CAPÍTULO 4 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES

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1 CAPÍTULO 4 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES La teoría de probabilidades tuvo su comienzo con los problemas de juegos al azar que fueron propuestos a Pascal y Fermat por Cavalier de Mere a mediados de Al inicio del siglo XVII, se publicó el libro de Jacobo Bernoulli titulado Arts Conjectandi (El Arte de Conjeturar) donde se trataba los experimentos obtenidos por repeticiones independientes de experimentos simples que tienen sólo dos resultados posibles. Más tarde, en ese mismo siglo, De Moivre introdujo la curva Normal. Durante el siglo XIX Laplace presentó la definición clásica de probabilidad en su libro Theorie analytique des probabilities, lamentablemente esta definición no es muy precisa y tiene limitaciones. Para esa misma época, los estudios de Gauss acerca de los Mínimos Cuadrados contribuyeron a dar más importancia a la curva Normal. Sin embargo las probabilidades no fueron consideradas como una parte de las matemáticas hasta que en 1933 apareció la definición axiomática en el libro Foundations of the theory of probability escrito por Kolmogorov. Otros matemáticos rusos como Liapunov y Kinthchine también contribuyeron en esta etapa. En la sección 1 de este capítulo primero definimos lo que es un Experimento Aleatorio y luego Espacios Muestrales y Eventos. En la sección 2, se considera las diferentes definiciones de Probabilidad comenzando con la definición axiomática seguida de la definición clásica, la frecuencial y la subjetiva. La sección 3 trata de Probabilidad Condicional e incluye también la regla de Probabilidad Total y la Regla de Bayes. La sección 4 de este capítulo es acerca de la Independencia de Eventos. En la última sección nos ocupamos del Cálculo de Probabilidades usando técnicas de Análisis Combinatorio. 4.1 Espacio Muestral y Eventos Experimentos Aleatorios y Espacios Muestrales Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Hay dos tipos de experimentos: Experimentos Determinísticos: Son aquellos en donde no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando éstos son repetidos varias veces. Por ejemplo, Medir el área de un salón de clase. Medir la estatura de una persona adulta. En ambos casos una vez que se conoce el resultado del experimento en una repetición, entonces se sabe con certeza lo que ocurrirá en la siguiente repetición.

2 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 91 Experimentos Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando éste es ejecutado. Además, asumiendo que el experimento se puede repetir muchas veces bajo las mismas condiciones se pueden tratar de construir un modelo que represente el comportamiento del experimento. A continuación algunos ejemplos: Exp 1: Lanzar un dado y anotar el número que aparece en la cara superior. Exp 2: Lanzar un par de monedas y anotar el resultado que aparece en cada una de ellas. Exp 3: Un vendedor de la Enciclopedia Británica visita tres casas ofreciendo la colección y se anota V si vende o N si no vende en cada casa. Exp 4: Se anota el número de boletos de lotería que hay que comprar hasta ganarse el premio mayor. Exp 5: Se anota el tiempo que hay que esperar para ser atendidos en un Banco. Espacio Muestral: Es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Representaremos el espacio muestral por S y cada elemento de él es llamado un punto muestral. A continuación daremos los espacios muestrales de cada uno de los experimentos anteriores. S 1 1,2,3,4,5,6 S CC, CX, XC, XX 2 S VVV, VVN, VNV, NVV, VNN, NNV, NVN, NNN 3 S 4 s 1,2,3,4,5,6,... t : 0 0, 5 t Los espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos son llamados espacios muestrales discretos y por lo general son subconjuntos de los números enteros. Algunos de estos espacios muestrales tienen un número finito de elementos y otros no. De los espacios muestrales mencionados anteriormente S 1, S 2 y S 3 son espacios muestrales discretos finitos, en tanto que S 4 es un espacio muestral discreto infinito. Los espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones son llamados espacios muestrales continuos y por lo general son intervalos en la recta Real. S 5 es un espacio muestral continuo.

