DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT

Transcripción

1 apítulo 5 Estática de los sistemas de sólidos rígidos 5.1. Introducción. Sistemas de sólidos rígidos Un sistema de sólidos rígidos es un conjunto de sólidos rígidos que interaccionan entre sí y con el exterior. Un sistema de sólidos rígidos es un modelo para describir un sistema mecánico, como lo son otros que hemos venido manejando en este texto (punto material, sistemas de puntos materiales, sólido rígido). En este capítulo vamos a estudiar el equilibrio de sistemas mecánicos suponiendo que su comportamiento mecánico se explica satisfactoriamente considerando que son sistemas de sólidos rígidos. En un sistema de sólidos rígidos llamamos ligadura o vínculo a una interacción que tiene el efecto de limitar las posiciones que puede ocupar uno o varios de los sólidos rígidos. Diremos que un sistema está ligado o vinculado si contiene ligaduras. Si la ligadura se produce entre uno de los sólidos y el exterior diremos que es una ligadura externa. Si la ligadura se produce únicamente entre sólidos del sistema, diremos que es una ligadura interna. Llamaremos fuerzas de reacción vincular internas y momentos de reacción vincular internos a las fuerzas y momentos que, según el principio de liberación, sintetizan el efecto mecánico de ligaduras internas. Llamaremos fuerzas de reacción vincular externas y momentos de reacción vincular externos a las fuerzas y momentos que, según el principio de liberación, sintetizan el efecto mecánico de ligaduras externas. Las fuerzas activas (es decir, aquéllas capaces de provocar movimiento) que actúan sobre un sistema de sólidos rígidos son de dos tipos: sistema de sólidos rígidos ligadura ligadura externa ligadura interna fuerzas de reacción vincular internas momentos de reacción vincular internos fuerzas de reacción vincular externas momentos de reacción vincular externos fuerzas activas Las fuerzas activas externas, que son aquellas debidas a la interacción del sistema con agentes exteriores (el peso de los sólidos rígidos, por ejemplo). 133

2 134 Estática de los sistemas de sólidos rígidos Las fuerzas activas internas, que son las debidas a interacciones entre partes del sistema (por ejemplo, un muelle que una dos partes del sistema). El estudio del equilibrio de sistemas de sólidos rígidos nos permitirá resolver varios tipos de problemas. Por ejemplo: veriguar qué fuerzas soportan las ligaduras que hay entre las vigas que forman un cierta estructura cuando está soportando una cierta carga. veriguar qué fuerzas externas soporta el terreno en el que se sustenta una estructura. veriguar cuándo se puede suprimir una ligadura sin por ello poner en peligro la estabilidad de un sistema. veriguar qué fuerzas internas se producen en una viga cuando está soportando una cierta carga. En estos problemas, en general, las fuerzas y momentos de reacción vincular son incógnitas del problema. ntes de comenzar con el estudio del equilibrio de un sistema de sólidos rígidos procede hacer los siguientes comentarios sobre cómo se define un sistema. En los problemas que involucran varios sólidos rígidos suelen plantearse dos dilemas previos: () De cuántos sólidos rígidos está formado el sistema? () Qué cuerpos forman parte del sistema y cuáles no? La respuesta que se dé a () va a determinar el número de incógnitas asociadas a vínculos y fuerzas interiores van a aparecer en el problema. La respuesta que se dé a () va a determinar qué vínculos y fuerzas se van a considerar como interiores y cuáles como exteriores. Para un sistema de cuerpos dado, en principio hay varias elecciones posibles (compatibles con la suposición de que el sistema es un conjunto de sólidos rígidos). En la práctica, las elecciones que se hagan dependerán del problema concreto a estudiar. EJEMPLO: Dos vigas soldadas entre sí y unidas al exterior mediante una articulación se podrán considerar como un único sólido rígido, si lo que nos interesa es averiguar las fuerzas que ha de soportar la articulación; pero será más conveniente suponer que se trata de dos sólidos rígidos si lo que nos interesa es averiguar el momento que ha de soportar la soldadura. Esas dos vigas pueden formar parte de una estructura más compleja (por ejemplo, un puente), pero si lo que nos interesa es únicamente averiguar las fuerzas que ha de soportar la articulación, lo más práctico será suponer que el resto del puente es el exterior ondiciones necesarias y suficientes de equilibrio Un sistema de N sólidos rígidos está en equilibrio si y sólo si:

3 5.3 El método de fragmentación 135 Los N sólidos están inicialmente en reposo respecto a un sistema de referencia inercial. Los sistemas de fuerzas (externas e internas) que actúan sobre cada uno de los N sólidos son sistemas nulos. Es decir, para cada sólido k (con k = 1,...,N) sometido a m k fuerzas externas, i, y n k fuerzas internas, f i, se debe cumplir: i=1 m k n k i + f j = 0, (5.1) i=1 j=1 j=1 m k M Ok ( n k i ) + M Ok ( f j ) = 0. (5.2) Para cada sólido rígido k, se puede usar un punto O k distinto para el cálculo de los momentos. Nótese que los sumatorios de las fuerzas y de los momentos de las ecs. (5.1) y (5.2) se extienden hasta los mismos valores m k y n k. Esto es así porque estamos incluyendo los pares de fuerzas en la ec. (5.1), aún cuando sabemos que sus resultantes son nulas. ada una de las N ecuaciones vectoriales del tipo (5.1) y (5.2) se puede reescribir como 3 ecuaciones escalares. En el caso plano, para cada sólido obtendremos 3 ecuaciones escalares (dos de fuerzas y una de momentos), y por tanto en total tendremos 3N ecuaciones escalares linealmente independientes. Estas ecuaciones permitirán resolver 3N incógnitas, entre las que estarán incluidas incógnitas de configuración (que son las coordenadas o ángulos de equilibrio de alguno de los sólidos) y las incógnitas asociadas a fuerzas y momentos activas y de reacción vincular, tanto interiores como exteriores El método de fragmentación uando se estudia el equilibrio de un sistema de sólidos rígidos no siempre interesa determinar todas las fuerzas de reacción vincular, de manera que puede ser innecesario resolver el sistema formado por todas las ecuaciones del tipo (5.1) y (5.2). Esto nos lleva a adoptar una estrategia o método de generar ecuaciones de equilibrio que se conoce como el método de fragmentación. Este método se basa en la siguiente observación: Si fragmentamos mentalmente un sistema de sólidos que está en equilibrio, cada uno de los fragmentos también ha de estar en equilibrio. El método de fragmentación consta de 4 pasos: (I) ragmentar el sistema en tantas partes como sea necesario para que en las ecuaciones de equilibrio aparezcan explícitamente las incógnitas (de reacción vincular y de configuración) deseadas. (II) Dibujar el diagrama de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los fragmentos, teniendo en cuenta que hay que aplicar: (a) El principio de liberación, es decir, sustituir todos los vínculos (tanto externos como internos) por las correspondientes fuerzas y momentos de reacción vincular. método de fragmentación

