Potencial Eléctrico en materiales no lineales

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1 Potencial Eléctrico en materiales no lineales Ing. Marcela Morales Quispe CIMAT June 1, 2012 Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

2 Índice 1 Introducción 2 Marco Teórico Ley de Coulomb Ecuaciones Diferenciales para el campo electrostático Materiales no lineales 3 Metodología Método Iterativo 4 Ejemplos y Resultados Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 5 Conclusiones 6 Bibliografía Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

3 Introducción Es necesario implementar herramientas de soporte matemático sólido para el estudio de los fenómenos electromagnéticos. Tales son las denominadas generalmente herramientas de Electromagnetismo Computacional. Una de éstas herramientas es FEM, éste básicamente discretiza la región bajo análisis en elementos geométricos, sobre este conjunto de elementos se generan un conjunto de funciones linealmente independientes que determinan el comportamiento particular del conjunto de manera que sea coherente con el comportamiento general del problema. Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

4 Marco Teórico Ley de Coulomb La ecuación fundamental de la electrostática es la ley de Coulomb que describe las fuerzas entre dos cuerpos cargados en posisicones conocidas. Supongamos que exiten dos pequeños objetos con cargas q 1 y q 2 (figura 1), la fuerza eléctrica en el objeto 1 desde el objeto 2 es: F 1 = n 21 q 1 q 2 4πɛ 0 r 2 21 (1) donde ɛ 0 es la permitividad del vacío, ɛ 0 = farads/m Figure: Fuerza entre dos cargas Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

5 Marco Teórico Ley de Coulomb El principio de superposición nos permite extender la Ley de Coulomb a múltiples cargas. Supongamos que tenemos una carga de prueba q 0 en la posición (x 0, y 0, z 0 ) en presencia de un grupo de cargas q i, la fuerza total en la carga de prueba es: F(x 0, y 0, z 0 ) = q 0 N n i i=1 q i 4πɛ 0 r 2 i } {{ } E(x 0,y 0,z 0 ) (2) donde E(x 0, y 0, z 0 ) es el llamado campo eléctrico y tiene unidades volts por metro (V /m). Dado el campo eléctrico de una distribución de cargas, la fuerzaen una carga de prueba q en la posición x = (x, y, x) es: F(x) = qe(x) (3) El valor del campo eléctrico nos dá la fuerza que una partícula cargada sentiría si entra en el campo eléctrico. Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

6 Marco Teórico Ecuaciones Diferenciales para el campo electrostático La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada dentro de la superficie. Matemáticamente la Ley de Gauss toma la forma de una ecuación integral S E da = V ρ ɛ 0 dv (4) o en forma difenrencial la ecuación (4) es equivalente a: E x x + E y y + E z z = ρ ɛ 0 (5) donde ρ es la desidad de carga con unidades coulombs/m 3 Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

7 Marco Teórico Ecuaciones Diferenciales para el campo electrostático Se define el potencial eléctrico como: E = ɛ r φ (6) donde φ es el potencial eléctrico es un escalar y se mide en volts (V), ɛ r es la permitividad relativa del material. Sustituyendo la ecuación (6) en (5) tenemos la expresión de la ecuación de Poisson: x ( ɛ r φ x ) + y ( ɛ r φ y ) + z ( ɛ r φ z ) = ρ (7) ɛ 0 Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

8 Marco Teórico Materiales no lineales La permitividad relativa ɛ r de los materiales dieléctricos puedes variar con respecto a la magnitud del campo eléctrico, es decir la ecuación de Poisson (ecuación 7) es no lineal ya que ɛ r está en función del potencial eléctrico ɛ r = φ 2 (8) La aproximación estandar consiste en aplicar correcciones a ɛ r en varios ciclos. Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

9 Marco Teórico Materiales no lineales Para la implementación se consideró la tabla 8.1 de [1], en la que nuestra variable independiente es φ 2 y nuestra variable dependiente es ɛ r Figure: Comportamiento del material no lineal considerado en nuestra aplicación Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

10 Metodología Método Iterativo En una primera instancia, se definen un número máximo de iteraciones y la tolerancia porcentual permitida de error. La principal idea es partir de ɛ 0 r para todos los elementos de nuestro dominio, con éstos valores se resuelve la ecuación de Poisson para el potencial eléctrico, luego calculamos la magnitud del campo eléctrico en el punto de Gauss de los elementos E pg 2, con esta magnitud interpolamos el valor de ɛ 1 r correspondiente, luego calculamos el error porcentual de ɛ 0 r y ɛ 1 r y si este error es menor que la tolerancia permitida nos detenemos, luego con el último valor ɛ i r encontrado calculamos los flujos en los nodos. Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

