INGRESA.CON GRUPO CALMECAC MATEMÁTICAS

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1 INGRESA.CON GRUPO CALMECAC MATEMÁTICAS Números Racionales: *Números Naturales:,,,, 5. Todos los que se *Números Enteros: -,-,,,,,.. Pueden representar *Fracciones. Números Reales de la forma a/ Números Irracionales : Aquellos que tienen una terminación decimal infinita no periódica. No se pueden representar en forma de fracción ,, etc... SUMA Y RESTA Números con signos iguales se suman, prevaleciendo su signo Números con signos diferentes se restan, quedando el signo del número maor MULTIPLICACION Números con signos iguales da un resultado positivo (+)(+) + () () ( - )( -) + (-) (-) Números con signos diferentes da un resultado negativo. (-) (+) - (-) () - (+) (-) - () (-) - DIVISION + / / / / RAICES Y POTENCIAS CON EXPONENTE RACIONAL n n X m n n m donde m indica el eponente n el grado de la raíz NOTA: Las raíces pares negativas no eisten. Una potencia representa el numero de veces que se multiplica un número por si mismo. - ( -) (-) (-) -8 () () () () 8

2 . NUMEROS COMPLEJOS Un número complejo se representa de la forma a + i, donde i.. SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS (a + i) + (a + i) (a + a ) + ( + ) i ( - 6i) + (+ i) -i (5+ i) (-+ 9i) (5 +i) + ( -9i) 7-7i.. MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS (a + i) (a + i) (a a + i ) + (a + a ) i donde i - ( + 5 i)( + i) (6 + i ) + (+) i 6 + (-) + i 6- + i - + i. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Cominación de números, literales signos. Elementos que forman una epresión algeraica *La literal representada por una letra minúscula eponente *El eponente coeficiente literal *El coeficiente representado por el número Clasificación de las epresiones algeraicas según el número de términos: X monomio ( término) X + inomio ( términos) X + 7 trinomio ( términos) ( + ) polinomio(a partir de términos).. SUMA Y RESTA ALGEBRAICA Consisten en una reducción de términos semejantes, es decir términos que solo difieren en el coeficiente numérico. El término z puede tener como términos semejantes: - z, z, z etc. ( + z -9) + (-8 + 5z +5) z - ( + 6-9) ( + ) -9.. MULTIPLICACION Y DIVISION ALGEBRAICA Los coeficientes se multiplican siguiendo las lees de los signos los eponentes se suman. ( )(- ) ( ) ( -)

3 En la división, los coeficientes numéricos se dividen o reducen los eponentes se restan RAICES Y POTENCIAS CON EXPONENTE RACIONAL n n X m n n m donde m indica el eponente n el grado de la raíz OPERACIONES CON RADICALES a) SUMA Y RESTA Se resuelven sumando o restando radicales semejantes ) MULTIPLICACION CASO : Cuando el grado de la raíz es el mismo 6 8 CASO : Cuando el grado de la raíz es diferente, las raíces se representan con eponentes racionales. 5 5 / / 5 /6 / ( 5)(8) 6 c) DIVISION CASO : Cuando el grado de la raíz es el mismo. 6 6

4 CASO : Cuando el grado de la raíz es diferente PRODUCTOS NOTABLES. BINOMIO DE NEWTON: Aquel que tiene la forma (a +) n, nє N. Para resolverlo se utiliza el triángulo de pascal. Binomio al cuadrado: (a + ) a + a + Binomio al cuo: (a + ) a + a + a + Binomios conjugados: (a + ) (a-) a Suma diferencia de cuos: a + (a + ) (a a + ) a (a ) (a + a + ). TEOREMA DEL RESIDUO Y DEL FACTOR * f(a) es igual al residuo de dividir f() entre -a * Si f(a) decimos que a es un factor o raíz de f(). SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para simplificar epresiones algeraicas es necesario utilizar los procedimientos de factoriazación: Factor común: a + ac + ad a ( + c + d) Factorización de trinomios: Simplificar la siguiente epresión a + a + (a + ) Factorización de diferencia de cuadrados: a (a + ) (a ) Factorización de suma diferencia de cuos: a + (a + ) (a a + ) a (a ) (a + a + ) ( )( 5) ( 5) ( )( 5) ( + 5)( 5) ( + 5) ( ) ( )( + ) ( )( ) ( )( + ) +