4 136 Estática de los sistemas de sólidos rígidos PROLEM RESUELTO 5.1: PROLEM RESUELTO 5.1 Sistema de 4 sólidos rígidos. En y E hay sendas articulaciones, en un apoyo simple, en y D sendas soldaduras, entre y G una biela que forma 53 con la horizontal, y de H cuelga un peso P. Solución: (b) El principio de acción-reacción o tercera ley de Newton a las fuerzas y momentos interiores. (III) Escribir las 3 ecuaciones de equilibrio (en el caso plano) correspondientes a cada uno de los N fragmentos. (IV) Resolver el sistema formado por las 3N ecuaciones. El sistema plano de la figura consta de 4 barras de pesos despreciables sometidas a los siguientes vínculos: en y E hay sendas articulaciones, en un apoyo simple, en y D sendas soldaduras, entre y G una biela que forma 53 con la horizontal. Sabiendo que de H cuelga un peso de 100 N, determina las fuerzas de reacción vincular en los puntos,, E y G. Datos adicionales: l = 1m, l E = 6m, l G = 3m, l E = l EH /2. E D G (a) Para que en las ecuaciones de equilibrio aparezcan las incógnitas buscadas, basta con considerar dos fragmentos: la barra EH y el resto del sistema. (b) Los diagramas de fuerzas de los dos fragmentos se ilustran en la fig. P1a. Nótese que en el diagrama de la izquierda los sentidos de φ Ex, φ Ey y φ G son los contrarios a los del diagrama de la derecha (y lo mismo ocurriría con los sentidos de los momentos, si apareciesen momentos de reacción vincular asociados a ligaduras internas). (c) Tomando cos 53 = 3 5 y sen53 = 4 5, las ecuaciones de equilibrio del fragmento de la izquierda son: H φ x 3 5 φ G + φ Ex = 0, φ y + φ 4 5 φ G + φ Ey = 0, (P1.1) (P1.2)

5 5.3 El método de fragmentación 137 y x Ey G E D Ex G Ex E Ey 6φ x 1φ y φ G = 0, G donde la última ecuación se ha obtenido tomando momentos en E. Las ecuaciones de equilibrio de la barra EH son: φ Ex φ G = 0, φ Ey φ G 100 = 0, l EH 2 H P (P1.3) (P1.4) (P1.5) 4 5 φ G l EH 100 = 0, (P1.6) donde la última ecuación se ha obtenido tomando momentos en E. Nótese que no hace falta calcular l EH puesto que puede sacarse como factor común en la ec. (P1.6). (d) Resolviendo el sistema formado por las ecs. (P1.4) (P1.3) obtenemos φ Ex = 150N, φ Ey = 100N, φ G = 250N, φ x = 0N, φ y = 450N y φ = 550N. Si queremos expresar vectorialmente la solución diremos que sobre el fragmento de la izquierda actúan las siguientes fuerzas de reacción vincular: φ = (0, 450)N, φ = (0,550)N, φ G = ( 150, 200)N, φ E = (150,100)N. PROLEM RESUELTO 5.2: El sistema plano de la figura consta de las barras uniformes, y E, ambas de longitud l, que forman sendos ángulos de 53 con la horizontal. El módulo del peso de la barra es P y el de la barra E es 2P. Las barras están articuladas entre sí en el punto y unidas por sus puntos medios mediante una biela horizontal D. demás, la barra está articulada con el exterior en el punto y la barra E IGUR P1a: Diagramas de fuerzas de los dos fragmentos.

6 138 Estática de los sistemas de sólidos rígidos PROLEM RESUELTO 5.2 Solución: IGUR P2a: Diagramas de fuerzas de las barras (izda.) y D (dcha.). tiene un apoyo simple sobre una superficie horizontal en el punto E. Para el estado de equilibrio, determina las fuerzas que sufren las barras en los puntos,,, D y E en función de P. 53 o D 53 o (a) Para que en las ecuaciones de equilibrio aparezcan las incógnitas buscadas, basta con considerar dos fragmentos: la barra y la barra E. (b) El diagrama de fuerzas de la barra se ilustra en la fig. P2a izda. y el de la barra E en la fig. P2a dcha. Nótese que en el diagrama de la izquierda los sentidos de φ, φ x y φ y son los contrarios a los del diagrama de la derecha. x y x P y y E x (c) Tomando cos 53 = 3 5 y sen53 = 4 5, las ecuaciones de equilibrio de la barra son: 2P D φ x + φ φ x = 0, E E (P2.1) φ y P + φ y = 0, (P2.2) l φ l P + l4 5 φ x + l 3 5 φ y = 0, (P2.3) esta última ecuación se ha obtenido tomando momentos en el punto. Las

7 5.3 El método de fragmentación 139 ecuaciones de equilibrio de la barra E son: φ + φ x = 0, (P2.4) φ y 2P + φ E = 0, (P2.5) l φ l P + l3 5 φ E = 0, (P2.6) esta última ecuación se ha obtenido tomando momentos en el punto. (d) Resolviendo el sistema formado por las ecs. (P2.1) (P2.6) obtenemos: φ x = 0, φ y = 5P 4, φ = φ x = 9P 8, φ y = P 4, φ E = 7P 4. La expresión vectorial de las fuerzas de reacción vincular que actúan sobre la barra es: φ = ( ) 0, 5P 4, φ = ( 9P 8,0), φ = ( 9P 8, ) P 4. En el ejemplo anterior hemos llegado a la solución resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de los dos fragmentos. veces, sin embargo, puede resultar más sencillo resolver el sistema formado por las ecuaciones de uno de los fragmentos y las del sistema considerado como un todo. Nótese que las ecs. (P2.1) (P2.3) correspondientes a la barra contienen 5 incógnitas de reacción vincular, y las ecs. (P2.4) (P2.6) correspondientes a la barra E contienen 4 incógnitas de reacción vincular. Sin embargo, las ecuaciones correspondientes al sistema como un todo (véase fig. P2b), φ x = 0, (P2.7) φ y P 2P + φ E = 0, (P2.8) l 4 5 φ x l 3 5 φ y + l P l P + l3 5 φ E = 0, (P2.9) contienen sólo 3 incógnitas de reacción vincular (la última ecuación se ha obtenido tomando momentos en ). Por tanto, el sistema formado por las ecs. (P2.4) (P2.9) permite obtener las mismas soluciones y es más sencillo de resolver que el formado por las ecs. (P2.1) (P2.6). x y P Existen otros métodos para la resolución de sistemas de sólidos rígidos como el método de los nudos (que se basa en que si un sistema de sólidos está en equilibrio, cada uno de los nudos, puntos, considerado en esa sistema ha de estar en equilibrio) y el método de Ritter o método de las secciones que introduciremos en la sección P D E E IGUR P2b: Diagrama de fuerzas del sistema formado por las barras y D considerado como un todo.