11 Metodología Código del método iterativo Método Iterativo void DiscreteSurface : : i t e r a t i v e N o n L i n e a r ( i n t &MAXITER, double &tolerance ) 2 { for ( unsigned i n t i t e r = 0 ; ; i t e r ++) 4 { assemblysystem ( ) ; 6 applydirichletconditions ( ) ; applyneumannconditions ( ) ; 8 GCRSolver ( ) ; 10 for ( unsigned i n t kk=0; kk<elems ; kk++) { / / update D on Ds by element 12 e l t o. updated ( phi, mesh,dd[ kk ],DDs[ kk ], table, kk, B) ; } 14 i f ( e r r o r (D, Ds, tolerance, i t e r ) i t e r ==MAXITER 1) 16 { / / i f err<tolerance, stop the method break ; 18 } else 20 { for ( unsigned int k=0;k<d. size ( ) ; k++) 22 D[ k ]=Ds [ k ] ; } 24 } assemblysystemfluxes ( ) ; 26 cout<<"electric Field calculated"<<endl ; dopostresfile ( ) ; 28 cout<<"files wrote"<<endl ; } Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

12 Metodología Método Iterativo Código de método que calcula el error bool DiscreteSurface : : e r r o r ( vector<matrix> &D, vector<matrix> Ds, double &tolerance ) 2 { bool f l a g =true ; 4 for ( unsigned i n t i =0; i<d. s ize ( ) ; i ++) 6 { norm1=d[ i ]. normdiag ( ) ; 8 norm2=ds [ i ]. normdiag ( ) ; 10 den=( fabs ( norm1 ) < )? : fabs ( norm1 ) ; e r r =fabs ( ( norm1 norm2 ) / den ) 100; 12 out<<i+1<<" "<<err<<endl ; / / element s percentage e r r o r 14 norm1v+=(pow (D[ i ] [ 0 ] [ 0 ], 2 ) +pow(d[ i ] [ 1 ] [ 1 ], 2 ) ) ; norm2v+=(pow ( Ds [ i ] [ 0 ] [ 0 ], 2 ) +pow(ds [ i ] [ 1 ] [ 1 ], 2 ) ) ; 16 } 18 den =( fabs ( norm1v ) < )? : fabs ( norm1v ) ; err=fabs ( ( norm1v norm2v ) / den ) 100; / / surface s percentage error 20 i f ( err>t o l e r a n c e ) { 22 f l a g = false ; } 24 else cout<<"potential calculated"<<endl<<"final percentage error:"<<err ; 26 return flag ; 28 } Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

13 Geometría, Materiales Ejemplos y Resultados Ejemplo 1 Figure: Geometría, superficie de 10 10cm Figure: Materiales, ɛ 1 = , ɛ 2 = 7.75, ɛ 3 = 12.5, ɛ 4 = 2.25, ɛ 5 = 2.285, ɛ 6 = 3.9, ɛ 7 = 7.0 y ɛ 8 = Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

14 Condiciones de frontera Ejemplos y Resultados Ejemplo 1 Figure: Condiciones tipo Dirichlet (Volts) Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

15 Potencial Eléctrico Ejemplos y Resultados Ejemplo 1 Figure: Potencial Eléctrico en la primera iteración Figure: Potencial Eléctrico en la última iteración, tolerancia=0.3% Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

16 Campo Eléctrico Ejemplos y Resultados Ejemplo 1 Figure: Campo eléctrico obtenido con el valor de ɛ t de la última iteración, t = 13 Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

17 Geometría, Materiales Ejemplos y Resultados Ejemplo 2 Figure: Geometría, superficie de 5 8cm Figure: Materiales ɛ 1 = Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

18 Condiciones de frontera Ejemplos y Resultados Ejemplo 2 Figure: Condiciones tipo Dirichlet (Volts) Figure: Condiciones tipo Neumann (Volts/metro) Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

20 Campo Eléctrico Ejemplos y Resultados Ejemplo 2 Figure: Campo eléctrico obtenido con el valor de ɛ t de la última iteración, t = 19 Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

21 Ejemplos y Resultados Ejemplo 3 Condiciones de frontera-campo Eléctrico Figure: Condiciones tipo Dirichlet (Volts) Figure: Campo eléctrico obtenido con el valor de ɛ t de la última iteración, t = 35 Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

23 Conclusiones Los resultados obtenidos son muy aceptables y lógicos, lamentablemente no existe mucho material bibliográfico que describan ejemplos reales de electrostática, la mayor parte de ejemplos reales que existen son para problemas electromagnéticos, pero una vez resuelto los problemas básicos de electrostática se tiene un buen inicio para abordar problemas de electromagnetismo. En el trabajo realizado no se tienen las gráficas de las líneas de campo eléctrico debido a que se tiene el vector de campo eléctrico en puntos espaciales únicos lo que dificulta la visualización de líneas contiguas de campo eléctrico. Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24

24 Bibliografía [1] Stanley Humphries,Jr. Finite-element methods for Electromagnetics. Albuquerque and New Mexico and U.S.A., 1nd Edition, 2010 [2] Josep Sarrate and Ramon Clarisó. El método de los elementos finitos en problemas electromagnéticos: planteamiento y aplicaciones. Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona, España. Julio 2000 Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Eléctrico en materiales no lineales June 1, / 24