5 . OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS *Suma resta 5 7 a 8 + a - + a a a a + a 8 a ( ) ( 5) + ( 8 + 5) 7( ) 7( ) ( ) 9( ) ( ) *Multiplicación X 9 5X + (X+)(X-) 5(X+) (X+)(X-)5(X+) 5(X+) X +X- X -X+ (X-)(X+) (X-)(X-) (X-)(X+)(X-)(X-) (X-)(X-) *División: a c d ad c - (-) ( + ) (-) ( +) (-) + + ( +) (+). ECUACIONES. Ecuación: Igualdad entre epresiones algeraicas, oteniendo el valor de una cantidad que cumple con determinadas condiciones. Identidad: Igualdad valida no solo para una cantidad sino para un conjunto de cantidades. Propiedades de la igualdad:. Refleiva: a ε R a a. Simetría: a a. Transitiva: a c a c. Sustitución: a puede sustituir a a.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Igualdades de la forma: A + C o A + B + C eponente igual a. Donde A, B C son constantes. Las variales tienes

6 (-) 5 +(-) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO El eponente de la incógnita es. Tienen la forma a + a + c Solución por tres métodos: a)factorización: ( +)(+) )Completar cuadrados: X -6+ X -6 - X (-) c)formula General: X, - ± ac a. DESIGUALDADES. PROPIEDADES. Tricotomía: R >, < o. Aditiva: > +z > +z. Multiplicativa: > z > z > Y z< z < z < Y z< z > z. Transitiva: > Y >z > z

7 Resolver: +7 < > - -5< -8-7 >- -5 -< -5 > < > > 5 > SISTEMAS DE ECUACIONES 5. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Al resolver un sistema con dos ecuaciones lineales, se puede encontrar una de las sig. soluciones: a) Un par ordenado (, ) que intersecta las rectas de las ecuaciones ) Ninguna solución, las rectas de las ecuaciones son paralelas c) Todas las soluciones coinciden, las rectas son concurrentes. 5.. Métodos de solución: a) Método por suma o resta: Se elimina una variale para despejar la segunda (- ) Se sustitue el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones: + - ) Método de sustitución: Se despeja una variale se sustitue en la otra ecc. + + sustituendo: + (- ) Se encuentra el valor de : () -

8 c) Método de igualación: Se despeja la misma variale de cada ecuación se igualan. + + (-) Se encuentra el valor para : () - 5. Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. 5.. Regla de Cramer. + + z 6 + z + z 5 Se encuentra el determinante: (++) Para hallar el valor de X: (5+6+) Para hallar el valor de : (-5+)

9 Para hallar el valor de Z: (6++5) FUNCIONES ALGEBRAICAS Una función es una regla de correspondencia donde a cada elemento de un conjunto le corresponde uno solamente un elemento del otro conjunto. {( a,)(,)( c,)( d,)( e,5) } 6. DOMINIO Y CONTRADOMINIO A los elementos del primer conjunto se les llama dominio: a,,c,d,e A los del segundo conjunto se les llama contradominio:,,,,5 Cuando el dominio se repite no es función sino una relación: {( a,)(,)( c,)( a,)(,5) } 6. RANGO O IMAGEN Rango es el conjunto de todos los elementos del contradominio o imagen del dominio. Las funciones se grafican dando valores al dominio el resultado es el valor que le corresponde al rango. 6. GRAFICA DE UNA FUNCION F() + f() F(-)(-) F() () + + F() () F() () Serie Lineal (Serie) F() f() F(-) (-) - F(-) (-) - F () - - F () F () Serie Polinómi ca (Serie)

10 6. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Una función de la forma es creciente cuando >, si < la función es decreciente. Y X - ¼ - ½ Título del gráfico 5 ¼ ½ Epon encial (¼ ½) 6.5 FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS. Una función es continua cuando esta definida en un intervalo, si al tomar un valor del dominio la grafica se indefine, entonces es una función discontinua. Función continua: F() + Función discontinua: F() porque Cuando, f() no eiste. 8 6 Serie Lineal (Serie) ÁLGEBRA DE FUNCIONES Sea la función f() otra función g() se pueden hacer operaciones de suma o resta, multiplicación división. F() + - g() + F() + g() ( + ) + ( + ) + + F() g() ( + ) ( + ) 5 F() * g() ( + )( +) TRIGONOMETRIA

