Estudio comparativo de diferentes tipos de agujeros negros

Transcripción

1 Proyecto de Iniciación a la Investigación Estudio comparativo de diferentes tipos de agujeros negros Por Jose María Pérez Poyatos Tutor Bert Janssen Departamento de Física Teórica y del Cosmos Universidad de Granada Julio de 216 Imagen tomada de la película Interstellar

2 Resumen Los agujeros negros son una de las más exóticas e interesantes soluciones que pueden ser obtenidas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, la solución de Schwarzschild fue la primera solución exacta obtenida de estas ecuaciones, unas ecuaciones que el mismo Albert Einstein pensaba que jamás serían resueltas. Los agujeros negros han sido estudiados durante mucho tiempo por científicos tan importantes como pueden ser Stephen Hawking o Roger Penrose, contribuyendo enormemente en este campo e incluso descubriendo algunas de las propiedades cuánticas de estos objetos. El hecho de que tengan un punto singular en su interior, donde la curvatura se hace infinita y las ecuaciones pierden su validez completamente, suscita interés incluso hoy en día, ya que la gravedad parece ser imparable y ninguna fuerza conocida es capaz de oponerse a ella para llegar a un estado estable sin singularidad. En este proyecto estudiaremos los agujeros negros que históricamente han sido importantes por diversas razones, como el ya mencionado agujero negro de Schwarzschild, con el cual estableceremos el procedimiento seguido en el resto de apartados para estudiar la estructura causal de los diferentes casos que trataremos. Todos los casos estudiados tienen un alto grado de simetría, con lo cual pueden ser abordados de una forma relativamente sencilla con unos conocimientos más o menos básicos sobre Física y Geometría Diferencial. También estudiaremos espacios que no presentan un agujero negro, como son los espacios de De Sitter y de anti-de Sitter, para conocer sus principales propiedades para luego, posteriormente. sí introducir un agujero negro de tipo Schwarzschild y estudiar unas estructuras causales que no suele ser frecuente encontrar en la bibliografía.

3 Índice 1. Introducción y motivación del proyecto 4 2. Agujero negro de Schwarzschild Derivación de la solución Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild Estructura causal de la solución de Schwarzschild Conclusiones Agujero negro de Reissner-Nordström Formalismo de Palatini y derivación de la solución Estudio de los horizontes de la solución de Reissner-Nordström Estructura causal de las diferentes soluciones Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström subextremal Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström extremal Espacio de De Sitter Derivación de la solución Estructura causal de la solución de De Sitter Conclusiones Espacio de Anti De Sitter Estructura causal de la solución de anti De Sitter Conclusiones Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild De Sitter Caso subextremal R > 3 3M Estructura causal del caso subextremal Conclusiones Caso extremal R = 3 3M Estructura causal del caso extremal Conclusiones Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-de Sitter Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter Estructura causal de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter Conclusiones Conclusiones finales Bibliografía 5

4 1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO 4 1. Introducción y motivación del proyecto Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matemáticas que se esconden tras ellos y las ideas básicas que sustentan la teoría de la Relatividad General. Para empezar, las ecuaciones de campo de Einstein en unidades tales que c = 1: R µν 1 2 Rg µν = 8πGT µν 1.1 son unas ecuaciones tensoriales. Esto es así debido al Principio de Covariancia Generalizado, que nos dice que no hay ningún observador privilegiado y que las leyes de la física han de escribirse de idéntica forma en todos los sistemas de referencia, tanto inerciales como no inerciales, es por ello que nuestras ecuaciones deben escribirse en términos de objetos que transformen bien ante cambios de coordenadas, y estos son escalares, vectores y tensores. Por otro lado, estas ecuaciones manifiestan la idea más feliz de la vida de Einstein, que fue la identificación del campo gravitatorio con la geometría del espacio, por lo que gravedad y geometría dependían íntimamente una de otra, lo que es una consecuencia del Principio de Equivalencia, según el cual observadores en caída libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a observadores en el vacío. Es por ello, que sus ecuaciones de campo debían relacionar la geometría del espacio con las fuentes de campo gravitatorio, que son la masa como en la teoría newtoniana y además, la energía, que es una de las grandes lecciones de la Relatividad Especial, y es que masa y energía son las dos caras de una misma moneda. Esto es lo que refleja la parte derecha de la ecuación, donde aparece el tensor de energía-momento, que contiene toda la información del contenido energético de la solución estudiada. En la parte izquierda de la ecuación, tenemos el tensor de Ricci que a su vez es contracción del tensor de Riemann, que refleja la geometría del espacio; el escalar de Ricci, que es la traza del tensor de Ricci; y la métrica, que es lo que buscamos al resolver estas ecuaciones. A pesar de que a priori, esos tres objetos no están relacionados, lo están íntimamente a través de la conexión. La conexión es un objeto matemático no tensorial que nos indica cómo cambia un vector de un espacio tangente a otro al hacer transporte paralelo en la variedad, y es que los vectores viven en los espacios tangentes a las variedades.y es que en una variedad arbitraria, los espacios tangentes cambian de punto a punto. Necesitamos un representante de un vector dado perteneciente a un espacio tangente en otro espacio tangente, y la forma de hacerlo es gracias a la conexión. La conexión, a priori, es totalmente arbitraria: diferentes conexiones, nos darán diferentes nociones de curvatura. Pero existe una conexión preferida, que posee la importante cualidad de que se relaciona con la métrica de la forma: Γ ρ µν = 1 [ ] 2 gρλ µ g λν + ν g µλ λ g µν, 1.2 donde asumimos el convenio de índices repetidos de Einstein; un mismo índice arriba y abajo en una expresión significa sumatorio sobre todos los valores que pueda tomar dicho índice. Esta conexión cumple las siguientes dos propiedades: Tµν ρ = Γ ρ µν Γ ρ νµ = ; µ g νρ = 1.3 La primera de ellas nos dice que el tensor de torsión es nulo, y por ende, la conexión es simétrica. La consecuencia geométrica de este hecho, es que el cuadrilátero formado por dos vectores, haciendo transporte paralelo de ambos, es cerrado. La segunda, nos dice que la derivada covariante de la métrica es nula, por lo que podemos conmutar la derivación con la subida y bajada de índi-

