicaciones continuas y anes T : K K, entonces existe x 0 K tal que T (x 0 ) = x 0 para toda T F. Demostración. Si T F y n 1 denimos la aplicación T (n) : K K como T (n) = 1 n 1 T k. n Si S, T F y n, m 1 entonces S (n) T (m) = T (m) S (n). En efecto, dado que F es abeliana, ST = T S. Supongamos que S (n 1) T = T S (n 1) para n N jo, entonces k=0 S (n) T = SS (n 1) T = ST S (n 1) = T SS (n 1) = T S (n). Ahora, si S (n) T (m 1) = T (m 1) S (n) para m N jo, entonces S (n) T (m) = S (n) T (m 1) T = T (m 1) S (n) T = T (m 1) T S (n) = T (m) S (n). Sea K = { T (n) (K) : T F, n 1 }. Por la continuidad de T y la compacidad de K, cada conjunto en K es compacto. Además, por ser T una aplicación afín y K un conjunto convexo, cada conjunto T (n) (K) es convexo. Si T 1, T,..., T r F y n 1, n,..., n r 1, entonces por la conmutatividad de la familia F, T (n 1) r (K) T (n j) (K), es decir K tiene la propiedad de la intersección 1...T r (nr) j nita. Por la compacidad de K, existe x 0 {B : B K}. Si T F entonces x 0 T (n) (K) para n 1. Por lo tanto, existe un punto x K tal que x 0 = T (n) (x) = 1 [ ] x + T (x) T (n 1) (x). n Entonces, T (x 0 ) x 0 = 1 [ ] T (x) T (n) (x) 1 [ x + T (x) T n 1 (x) ] n n = 1 [ ] T (n) (x) x 1 [K K]. n n Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 0 de 7

21 4.1 Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski Ahora, dado que K es compacto y K K es la imagen del conjunto compacto K K por la aplicación continua φ(x, y) = x y, tenemos que K K también es compacto. Por la Proposición..6, K K está acotado. Entonces dado un entorno abierto U de cero en X, existe un entero n 1 tal que 1 n [K K] U. Lo cual implica que T (x 0) x 0 U, para cualquier entorno abierto de cero. entonces T (x 0 ) x 0 = 0. Luego, como T era un elemento arbitratio de F, concluimos que x 0 es punto jo para toda aplicación en F. Denición Sean p una seminorma sobre X y A X. Denimos el p diámetro de A como el escalar dado por p diam(a) sup {p (x y) : x, y A}. Lema Si X es un ELC, K es un subconjunto convexo, separable, débilmente compacto y no vacío de X y p es una seminorma continua sobre X, entonces para todo ε > 0 existe un subconjunto cerrado y convexo C de K tal que a)c K; b)p diam(k\c) ε. Demostración. Sea S = { x X : p(x) ε 4} y sea D = Ext(K) ω K. Dado que K es separable, existe un subconjunto A K denso numerable entonces K a A(S + a). Además, como S es débilmente cerrado, cada conjunto a + S también lo es. Dado que D es un subconjunto del espacio de Hausdor X y es débilmente cerrado en K compacto, D es de Hausdor y débilmente compacto. Entonces, dado que (a n + S) D es cerrado relativo de D y D = ((a n + S) D), por el Teorema de Baire (.1.8), existe a A tal que ((a + S) D). Entonces existe un conjunto débilmente abierto W de X tal que W D (a + S) D y W D. Sean K 1 = co(d\w ) y K = co(d W ). Dado que K 1 y K son conjuntos compactos y convexos y K 1 K contiene los puntos extremales de K, por el Teorema de Krein-Milman.3.14 y el Lema.3.15 tenemos que K = co(k 1 K ). Además, K 1 K, pues si K 1 = K tenemos que K = co(d\w ). Entonces, por el Teorema.3.16, Ext(K) D\W, por lo tanto D D\W, con lo cual D W =. Esto contradice lo visto antes. Ahora, dado que (a + S) D es un conjunto cerrado y convexo que contiene a D W, tenemos que K a + S. Entonces, por denición de S, p diam(k ) sup {p (x y) : x, y K } ε. Sea r (0, 1] y denimos f r : K 1 K [r, 1] K por f r (x 1, x, t) = tx 1 +(1 t)x. Entonces, f r es continua y dado que (K 1 K [r, 1]) es débilmente compacto y convexo, C r f r (K 1 K [r, 