11 7.. MEDIDA DE UN ANGULO La medida de un ángulo se puede epresar en grados o radianes, donde: π radianes 8 Convertir a radianes Utilizando una regla de tres: π radianes 8 ( π rad)( ) π rad π rad 8 8 Convertir 5π rad a grados π rad 8 5π rad ( 8 )(5π rad) 9 π rad 7.. RAZONES TRIGONOMETRICAS seno: Razón entre el cateto opuesto la hipotenusa Coseno: Razón entre el cateto adacente la hipotenusa Tangente: Razón entre el cateto opuesto el cateto adacente. Cotangente: Razón entre el cateto adacente el cateto opuesto Secante: Razón entre la hipotenusa el cateto adacente Cosecante: Razón entre la hipotenusa el cateto opuesto. B Con respecto al ángulo A, a es el cateto c Opuesto, el cateto adacente c la a hipotenusa. Seno A a/c Cotangente A /a C A Coseno A /c Secante A c/ Tangente A a/ Cosecante A c/a 7.. RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Hallar el valor de la hipotenusa: C Para resolver el prolema como no tenemos el valor de los ángulos se utiliza el teorema de Pitágoras: c a + + c 5 c 5 c Hallar el valor de a : Seno A /c, despejando a : (Sen )() (.5)() 6 A Coseno A a/c, despejando a A a (cos ) () a (.86 )() a LEY DE LOS COSENOS

12 a senoa c C senob senoc a + c --c cos A a a + c ac cos B c a + a cos C A Resolver el siguiente triangulo: c C 5 c B a sena sen55 A 55 c B 8 Para encontrar a c: Por le de cosenos: c + -()() cos 5 c + cos 5 c (.77) c 7. c 7. c 8.6 senb despejando a : sen8 sen8 sen RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO EN CUALQUIER CUADRANTE Seno: Es la razón entre la ordenada la distancia al origen Coseno: Es la razón entre la acisa la distancia al origen Tangente: Es la razón entre la ordenada la acisa Cotangente: El la razón entre la acisa la ordenada Secante: Es la razón entre la distancia al origen la acisa Cosecante: Es la razón entre la distancia l origen la ordenada Eje Y d a Donde a es la acisa, la ordenada d la distancia al origen. Eje X 7. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

13 7.. EL CIRCULO TRIGONOMETRICO Y π Angulo Coordenadas P(, ) (,) π (-,) π/ (,-) π π π (,) π 7.. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS En una circunferencia unitaria el valor de la es igual a la función coseno de un ángulo, el valor de es igual a la función seno. Y seno θ X coseno θ Las siguientes funciones trigonométricas depende de las funciones directas: senoθ Tangente θ cosenoθ cos enoθ Cotangente θ senoθ Secante θ cosenoθ Cosecante θ senoθ 7... DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Rango de la función seno: [, ] - π π Dominio: (, ) Rango de la función coseno: [, ] - π π 5π 7... PERIODO Y AMPLITUD El periodo de las dos funciones es de π su amplitud igual a. Dominio: (, ) 7... DEFASAMIENTO

14 La gráfica de la función seno, se defasa en múltiplos de π. La gráfica de la función coseno se defasa en múltiplos de π/ ASINTOTAS Las asintotas son rectas que se trazan donde una función se indefine, de tal forma la gráfica se aproima hacia ellas pero sin tocarlas. La gráfica de la función tangente se indefine en los múltiplos de π/. La gráfica de la función cotangente se indefine en los múltiplos de π. La gráfica de la función secante se indefine en los múltiplos de π/. La grafica de la función cosecante se indefine en los múltiplos de π. La grafica de la función Tangente - π π 5π 8. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 8. Una función eponencial tiene la forma. Dominio: (, ) Rango: [, ) Una función logarítmica tiene la forma: a Dominio: ( Rango:, ] (, ) 8. GRAFICAS Y - ¼ - ½ 5 ¼ ½ Eponencial (¼ ½) log X 5 Serie Logarítmica