5 5 1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO ces, operación que se realiza con el tensor métrico. A partir de la conexión, podemos definir el tensor de Ricci R µν = R λ µλν = µγ λ λν λγ λ µν + Γ λ µσγ σ λν Γλ λσ Γσ µν, 1.4 que también está relacionado con la métrica, de tal forma que sólo aparecen ecuaciones diferenciales de segundo orden para la ésta, que era otro de nuestros objetivos, ya que las ecuaciones diferenciales en física son siempre de segundo orden dado que siempre tenemos dos condiciones de contorno. Como podemos ver, estas ecuaciones van a ser altamente no lineales, lo que va a hacer que no se conozcan soluciones generales a las mismas. En este proyecto, vamos a tratar con agujeros negros, que son soluciones exactas de la ecuaciones de campo de Einstein. Son objetos en cuyo interior se encuentra una singularidad física, es decir, un punto del espacio- tiempo en el que las ecuaciones se desmoronan y donde tenemos una curvatura infinita. Esta singularidad está aislada del resto del espacio-tiempo por un horizonte de sucesos, lugar a partir del cual, una vez cruzado, no hay retorno, ya que ni siquiera la luz es capaz de salir. Existen soluciones sin horizonte, pero nosotros aplicaremos la hipótesis de censura cósmica propuesta por el físico matemático Roger Penrose, según la cual estos objetos no existen en la naturaleza. Como hemos dicho, en nuestras soluciones van a aparecer singularidades, es decir, puntos del espacio-tiempo donde alguna de las componentes de la métrica va a divergir, y conviene distinguir los dos casos posibles: Singularidades físicas: son lugares del espacio-tiempo donde la curvatura se hace infinita y nuestras ecuaciones no son válidas ahí. Singularidades de coordenadas: son aquellas que aparecen por usar un sistema coordenado concreto. Un cambio de coordenadas la hace desaparecer o bien la lleva a otro punto que antes del cambio de coordenadas era completamente regular. Un ejemplo sería el origen en coordenadas polares planas. En nuestro estudio, van a aparecer diferentes tipos de geodésicas, que son las líneas que las partículas libres siguen por la variedad. Los dos tipos de geodésicas que vamos a encontrarnos son los siguientes: Geodésicas nulas: son las trayectorias que siguen los rayos luminosos. La norma de sus vectores tangentes es nula, lo que equivale a decir que g µν ẋ µ ẋ ν = Geodésicas temporales: son las trayectorias que siguen las partículas materiales. La norma de sus vectores tangentes es la unidad g µν ẋ µ ẋ ν = 1. En nuestro estudio, supondremos simetría esférica y estaticidad. La simetría esférica hace que nos baste con estudiar las geodésicas radiales, que son aquellas que van en dirección radial, pudiendo ser entrantes o salientes.. La estaticidad consiste en la invariancia de la métrica ante inversiones temporales, y será la causante de la conservación de la energía por unidad de masa a lo largo de las geodésicas, ecuación que se plantea de la forma g tt ṫ = E. Estudiar agujeros negros consiste en conocer la estructura causal de los mismos, que es el conjunto de puntos que pueden influenciar a otros, este es el motivo por el cual estudiamos el comportamientos de las geodésicas, ya que conociendo las trayectorias de los rayos luminosos podemos

6 1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO 6 conocer el cono de luz futuro de cualquier observador en cualquier lugar. Esto es importante, ya que según la Relatividad Especial, un observador se mueve dentro de su cono de luz futuro y no puede salir de él, ya que eso supondría velocidades superiores a la de la luz. En Relatividad Especial, los conos de luz eran de la forma: Figura 1: Conos de luz en Relatividad Especial Veremos que en un espacio curvo, la variedad de conos que aparecen es bastante más amplia e interpretaremos su forma y orientación, ya que variarán de un punto a otro precisamente por la curvatura. Lo importante es que el tiempo dentro de un cono de luz siempre va sobre la bisectriz que pasa sobre su vértice, por lo que un observador en reposo se moverá en estos diagramas a lo largo de dicha bisectriz. La motivación que nos lleva a estudiar estos objetos es la siguiente: Como hemos mencionado antes, son soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Como mencionábamos al principio, el propio Einstein pensaba que no podrían obtenerse de sus ecuaciones soluciones exactas. En concreto, las que estudiaremos aquí presentan mucha simetría. Esta simetría es la que hace que se puedan obtener de una forma relativamente sencilla y siguiendo el proceso presentado aquí. Históricamente, han resuelto problemas que la Gravitación Universal de Newton no podía, como la precesión del perihelio de Mercurio y dan correcciones de orden superior a las trayectorias predichas por Newton. Una de ellas es posible que represente nuestro universo en el futuro: se trata de la solución de De-Sitter. Han cambiado nuestra forma de entender el espacio el tiempo, haciendo que ambos sean dinámicos e intercambiables y no meros espectadores como lo eran para la mecánica newtoniana.

7 7 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 2. Agujero negro de Schwarzschild Este tipo de agujero negro, fue la primera solución exacta de las ecuaciones de Einstein y es una de las más sencillas de encontrar. Es una solución de las ecuaciones en el vacío y fue la solución que determinó correctamente la precesión del perihelio del planeta Mercurio, ya que las ecuaciones de Newton no eran capaces de ello Derivación de la solución Las ecuaciones de Einstein R µν 1 2 Rg µν = 8πGT µν en ausencia de materia y energía, hacen que el tensor de energía-momento sea nulo por lo que: Quedando la ecuación de Einstein de la forma: T µν =. R µν 1 2 Rg µν =. Si multiplicamos por la métrica inversa y operamos podemos despejar el escalar de Ricci: g R µν µν 1 2 Rg µν = R 2R = R =. El escalar de Ricci es nulo y la ecuación de Einstein sin traza queda mucho más sencilla: R µν =. Aún así, es muy complicado resolver esta ecuación tensorial de forma general, por lo que vamos a proponer un Ansatz, es decir, una forma para la métrica que contemple todas las características que buscamos de nuestra solución, es decir, buscamos una solución que sea esféricamente simétrica y estática. Por ello buscamos una métrica con la forma: ds 2 = e 2Ar dt 2 e 2Br dr 2 r 2 dω 2 2 donde A y B son funciones dependientes de la coordenada radial y que hemos de determinar y dω 2 2 = dθ2 + sin 2 θdϕ 2 es el elemento de línea de la 2-esfera. Esta métrica tiene todas las características que buscamos, ya que sólo depende del módulo de la distancia, siendo esféricamente simétrica, es decir, invariante ante rotaciones SO 3, y la estaticidad está asegurada debido a que ninguna componente depende de la coordenada temporal y no hay términos cruzados que involucren al tiempo. Con esta métrica, tenemos que calcularnos los símbolos de Christoffel usando su definición a partir de las componentes de la métrica 1.2. Los símbolos no triviales son los siguientes:

8 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 8 Γ t tr = A Γ r tt = e2a B A Γ r rr = B Γ r θθ = re 2B Γ r ϕϕ = re 2B sin 2 θ Γrθ θ = r 1 Γ θ ϕϕ = sin θ cos θ Γrϕ ϕ = r 1 Γ ϕ θϕ = cot θ que nos servirán para el resto de los casos que vamos a estudiar. A continuación tenemos que calcular el tensor de Ricci, que en función de los símbolos de Christoffel tiene la forma 1.4, y cuyas componentes no nulas son [ R tt = e 2A B A + A 2 A B + 2r 1 A ] R rr = A + A 2 A B 2r 1 B 2.1 R θθ = e 2B [ra rb + 1] 1 R ϕϕ = sin 2 θ R θθ Ahora debemos imponer que se cumplan las ecuaciones de Einstein, es decir, debemos igualar todos los términos del tensor de Ricci a cero R µν =. El sistema de ecuaciones diferenciales que tenemos parece sobredeterminado, ya que tenemos dos funciones incógnita y cuatro condiciones, pero unas ecuaciones son linealmente dependientes de otras. Resolviendo el sistema, obtenemos que la forma explícita de nuestra métrica es ds 2 = 1 2M r dt 2 1 2M r 1 dr 2 r 2 dω Trivialmente se comprueba que las componentes de esta métrica cumplen todas las ecuaciones diferenciales que teníamos arriba. Las coordenadas {t, r, θ, ϕ}, son λας empleadas por un observador que se encuentre en el infinito. Estas coordenadas, que son las que usaremos inicialmente en todos los casos estudiados aunque variando el observador que las emplea, se denominan coordenadas de Schwarzschild. La métrica, así presentada, representa el campo gravitatorio creado por una masa puntual m = M G situada en r = Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild La métrica presenta varios puntos donde algunas componentes divergen o van a cero. No nos detendremos en los que hacen que algún término del elemento de línea de la 2-esfera sea nulo, ya que eso es un artefacto de usar coordenadas esféricas, y un simple cambio a coordenadas cartesianas los haría desaparecer. Fijándonos en la componente g tt de la métrica, es decir, su componente temporal, vemos que ésta se anula en r = 2M y que diverge para r =. Tenemos que ver si se tratan de singularidades físicas o de coordenadas. Para la singularidad en r =, calculamos el invariante de curvatura de Kretschmann, ya que cualquier otro es nulo por construcción, por ser el tensor de Ricci nulo. Estos invariantes se construyen debido a que todos los observadores van a obtener el mismo valor, por ser escalares. La otra razón, es que si encontramos un invariante que diverja en el punto considerado, entonces tenemos asegurado que ese punto es una singularidad

9 9 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD de tipo físico. R µνρλ R µνρλ = 48M2 r 6 De forma inmediata vemos que este invariante de curvatura diverge en r = y que es totalmente regular en r = 2M, lo cual quiere decir que en r = tenemos una singularidad física y que la curvatura en ese lugar es, de hecho, infinita. El hecho de que este invariante no diverja en r = 2M, no nos dice nada acerca del carácter de esta singularidad. Veamos si con el cambio de coordenadas adecuado somos capaces de ver que se trata de una singularidad de coordenadas. Esto es general, dada una métrica esféricamente simétrica y estática, los horizontes se encuentran en aquellos puntos que hagan que la componente g tt de la métrica se anule, y esto será lo que apliquemos a lo largo de todo el proyecto Estructura causal de la solución de Schwarzschild Estudiar la estructura causal de una solución, implica conocer las trayectorias de los fotones y de las partículas materiales, lo que equivale a calcular las geodésicas nulas y temporales, respectivamente, del espacio, que son las trayectorias seguidas por las partículas libres que se mueven por la variedad. Comenzamos calculando las geodésicas radiales nulas g µν ẋ µ ẋ ν =, es decir, el vector tangente a las mismas es un vector nulo por tener norma nula. Con esta ecuación obtenemos dt dr = ± 1 1 2M r = ± r r 2M = ± 1 + 2M r 2M que integrando, nos da la forma explícita de las geodésicas radiales nulas t = ± r + 2M ln r 2M + C. El signo positivo nos indica las geodésicas salientes, es decir, que parten hacia el infinito desde un punto y el signo negativo las geodésicas entrantes, las que llegan del infinito al punto en cuestión. Para visualizar mejor la estructura causal de la solución vamos a dibujar un diagrama de conos de luz. Éste se construye de tal manera que se dibujan las geodésicas entrantes y las salientes y vemos los puntos donde intersectan. Una vez determinados esos puntos, dibujamos las líneas tangentes a ambas geodésicas en los puntos de intersección. Con este diagrama podemos ver los horizontes y las influencias causales que cualquier punto puede ejercer sobre otro. En este caso, los conos de luz son:

10 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 1 Figura 2: Conos de luz de la solución de Schwarzschild En este diagrama podemos apreciar que la solución se aproxima a lo visto en Relatividad Especial recordemos los conos de luz de la Figura 1 cuando nos alejamos del horizonte, ya que los conos de luz no están inclinados y presentan un vértice de 9º. Más próximo al horizonte, los conos de luz comienzan a estrecharse, lo cual es indicativo de que a las geodésicas les es más difícil salir de esa zona. Los conos de luz están totalmente cerrados en el horizonte, lo cual nos indica que los rayos de luz no son capaces de salir de esa zona para llegar al infinito ni son capaces de cruzarla para llegar al interior del horizonte, Pero veremos que esto es una consecuencia de las coordenadas empleadas. A continuación vamos a ver que la superficie r = 2M es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito. Para ello suponemos r = const en la métrica 2.2 dτ 2 = 1 2M r dt 2 e integramos τ = 1 2M r t 2.3 Supongamos que el observador cayente envía una señal al observador en el infinito de periodo τ. Este periodo y el que medirá el observador que se encuentra en el infinito t, están relacionados a través de 2.3. Justo en el horizonte, el término 1 2M r es nulo, por lo que la única forma de que τ sea finito es que t sea infinito, con lo cual, lo que mide el observador en el infinito es que esta señal tiene un periodo infinito, o lo que es lo mismo, un corrimiento al rojo infinito. Este observador jamás verá al observador cayente atravesar el horizonte, ya que su única manera de comunicarse es a través de señales luminosas y estas, como hemos visto, no son capaces de llegar desde el horizonte al infinito en un tiempo finito. Veamos ahora qué es lo que ocurre con las geodésicas radiales temporales, que se calculan de la siguiente forma: g µν ẋ µ ẋ ν = 1 1 2M r ṫ = 1. Con la primera ecuación imponemos que la geodésica es temporal, ya que el vector tangente tiene

11 11 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD norma unidad. La segunda ecuación impone que la partícula cae desde el infinito con velocidad nula, ya que haciendo que la coordenada radial tienda a infinito, tenemos que dτ dt = 1, es decir, los tiempos transcurren de la misma forma para el observador que cae y para el observador que se encuentra en el infinito: estamos diciendo que no tenemos efectos relacionados con la dilatación del tiempo de la Relatividad Especial y a su vez estamos imponiendo la conservación de la energía por unidad de masa de la partícula que sigue dicha geodésica, algo que podemos hacer debido a la estaticidad de la solución. Combinando ambas ecuaciones, obtenemos que integrando para las geodésicas entrantes dr 2M dτ = ± r τ = 1 2 r 3/2 3 M r 3/2 Es decir, una partícula que parta desde una distancia r de la singularidad, llegará a ella en un tiempo propio tiempo medido por el observador que cae finito. Si las geodésicas radiales temporales pueden cruzar el horizonte, no hay motivo por el cual las nulas no sean capaces de hacerlo. Para solucionar esta discrepancia y ver que la singularidad en r = 2M es una singularidad de coordenadas, construimos las coordenadas de Eddington-Finkelstein E-F avanzadas, que se construyen a partir de las geodésicas radiales nulas: t = t + 2M ln r 2M Estas coordenadas, están pensadas para estudiar qué es lo que ocurre en el interior del horizonte. Con estas nuevas coordenadas, las geodésicas radiales nulas toman la forma t = r + C entrantes t = r + 4M ln r 2M + C y que la métrica que teníamos en un comienzo sea salientes ds 2 = 1 2M r d t 2 4M r d tdr 1 + 2M r dr 2 r 2 dω La componente temporal de la métrica se sigue anulando en el horizonte, pero el determinante se puede calcular en este caso. Un hecho evidente es que ha aparecido un término cruzado d tdr que nos rompe la estaticidad de la métrica. Nos ocuparemos de ello más adelante. Construimos el diagrama de conos de luz en estas coordenadas:

12 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 12 Figura 3: Conos de luz en las coordenadas de E-F avanzadas donde podemos ver que las geodésicas entrantes pueden cruzar el horizonte que era lo que esperábamos, pero las salientes del interior no pueden hacerlo, confirmando que esta zona es una zona de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador situado en el infinito. Por lo tanto, tenemos un horizonte de sucesos en el que ninguna señal puede salir al exterior y todo lo que entra está inevitablemente destinado a caer en la singularidad, ya que ésta se encuentra en el futuro de cualquier observador del interior al horizonte, como pudimos ver al calcular las geodésicas radiales temporales y como podemos ver en este diagrama al ver la inclinación que presentan los conos de luz, ya que estos apuntan hacia la singularidad. Es debido a esta inclinación de los conos de luz por lo que es imposible quedarse a una distancia constante de la singularidad, ya que recordemos que el tiempo en un cono de luz corre en la dirección de la bisectriz de su vértice. Viendo la métrica 3.6, al entrar en el horizonte cambian los signos de las componentes temporal y espacial, invirtiendo la coordenada radial y temporal sus papeles. Estar a una distancia constante equivaldría a parar el transcurrir del tiempo, lo cual es imposible. Finalmente, esta singularidad física es de tipo espacial, ya que como hemos calculado, se encuentra en el futuro de todo observador que se adentre a través del horizonte. Por lo tanto, en estas coordenadas confirmamos lo que veíamos en las coordenadas de Schwarzschild. Como hemos dicho antes, parece que hemos roto la invariancia temporal que teníamos al principio, debido al término cruzado que nos aparecía en la métrica en coordenadas de E-F avanzadas 2.4. Pero también podíamos haber optado por construir t = t 2M ln r 2M que son las coordenadas de E-F retardadas. En estas coordenadas, las geodésicas radiales nulas tienen la forma t = r 4M ln r 2M + C entrantes t = r + C salientes y que la métrica sea ds 2 = 1 2M r d t 2 + 4M r d tdr 1 + 2M r dr 2 r 2 dω 2 2. Vemos que en este caso el término cruzado es de signo contrario al del cambio de coordenadas anterior, por lo que el cambio t t mapea una métrica en la otra. De modo que si considera-