3 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades Eventos Un Evento es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto. A continuación daremos ejemplos de eventos correspondientes a los experimentos aleatorios definidos anteriormente. A: Que salga un número par al lanzar un dado. A B: Que salga por lo menos una cruz. 2,4,6 B CC, CX, XC, XX C: Que el vendedor de enciclopedias venda a lo más una de ellas. C VVV, VVN, VNV, NVV, VNN, NNV, NVN, NNN D: Que se gane el premio mayor con menos de 9 boletos comprados. D 1,2,3,4,5,6,7,8 E: Que haya que esperar más de 10 minutos para ser atendidos. t : t E, Evento Nulo: Es aquél que no tiene elementos. Se representa por. El espacio muestral también puede ser considerado como un evento y es llamado el Evento Seguro. En lo que estaremos interesados es en calcular la probabilidad de ocurrencia de eventos, y para esto lo más importante es determinar el número de elementos que hay en el evento más que describir todos los elementos del mismo. En la Sección 5 veremos el uso de técnicas de análisis combinatorio para determinar el número de elementos de un espacio muestral y de eventos. S A B Figura 4.1: Diagrama de Venn de A B

4 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades Relaciones entre eventos Unión de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral su unión se representa por A B y es el evento que contiene los elementos que están en A o en B, o en ambos. El evento A B ocurre si al menos uno de los dos eventos ocurre. Dada una colección A 1,..., An de eventos, su unión denotada por n A i ocurre si al menos uno de los A i,(1 i n) ocurre. En la Figura 4.1 está representada la unión de dos eventos usando el Diagrama de Venn. Intersección de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral su intersección se representa por A B y es el evento que contiene los elementos que están en A y B al mismo tiempo. El evento A B ocurre cuando los eventos ocurren simultáneamente. i1 S A B A B Figura 4.2: Diagrama de Venn de A B Algunas veces en este texto también denotaremos la intersección de los eventos A y B por AB o por A y B. Si A B entonces se dice que A y B son Mutuamente excluyentes o disjuntos. Dada una colección A de eventos, su intersección denotada por 1 n n A i i1 A,..., todos los eventos,(1 i n) ocurren a la vez. A i ocurre si S A Figura 4.3: Diagrama del complemento de A

5 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 94 Evento Complemento: El complemento de un evento A se representa por A y es el evento que contiene todos los elementos que no están en A. El evento A ocurre si A no ocurre. Propiedades de relaciones entre eventos Sean A, B y C elementos de un mismo espacio muestral S entonces, las siguientes propiedades son ciertas. 1. Propiedad Conmutativa A B B A A B B A 2. Propiedad Asociativa A ( B C) ( A B) C A ( B C) ( A B) C 3. Propiedad Distributiva 4. Leyes de De Morgan A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) a) A B A B b) A B A B Todas estas propiedades se pueden aplicar a más de dos eventos. La parte a) de la ley de De Morgan significa que lo opuesto a que Al menos uno de los eventos A y B ocurra es que Ninguno de los dos eventos ocurra. La parte b) significa que ambos eventos no ocurren simultáneamente si al menos uno de ellos no ocurre. Las generalizaciones de las leyes de De Morgan para una colección de eventos A 1,..., A n, son las siguientes: a ) n n A i A i1 i1 i b ) n n A i A i1 i1 i

6 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 95 Es decir, lo opuesto a que al menos un evento ocurra es que ninguno ocurra, y lo opuesto a que todos los eventos ocurran simultáneamente es que al menos uno de ellos no ocurra. 4.2 Métodos de asignar Probabilidades Hay cuatro maneras de asignar probabilidades a los eventos de un espacio muestral: el método axiomático, el método clásico, el método frecuencial y el método subjetivo. A continuación describiremos cada uno de ellos Método Axiomático Es el método más formal de asignar probabilidades de eventos. En este método, la Probabilidad es considerada como una función de valor real P definida sobre una colección de eventos de un espacio muestral S que satisface los siguientes axiomas: 1. P S 1 2. Si A es un evento de S entonces A 0 P. 3. Si A,..., A,..., es una colección de eventos disjuntos (por pares) entonces i1 1 n Ai ) i1 i1 i1 A ). Esta es llamada el axioma de aditividad contable. i Asumiendo que A n 1 An 2... se sigue del axioma 3 que n n A ) A ), ésta es llamada la propiedad de aditividad finita. i Propiedad 1 P 0 Propiedad 2 A) 1 A) i Propiedad 3. Si A B entonces PA PB Considerando B S, se concluye de la propiedad 3 que A) < 1 para cualquier evento A de S.