1]) también lo es. Además, C r K para todo r (0, 1], en efecto si C r = K y z Ext(K) entonces existen x 1 K 1, x K, t [r, 1] tales que z = tx 1 + (1 t) x. Como t 0, z = x 1, por lo tanto Ext(K) K luego K 1 = K, tenemos una contradicción. Si y K\C r, por denición de C r y dado que K = co(k 1 K ), existen x 1 K 1, x K tales que y = tx 1 + (1 t) x con t [0, r). Entonces, n=1 p (y x ) = p (t(x 1 x )) = t p (x 1 x ) r d, donde d = p diam(k). Luego, si ỹ = t x 1 + (1 t) x K\C r entonces p (y ỹ) p (y x ) + p (x x ) + p ( x ỹ) rd + p diam(k ) rd + ε. Tomando r = ε 4d y C = C r queda demostrado el Lema. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 1 de 7

22 4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI Denición Sea X un espacio localmente compacto y Q un subconjunto no vacío de X. Si S es una familia de aplicaciones no necesariamnete lineales de Q en Q, entonces se dice que S es una familia no contráctil de aplicaciones si dados dos puntos distintos x, y Q se tiene que 0 / {T (x) T (y) : T S}. Lema Sean X un ELC, Q X y S una familia de aplicaciones de Q en Q. Entonces, S es una familia no contráctil si y sólo si para todo par de puntos distintos x, y Q existe una seminorma continua p tal que Demostración. inf {p (T (x) T (y)) : T S} > 0. ) Sean x, y Q puntos distintos y F una familia de seminormas que induce la topología sobre X. Si S es una familia no contráctil entonces existen una seminorma p F y ε > 0 tales que {z X : p (z) < ε} {T (x) T (y) : T S} =. Por lo tanto, p (T (x) T (y)) ε para toda aplicación T S. Luego, inf {p (T (x) T (y)) : T S} > 0. Además, dado que 0 {x X : p (x) < 1}, la seminorma p es continua. ) Si x e y son puntos distintos de Q y p es una seminorma continua tal que inf {p (T (x) T (y)) : T S} > 0 entonces existe ε > 0 tal que p (T (x) T (y)) ε para toda T S. Por lo tanto, el conjunto U = {z X : p (z) < ε} es un entorno de cero tal que U {T (x) T (y) : T S} =. Luego, 0 / {T (x) T (y) : T S}. Teorema (Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski). Si X es un espacio localmente convexo, Q es un subconjunto convexo, débilmente compacto de X y S es un semigrupo no contráctil de aplicaciones anes y débilmente continuas de Q en Q, entonces existe un punto x 0 Q tal que T (x 0 ) = x 0 para toda T en S. Demostración. Por la compacidad de Q basta ver que todo subconjunto nito de S tiene un punto jo común en Q. Sea {T 1, T,..., T n } S. Denimos T 0 = (T T n )/n, entonces T 0 : Q Q y es una aplicación débilmente continua y afín. Luego, por el Teorema de Markov-Kakutani (4.1.) existe x 0 Q tal que T 0 (x 0 ) = x 0. Veamos que T k (x 0 ) = x 0 para 1 k n. Si T k (x 0 ) x 0 para algún k, podemos reordenar los T k de manera que estos aparezcan primeros en la suma, es decir existe m N tal que T k (x 0 ) x 0 para todo k m y T k (x 0 ) = x 0 para todo k > m. Entonces x 0 = T 0 (x 0 ) = 1 n (T 1(x 0 ) T n (x 0 )) = 1 ( ) n m n (T 1(x 0 ) T m (x 0 )) + x 0. n Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja de 7

23 4. Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto Si T 0 = (T T m )/m tenemos que T 0 (x 0 ) = 1 m (T 1(x 0 ) T m (x 0 )) = n 1 m n (T 1(x 0 ) T m (x 0 )) = n [ ( ) ] n m x 0 x 0 m n = x 0. Por lo tanto, podemos suponer que T k (x 0 ) x 0 para 1 k n pero T 0 (x 0 ) = x 0. Ahora, dado que S es una familia no contráctil, por el Lema existen una seminorma continua p sobre X y ε > 0 tales que para todo T S y 1 k n, p (T (T k (x 0 )) T (x 0 )) > ε. Si S 1 es el semigrupo generado por {T 1,..., T n } entonces S 1 S y S 1 = {T l1...t lm : m 1, 1 l j n}. Por lo tanto, S 1 es un subsemigrupo numerable de S. Si K = co {T (x 0 ) : T S 1 }, entonces K es un subconjunto débilmente compacto, convexo y separable de Q. Luego, por el Lema existe un subconjunto convexo y cerrado C de K tal que C K y p diam(k\c) ɛ. Dado que C K existe S S 1 tal que S(x 0 ) K\C, entonces como T 0 (x 0 ) = x 0 tenemos que ( ) S(x 0 ) = ST 0 (x 0 ) = 1 n [ST 1(x 0 ) ST n (x 0 )] K\C. Luego, por la convexidad de C debe existir algún 1 i n tal que ST i (x 0 ) K\C. Entonces, p (ST i (x 0 ) S(x 0 )) p diam(k\c) ε. Esto contradice la desigualdad (*). Por lo tanto, T k (x 0 ) = x 0 para 1 k n. Ahora, sea F la colección de todos los subconjuntos nitos no vacíos de S. Si F F, denimos Q F = {x Q : T (x) = x, T F }. Por lo visto antes, Q F para todo F F. Además, dado que todo T S es débilmente continuo y afín, Q F es convexo y déblimente compacto. La colección {Q F : F F} de subconjuntos de Q tiene la propiedad de la intersección nita, en efecto tomemos una colección nita {Q F1,..., Q Fr } y consideremos el conjunto F = {T : T F i para todo i = 1,...r}. Dado que cada F i es nito, F también lo es y entonces Q F. Por lo tanto, existe x Q tal r que T (x) = x para todo T F, lo cual implica que Q Fi. Luego, por la compacidad de Q, F F Q F, es decir existe x 0 tal que T (x 0 ) = x 0 para toda aplicación T S. 4.. Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto La medida de Haar fué introducida por Haar en 193, quién prueba la existencia de una medida invariante a izquierda sobre grupos topológicos localmente compactos y separables. El Teorema de Haar fué generalizado por Weil a grupos topológicos localmente compactos y von Neumann demuestra que dicha medida está unívocamente determinada salvo factores constantes. En esta sección demostraremos la existencia y unicidad de la medida de Haar sobre grupos topológicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Narzewski. La operación sobre todos los grupos y semigrupos será denotada por multiplicación. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 3 de 7

24 4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI Denición Sean G un conjunto con una operación binaria : G G G y τ una familia de subconjuntos de G. Decimos que G es un grupo topológico si 1. (G, ) es un grupo,. (G, τ) es un espacio topológico, 3. las aplicaciones φ : G G G y ψ : G G dadas por φ(x, y) = x y, ψ(x) = x 1 son continuas. Teorema 4... Si G es un grupo topológico compacto, entonces existe una única medida positiva regular de Borel m sobre G tal que 1. m(g) = 1,. Si U es un subconjunto abierto no vacío de G entonces m(u) > 0, 3. Si A es un subconjunto de Borel de G y x G, entonces m(a) = m(ax) = m(xa) = m(a 1 ) donde Ax = {ax : a A}, xa = {xa : a A}, A 1 = { a 1 : a A }. La medida m se llama madida de Haar para G. Si G es un grupo topológico compacto, M(G) denota el espacio de todas las medidas regulares Borel sobre G. Entonces, una medida de Haar para un grupo G es un punto del conjunto Q := {µ M(G) : µ(g) = 1} el cual es jo bajo la familia de aplicaciones F = {R x : x G} {L x : x G} donde R x, L x : Q Q están dadas por R x (µ) = µ(x ) y L x (µ) = µ( x). Para poder aplicar el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski queremos ver a Q como un subconjunto de un espacio vectorial topológico adecuado. Utilizando el Teorema de representación de Riesz ([]) podemos identicar el conjunto Q con un subconjunto Q de C(G) y trasladar los resultados obtenidos para Q a Q. Teorema (Teorema de representación de Riesz). Si