8 140 Estática de los sistemas de sólidos rígidos 5.4. Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos Grados de libertad externos e internos onviene recordar que se denomina número de grados de libertad del sistema, o simplemente grados de libertad del sistema, al número de magnitudes (en este texto, longitudes y ángulos) independientes que determinan de modo inequívoco la configuración de un sistema de puntos materiales. EJEMPLO: El número de grados de libertad de un sistema plano formado por N sólidos rígidos, supuestos libres (es decir, no sometidos a vínculos de ningún tipo, ni externos ni internos), es 3N, y representa los movimientos independientes en que se pueden descomponer todos los posibles movimientos de los N sólidos libres en el plano. uando se analiza un sistema de sólidos rígidos puede considerarse, por una parte, los movimientos que dicho sistema puede realizar como conjunto, es decir, como si se tratase de un único sólido rígido (con todos los vínculos congelados ). Por otra parte, podemos considerar los movimientos relativos entre los cuerpos que forman el sistema de sólidos. doptando este punto de vista, podemos decir que un sistema de sólidos rígidos posee grados de libertad externa (o grados de libertad externos) G E, asociados a los movimientos de conjunto respecto al exterior, y grados de libertad interna (o grados de libertad internos) G I, asociados a los movimientos independientes de los sólidos rígidos entre sí. Para el caso de un sistema plano de sólidos libres, el número de grados de libertad externos vale G E (l) = 3, (5.3) ya que son 3 los movimientos independientes que como conjunto (como si fuera un único sólido) pueden realizar en el plano: dos traslaciones y un giro (por ejemplo). Por otro lado, dado que el número de grados de libertad de cada sólido rígido libre es también 3, el número total de grados de libertad del sistema de N sólidos rígidos será G = 3N, (5.4) de donde resulta que el número de grados de libertad internos del sistema debe ser G I = 3N 3. (5.5) Si el sistema plano de sólidos está ligado, los movimientos relativos y de conjunto quedan total o parcialmente impedidos o restringidos a causa de los vínculos o ligaduras. onviene recordar que llamamos coacciones a las limitaciones elementales de movimiento originadas por cada ligadura. Las coacciones son típicamente impedimentos de traslaciones y/o giros (por ejemplo, las coacciones realizadas por una articulación sobre un sólido consisten en impedir dos traslaciones). Una coacción, por consiguiente, equivale a la supresión de un grado de libertad. Las coacciones se modelan mediante fuerzas y/o momentos

9 5.4 Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos 141 de reacción vincular, de acuerdo con el principio de liberación. Estas fuerzas y momentos de reacción vincular introducen incógnitas de reacción vincular en el problema, en número equivalente al de coacciones (por ejemplo, una articulación introduce una fuerza de reacción vincular con dos incógnitas, que corresponden a las dos coacciones realizadas por el vínculo). De lo anterior se deduce que a causa de los vínculos externos e internos presentes deberá disminuir el número de grados de libertad global del sistema G respecto al caso libre, y con él G E, G I, o ambos Estabilidad externa o estabilidad de sustentación El número de grados de libertad externa, G E, está exclusivamente condicionado por las ligaduras externas, puesto que éstas son las únicas que pueden impedir los movimientos de conjunto. Dado que para un sistema plano G E (l) = 3, las ligaduras externas deben ejercer un mínimo de 3 coacciones (el impedimento de dos traslaciones y un giro, por ejemplo) para impedir todos los movimientos del sistema de sólidos como un todo. En el caso plano, si el número de coacciones externas es E 3, el número de grados de libertad externos del sistema de sólidos se obtiene como G E = 3 E. (5.6) Si, por el contrario, E > 3, el número de grados de libertad externos es, por definición, G E = 0. lternativamente, G E recibe el nombre de grado de inestabilidad externa del sistema. Según el valor de E pueden plantearse 3 situaciones: E = 3. En este caso las ligaduras externas son las estrictamente necesarias en número, y adecuadas en tipo y localización, para impedir los movimientos del sistema de sólidos como un todo: ello implica que aparecen 3 incógnitas de reacción vincular externas en las ecuaciones de equilibrio del sistema completo (que también son 3), y dichas incógnitas se podrán determinar a partir de tales ecuaciones. Por tanto, G E = 0. (5.7) Un sistema de este tipo se dice que es externamente isostático o isostático de sustentación. E > 3. En este caso las ligaduras externas son superabundantes en número, y eficaces por su tipo y localización, lo que significa que el número de coacciones ejercidas por ellas es mayor que 3, y que los movimientos del sistema como un todo quedan suprimidos. Entonces, el número de incógnitas de reacción vincular externas supera al número de ecuaciones de equilibrio del sistema completo. Por tanto, no pueden calcularse todas las incógnitas sólo con las ecuaciones de la Estática del sistema completo 1. Su determinación require: (a) si el sistema es inestable de constitución (véase más adelante), usar las ecuaciones independientes sobrantes (véase más adelante) para calcular alguna de las incógnitas de reacción vincular externas; (b) si el sistema es inestable de constitución y las ecuaciones generadas por el método (a) no son suficientes, o si el sistema es número de coacciones externas 1 veces, sin embargo, la simetría del problema reduce el número de incógnitas externas de reacción vincular efectivas, con lo cual ese cálculo sí sería posible.