7 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 96 Propiedad 4. Regla Aditiva de la Probabilidad A B) A) B) A B) A B A B A B A B Figura 4.4: Diagrama de Venn de las regiones de A B. Viendo la Figura 4.4, es claro que A B A( A B) y que B ( A B) ( A B) donde las uniones del lado derecho son disjuntas (ver Figura). Luego, por el Axioma 3 se tiene que A B) A) A B) y B) A B) A B). Restando ambas igualdades se obtiene que A B) B) A) A B) de donde se obtiene la regla aditiva. Las relaciones ente las probabilidades de dos eventos A y B también pueden resumirse en la siguiente tabla de doble entrada: A B A B) A B) P (B) B A B) A B) P (B) P (A) P (A) 1 A Ejemplo 4.1. Juan y Luis están solicitando ser admitidos en una universidad. La probabilidad de que Juan sea admitido es 0.7 y la probabilidad de que Luis sea admitido es 0.6. La probabilidad de que ambos sean admitidos es.45. a) Cuál es la probabilidad de que solamente uno de ellos sea admitido? b) Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea admitido? c) Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos sea admitido? Aún cuando podemos aplicar las propiedades anteriores, el problema puede ser resuelto de dos maneras: i) Usando un diagrama de Venn:

8 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 97 Primero se determina la probabilidad de ocurrencia de cada región, empezando por la intersección, como se muestra en la Figura 4.5. Sean los eventos J: Que Juan sea admitido y L: Que Luis sea admitido. Luego, a) La probabilidad de que sólo uno de ellos sea admitido es P ( J L) J L) b) La probabilidad de que al menos uno de ellos sea admitido es P ( J L). 85 c) La probabilidad de que ninguno de ellos sea admitido es P ( J L). 15 ii) Usando una tabla de clasificación cruzada: En este caso se llenan las celdas de una tabla de doble entrada, cada entrada de la tabla representa la probabilidad de ocurrencia de un evento. En este caso sería J J L L Las celdas que aparecen en claro fueron datos del problema, las que aparecen en gris se llenaron aplicando propiedades. S J L Figura 4.5: Diagrama de Venn para el Ejemplo 4.1. Ejemplo 4.2. Una empresa tiene dos maneras A y B de presentar un nuevo producto al mercado. Si presenta el producto de la manera A la probabilidad de que el producto sea exitoso es 0.44 y si lo presenta de la manera B la probabilidad de éxito se reduce a La probabilidad de que el producto fracase con ambas maneras de presentación es Cuál es la probabilidad de que el producto sea exitoso con ambas formas de presentación? Sean los eventos A: Que el producto sea exitoso con la manera A y B: que el producto sea exitoso con la manera B. Tenemos que hallar A B). Por la ley de De Morgan se

9 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 98 obtiene que P ( A B) A B). 37. Así, P ( A B) 1 A B) Luego, aplicando la regla aditiva se obtiene que la probabilidad de que el producto sea exitoso con ambas maneras de presentación es: P ( A B) A) B) A B) La Figura 4.6 muestra el diagrama de Venn correspondiente. Usando una tabla de doble entrada se tendría lo siguiente: A A B B Figura 4.6: Diagrama de Venn para el Ejemplo 4.2. La regla aditiva de la probabilidad se puede aplicar a más de dos eventos. Así para tres eventos A, B y C se tiene que: A B C) A) B) C) A B) A C) B C) A B C) Ejemplo 4.3. Rosa, Carmen y Alberto estudian juntos para un examen. La probabilidad de que Rosa pase es 0.65, de que Carmen pase es 0.75 y de que Alberto pase es La probabilidad de que Rosa y Carmen pasen es 0.55, de que Carmen y Alberto pasen es 0.35 y de que Rosa y Alberto pasen es La probabilidad de que los tres pasen es Cuál es la probabilidad de que: a) Al menos uno de ellos pase el examen? b) Solamente uno de ellos pase el examen? c) Carmen y Alberto pasen el examen pero no Rosa? d) Alberto no pase el examen pero sí al menos una de las mujeres? e) Ninguno pase el examen? La mejor manera de resolver el problema es hacer un diagrama de Venn para él mismo y determinar la probabilidad de ocurrencia de cada región, esto se muestra en Figura 4.7.