13 13 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD mos las dos métricas, y los dos sistemas de coordenadas, tenemos asegurada la invariancia ante traslaciones temporales que teníamos inicialmente. Si dibujamos los conos de luz en estas nuevas coordenadas, Figura 4: Conos de luz en las coordenadas de E-F retardadas vemos que la parte exterior del horizonte es idéntica a la de las otras coordenadas, pero dentro la situación es totalmente diferente: las influencias causales pueden salir de él y nada puede cruzarlo, lo cual equivale a decir que sería un tipo de agujero blanco. Esto nos indica que ninguno de los dos sistemas de coordenadas cubren completamente la variedad sino solo parches de ella, como hemos mencionado antes. Las coordenadas avanzadas cubren una región asintóticamente plana con una singularidad cubierta por un horizonte en el futuro, mientras que las retardadas describen otra zona asintóticamente plana con una singularidad cubierta por un horizonte en el pasado. Estos dos sistemas de coordenadas juntos, nos describen por completo toda la variedad que está compuesta por un agujero blanco y un agujero negro Conclusiones La parte más importante de esta sección es la presencia de un horizonte de sucesos que o bien no deja pasar las influencias causales desde la parte interna del horizonte a la parte asintóticamente plana, o bien no deja pasar influencias causales desde la parte asintóticamente plana a la parte interior. Sea como sea, tenemos un horizonte de sucesos que envuelve a la singularidad aislándola del resto del universo. En las coordenadas avanzadas, una vez cruzado el horizonte de sucesos, tenemos una singularidad inevitable en el futuro del observador cayente. En el otro caso, usando las coordenadas retardadas que nos nos descubren una nueva zona que no veíamos con las coordenadas de Schwarzschild, tenemos una singularidad inevitable que en este caso se encuentra en el pasado y protegida también por un horizonte de sucesos, de la cual las influencias causales salen y llegan a una zona asintóticamente plana, pero no son capaces de volver a cruzar el horizonte para volver al interior.

14 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM Agujero negro de Reissner-Nordström Este tipo de agujero negro es ir un paso más con respecto a la solución de Schwarzschild, ya que introducimos un campo eléctrico en dirección radial. Se podría añadir también una carga magnética que produjese un campo magnético también radial, pero para ello tendríamos que introducir el concepto de monopolo magnético y eso no afectaría a las conclusiones que se van a obtener de esta solución. En este caso vamos a hacer uso de una nueva herramienta que nos va a facilitar un poco las cosas, como lo es el Formalismo de Palatini, que pasamos a detallar a continuación Formalismo de Palatini y derivación de la solución El caso de la solución de Schwarzschild, era muy fácil de resolver a partir de las ecuaciones de Einstein debido a que el tensor de energía-momento era nulo, pero se demuestra que esas ecuaciones se pueden obtener a partir de un principio variacional, en concreto a partir de la acción de Einstein- Hilbert ˆ s = [ ] d 4 1 x g 2κ R, 3.1 usando el formalismo de Palatini, donde hemos introducido la constante κ = 8πG Éste formalismo consiste en suponer que la métrica y la conexión son dos entidades que no tienen relación, de forma que constituyen dos campos independientes. Por lo tanto, para obtener la ecuación de Einstein simplemente tenemos que aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la métrica y a la conexión. Para la métrica la ecuación es muy sencilla L g µν =, ya que explícitamente no aparecen derivadas de la métrica, todas las derivadas forman parte de la conexión y hemos supuesto que no tiene relación alguna con la métrica. Ahora bien, debemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la conexión, obteniendo T ρ µν = ; µ g νρ = que son las condiciones 1.3 que satisfacía la conexión de Levi-Civita. Por ello sólo derivamos respecto de la métrica sólo donde ésta aparezca explícitamente. A continuación vamos a aplicar este formalismo a la acción para las ecuaciones de Einstein de un objeto cargado ˆ s = [ d 4 1 x g 2κ R 1 ] 4 F µνf µν donde F µν = µ A ν ν A µ es el tensor electromagnético que es antisimétrico y que se define a partir de derivadas de los potenciales electromagnéticos A µ. En términos de los campos eléctrico E y B, podemos escribir el tensor de la forma: 3.2 F µν = E r E ϕ E θ E r B θ B ϕ E ϕ B θ B r E θ B ϕ B r 3.3

15 15 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM La acción 3.2 es la suma de la acción 3.1 que nos da el vacío de las ecuaciones de Einstein y la acción de Maxwell del campo electromagnético. Identificamos nuestro lagrangiano L = [ 1 g 2κ R 1 ] [ 4 F µνf µν 1 = g 2κ gµν R µν 1 ] 4 F µνg µα g νβ F αβ y aplicamos el formalismo de Palatini, obteniendo Donde hemos hecho uso de las siguientes propiedades : R µν 1 [ 2 Rg µν = κ F µρ Fν ρ 1 ] 4 g µνf ρλ F ρλ. 3.4 g g µν = gg µν ; R = g µν R µν ; F µν = g µα g νβ F αβ. Ahora debemos derivar respecto de nuestro otro campo independiente, que es el potencial electromagnético A µ. La ecuación de Lagrange para este caso viene dada por L µ =, µ A ν que teniendo en cuenta la definición del tensor electromagnético a partir de los potenciales F µν = µ A ν ν A µ, nos da L µ µ A ν = µ g F µν = A continuación obtenemos la ecuación de Einstein sin traza, para ello multiplicamos 3.4 por g µν, obteniendo: R =, donde hacemos uso de que trabajamos en una variedad con cuatro dimensiones. En cualquier otro caso, el escalar de Ricci dejaría de ser nulo. La ecuación de Einstein sin traza toma la forma más sencilla [ R µν = κ F µρ Fν ρ 1 ] 4 g µνf ρλ F ρλ. Por lo tanto, el problema a resolver viene dado por: [ R µν = κ F µρ Fν ρ 1 ] 4 g µνf ρλ F ρλ 3.5 µ g F µν =. 3.6 De nuevo proponemos un Ansatz para la métrica esféricamente simétrico y estático y otro para el tensor electromagnético 3.3 de forma que sólo haya campo eléctrico de forma radial: ds 2 = e 2Ar dt 2 e 2Br dr 2 r 2 dω Con 3.7 podemos calcular el determinante de la métrica: F tr = E r 3.8