10 142 Estática de los sistemas de sólidos rígidos grado de hiperestaticidad externa externamente hiperestático Un sistema de este tipo se dice que es externamente inestable, o un me- canismo de sustentación, con grado de libertad externo G E. externamente inestable estable internamente (véase más adelante), admitir que los sólidos del sistema experimentan pequeñas deformaciones, y recurrir a ecuaciones adicionales propias de la Elasticidad y Resistencia de Materiales. En estos sistemas cabe la posibilidad de suprimir o modificar algunas ligaduras externas (no cualesquiera) sin que por ello puedan producirse movimientos de conjunto al aplicar fuerzas arbitrarias sobre el sistema. Para caracterizar la estabilidad externa del sistema de sólidos cuando E > 3 se define el grado de hiperestaticidad externa del sistema, H E = 3 E > 0, (5.8) aunque no debe olvidarse que en estos sistemas G E = 0, de acuerdo con la definición de grados de libertad. Un sistema de este tipo se dice que es externamente hiperestático, o hiperestático de sustentación, con grado de hiperestaticidad externa H E. E < 3. En este caso las ligaduras externas ejercen un número de coacciones menor que 3, insuficiente para cancelar todos los movimientos del sistema como un todo. Si las fuerzas se eligen convenientemente, el sistema puede estar en equilibrio como un todo respecto a un sistema de referencia exterior pero, en general, el sistema se moverá bajo la acción de fuerzas cualesquiera. En el primer caso, serán aplicables las ecuaciones de equilibrio del sistema como un todo. partir de ellas podrán despejarse todas las incógnitas de reacción vincular externas y, además, se obtendrán condiciones que deben ser satisfechas bien por las fuerzas activas externas o bien por la disposición geométrica del sistema de sólidos (parámetros de configuración), a fin de que el sistema esté en equilibrio como conjunto. En estos sistemas, G E > 0. (5.9) Los sistemas externamente estables son tanto los externamente isostáticos como los externamente hiperestáticos. Para terminar, una importante consideración de índole práctica acerca del tipo y localización de las ligaduras: antes de determinar G E (ó H E ) hay que comprobar si las ligaduras o vínculos externos son realmente eficaces a la hora de ligar al sistema. Un análisis similar al que hicimos en el capítulo 4 para el caso de un único sólido rígido demuestra que aquellos sistemas planos cuyas fuerzas de reacción vincular externas sean todas paralelas o todas concurrentes en un punto son externamente inestables, aunque sea E > 3. En el apartado se discutirá esto con más detalle Estabilidad interna o estabilidad de constitución El número de grados de libertad interna, G I, está exclusivamente condicionado por las ligaduras internas, puesto que éstas son las que pueden impedir los movimientos relativos entre los sólidos del sistema. Dado que para un sistema plano G I (l) = 3N 3, las ligaduras internas estrictamente necesarias para impedir todos los movimientos relativos entre sólidos deben ejercer 3N 3 coacciones (impedir 3N 3 movimientos independientes).

11 5.4 Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos 143 Si fragmentamos el sistema y consideramos los N sólidos por separado se generan 3N ecuaciones linealmente independientes que permiten despejar 3N incógnitas (entre externas e internas). Por otro lado, al estudiar el equilibrio del sistema considerándolo como un todo, se obtienen 3 ecuaciones de equilibrio. Estas 3 ecuaciones de equilibrio global son combinaciones lineales de las 3N ecuaciones obtenidas al considerar los N sólidos por separado. En el caso plano, si el número de coacciones internas es I 3N 3, el número de grados de libertad internos del sistema de sólidos se obtiene como G I = 3N 3 I. (5.10) Si, por el contrario, I > 3N 3, el número de grados de libertad internos es, por definición, G I = 0. lternativamente, G I recibe el nombre de grado de inestabilidad interna del sistema o grado de deformabilidad interna del sistema. Según el valor de I pueden plantearse 3 situaciones: I = 3N 3. En este caso las ligaduras internas son las estrictamente necesarias en número, y adecuadas en tipo y localización, para impedir eficazmente los movimientos relativos de los sólidos del sistema plano: ello implica que aparecen 3N 3 incógnitas de reacción vincular internas en las ecuaciones de equilibrio internas e independientes del sistema (que también son 3N 3), y dichas incógnitas se podrán determinar a partir de tales ecuaciones. Un sistema de este tipo se dice que es internamente isostático o isostático de constitución. I > 3N 3. En este caso las ligaduras internas son superabundantes en número, y eficaces por su tipo y localización, lo que significa que el número de coacciones ejercidas por ellas es mayor que 3N 3, y que los movimientos relativos quedan suprimidos. Entonces el número de incógnitas de reacción vincular internas supera al número de ecuaciones de equilibrio internas independientes del sistema. Su determinación admitir que los sólidos del sistema experimentan pequeñas deformaciones, y recurrir a ecuaciones adicionales propias de la Elasticidad y Resistencia de Materiales. En estos sistemas cabe la posibilidad de suprimir o modificar algunas ligaduras internas (no cualesquiera) sin que por ello puedan producirse movimientos relativos entre sólidos al aplicar fuerzas arbitrarias sobre el sistema. Para caracterizar la estabilidad externa del sistema de sólidos cuando I > 3N 3 se define el grado de hiperestaticidad interna del sistema, H I = 3N 3 I > 0, (5.11) aunque no debe olvidarse que en estos sistemas G I = 0, de acuerdo con la definición de grados de libertad. Un sistema de este tipo se dice que es internamente hiperestático, o hiperestático de constitución, con grado de hiperestaticidad interna H I. I < 3N 3. En este caso las ligaduras internas ejercen un número de coacciones insuficiente para cancelar todos los movimientos relativos posibles entre los sólidos. Si las fuerzas se eligen convenientemente, el sistema puede estar en equilibrio relativo interno pero, en general, las distintas partes del sistema se podrán mover unas respecto a otras internamente bajo la acción de fuerzas cualesquiera. En el primer caso, serán aplicables las ecuaciones de equilibrio internas independientes. partir de número de coacciones internas grado de inestabilidad interna internamente isostático internamente hiperestático

12 144 Estática de los sistemas de sólidos rígidos Un sistema de este tipo se dice que es internamente inestable, interna- mente deformable, inestable de constitución, o deformable de constitución, con grado de libertad interna G I. internamente inestable IGUR 5.1: Sistema de tipo (i): G E = 0, G I = 0 y G = 0. IGUR 5.2: Sistema de tipo (ii) con H E = 1, H I = 1 y H = 2. IGUR 5.3: Sistema de tipo (iii) con G E = 1, G I = 1 y G = 2. IGUR 5.4: Sistema de tipo (iii) con G E = 1, G I = 1 y G = 2. ellas podrán despejarse todas las incógnitas de reacción vincular internas (aunque en función de las externas, si las hubiera). En este caso, G I > 0. (5.12) Los sistemas internamente estables son tanto los sistemas internamente isostáticos como los internamente hiperestáticos. l igual que en el caso de los grados de libertad externos, antes de determinar el número de grados de libertad interna G I del sistema hay que comprobar si las ligaduras o vínculos internas son realmente eficaces a la hora de ligar al sistema, y prestar atención a la disposición de tales ligaduras y de los propios sólidos. Por ejemplo, puede ocurrir que un sistema en el que G I = 0 conste de dos partes: una de ellas excesivamente ligada, y la otra deficientemente ligada, de modo que el exceso de ligaduras de una se compense con el defecto de la otra. Sin embargo, la parte deficientemente ligada podrá deformarse si las fuerzas son las apropiadas, con lo que subsisten aún movimientos relativos internos en el sistema. Esto se discutirá con más detalle en el apartado Estabilidad global de un sistema: sistemas inestables, isostáticos e hiperestáticos En el caso plano, si el número de coacciones ejercidas por los vínculos (tanto internos como externos) es = E + I 3N, el número de grados de libertad global del sistema, al que denominaremos simplemente número de grados de libertad, se obtiene como G = 3N. (5.13) Si, por el contrario, > 3N, el número de grados de libertad es, por definición, G = 0. Para caracterizar la estabilidad global del sistema de sólidos cuando > 3N, se define el grado de hiperestaticidad global del sistema, H = 3N > 0. (5.14) No obstante, debemos advertir que en los casos H E > 0, G I > 0, y G E > 0, H I > 0, las ecs. (5.13) y (5.14) pueden dar resultados incorrectos para determinadas disposiciones de las ligaduras. Esta circunstancia se discutirá en detalle más adelante. Si no quisiéramos más información que la estabilidad global de un sistema, bastaría con dar G (ó H). Sin embargo, este número no siempre es lo suficientemente informativo sobre el comportamiento que cabe esperar en el sistema. En cambio, la combinación de G E (ó H E, en sistemas externamente hiperestáticos) y G I (ó H I, en sistemas internamente hiperestáticos), proporciona una idea más clara de lo que ocurre. La tabla 5.1 resume las 9 posibles formas de clasificar un sistema de sólidos rígidos atendiendo a su estabilidad externa e interna. Dichos casos son los siguientes: (i) G E = 0, G I = 0 y G = 0 (véase la fig. 5.1). En este caso el sistema es al mismo tiempo isostático externa e internamente (de sustentación y

13 5.4 Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos 145 H E > 0 (y G E = 0) G E = 0 G E > 0 H I > 0 (y G I = 0) H > 0 (y G = 0), H > 0 (y G = 0), G > 0 (por inspección), véase (ii) véase (vi) véase (v) G I = 0 H > 0 (y G = 0), G = 0, G > 0, véase (vii) véase (i) véase (ix) G I > 0 hiperestático, isostático o mecanismo, G > 0, G > 0, H ó G por inspección, véase (iv) véase (viii) véase (iii) TL 5.1: Las 9 clases de sistemas de sólidos rígidos según su estabilidad externa e interna. de constitución). Los vínculos externos e internos son los estrictamente necesarios en número, y del tipo y localización adecuados, para impedir de modo eficaz los movimientos relativos y de conjunto del sistema de sólidos, sean cuales fueren las fuerzas que se apliquen. Será posible determinar a partir de las ecuaciones de equilibrio todas las incógnitas de reacción vincular. El sistema es globalmente isostático o estáticamente determinado. (ii) H E > 0, H I > 0 y H > 0 (véase la fig. 5.2). En este caso el sistema es a la vez hiperestático externa e internamente. Los vínculos externos e internos son en ambos casos superabundantes, el tipo y distribución de unos y otros es el adecuado, y los posibles movimientos relativos y de conjunto están impedidos (además, lo están con suficiencia). No es posible determinar los valores de todas las incógnitas de reacción vincular mediante el exclusivo recurso a las ecuaciones de equilibrio de la Estática. El sistema es globalmente hiperestático, ó estáticamente indeterminado, de grado H. (iii) G E > 0, G I > 0 y G > 0 (véase las figs. 5.3 y 5.4). En este caso el sistema es externa e internamente inestable. Los vínculos externos e internos son insuficientes para impedir todo movimiento relativo y de conjunto. Si se aplican fuerzas al sistema, en general se moverá y deformará. ún así, elegidas convenientemente las fuerzas, el sistema puede permanecer en equilibrio, y en ese caso podríamos escribir las oportunas ecuaciones de equilibrio y a partir de ellas determinar los valores de todas las incógnitas de reacción vincular. El sistema es globalmente mecanismo de grado G, o lo que es lo mismo, es inestable de grado G. (iv) H E > 0 y G I > 0 (véase las figs. 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9 y 5.10). En este caso es necesario estudiar la mutua influencia entre las ligaduras externas y las internas en relación con los posibles movimientos relativos interiores. Los movimientos de conjunto están neutralizados debido a la hiperestaticidad externa del sistema. parentemente, dado que el sistema es deformable internamente, subsistirían movimientos relativos no cancelados entre sólidos. Sin embargo, debemos tener en cuenta que si las superabundantes ligaduras externas son suficientes en número, son del tipo adecuado y están convenientemente situadas, pueden contribuir a impedir los movimientos relativos entre los sólidos del sistema, colaborando con las ligaduras internas. Si éste fuera el caso, el sistema de IGUR 5.5: Sistema globalmente hiperestático de tipo (iv) con H E = 2, G I = 1 y, por inspección, H = 1. IGUR 5.6: Sistema globalmente hiperestático de tipo (iv) con H E = 2, G I = 1 y, por inspección, H = 1. IGUR 5.7: Sistema globalmente isostático de tipo (iv) con H E = 1, G I = 1 y, por inspección, G = 0.