10 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 99 R C A Luego, a) P ( R C A). 95 Figura 4.7: Diagrama de Venn para el Ejemplo 4.3. b) P ( R C A) R C A) R C A) c) P ( R C A). 15 d) P (( C R) A) e) P ( R C A) Método Clásico Un espacio muestral finito S { w 1,..., w n } se dice que es Equiprobable si cada uno 1 de sus elementos tiene la misma probabilidad de ocurrencia, es decir w i ) para todo n i 1,..., n. Ejemplo 4.4. Se lanza un par de dados legales y distinguibles, entonces su espacio muestral dado por: S i, j : i, j 1,2,3,4,5,6 tiene 36 resultados, cada uno de ellos con probabilidad de ocurrencia 1/36. Ejemplo 4.5. De una urna que contiene 5 bolas rojas y 3 negras se extraen dos bolas, una por una y con reposición, entonces el espacio muestral: S RR, RN, NR, NN S tiene 4 resultados posibles los cuales no ocurren con la misma probabilidad por P RR 25, NN 9 P RN P NR 15. haber distintos números de bolas de cada color. Más adelante se verá que 64 P 64 y 64

11 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 100 Definición. Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral equiprobable S que contiene # S elementos y A es un evento de S que ocurre de # A maneras distintas entonces la probabilidad de ocurrencia de A es: A) #( A) #( S) Ejemplo 4.6. Cuál es la probabilidad de que salga suma mayor que 7 al lanzar un par de dados? El evento A: Suma mayor que 7, incluye los resultados que dan suma 8, 9, 10, 11 ó 12 y éstos ocurren de 5, 4, 3, 2 y 1 maneras repectivamente. Luego # A 15. En el Ejemplo 5 se vió que # S 36, por lo tanto P A Ejemplo 4.7. Un oficial de matrícula asigna 2 estudiantes: A y B a 4 secciones: S 1, S2, S3, S4 de un curso son asignados al azar. Cuál es la probabilidad de que: a) Los dos estudiantes sean asignados a la misma sección? b) Ningún estudiante sea asignado a la sección S3? c) Al menos un estudiante sea asignado a la sección S1? La siguiente tabla representa el espacio muestral del experimento S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 A B - - B - A - A - B - B - - A A - - B - A B - AB A - B - AB B A AB - - B - A AB - - A B B A B - a) Sea el evento A: Los dos estudiantes son asignados a la misma sección P A #( A) #( S) 4 16 b) Sea el evento B: Ningún estudiante es asignado a la sección S3

12 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 101 P B #( B) #( S) 9 16 c) Sea el evento C: Al menos un estudiante es asignado a la sección S1. P C #( C) #( S) 7 16 Ejemplo: carros: A, B y C se estacionan en fila. Cuál es la probabilidad de que A y C queden estacionados uno detrás del otro? El siguiente es el espacio muestral del experimento: E1 E2 E3 A B C A C B B A C B C A C A B C B A Sea el evento A: Que los carros A y B quedan estacionados uno detrás del otro. Luego, P A Ejemplos más complicados requieren la aplicación de técnicas de conteo para determinar el número de maneras como puede ocurrir el experimento y el evento deseado. Estas técnicas son descritas en detalle en la Sección 5 de este capítulo Método Frecuencial Si un experimento se repite n veces y n de esas veces ocurre el evento A, n( A) entonces la frecuencia relativa de A se define por f A. n Se puede notar que: a) f 1 S b) f 0 A A c) Si A y B son eventos disjuntos entonces f A B f A f B Es decir f satisface los axiomas de probabilidad. A Definición. La probabilidad del evento A es el valor al cual se aproxima el experimento se ha repetido un gran número de veces. O sea: f A cuando n( A) A) n