16 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM 16 g = e 2A+B r 4 sin 2 θ Por lo tanto, la única derivada distinta de es la siguiente: Obteniendo g = e A+B r 2 sin θ r g F rt = r e A+B r 2 sin θ e 2A+B E r = r e A+B r 2 E r =. Para que esta última derivada sea nula, lo que hay entre paréntesis debe ser una constante que no dependa de r, por ello el campo eléctrico debe ser de la forma: E r = e A+B Q r siendo Q es una constante de integración cuyo significado veremos más adelante, pero que ya intuimos que tiene que ver con la carga eléctrica de muestra solución.. El tensor de Ricci, ya lo tenemos calculado de Schwarzschild, y tiene la forma 2.1. Ahora calculamos el tensor de energía-momento. Comparando 3.5 con 1.1 teniendo en cuenta que R =, vemos que el tensor de energía-momento viene dado por: T µν = 1 4 g µνf ρλ F ρλ F µρ F ρ ν = 1 4 g µνf ρλ F ρλ g νλ F µρ F λρ Sustituyendo el Ansatz para el tensor electromagnético y la métrica, tenemos que las componentes no nulas del tensor de energía-momento son: T tt = 2 1 Q2 e2a T r 4 θθ = 1 Q 2 2 r 2 T rr = 1 Q2 2 e2b r 4 T ϕϕ = sin 2 θ T θθ Para obtener las funciones incógnita, igualamos los dos miembros de la ecuación de Einstein, obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: [ e 2A B A + A 2 A B + 2r 1 A ] = κ Q2 e2a 2 r A + A 2 A B 2r 1 B = κ Q2 e2b 2 r e 2B [ ra rb + 1 ] 1 = κ 2 Q 2 r sin 2 θ R θθ = κ sin 2 θ T θθ 3.13 Este sistema de ecuaciones diferenciales se resuelve de forma idéntica que en el caso de Schwarzschild, obteniendo el resultado final para la métrica y el campo eléctrico ds 2 = 1 2M r κ Q2 r 2 dt 2 1 2M r κ Q2 r 2 dr 2 r 2 dω F tr = E r = Q r

17 17 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM donde de nuevo, las coordenadas {t, r, θ, ϕ} son las empleadas por un observador situado en el infinito. Para ver el significado de la constante de integración Q, hacemos uso del teorema de Gauss: q = E d s = Q S S 1 r 2 r2 sin θ dθdϕ = Q ˆ π sin θ dθ ˆ 2π dϕ = 4πQ A raíz de esto, vemos que la constante de integración es la carga encerrada en el espacio salvo por un factor de normalización de 4π, por lo tanto esta solución representa el campo creado por un objeto de masa m = M G y carga q = 4πQ situado en r =. Un aspecto llamativo de la métrica, es que depende de Q 2, lo cual significa que una partícula de prueba neutra experimentará las consecuencias de la existencia del campo eléctrico, pero no será capaz de reconocer el signo de la carga. En el fondo no debe de extrañarnos, ya que al introducir un campo eléctrico, que contiene energía, se acopla a la gravedad y al espacio deformando éste último de forma diferente a como lo haría una masa por sí sola Estudio de los horizontes de la solución de Reissner-Nordström Como podemos ver a simple vista, la solución se hace singular en varios puntos y tenemos que distinguir si se tratan de singularidades físicas o de coordenadas. Para verlo, calculamos un nuevo invariante de curvatura, en este caso calcularemos R µν R µν, que será distinto de cero, al contrario que en Schwarzschild. Previamente escribimos R µν : Calculamos el invariante: y operando un poco obtenemos R µν = g µα g νβ R αβ = κ [F µρf νρ 14 ] gµν F ρλ F ρλ R µν R µν = κ 2 [ F µρ F ρ ν 1 4 g µνf ρλ F ρλ ] [ F µ σf νσ 1 4 gµν F αβ F αβ ] R µν R µν = κ 2 Q4 r 8 Vemos de nuevo que la singularidad en r = es una singularidad física, mientras que el resto posiblemente sean de coordenadas. Calculamos explícitamente las otras singularidades, Para soluciones estáticas, los horizontes son aquellos puntos en los que la componente g tt de la métrica se hace nula, como ya habíamos visto en el caso de Schwarzschild: 1 2M r κ Q2 r 2 = r2 2Mr κq2 = 3.16 Como vemos, esta ecuación es cuadrática en r, que puede tener dos, una o ninguna solución real. Todo dependerá de la relación entre sus parámetros: R ± = 2M ± 4M 2 2κQ 2 2 Por lo tanto, tenemos que distinguir los tres casos posibles: Si M 2 < 1 2 κq2, entonces no hay soluciones reales y la singularidad en r = no tiene horizontes que la protejan, por lo que influencias causales pueden escapar de ella. Haciendo

18 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM 18 uso de la hipótesis de censura cósmica mencionada arriba, descartamos este caso por ser no físico. CASO SOBREEXTREMAL. Si M 2 = 1 2 κq2, entonces hay una solución y un único horizonte degenerado. En este caso la carga y la masa están ajustadas. CASO EXTREMAL. Si M 2 > 1 2 κq2, entonces hay dos soluciones reales y dos horizontes. CASO SUBEXTREMAL Estructura causal de las diferentes soluciones Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström subextremal En este caso, tenemos dos horizontes situados en R ± = M ± M κq2. Si escribimos la métrica en función de ellos, se nos queda la siguiente expresión: ds 2 = r R + r R r 2 dt 2 r 2 r R + r R dr2 r 2 dω Para obtener la estructura causal, hay que estudiar de nuevo el comportamiento de las geodésicas radiales nulas, cuya expresión es la siguiente t = ± [ r + R 2 + R 2 ln r R + ln r R R + R R + R Donde el signo + denota geodésicas salientes y el signo - geodésicas entrantes. A partir de ellas, vamos a dibujar el diagrama de conos de luz de nuestra solución que nos ayudará a ver claramente la estructura causal de esta geometría ] + C. Figura 5: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström subextremal en coordenadas de Schwarzschild De nuevo, tenemos una zona asintóticamente plana donde los conos de luz se comportan como en Relatividad Especial. Cerca del horizonte los conos de luz se van cerrando hasta que lo están