14 146 Estática de los sistemas de sólidos rígidos IGUR 5.8: Sistema globalmente pseudoisostático, inestable de tipo (iv) con H E = 1, G I = 1 y, por inspección, G = 1. El cálculo de G usando la ec. (5.13) da G = 0, lo cual es incorrecto. IGUR 5.9: Sistema globalmente pseudohiperestático, inestable de tipo (iv) con H E = 3, G I = 1 y, por inspección, G = 1. El cálculo de H usando la ec. (5.14) da H = 2, lo cual es incorrecto. IGUR 5.10: Sistema globalmente inestable de tipo (iv) con H E = 1, G I = 2 y, por inspección, G = 1. IGUR 5.11: Sistema de tipo (v) con G E = 1, H I = 3 y, por inspección, G = 1. sólidos tendría G = 0 y, si además H E > G I, tendría un grado de hiperestaticidad global dado por la ec. (5.14). El sistema quedaría clasificado como globalmente hiperestático (si H E > G I, véase las figs. 5.5 y 5.6) o globalmente isostático (si H E = G I, véase la fig. 5.7). uando la mutua interrelación ligaduras internas-ligaduras externas no tiene como resultado la cancelación de todo posible movimiento interno no será G = 0, sino G > 0. En este caso debemos caracterizar la estabilidad del sistema mediante H E y G I, y deducir el auténtico valor de G analizando los movimientos no cancelados del sistema. El cálculo de G usando la ec. (5.13) ó H usando la ec. (5.14) no tiene otro significado que el hecho de que el sistema, con los mismos vínculos distribuidos de otra forma, sería potencialmente isostático (G = 0) o hiperestático (H > 0). Denominaríamos a tal sistema pseudoisostático o pseudohiperestático, según sea = 3N (véase la fig. 5.8) ó > 3N (véase la fig. 5.9), respectivamente. Queda la posibilidad de que < 3N. En este caso el sistema quedaría clasificado como globalmente inestable, y calcular G con la ec. (5.13) plantea menos objeciones conceptuales, porque es verdad que subsisten movimientos no cancelados en el sistema (véase la fig. 5.10). (v) G E > 0, H I > 0 y G > 0 (véase la fig. 5.11). En este caso la superabundancia de ligaduras internas cancela los movimientos relativos entre los sólidos, pero no puede impedir los movimientos de conjunto del sistema, que es inestable externamente. sí pues, sería erróneo calcular G mediante la ec. (5.13) ó H mediante la ec. (5.14), pues si H I > G E resultaría H > 0, siendo este resultado a todas luces carente de sentido cuando el sistema globalmente considerado se puede mover. Deberemos, por tanto, caracterizar la estabilidad del sistema dando por separado G E y H I. El sistema deberá clasificarse como globalmente inestable. El valor real de G se determinará mediante el análisis de los movimientos no cancelados en el sistema. (vi) G E = 0, H I > 0 y H > 0 (véase la fig. 5.12). En este caso todos los movimientos relativos y de conjunto están neutralizados. No se podrán calcular todas las incógnitas de reacción vincular a partir de las ecuaciones de equilibrio, exclusivamente. El sistema es globalmente hiperestático. (vii) H E > 0, G I = 0 y H > 0 (véase la fig. 5.13). Este caso es similar al anterior. De nuevo es H > 0, y el sistema es globalmente hiperestático. (viii) G E = 0, G I > 0 y G > 0 (véase las figs y 5.15). En este caso la mutua influencia entre los vínculos externos e internos no impide que subsistan movimientos relativos en el sistema. El sistema será globalmente inestable. (ix) G E > 0, G I = 0 y G > 0 (véase la fig. 5.16). En este caso los movimientos relativos entre sólidos están suprimidos, pero el sistema se puede mover como un conjunto rígido, debido a la insuficiencia numérica de las coacciones ejercidas por los vínculos externos. Por tanto, G > 0, y el sistema es globalmente inestable.

15 5.4 Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos Sistemas propia e impropiamente ligados Diremos que un sistema de sólidos está propiamente ligado cuando las ligaduras, por su número, tipo, distribución y disposición, son capaces de impedir eficazmente todo movimiento del sistema. En caso contrario, el sistema estará impropiamente ligado. Opcionalmente, podemos hablar también de ligaduras propias e impropias: cuando la ligadura que se considere impide eficazmente el movimiento del sistema contra el cual dicha ligadura ejerce su coacción y para el cual ha sido prevista, diremos que se trata de una ligadura propia, o mejor dicho, propiamente establecida. Si no es el caso, la ligadura será impropia o estará impropiamente establecida. El concepto de sistema propia o impropiamente ligado tiene sentido si se admite que lo que uno persigue al establecer ligaduras en un sistema es inmovilizarlo por completo: resultaría un tanto extraño suponer que una puerta que puede abrirse y cerrarse gracias a las bisagras que la sujetan al marco está impropiamente ligada, cuando cumple con propiedad la función para la que se ha concebido. Lo mismo podría decirse de cualquier mecanismo: un motor, un reloj mecánico, una grúa, un camión con veinticuatro ruedas, un paraguas... Por tanto, hay que entender los términos propio e impropio en un sentido abstracto, exento de matices de valoración. hora bien, es en el ámbito arquitectónico y constructivo, en que lo que prima es que las estructuras sean rígidas e inmóviles, donde el concepto gana fuerza y matices. Y en ese contexto, un sistema en el que el número de ligaduras es inferior al estrictamente necesario para evitar todo movimiento ha de considerarse impropiamente ligado. Más interesante es hacer notar que un sistema de sólidos en el que el número de ligaduras sea igual o superior al estrictamente necesario para cancelar todo movimiento puede, no obstante, estar impropiamente ligado, ya sea porque el tipo o naturaleza de los vínculos no es el adecuado, porque estén mal distribuidos, porque estén mal dispuestos (mal orientados) en el lugar en el que actúan, o por varias de estas razones a un tiempo. omo ejemplos fáciles de visualizar, aquellos sistemas planos cuyas fuerzas de reacción vincular externas sean de dirección dada y todas paralelas (por ejemplo, apoyos simples ad hoc) son externamente inestables, dado que ello implica la posibilidad de que tales sistemas efectúen traslaciones en dirección perpendicular a esas reacciones. También, si las fuerzas de reacción vincular externas de un sistema son concurrentes en un punto, el sistema será externamente inestable, puesto que subsiste la posibilidad de que tenga lugar un giro respecto al punto de concurrencia. O también: un sistema en el que G E = 2 y H I = 17, pongamos por caso, está excesivamente ligado y rigidizado internamente, y sin embargo está deficientemente ligado externamente, razón por la que puede moverse como un todo. En la pregunta anterior hemos analizado cómo una deficiente estabilidad interna o externa puede comprometer la estabilidad global de un sistema. Todas esas situaciones corresponden a sistemas impropiamente ligados. En conclusión: a la hora de elegir el número de vínculos, su tipo, su distribución y su orientación, habrá que tener cuidado para evitar estas situaciones y otras que pudieran comprometer la estabilidad de los sistemas de sólidos utilizados en la construcción (por ejemplo, las estructuras articuladas). IGUR 5.12: Sistema de tipo (vi) con G E = 0, H I = 1 y H = 1. IGUR 5.13: Sistema de tipo (vii) con H E = 2, G I = 0 y H = 2. IGUR 5.14: Sistema de tipo (viii) con G E = 0, G I = 1 y G = 1. IGUR 5.15: Sistema de tipo (viii) con G E = 0, G I = 1 y G = 1. IGUR 5.16: Sistema de tipo (ix) con G E = 1, G I = 0 y G = 1.