13 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 102 La probabilidad es el valor en el cual se estabiliza la frecuencia relativa del evento después de haber repetido el experimento un número grande de veces. La existencia de este valor está garantizando por un resultado llamado La Ley de los Grandes números. Desde el punto de vista práctico se puede considerar que la frecuencia relativa de un evento es un estimado de la probabilidad de ocurrencia del evento. El problema principal de la definición frecuencial de probabilidad es que, el cálculo de la probabilidad de un evento sería un proceso demasiado lento. El otro problema es que algunas veces es imposible tener un número grande de repeticiones del experimento, por ejemplo, si se desea calcular la probabilidad de que una persona en particular sobreviva una operación quirúrgica, tendríamos que tener información acerca de todas las operaciones de dicha persona, la cual por lo general es muy baja. Ejemplo 4.9. Según los datos de la siguiente tabla, la probabilidad de que nazca un varón en Estados Unidos es Frecuencia relativa de Año 3,159,958 Nacimientos varones 3,326, ,629, ,159, ,144, ,167, ,326, ,333, ,494, ,612, ,629, Estimando la probabilidad de ocurrencia de un evento Con la ayuda de la computadora se puede simular la ejecución de un experimento un gran número de veces y haciendo uso de la definición frecuencial se puede estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento. Ejemplo Supongamos que lanzamos un par de dados legales y tratamos de estimar la probabilidad de obtener suma 7. Esta probabilidad puede ser determinada exactamente a través del espacio muestral del experimento y es igual a Sin embargo, nosotros la podemos estimar a través de simulaciones. Primeramente en la columna C1 se debe entrar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, que son los resultados posibles que se pueden obtener al lanzar un dado. Luego elegimos la opción Random Data del menú Calc y a continuación la opción Sample from columns del submenú de Random Data. Ahora generamos 100 resultados posibles del primer dado y

14 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 103 los guardamos en la columna C2 y luego 100 resultados posibles del segundo dado y los guardamos en C3. También se puede generar 200 datos y guardarlos en C2 y C3 (100 en cada una). Hay que tener presente que la cajita correspondiente a Sample with replacement debe estar marcada ya que las muestras van a ser sacadas con reposición. La ventana de diálogo se muestra en la figura 4.8 Figura 4.8. Ventana de diálogo para la opción Samples from columns del menú Random Data. El próximo paso es calcular la suma de los dos dados. Esto se obtiene eligiendo la opción Row Statistics del menú Calc. De todas las medidas que aparecen se elige Sum y se guardan los resultados en la columna C4. La ventana de diálogo es mostrada en la figura 4.9.

15 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 104 Figura 4.9. Ventana de diálogo de Row Statistics del menú Calc Luego se construye una tabla de distribución de frecuencias eligiendo Tables de Stat seguido de Tally de Tables. Los resultados aparecen en la ventana session y son como sigue: Summary Statistics for Discrete Variables C4 Count Percent N= 100 De acuerdo a esta tabla la probabilidad de obtener suma 7 es Para refinar el estimado repetimos el experimento un mayor número de veces. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:

16 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 105 Número de Repeticiones Probabilidad Estimada de obtener Suma Se puede estimar la probabilidad de sacar suma 7 como 0.16 que está bastante cerca del valor exacto Método Subjetivo Algunas personas de acuerdo a su propio criterio generalmente basado en su experiencia, asignan probabilidades a eventos, éstas son llamadas probabilidades subjetivas. Por ejemplo: La Probabilidad de que llueva mañana es 40%. La Probabilidad de que haya un terremoto en Puerto Rico antes del 2000 es casi cero. La Probabilidad de que el caballo Camionero gane el clásico del domingo es 75%. Puesto que las probabilidades subjetivas dependen de la persona que las hace se vuelven bien imprecisas y algunas veces puede haber una gran disparidad en las probabilidades que las personas asignan al mismo evento, especialmente cuando es poco o bastante probable que ocurra. Sin embargo probabilidades subjetivas son usadas frecuentemente en Estadística Bayesiana, en donde la probabilidad de ocurrencia de un evento se va modificando según la información que uno recoge acerca de otros eventos que puedan afectarlo. Para entender mejor como se hace esta modificación necesitamos introducir el concepto de probabilidad condicional. 4.3 Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. condicional de A dado que B ha ocurrido esta dado por: La probabilidad A/ B) A B) B) Esto es equivalente a que el espacio muestral S se ha reducido al evento B (Ver Figura 4.10).