15 /8 - ½ RECTA 9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS d ( ) + ( ) Encontrar la distancia entre los puntos (, -) (5,) d d ( 5) + ( ( ) + ( ) ) d 8 9. COORDENADAS DE UN PUNTO DIVIDIDO POR UN SEGMENTO Razón γ γ X + Y + γ + γ + γ 9. PENDIENTE DE UNA RECTA Es el número de unidades que camia el eje cuando se recorre una unidad en el eje Una recta que pasa por los puntos (, ) (, ) tiene como pendiente: m Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (, ) (-6, ) M FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA Y SU GRAFICA La forma general de la ecuación de una recta es: a + + c. a) Ecuación punto pendiente: Se otiene con el valor de la pendiente un punto por donde pasa la recta. - m ( ) ) Ecuación simétrica: Se otiene con el valor de los puntos donde la recta corta al eje (a,)(,) + a c) Función Lineal: Se otiene con el valor de la pendiente m la ordenada. m Dos rectas son paralelas si el valor de sus pendientes son iguales m m Dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es -: m m -

16 9.6 Distancia de un punto a una recta Sea la ecuación a + + c un punto (, ), la distancia del punto a la recta se define como: a + + c d a +. CIRCUNFERENCIA. CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMETRICO Conjunto infinito de puntos que equidistan de de otro punto llamado centro.. FORMA ORDINARIA P Ecuación de la recta con centro en el origen: + r. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO (h, k) (-h) + (-k) r. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A partir de la forma general se puede llegar a la forma ordinaria para conocer el centro radio de la circunferencia. De la circunferencia hallar el centro radio. (X + 6) + ( -) - Se completan trinomios cuadrados perfectos: ( ) + ( - +) ( +) + ( -) 9 h - k Centro en (-, ) r. PARABOLA. LUGAR GEOMETRICO, de un punto que se mueve en un plano de tan manera que la distancia hacia un punto fijo llamado foco es siempre igual a una recta fija llamada directriz.. CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA Se traza una curva, donde la distancia sea igual del foco al vértice de la paráola del vértice a la directriz.. FORMA ORDINARIA DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN

17 -p p p -p Y p -p p -p. FORMA DE LA PARABOLA CON VERTICE (h, k) (Y-k) p(-h) (-k ) -p( h) (- h) p(-k) ( h) -p( K).5 ELEMENTOS DE UNA PARABOLA De la siguiente ecuación general de la paráola se puede encontrar el centro, foco, ecuación de la directriz. a) -8 Se completa el trinomio cuadrado perfecto: Y ( ) 8( + ) Centro de la paráola: (-, ) Foco: como p 8 entonces p foco en (, ) Directriz: - ) ( + ) - ( + ) ( ) Centro ( -, ) Como p p Foco (-, ) Directriz :. ELIPSE. COMO LUGAR GEOMETRICO, se define como un punto que se mueve en un plano de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.. FORMA DE UNA ELIPSE

18 -a a -c c. RELACION ENTRE LOS PARAMETROS a,, c. Los puntos (a, )(-a,) son los vértices del eje maor Los puntos (, )(, -) son los vértices del eje menor Los puntos (c, ) (-c, ) son los focos de la elipse. Para hallar el valor de c se utiliza la ecuación: c a. ECUACION ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN a -a -c c a - -c c a + + a.5 FORMAS DE LA ELIPSE CON CENTRO (H,K) ( h) a ( k) + ( h) ( k) + a.6 ELEMENTOS DE UNA ELIPSE De la ecuación general de la elipse, se puede llegar a su forma ordinaria para conocer el centro, focos, vértices. De la ecuación ( ) + 9( + 6) -