16 148 Estática de los sistemas de sólidos rígidos PROLEM RESUELTO 5.3: PROLEM RESUELTO 5.3 Solución: Las varillas homogéneas y, de peso P y longitud 2 m están articuladas en. En los puntos y existen apoyos sin rozamiento y están conectados entre sí mediante un resorte de longitud natural 1 m y constante elástica 3 kp/m. (a) lasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global. (b) Determina el valor del peso P de cada varilla para que en se forme un ángulo recto. Si se sustituye el resorte por un hilo ideal tenso de 2 m de longitud, y el peso de cada varilla es de 58,8 N. (c) lasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global. (d) Determina la tensión del hilo. (a) Tenemos que: G E = 3 E = 3 [1() + 1()] = 1. Sistema inestable externamente o de sustentación. G I = 3N 3 I = [2()] = 1. Sistema inestable internamente o de constitución. G = G E + G I = 2. Sistema globalmente inestable. (b) Si el ángulo en es 90, como sabemos también la longitud de las barras, podemos determinar por el teorema de Pitágoras la separación entre los apoyos: = 2( 2) 2 = 2m. Y esa es también la longitud actual del muelle (de longitud natural 1 m), de modo que la fuerza que está ejerciendo el muelle vale muelle = k l act l nat = 3kp/m 2 1 m = 3 kp. En esas condiciones, nos piden cuál debe ser el peso P de las barras. Para ello, debemos generar ecuaciones de equilibrio donde aparezca el peso P.

17 5.4 Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos 149 Si probamos con las ecuaciones del sistema completo, que evitan los vínculos internos (la articulación en ) y las fuerzas activas internas (la del muelle en este caso), parece que vamos a disponer de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (φ, φ y P), pero vamos a ver qué es lo que pasa realmente. Para ello, dibujamos el diagrama de sólido libre correspondiente al sistema completo: De donde planteamos las siguientes ecuaciones de equilibrio: x = 0 : y = 0 : Mz = 0 : 0 = 0, (P3.1) 2P + φ + φ = 0, P 0,5 P 0,5 φ 1 + φ 1 = 0, (P3.2) (P3.3) resultando así un sistema de dos ecuaciones independientes con 3 incógnitas, que resolvemos en función de una de ellas, P: φ = φ = P. (P3.4) Resulta así que la simetría de la situación a inutilizado una de las ecuaciones de equilibrio, y no nos queda otro remedio que fragmentar el sistema para generar las ecuaciones de equilibrio de una de las barras. En principio, parece que nos bastará con una sola de sus ecuaciones, pero hay que pensar que al fragmentar aparecen nuevas incógnitas de reacción (las de los vínculos internos), que necesitan de más ecuaciones para poder resolver. sí, dibujamos el diagrama de sólido libre de la barra (en principio, se puede escoger cualquiera de los fragmentos, eligiendo el que sea más simple de estudiar y contenga por supuesto las incógnitas de interés, pero en este caso podemos ver que da igual coger una u otra barra por la simetría de este problema): De donde planteamos las siguientes ecuaciones de equilibrio: x = 0 : y = 0 : Mz = 0 : Y sustituyendo valores hallados anteriormente: muelle φ x = 0, P + φ + φ y = 0, muelle 1 + P 0,5 φ 1 = 0. φ x = = 3kp, φ y = 0, (P3.5) (P3.6) (P3.7) (P3.8) (P3.9) P P = 0, (P3.10) 2 hallando de la ec. (P3.10) que P = 6kp. Sólo nos hizo falta la ecuación de momentos para hallar la incógnita del peso de las barras, aunque de paso hemos calculado la reacción en la articulación interna : φ = ( 3,0)kp = φ. P 2 m 2 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m P y + x IGUR P3a: Resolución del apartado (b) del problema 5-1. Sistema completo. 2 m muelle P x 0,5 m 0,5 m y y + x IGUR P3b: Resolución del apartado (b). arra.

18 150 Estática de los sistemas de sólidos rígidos 45 o 45 o 2 m 2 m y y 6 kp 6 kp + T x T 0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m x y x IGUR P3c: Resolución del apartado (d). (c) hora el cable es una ligadura (interna) que influye en la estabilidad y grados de libertad del sistema, a diferencia del muelle en la situación anterior, que no influía en la estabilidad ni en los grados de libertad del sistema: G E = 3 E = 3 [1() + 1()] = 1. Sistema inestable externamente o de sustentación (igual que antes). G I = 3N 3 I = [2() + 1(cable )] = 0. Sistema isostático internamente o de constitución. G = G E + G I = 1. Sistema globalmente inestable (pero con un grado de libertad menos que antes). (d) l ser el hilo de 2 m de longitud, la configuración del sistema de barras es idéntica al apartado (b), formando 90 una barra respecto de la otra. El peso de las barras no es ahora desconocido, sino que vale P = 58,8N = 6kp, precisamente. omo la tensión del hilo es una ligadura interna, no queda otro remedio que fragmentar el sistema en las dos barras (o en una de las barras por un lado y el sistema completo por el otro, como en el apartado (b)), para que ésta aparezca en los diagramas de sólido libre y sus ecuaciones correspondientes: Planteamos entonces las siguientes ecuaciones de equilibrio: () x = 0 : () y = 0 : () M z = 0 : () x = 0 : () y = 0 : () M z = 0 : T φ x = 0, 6 + φ + φ y = 0, T ,5 φ 1 = 0, T + φ x = 0, 6 + φ φ y = 0, T 1 6 0,5 + φ 1 = 0. (P3.11) (P3.12) (P3.13) (P3.14) (P3.15) (P3.16) omo vemos que las ecs. (P3.11) y (P3.14) son iguales salvo signo (consecuencia de la simetría de la situación), tenemos un sistema de 5 ecuaciones independientes con 5 incógnitas: {T,φ,φ,φ x,φ y }. El sistema se puede resolver de la siguiente forma: (P3.12) + (P3.15) : (P3.13) + (P3.16) : 12 + φ + φ = 0, φ + φ = 0, (P3.17) (P3.18)