17 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 106 S A B A B Figura Diagrama de Venn de A/B) Si el espacio muestral S es equiprobable lo anterior se convierte en: A/ B) #( A B) #( B) Ejemplo Se lanza un par de dados legales y distinguibles. Cuál es la probabilidad de que solamente uno de los dos dados sea par si se sabe que la suma de los dos es mayor que 8? Sean los eventos A: Que solamente uno de los dos dados sea par y el evento condicionante B: Que la suma sea mayor que 8. Claramente # B 10 y # A B 6. Luego P A/ B Ejemplo Cuál es la probabilidad de que en una familia con tres hijos el menor de ellos sea varón si el mayor lo es? Sean los eventos, A: El menor de los hijos es varón y el evento condicionante B: El hijo mayor es varón. De los 8 resultados del espacio muestral, claramente se tiene que # B 4 y en consecuencia P A/ B 1 2. Este resultado era esperado porque en teoría el sexo de uno de los hijos no afecta el sexo de los otros por venir. Ejemplo En una ciudad se hizo una encuesta acerca de la opinión de las personas adultas con respecto a una ley del gobierno. La siguiente tabla muestra los resultados de la encuesta clasificados según el sexo del entrevistado. Se elige al azar una persona A Favor En contra Abstenidos Total Total 2 Hombre Mujer Total

18 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 107 a) Cuál es la probabilidad de que favorezca la ley si resulta ser mujer? b) Cuál es la probabilidad de que sea mujer si resulta estar en contra de la ley? c) Cuál es la probabilidad de que sea hombre si la persona elegida no se abstuvo de opinar? Considerando que las frecuencias relativas estiman a las probabilidades de los eventos, se tiene que: a) De las 37 mujeres hay 10 que están a favor de la ley, luego P F / M b) De los 43 entrevistados que están en contra de la ley 15 son mujeres, luego P M / C c) De los 65 que no se abstuvieron de opinar 40 fueron hombres, luego P H / FUC Regla del Producto. Dados los eventos A y B de un mismo espacio muestral, la probabilidad de que ambos ocurran conjuntamente está dado por A B) A) B / A) Esta expresión se obtiene despejando de la fórmula de probabilidad condicional. Se usa para calcular la probabilidad de que dos eventos ocurran al mismo tiempo. Ejemplo Una urna contiene 3 bolas rojas y 4 bolas blancas. Se extraen al azar dos bolas de la urna una por una y sin reposición. Cuál es la probabilidad de que: a) ambas bolas sean rojas? b) la segunda bola sea roja? c) sólo una de las dos bolas sea roja? La forma más fácil de resolver el problema es haciendo un diagrama de árbol. Luego, a) P R1 R b) P R2 PR1 R2 PB1 R c) P R B PB R

19 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 108 Primera Bola Segunda Bola R 2 R1 R2 ) 3/ 7x2/ 6 1/ 7 R 1 2/6 3/7 B 1 4/6 B 2 R 2 P ( R1B2 ) 3/ 7x4/ 6 P ( B1R2 ) 4/ 7x3/ 6 2/ 7 2/ 7 4/7 3/6 3/6 B 2 P ( B1B2 ) 4/ 7x3/ 6 2/ 7 Figura 4.11: Diagrama de árbol para Ejemplo 4.14 Ejemplo Según la Comisión Electoral de un país, el 90 por ciento de las esposas votan si sus esposos lo hacen, y el 20 por ciento vota si su esposo no lo hace. Además el 70 por ciento de los hombres casados votan. Se elige al azar un matrimonio. Cuál es la probabilidad de que: a) ambos esposos voten? b) sólo uno de los esposos vote? c) vote la esposa? d) al menos uno de los esposos vote? Sean los eventos V 1 : Que vote el esposo y V 2 : Que vote la esposa. El problema puede ser representado por el siguiente diagrama de árbol. Esposo Vota Esposo Vota V 2 V 1 V 2 )=(.7)(.9)=.6.3 V V 2 V 1 V 2 )=(.7)(.1)=.07.3 V 1.2 V 2 V 1 V 2 )=(.3)(.2)=.06.8 V 2 V 1 V 2 )=(.3)(.8)=.24 Figura Diagrama de árbol para Ejemplo 4.15.