19 Se completan los cuadrados perfectos: 6( + ) + 9( ) (-) + 9(+) 6( ) 9( + ) + ( ) ( + ) Centro de la elipse: (, -) a 6 a 6 a 9 9 C a c 9 Vértices del eje ma or: (,) (, -7) Vértices del eje menor: (5, -)(-, ) Focos: (, -+ 7 )(, -- 7 ) 6 c 7. HIPERBOLA. COMO LUGAR GEOMETRICO, se define como un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos focos es igual a una constante.. CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA -a a a -. RELACION ENTRE LOS PARAMETROS a,, c Los puntos (-a, )(a, ) son los vértices del eje Los puntos (, )(, -) son los vértices en el eje Los puntos (c, ) (-c, ) son los focos de la hipérola. Para hallar el valor de c se utiliza la ecuación: c a +. FORMAS ORDINARIA Y GENERAL DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN

20 a a.5 FORMAS ORDINARIA Y GENERAL DE LA HIPERBOLA CON CENTRO (H,K) ( h) a ( k) ( k) a ( h).6 ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA A partir de la ecuación general se pueden otener el centro, vértices, ecuaciones de las asintotas grafica de la hipérola. a) ( + ) (9-6) 6 ( ) 9( +) (+) 9( ) 6 ( + ) 9( ) ( + ) ( ) 9 Centro de la hipérola: (-, ) a 9 a c 9 + c

21 ) ( + 6) ( ) ( + +) ( +) + 6 ( + ) ( ) 6 ( + ) ( ) 6 6 ( + ) ( ) 6 Centro de la hipérola: (, -) a a 6 c + 6 c. ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO. Son consideradas figuras cónicas la paráola, elipse, e hipérola.. Toda ecuación de segundo grado tiene la posiilidad de representar una figura cónica.. Para determinar la cónica que representa la ecuación cuadrática se deen completar los trinomios cuadrados perfectos TRASLACION DE EJES. Cuando los ejes coordenados, están fuera del origen, las nuevas coordenadas son: X h Y - k 5. LIMITES 5. CONCEPTO INTUITIVO: El limite de una función discontinua F() cuando se aproima a un punto L es igual a un valor a. 5. DEFINICION FORMAL: Lim f() L a 5. TEOREMAS SOBRE LIMITES a) Lim f() + g() Lim f() + Lim g() a a ) Lim f() g() Lim f() Lim g() a a a c ) Lim f ( ) g( ) Limf ( ) Limg( )

22 5. OBTENCION DE LIMITES a)se puede encontrar directamente sustituendo en valor de a en f() Lim + + () + () ) Si al sustituir directamente el límite se indefine, entonces se realiza un proceso de factorización. Lim Lim ( + )( ) Lim FORMAS INDETERMINDAS Cuando la función se divide entre la literal con eponente maor encontrar un valor real. k k k k lim lim lim CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO Una función f() es continua en un punto a si se cumplen las siguientes condiciones:. Eiste f(a). Eiste el lim f(). lim f() f(a) a a Estudiar la continuidad de la función F() en. f(). lim. lim f() f() Una función es continua en un intervalo si lo es en cada punto del intervalo. Estudiar la continuidad de la función f() Cuando - la función se indefine, por lo tanto la función f() es continua en todo el intervalo ecepto en LA DERIVADA 6. DEFINICION DE DERIVADA

23 Se denomina derivada de una función f ()en un punto donde d denotar como F (),,. d lim f ( a) f ( ). Se puede 6. OBTENCION DE DERIVADAS Reglas para derivar:. f() k f () n n-.f() f() n. f() + g() f () + g (). f() g() f ()g() + f()g () f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) 5. g( ) ( g( )) Ejemplos: F() f () F() + - f () + F() ( +) ( ) f () () ( ) + ( + ) () F() + ()( ) ( + )(6) ( ) REGLA DE LA CADENA Se utiliza para derivar funciones compuestas. Si F() f(g()) entonces F () f (g()) g () F() ( -5) F () ( 5) ( 5) ( -5) ( 5) (6-5)( 5) 6. DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS Cuando una función esta en términos de, se derivan las dos variales se despeja la derivada de : + Al derivar esta función se tiene: + despejando la derivada de : + Ejemplo :