19 19 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM totalmente: de nuevo nuestras coordenadas dejan de ser válidas más hacia delante, ya que la componente temporal de la métrica se anula y la radial diverge. Podemos ver de nuevo que el primer horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito y que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el azul para el observador que lo cruza. Veamos primero que el primer horizonte es una zona de corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello procedemos igual que en el caso de Schwarzschild e integramos lo siguiente para r = cte Así obtenemos dτ 2 = r R + r R r 2 dt 2. r R+ r R τ = t. r Si r = R + y τ es finito, ya que es el observador entrante es quien nos manda señales de periodo τ, entonces t =, con lo cual el período de una señal mandada desde el horizonte externo tiene un período infinito para el observador que está en el infinito, lo cual implica un desplazamiento infinito al rojo. Esto de nuevo nos dice, que el observador en el infinito jamás verá al otro cruzar el primer horizonte. Para saber lo que sucede más allá del primer horizonte, volvemos a crearnos las coordenadas de E-F avanzadas a partir de las geodésicas radiales nulas t = t + R 2 + R 2 ln r R + ln r R. R + R R + R Esto hace que nuestras geodésicas entrantes y salientes tengan la forma t = r + C entrantes y la métrica sea t = r + 2R2 + R + R ln r R + 2R2 R + R ln r R + C salientes ds 2 = r R + r R r 2 d t 2 2 R + + R r R + R r 2 drd t 1 + R + + R r R +R r 2 dr 2 r 2 dω 2 2. Vemos ahora que la métrica es totalmente regular ahora en r = R ±, por lo que queda confirmado que esos puntos eran singularidades de coordenadas, aunque de nuevo hemos vuelto a romper la invariancia temporal de la métrica debido al término cruzado que nos ha aparecido. A continuación dibujamos los conos de luz.

20 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM 2 Figura 6: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström subextremal en coordenadas de E-F avanzadas Como vemos, en r = R +, las geodésicas salientes tienen una pendiente infinita, con lo cual, en ese punto se forma un horizonte de sucesos: ninguna señal que se emita desde dentro puede salir al exterior. Además, por la orientación de los conos, es imposible estar en reposo en la zona entre los dos horizontes, ya que en ella las componentes temporal espacial de la métrica cambian de signo y la coordenada radial se convierte en la coordenada temporal, y por ello, el observador que entre en esta zona, está inevitablemente destinado a cruzar el horizonte interior. Una vez allí, vemos que sorprendentemente es una zona en la que el observador puede volver a estar en reposo y no llegar a la singularidad, ya que las componentes temporal y radial de la métrica vuelven a cambiar de signo y de nuevo a intercambiar sus papeles. Esta singularidad es muy diferente a la que nos encontrábamos en el caso de Schwarzschild, ya que ésta se encontraba en el futuro de cualquier observador, mientras que ésta es evitable, por ello, esta singularidad es de tipo temporal. Ya que sabemos que las geodésicas radiales nulas son capaces de cruzar los dos horizontes, podemos demostrar que el horizonte interior es una superficie de corrimiento infinito hacia el azul para los observadores que lo cruzan. Para ello el observador en el infinito manda señales de período t, que cruzan los horizontes y llegan al observador que cae. Éste medirá: R+ r R r τ = t r Justo en el horizonte interior, r = R,donde se encuentra nuestro observador, medirá un período nulo de las señales luminosas, lo cual supone para él un corrimiento infinito hacia el azul. Si esto fuese así, estas señales tendrían una energía infinita y desestabilizaría toda la solución en esa zona, ya que esa energía interactuaría fuertemente con el campo creado por la carga masiva, desestabilizando totalmente la solución. Veamos ahora qué forma tienen las geodésicas radiales temporales para ver cual es el comportamiento de una partícula masiva. Para ello, sabemos que la energía es una magnitud conservada en una métrica estática y a su vez, la condición de geodésica radial temporal impone que: g tt ṫ = E 3.18 g µν ẋ µ ẋ ν = Combinando ambas ecuaciones, podemos despejar la velocidad radial del observador cayente ṙ = ± E M r κq2 2r 2 3.2

21 21 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM El radicando se anula en los siguientes puntos de retorno: r retorno = M E 2 1 ± M κq2 E 2 1 E Nos quedamos con la solución de signo positivo que es la que hace que el punto de retorno sea positivo, ya que en estas unidades la energía es mayor que 1 y ese caso correspondería al de una partícula que cae desde el infinito con velocidad nula, como hemos visto en Schwarzschild.. Como vemos, la gravedad se hace repulsiva debida al término con carga y la partícula se frena, algo realmente sorprendente, ya que ahora la partícula invierte su movimiento y puede salir del segundo horizonte. Esto es para una partícula libre, es decir, sólo actúa sobre ella la gravedad, ya que si nuestro observador llevase alguna fuente energética consigo, sería capaz de permanecer en reposo en esa zona sin tener que moverse por la repulsión que genera el término con carga e incluso llegar a la singularidad, pero esta vez siguiendo líneas no geodésicas. Es fácil, a partir de la ecuación 3.2, obtener el tiempo que un observador cayendo desde el infinito con velocidad nula, tardaría en cruzar la zona entre los dos horizontes. Si la velocidad radial era: ṙ = ± E M r Podemos integrar fácilmente y obtener κq2 2r 2. τ = 2 3 R + + R 2 R + R 3. donde como condición de contorno hemos impuesto que la velocidad inicial era nula en el infinito, o lo que es lo mismo E = 1. Vemos, que la partícula tarda un tiempo finito en cruzar los dos horizontes, algo que ya sabíamos debido a la inclinación de los conos de luz que no permitían estar en reposo en la zona entre los dos horizontes. Si hacemos el límite R + = 2M y R =, entonces: τ = 4M 3. Que es el tiempo que se tardaría en llegar desde el horizonte a la singularidad en un agujero negro de Schwarzschild desde el punto de vista del observador que cae. De momento hemos visto que la partícula llega al primer horizonte, lo cruza y se ve obligada a cruzar el segundo hasta llegar a un punto en el que la gravedad se vuelve repulsiva. Pero para conocer lo que sucede después, debemos construir las coordenadas de E-F retardadas t = t R 2 + R 2 ln r R + ln r R, R + R R + R haciendo que la expresión para nuestras geodésicas sea ahora: t = r 2R2 + R + R ln r R + + 2R2 R + R ln r R + C entrantes t = r + C y nuestra métrica sea de la forma salientes ds 2 = r R + r R r 2 d t R + + R R + R r 2 drd t 1 + R + + R r R +R r 2 dr 2 r 2 dω 2 2.