G es un espacio localmente compacto y µ M(G), denimos F µ : C 0 (G) F como F µ (f) = fdµ. Entonces, F µ C 0 (G) y la aplicación Φ : M(G) C 0 (G) tal que µ F µ es un isomorsmo isométrico. G Dado que G es compacto, C 0 (G) = C(G). Sea Q := Φ(Q) C 0 (X), es decir Q = Φ(Q) = {F C(G) : F > 0 y F (1) = 1} = U 1 (0) i 1 1 (1) i 1 f (R+ 0 ), f 0 donde U 1 (0) es la bola unitaria de C(G) e i f : C(G) C es el funcional dado por i f (F ) = F (f), para f C(G). Como i f es ω -continua para toda f C(G) y U 1 (0) es ω -compacta por el Teorema Trabajo Final de Análisis Funcional Hoja 4 de 7

25 4. Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto de Alaoglu, el conjunto Q es ω -compacto. Además, Q es convexo. Luego, Q es un subconjunto convexo y compacto del espacio localmente convexo (C(G), τ ω ). La medida µ Q es un punto jo de la familia F, es decir una medida de Haar, si y sólo si F µ Φ(µ) es un punto jo de F { } = Rx : x G} { Lx : x G donde R x = ΦR x Φ 1 Q y L x = ΦL x Φ 1 Q. Es decir, R x F µ (f) = F µ (f(x )) y L x F µ (f) = F µ (f( x)) para f C(G). Para poder aplicar el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski necesitamos un conjunto de funciones de Q en Q que contenga al conjunto F y sea un semigrupo con respecto a la composición. El conjunto F no es un semigrupo pero si lo es el conjunto generado por este, { } S = F = Rx Ly : x, y G pues R x y L y conmutan y R x Ry = R yx, L s Lt = L st. Además, todas las funciones de S mapean Q en Q. Para comprobar que S satisface las hipótesis del Teorema es necesario el siguiente Lema. Lema Sea G un grupo topológico compacto y F Q C(G). Entonces la aplicación ρ : G G (C(G), τ ω ) dada por ρ(x, y) = ( R x Ly )(F ) es continua. Demostración. Queremos ver que la aplicación (x, y) F (f(x y)) es continua para toda f C(G), donde f(x y) es una aplicación de G en F tal que z f(xzy). Dado que F es continua sobre C(G), basta ver que (x, y) f(x y) es continua para cada f C(G). Sean f C(G) ja, x, y G y ε > 0, queremos ver que existen entornos U x y U y de x e y, respectivamente, tales que para todo x U x e ỹ U y, se tiene que f( xzỹ) f(xzy) < ε para z G. Para esto veamos que dado ε > 0 existe un entorno V de e (e es la identidad G) tal que para todo w G, f( w) f(w) < ε, si w V wv. Sea ε > 0, dado que f es continua, para todo w G existe un entorno U w de w tal que si w U w entonces f( w) f(w) < ε. Por la continuidad de la aplicación φ : G G G dada por φ(u, v) = uwv en (e, e), existe un entorno W w de e tal que W w ww w U w. Por la continuidad de la aplicación (u, v) uv, existe un entorno V w de la identidad tal que Vw W w y V w W w. Como el conjunto G es compacto y {V w wv w } w G es un cubrimiento por abiertos de G, podemos n n tomar una cantidad nita w 1,..., w n G tal que G = V wi w i V wi. Consideremos V = V wi, el cual es un entorno de la identidad. Sean w G y w V wv, y tomemos r {1,,..., n} tal que w V wr w r V wr. Entonces, w U wr y w V V wr w r V wr V W wr w r W wr, por lo tanto f( w) f(w) f( w) f(w r ) + f(w r ) f(w) < ε. Ahora, sean ε > 0 y x, y G. Por lo visto en el párrafo anterior, si w = xzy, podemos tomar un entorno V de e tal que, para todo z G, f( w) f(xzy) < ε si w V wv. Si consideramos U x = V x y U y = yv, entonces para todo x U x, ỹ U y, z G se tiene que f ( xzỹ) f(xzy) < ε. Ahora, veamos que el conjunto S satisface las hipótesis del Teorema del punto jo de Ryll- Nardzewski Los elementos de S son aplicaciones anes ya que son composición de las aplicaciones anes R x y L y. Departamento de Matemática - UNLP Hoja 5 de 7