24 + Nota: se deriva con la regla de producto + + Despejando a : 6.5 DERIVADAS SUCESIVAS Consiste en encontrar a partir de la primera derivada, una segunda, tercera, cuarta, etc, derivada. F() F () + F () 6 F () 6 F () 6.6 INTERPRETACION GEOMETRICA La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de una recta tangente a la grafica de la función. Tamién representa la concavidad de la curva con máimos o mínimos. 6.7 ECUACIONES DE LA TANGENTE Y LA NORMAL DE UNA CURVA La tangente es una recta que toca solo un punto de la curva. Para encontrar su ecuación, se deriva la función f(), para hallar el valor de la pendiente. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva con función f() + en el punto X. F () se sustitue, por lo tanto la pendiente m () Para hallar el punto se sustitue en la función: F() El punto que toca la curva es (, 6) m - m( ) 6 ( ) La normal es una recta perpendicular a la tangente, de tal manera que su pendiente m. Encontrando su ecuación: m - m ( ) -6 ( ) (-6) CALCULO DE LA VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UN MOVIL Para hallar la velocidad, se deriva la distancia con respecto al tiempo.

25 Para hallar la aceleración se deriva la velocidad con respecto al tiempo. s V t a v t El espacio s recorrido en metros por un móvil viene dado por la formula s t + t. Calcular la velocidad aceleración cuando t seg. S 6t + sustituendo a t, la velocidad es : v 6 () + v 6 m/s a t la aceleración es: a ( ) m/s 6.9 MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION Punto Máimo Punto Mínimo S i f (a) f (a) > entonces f tiene un mínimo relativo en a Si f (a) f (a) < entonces f tiene un máimo relativo en a Hallar los máimos mínimos relativos de la función: F() + F () + Factorizando el trinomio tenemos: F () ( ) ( + ) Igualando a cero: ( ) (+) + / - Se encuentra la segunda derivada: F () 6 + f (-) 6(-) -6 como f (a)< entonces ha un Máimo en - f (/) 6(/) como f (a) > entonces ha un Mínimo en / 6. PUNTOS DE INFLEXION Y CONCAVIDAD EN UNA CURVA La segunda derivada permite deducir la curvatura de una función Si f (a) > la función es cóncava en a Si f (a) < la función es convea en a Si f (a ) la función tiene un punto de infleión en a F() +

26 F () + F () ( ) ( + ) X / - F () 6 + F () 6 + f (-) 6(-) -6 Co nvea en -6 Curva cónc ava Curva convea f (/) 6(/) Cóncava en 6. PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA Ejemplo de la aplicación de la derivada: Un granjero dispone de metros de valla, con los que desea construir un corral rectangular con la máima superficie posile. es el ancho el largo del rectángulo. El área se otiene multiplicando el largo por el ancho: A Perímetro + Como el perímetro dee tener metros: Despejando una variale sustituendo en la formula del área: Y 5 A ( 5 ) A 5 derivando el área: A 5 Igualando a : 5 5 El área máima es un cuadrado de 5 m cada lado con una área de 65 m. 7. INTEGRAL 7. Función integrale en un intervalo cerrado Se define como: f ( ) d F( ) + c donde c es la constante de integración. 7. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL f + g ( ) d ( ( ) g ( )) d f ( ) d + af ( ) d a f ( ) d ( + 6) d d 6 d + 7. INTEGRALES INMEDIATAS Son consecuencia inmediata de las correspondientes propiedades de las derivadas, formando la siguiente tala de fórmulas para integrar: 7. TABLA DE FORMULAS DE INTEGRACION

27 ad a + c n + n d + c n + d d ln + c e d e + c send cos + c cos d sen + c 7.5 METODOS DE INTEGRACION. Método de descomposición ( + e ) d d d + e ln + e + c. Método del camio de Variale 5 + d ( 5 + ) d Llamamos a u 5 + derivamos du 5 d despejamos du / 5 d se sustitue a u en la integral: u du u du (5 + ) (5 + ) + c Integración por partes d udv uv vdu cos d Tomando: u d v cos d dud v cos d sen Siguiendo la formula: cos d sen send sen + cos + c

28 7.6 INTEGRAL DEFINIDA Y SU NOTACIÓN Una integral definida tiene la forma: a f ( ) d F( ) F( a) donde a representan el intervalo a integrar. Las reglas para integrar son las mismas que la integral indefinida. ( + ) d ()