22 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM 22 Nuevamente rompemos la invariancia temporal de nuestra métrica, pero del caso anterior sabemos que el cambio t t mapea una métrica en la otra. Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas: Figura 7: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström subextremal en coordenadas de E-F retardadas Aquí podemos ver, por la inclinación que presentan las geodésicas, que se puede volver a cruzar el horizonte interior, para cruzar seguidamente el exterior y salir a una nueva zona asintóticamente plana, en principio diferente de la inicial. Además, nada indica que la partícula no pueda volver a repetir el proceso. Esta solución aporta respecto de la de Schwarzschild, que presenta dos horizontes, una exterior, que forma un horizonte de sucesos y uno interior, que esconde una singularidad bastante diferente, ya que ésta es temporal y por ello no se encuentra inevitablemente en el futuro del observador cayente, permitiendo estar en reposo cerca de ella si seguimos líneas no geodésicas. La lección más importante de este caso, es que la gravedad se vuelve repulsiva, algo que no es de esperar, pero que en este caso gracias a la carga eléctrica, es posible. Por ello, la partícula puede escapar de este agujero negro a otra zona asintóticamente plana, en principio diferente a la inicial pero no hay que olvidar algo importante, y es que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el azul y esto hace que las características de la solución no sean del todo como las hemos estudiado aquí, ya que la energía infinita de las señales interactuaría muy fuertemente con el campo gravitatorio inicial destrozando posiblemente por completo, todas las características anómalas, pero por otro lado intrigantes, de esta solución Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström extremal Este caso es muy parecido al anterior salvo que tenemos un único horizonte situado en r = M. Veamos si preserva las características principales de la anterior solución, para ello sustituimos en la métrica y en el campo eléctrico los dos horizontes por el valor mencionado, obteniendo ds 2 = r M2 r 2 dt 2 r 2 r M 2 dr2 r 2 dω ; F tr = ± κ De nuevo calculamos las geodésicas radiales nulas, cuya expresión difiere bastante de las del caso anterior Los conos de luz en estas coordenadas son: ] t = ± [r + 2M ln r M M2 + C r M. M r 2.

23 23 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM Figura 8: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström extremal Vemos que lejos del horizonte, la estructura causal es parecida a la de la Relatividad Especial y que los conos de luz se cierran conforme nos acercamos al horizonte. Al igual que en el caso subextremal, el horizonte vuelve a ser de nuevo una zona de corrimiento infinito hacia el rojo, por lo que un observador en el infinito no verá jamás al observador cayente cruzar el horizonte. Veamos que este horizonte es también un superficie de corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello procedemos igual que en el caso anterior, obteniendo τ = r M t. r Dado que las señales que manda el observador desde el horizonte, tienen período τ, eso obliga a que t sea infinito, ya que r = M, confirmando, por tanto, que se trata de una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo. Para saber lo que le sucede al observador cayente una vez ha cruzado el horizonte y hacer que la métrica sea regular en él, construimos las coordenadas de E-F avanzadas Lo cual hace que nuestras geodésicas sean: t = t + 2M ln r M M2 r M. t = r + C entrantes y la métrica: ds 2 = t = r + 4M ln r M 2M2 r M + C r M2 r 2 d t 2 2Mr M2 2 r 2 drd t 1 + 2M r salientes M2 r 2 dr 2 r 2 dω 2 2 La métrica se vuelve completamente regular en ese punto. En este caso, por existir un único horizonte, no existe zona intermedia en la cual no se pueda estar en reposo y por ello la coordenada radial es espacial para r > M, nula en r = M y espacial de nuevo para r < M. En estas coordenadas, los conos de luz son:

24 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM 24 Figura 9: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström extremal en coordenadas de E-F avanzadas Como vemos, es totalmente análogo a la solución subextremal pero sin zona intermedia. Las geodésicas radiales nulas pueden cruzar el horizonte, pero no pueden salir de él. Una vez dentro, es posible mantenerse en reposo sin llegar a la singularidad, por lo que ésta singularidad es de tipo temporal también. Una vez que sabemos que el observador cayente es capaz de cruzar el horizonte, calculamos las geodésicas radiales temporales, para ver si de nuevo, como en el caso subextremal, tenemos puntos de retorno: ṙ 2 = E 2 r M2 r 2. Como vemos, la partícula tendrá un punto de retorno cuando la velocidad radial sea nula, esto es: r retorno = M E + 1 por lo que de nuevo la gravedad se vuelve repulsiva de nuevo, preservando esta cualidad del caso subextremal. Una vez hemos determinado que el observador se detiene, construimos las coordenadas de E-F retardadas haciendo que las geodésicas tomen la forma t = t 2M ln r M M2 r M t = r 4M ln r M + 2M2 r M + C entrantes t = r + C salientes y la métrica sea ds 2 = r M2 r 2 d t 2 2Mr M2 + 2 r 2 drd t 1 + 2M r Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas: M2 r 2 dr 2 r 2 dω 2 2.

25 25 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTRÖM Figura 1: Conos de luz de la solución de Reissner-Nordström extremal en coordenadas de E-F retardadas Es totalmente análogo al caso subextremal. Tenemos una singularidad cubierta por un horizonte del cual las influencias causales pueden salir debido a que las geodésicas salientes pueden hacerlo pero influencias causales del exterior no pueden cruzar el horizonte. El observador es capaz de volver a cruzar de nuevo el horizonte para volver a una nueva zona asintóticamente plana. Como vemos, esta solución es muy parecida al anterior, salvo que no tenemos una zona intermedia en la cual inevitablemente tengamos que seguir hacia delante. El hecho de que la masa y la carga estén ajustadas en esta solución, hace que sólo tengamos un único horizonte, en este caso de sucesos, y que presenta un corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito. Esta solución es lo que esperaríamos encontrar si estudiáramos el límite de la solución 2 subextremal cuando Q κ M.