19 5.4 Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos 151 y de la ec. (P3.18) deducimos que φ = φ (lógico por la simetría; también se deducía en el apartado (b), pero de las ecuaciones del sistema completo); sustituyendo en (P3.17) obtenemos φ = φ = 6kp, que sustituido en (P3.13) ó (P3.16) nos determina por fin la tensión del cable: T = 3kp, (P3.19) que vemos coincide con la fuerza que en el apartado (b) ejercía el muelle en cada barra. Esto era de esperar porque, comparando ambos apartados, los pesos de las barras son iguales y su configuración también, aunque antes fuera mantenida por un muelle y ahora lo sea por un hilo. De paso, y para terminar, obtenemos de las ecs. (P3.11) y (P3.12) ó (P3.15), la reacción en la articulación interna : φ = ( 3,0)kp = φ, como en el apartado (b), lógicamente. PROLEM RESUELTO 5.4: La figura representa una grúa formada por dos barras rígidas de longitudes L y l = L 2. La primera está articulada en el extremo y sostiene por su otro extremo la carga P. La segunda está ligada a la primera mediante una deslizadera móvil M (sin rozamiento); y por su otro extremo está soldada con un ángulo fijo α = 30 a la deslizadera (rígida) R, que puede deslizar sin rozamiento en la vertical que pasa por. El peso de las barras puede considerarse despreciable frente al de las cargas que puede elevar. La maquinaria de la grúa ejerce una fuerza vertical sobre la deslizadera rígida R para mantener suspendida la carga. (a) lasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global. (b) alcula el ángulo θ al que trabaja la grúa si es = P 2, y las incógnitas de reacción en los vínculos, M y R en ese caso. (c) Si queremos que la maquinaria de la grúa siempre trabaje ejerciendo fuerzas por debajo de la mitad de la carga P suspendida, calcula el rango de alturas del punto respecto del. (d) Si la soldadura en R no es capaz de soportar momentos de reacción superiores a 1000 Kpm, cuál es la mayor carga P que puede sostener la grúa en las condiciones del apartado (b)? Solución: (a) onsiderando la grúa como un sistema plano formado por las barras y MR, tenemos que: H E = 3 E = 3 [2() + 2(R)] = 1. Sistema hiperestático externamente o de sustentación. G I = 3N 3 I = [1(M)] = 2. Sistema inestable internamente o de constitución.

20 152 Estática de los sistemas de sólidos rígidos P PROLEM RESUELTO 5.4 M L Por inspección, G = 1. Sistema globalmente inestable. P (b) Empleamos el método de fragmentación (véase la fig. P4a): M L l R M y x l M α R M IGUR P4a: Resolución del apartado (b). M R R Se ha tenido en cuenta que la deslizadera móvil M es una ligadura interna, por lo que en aplicación de la tercera ley de Newton genera en M dos fuerzas iguales, de sentido contrario, aplicadas en cada uno de los cuerpos; y que éstas son perpendiculares a la guía (y eje) de la barra. Las incógnitas de reacción vincular son: barra : articulación externa en : φ = (φ x,φ y ) deslizadera móvil en M: φ M = (φ M cos θ,φ M sen θ) barra MR: deslizadera móvil en M: φ M deslizadera rígida en R: φ R = (φ Rx,0), MR = (0,0,M R ). Obsérvese que tanto φ M como φ R son perpendiculares a las respectivas guías por las que deslizan las correderas. Las ecuaciones de equilibrio para la barra, eligiendo los ejes horizontal y vertical como x e y respectivamente, y tomando momentos en, resultan: φ x φ M cos θ = 0, φ y φ M sen θ P = 0, P Lsen θ + φ M M = 0.. (P4.1) (P4.2) (P4.3) M se halla geométricamente del triángulo MR, al igualar su altura horizontal calculada por un lado como cateto opuesto al ángulo α, y por otro como cateto opuesto al ángulo θ: l sen α = M sen θ; M = sen α sen θ l. (P4.4) (P4.5)

21 5.4 Grados de libertad y estabilidad de un sistema de sólidos rígidos 153 Las ecuaciones de equilibrio para la barra M R, con los ejes coordenados anteriores y tomando momentos en el punto M, son: φ M cos θ + φ R = 0, + φ M sen θ = 0, M R + l sen θ φ R l cos θ = 0. (P4.6) (P4.7) (P4.8) Sustituyendo los valores conocidos, l = L 2, α = 30 (sen30 = 1 2, cos 30 = 3 2 ) y = P 2 (para este apartado (b)), nos quedan las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta que ahora sería M = 1 4 sen θ L: φ x φ M cos θ = 0, (P4.9) φ y φ M sen θ P = 0, (P4.10) 1 P Lsen θ + φ M 4sen θ L = 0, (P4.11) φ M cos θ + φ R = 0, (P4.12) 1 2 P + φ M sen θ = 0, (P4.13) M R P L1 4 φ R L = 0. (P4.14) 4 Tenemos así 6 ecuaciones con 6 incógnitas, justo las que nos piden en este apartado: θ, φ x, φ y, φ M, φ R, M R ; la primera incógnita es de configuración y las otras 5 de reacción; P y L son datos paramétricos. Resolvemos de la siguiente forma: (i) De la ec. (P4.13): φ M = 1 2 sen θ P; (ii) sustituyendo en la ec. (P4.11): P Lsen θ 1 2 sen θ P 1 4 sen θ L = 0; (iii) de donde resulta sen 3 θ = 1 8 y θ = 30 (= α). (iv) Sustituyendo en (I) resulta: φ M = P (su sentido es opuesto al dibujado en ambas barras); (v) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.9) resulta: φ x = 3 2 P (sentido opuesto); (vi) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.10) resulta: φ y = 1 2 P; (vii) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.12) resulta: φ R = 3 2 P; (viii) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.14) [la ec. (P4.13) da el mismo resultado que (IV)] resulta: M R = 1 4 P L. Si queremos expresar las incógnitas de fuerza de reacción en forma vectorial, en los ejes elegidos resultaría lo siguiente: φ ( = 3 2 P, 1 2 ); P φ ( 3 R = 2 ); P,0 M R = ( 0,0, 1 4 PL) ; φ ( 3 ) M = 2 P, 1 2 P = φ MR M. (c) La altura del punto respecto del viene dada por h = Lcos θ. Usando las ecs. (P4.3), (P4.5) y (P4.7), pero sustituyéndoles los datos l = L 2 y α = 30, aunque no = P 2, pues ahora sólo queremos que P 2, nos queda: (i) De (P4.7): φ M = 1 sen θ ; (ii) sustituyendo en (P4.3)+(P4.5): P Lsen θ 1 sen θ 1 4 sen θ L = 0;