20 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 109 Luego, a) P ( V V2 ) ( V1V 2) V1V 2) V2 V1V 2) V1V 2) ( V1 V2 ) b) P c) P d) P 76 La regla del producto se puede aplicar a más de dos eventos de la siguiente manera: P ( A1... An ) A1 ) A2 / A1 ) A3 / A1 A2 )... An / A1... An 1) Evidentemente que el uso de un diagrama del árbol se vuelve inadecuado cuando n es grande. Ejemplo Un lote contiene 10 artículos de los cuales 4 son defectuosos, se extraen al azar 3 artículos uno por uno y sin reposición. Cuál es la probabilidad de que: a) Los tres salgan buenos? b) Sólo uno de los tres salga defectuoso? a) Sea el evento B i que el i-ésimo artículo resulte bueno para i la probabilidad de que los tres salgan buenos es: P 1,2,3 B B B PB PB B PB / B B / b) Sea el evento D i que el i-ésimo artículo resulte defectuoso para i 1,2, 3. P soloun defectuoso P D B B P B D B P B B D Probabilidad Total y Regla de Bayes Regla de la Probabilidad Total Luego, Sean B 1,,B n una colección de eventos que forman una partición del espacio muestral S esto es entonces: n i1 B i S y B B para i j. Sea A otro evento definido sobre S i A) n i1 j B ) A/ i B i Esta es llamada la formula de probabilidad total. )

21 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 110 n B i i1 Notar que A A S A ( ). Por la propiedad distributiva, se tiene que A n i1 A n i1 B i, donde la unión es disjunta. Aplicando el tercer axioma se obtiene A) A ). Finalmente, se aplica la regla del producto a cada término de la B i suma y se obtiene la fórmula de probabilidad total. Para una partición de S en dos eventos B y B se obtiene: A) B) A/ B) B) A/ B) La siguiente figura ilustra la regla de la probabilidad total para una partición en 5 eventos. B 1 B 2 A B 5 B 3 B 4 Figura Teorema de la Probabilidad Total Ejemplo El 70 % de los pacientes de un hospital son mujeres y el 20% de ellas son fumadoras. Por otro lado el 40 % de los pacientes hombres son fumadores. Se elige al azar un paciente del hospital. Cuál es la probabilidad de que sea fumador? Sean los eventos F: Que el paciente sea fumador, H: Que el paciente sea hombre y M: Que el paciente sea mujer. Claramente, F PM PF / M PH PF H P / Del enunciado del problema se tiene que P M. 7, P H. 3, P F / M. 2 y P F / H. 4, sustituyendo estos valores en la fórmula anterior se obtiene que P F En la Figura 4.14 se muestra el diagrama de árbol correspondiente al problema.

22 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 111 Sexo del Paciente Condición de Fumar F P ( MF) M.7.8 F P ( MF ) H F HF) F HF ) Figura Diagrama de árbol para Ejemplo 4.17 Ejemplo Una empresa tiene 3 plantas: A, B y C. La planta A produce el 50% de la producción total, B produce el 30% y C el 20%. El 3% de la producción de A es defectuosa, mientras que el 2% de B y el 5% de C también lo son. Se elige al azar un artículo producido por la empresa: a) Cuál es la probabilidad de que el artículo elegido sea defectuoso? b) Si el artículo elegido resulta ser defectuoso, Cuál es la probabilidad de que provenga de la planta C? a) Los eventos A, B y C forman una partición del espacio muestral S correspondiente a elegir un articulo de la fábrica. Luego, si D representa artículo defectuoso: D PAPD / A PBPD / B PC PD C P / Sustituyendo los datos del problema se tiene que P D b) P C / D PC D PD El diagrama de árbol de la Figura 4.15 representa el problema.

23 Edgar Acuña Capítulo 4 Conceptos Básicos de Probabilidades 112 Planta Defectuoso D P ( AD) A B.02 D BD) D P ( AD) C.05 Figura Diagrama de árbol para el problema 4.18 Ejemplo En un hospital el 98% de los bebés nacen vivos. Por otro lado, 40% de todos los partos son por cesárea y de ellos el 96% sobreviven al parto. Se elige al azar una mujer a la que no se va practicar cesárea. Cuál es la probabilidad de que su bebé viva? Sean los eventos V: que el bebe nazca vivo, C: que el parto sea por césarea. Del enunciado del problema P V. 98, P C. 40 y P V / C. 96. Se desea hallar P ( V / C ). Cesarea Bebé Vive V P ( CV ) C.96 C P ( V / C ) V V CV ).6 V / C).60 V Figura Diagrama de árbol para Ejemplo Por la regla de la probabilidad total V) C) V / C) C) V / C), de donde: