Al final de los tres capítulos centrales del texto se proponen prácticas basadas en material observacional real. Estas prácticas se distinguen de los

Transcripción

1 I INTRODUCCION Este texto de introducción al estudio de la física del medio interestelar pretende proporcionar al estudiante de astronomía una herramienta para su formación en un campo en continua evolución. La física del medio interestelar es un tema en el que la forma de trabajo ha cambiado radicalmente en los últimos 15 o 20 años, en gran parte gracias a los avances en las técnicas observacionales, principalmente en el dominio radio. Debido a su juventud, algunos aspectos del tema no están consolidados en forma de libros de texto que cubran a un nivel homogéneo los conocimientos actuales sobe el medio interestelar, prestando la atención adecuada a los tres componentes principales: gas atómico, ionizado y molecular. Este texto pretende cubrir esta laguna y ofrece de una manera comprensible material que muchas veces se encuentra disperso en libros, artículos de revisión o trabajos más especializados. Introducción a la física del medio interestelar está pensado específicamente para cubrir las necesidades de una parte de la asignatura de Astronomía galáctica del plan de estudios de Física de la Universidad de Barcelona. Sin embargo, debido a la generalidad del contenido de la asignatura, puede ser de interés para cualquier asignatura de la especialidad de astronomía o astrofísica dentro de una licenciatura de Física o, en algunos casos, de un tercer ciclo en astronomía. El punto de partida de este texto fue el material utilizado para una parte de la asignatura de Radioastronomía del plan de estudios actualmente extinguido de la Licenciatura de Física, que estaba dedicada al medio interestelar y que los autores impartieron durante bastantes años. Este material, que ha ido evolucionando a lo largo de los años, estaba inspirado inicialmente en fuentes muy diversas, entre las que cabe destacar los cursos dictados por L. F. Rodríguez y J. Cantó, del Instituto de Astronomía de la Universidad Nacional Autónoma de México, los apuntes de un curso de J. Moran, de la Universidad de Harvard, libros generales como el de K. Rholfs (1986), Tools of Radio Astronomy, o libros clásicos sobre el medio interestelar como el de L. Spitzer (1978), Physical Processes in the Interstellar Medium. En el capítulo de bibliografía se dan las referencias completas de estos y otros libros útiles sobre el medio interestelar. Este texto está organizado en capítulos que cubren aspectos distintos de la física del medio interestelar. El primer capítulo está dedicado a procesos radiativos, a modo de recordatorio y para introducir la notación que es utilizada a lo largo de todo el texto. Se ha puesto especial cuidado en utilizar una notación coherente a lo largo de todos los capítulos. La notación que se encuentra en libros diversos es muy variada y, a veces, puede resultar confusa. El segundo capítulo es una introducción al medio interestelar, en el contexto de la astronomía galáctica. Se describen los principales componentes que son tratados con más detalle en el resto de capítulos. En el tercer capítulo se estudian las regiones de hidrógeno atómico. En el cuarto, las regiones de hidrógeno ionizado. En el quinto capítulo se aborda el estudio de las nubes moleculares, haciendo énfasis en las regiones de formación estelar activa. Al final hay un apéndice con datos y valores de constantes de utilidad, y un capítulo con bibliografía complementaria. En casi todos los capítulos se proponen problemas, que aparecen en el apartado correspondiente. En los problemas se proponen ejercicios para aplicar la materia del apartado o ejemplos donde se ven casos típicos, aunque en algunos casos son más bien una pequeña ampliación de la materia explicada en el texto principal. Algunos problemas, cuando resulta especialmente interesante, están resueltos con detalle y es importante su estudio. En otros, sólo se da el resultado final, porque éste puede resultar ilustrativo. En algunos casos sólo se da el enunciado porque su resolución es un simple ejercicio.

2 II Al final de los tres capítulos centrales del texto se proponen prácticas basadas en material observacional real. Estas prácticas se distinguen de los problemas en que requieren una labor más intensa y completa: medida de los datos observacionales, elaboración de los datos, aplicación de un modelo teórico con algún trabajo adicional de deducción de expresiones, presentación de resultados y su discusión. Pretenden ser pequeños trabajos de introducción a la investigación en el campo del medio interestelar, reproduciendo a pequeña escala el trabajo real de los astrónomos profesionales. Los datos experimentales de las prácticas se dan en forma gráfica, pero en algunos casos sería interesante que los alumnos pudieran disponer de ellos en forma digital (diskette), para poder elaborar programas elementales de reducción de datos.

3 INDICE III INDICE 1 PROCESOS RADIATIVOS Radiación, generalidades Intensidad, flujo Ley de Planck, temperatura de brillo Acoplamiento radiación-telescopio Interacción radiación-materia, descripción macroscópica Ecuación del transporte radiativo: coeficientes de absorción y emisión Ecuación del transporte radiativo: profundidad óptica, función fuente Ecuación del transporte radiativo: temperatura de excitación Interacción radiación-materia, descripción microscópica Movimientos térmicos: distribución maxwelliana, temperatura cinética Perfil de línea, ensanchamientos natural y Doppler Coeficientes de Einstein Ecuación de Boltzmann, temperatura de excitación Profundidad óptica Transiciones colisionales Equilibrio termodinámico y equilibrio termodinámico local Equilibrio termodinámico Equilibrio termodinámico local Transporte radiativo en líneas espectrales Temperatura de línea, líneas en emisión y absorción Opacidad en líneas espectrales Termalización de una transición, modelo de dos niveles Emisión máser Inversión de poblaciones Bombeo del máser Caso no saturado y saturado EL MEDIO INTERESTELAR: GENERALIDADES Introducción histórica Descubrimiento del polvo interestelar Descubrimiento del gas interestelar Apariencia óptica de las nebulosas del medio interestelar Estudio moderno del medio interestelar La Galaxia Parámetros fundamentales de la Galaxia Componentes del gas interestelar Relación entre componentes Otros componentes del medio interestelar NUBES DIFUSAS DE HIDROGENO NEUTRO El gas atómico de la Galaxia La línea de 21 cm del H I La transición de 21 cm

4 IV INDICE Obtención de parámetros físicos Distribución del H I en la Galaxia Observaciones de H I en el plano galáctico Modelo cinemático de la Galaxia Curva de rotación galáctica Análisis local de velocidades, constantes de Oort Determinación cinemática de distancias Estructura espiral de la Galaxia PRACTICAS Determinación de la curva de rotación de la Galaxia REGIONES H II Características de las regiones fotoionizadas Radiación en el continuo Radiación libre-libre Obtención de parámetros físicos Espectro de una región H II homogénea Espectro de vientos estelares ionizados Aplicación a regiones H II en objetos jóvenes, novas y nebulosas planetarias Líneas espectrales en regiones H II Líneas de recombinación Obtención de parámetros físicos Determinación de abundancias de elementos Distribución a gran escala Distribución de regiones H II en la Galaxia Gradientes galácticos El centro galáctico PRACTICAS Condiciones físicas en nebulosas planetarias NUBES MOLECULARES Introducción Moléculas en el medio interestelar Mecanismos de formación de moléculas en el medio interestelar Transiciones moleculares Transiciones rotacionales La molécula de CO Características de la molécula de CO Obtención de parámetros físicos en nubes moleculares a partir del CO Moléculas trazadoras de gas denso Necesidad de las moléculas trazadores de gas denso La molécula de NH Obtención de parámetros físicos de núcleos densos a partir del NH Emisión térmica del polvo interestelar Condiciones físicas en las nubes moleculares Distribución y propiedades generales de las nubes moleculares Estado energético de las nubes moleculares Formación estelar Descripción general Evolución protoestelar Clasificación de los objetos estelares jóvenes Eyección de masa e interacción de las estrellas jóvenes con su entorno PRACTICAS Interpretación de observaciones de CO en una nube molecular Obtención de parámetros físicos en núcleos densos de gas molecular APENDICE 129

5 INDICE V 6.1 Factores de conversión y constantes Prefijos del Sistema Internacional de unidades Escala de frecuencias y longitudes de onda Líneas espectrales BIBLIOGRAFIA 133

6 VI INDICE

7 1 CAPITULO 1 PROCESOS RADIATIVOS 1.1 Radiación, generalidades Intensidad, flujo El campo de radiación queda descrito por la intensidad de radiación, llamada en según que contextos, intensidad específica (por tratarse de energía por unidad de intervalo de frecuencia) o brillo (normalmente, cuando nos referimos a la intensidad recibida de una fuente). La intensidad I ν (r, k, t) es función de la posición r, de la dirección dada por el vector unitario k y del tiempo t. Es la energía por unidad de tiempo que atraviesa un área unidad perpendicular a la dirección k, centrada en la posición r, transportada por la radiación que se propaga dentro de un ángulo sólido unidad centrado en la dirección k, en una unidad de intervalo de frecuencia, de = I ν dt da cos θ dω dν. Sus dimensiones son erg s 1 cm 2 sr 1 Hz 1. Como la intensidad es un flujo de energía por unidad de ángulo sólido, su magnitud no varía con la distancia a la fuente (en el espacio libre). da cos θ n da dω θ k Figura 1.1: Energía dentro de un ángulo sólido dω que atraviesa una área da cuya normal n forma un ángulo θ con la dirección considerada k Problema 1.1 Demostrar que la intensidad no varía con la distancia. Solución: Sean las áreas da y da. La energía que atraviesa da por unidad de tiempo, dentro del ángulo sólido dω definido por da y del intervalo de frecuencia dν es de = I ν dt da cos θ dω dν, donde θ es el ángulo entre la normal a da y la dirección k. Esta energía atraviesa da, por lo tanto, tiene que ser igual a la energía recibida por da dentro del ángulo sólido dω definido por

8 2 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS da I ν n da dω n dω θ k k θ d I ν da, en el mismo intervalo de frecuencia, Simplificando, se obtiene de = I ν dt da cos θ dω dν = I ν dt da cos θ dω dν = de. I ν da cos θ dω = I ν da cos θ dω. Pero dω = da cos θ /d 2 y dω = da cos θ/d 2, donde d es la distancia entre los dos puntos. Por lo tanto, finalmente, I ν = I ν. La intensidad media J ν es el promedio angular de la intensidad J ν = 1 I ν dω. 4π Si la intensidad procede de una fuente que subtiende un pequeño ángulo sólido Ω S, la intensidad media producida por la fuente es J ν = Ω S 4π I ν. El factor Ω S /4π recibe el nombre de factor de dilución. La densidad de flujo o, simplemente flujo, S ν, es el flujo de energía que atraviesa el área unidad por unidad de intervalo de frecuencia. Por lo tanto, es la intensidad integrada para todas las direcciones, teniendo en cuenta el factor de proyección del área perpendicularmente a la dirección considerada, cos θ, S ν = I ν cos θ dω, 4π aunque, a efectos prácticos, al calcular la densidad de flujo de una fuente discreta, el dominio de integración es mucho menor de 4π sr, y se puede prescindir del factor cos θ, S ν = I ν dω. 4π fuente Las dimensiones de la densidad de flujo son erg s 1 cm 2 Hz 1. La unidad práctica es el Jansky (Jy) y sus submúltiplos (mjy, µjy). El Jansky se define como 1 Jy = erg s 1 cm 2 Hz 1. Problema 1.2 Calcular la energía recibida de una fuente de 100 Jy por un telescopio con una área colectora de 1000 m 2 durante una hora, en un intervalo de frecuencia de 100 MHz.

9 1.1. Radiación, generalidades 3 Solución: E = S ν t A ν = = erg. La luminosidad específica a la frecuencia ν de una fuente isótropa situada a distancia d del observador se obtiene integrando su densidad de flujo para una superficie esférica de radio d, L ν = 4πd 2 S ν. Las dimensiones de la luminosidad específica son erg s 1 Hz 1. La luminosidad bolométrica de una fuente es la integral, para todas las frecuencias, de su luminosidad específica. Es la energía total radiada por la fuente por unidad de tiempo y sus dimensiones son erg s 1. La unidad práctica es la luminosidad solar, L = erg s 1. Muchas veces se utiliza también la luminosidad de una línea espectral, con el significado de la integral de la luminosidad específica sobre el rango de frecuencias de la línea espectral. Así por ejemplo, se dice que la luminosidad del máser de H 2 O en W37 es de L Ley de Planck, temperatura de brillo En equilibrio termodinámico, la radiación está en equilibrio con la materia y su intensidad viene dada por la ley de Planck para un cuerpo negro, B ν (T ) = 2hν3 c 2 1 e hν/kt 1, donde T es la temperatura, único parámetro que describe el equilibrio termodinámico. En general, la radiación no está en equilibrio con la materia y, por lo tanto, la intensidad I ν no viene dada por una función de Planck. Sin embargo, a cada frecuencia ν podemos definir una temperatura, la temperatura de brillo T B, tal que la intensidad a esta frecuencia tenga el valor de la planckiana a temperatura T B : I ν = B ν (T B ). Esta ecuación no es más que la definición de la temperatura de brillo. En general, T B depende de la frecuencia, lo que indica simplemente que la radiación no viene descrita por una planckiana. Para frecuencias bajas (o temperaturas elevadas) es posible utilizar la aproximación de Rayleigh-Jeans para la función de Planck. En esta aproximación, tenemos la relación I ν 2kν2 c 2 T B, que tiene la gran ventaja de que en esta aproximación la intensidad resulta proporcional a la temperatura de brillo. La aproximación de Rayleigh-Jeans es válida cuando hν kt, que en unidades prácticas puede expresarse como [ ] [ ] ν T 20. GHz K Aunque no pueda utilizarse la aproximación de Rayleigh-Jeans, es muy práctico introducir una temperatura proporcional a la intensidad, la temperatura de radiación T R, que en la aproximación de Rayleigh-Jeans coincide con la temperatura de brillo, I ν = 2kν2 c 2 T R,

10 4 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS pero, en general, se expresa en función de la temperatura de brillo mediante T R = J ν (T B ), donde J ν es la llamada intensidad en unidades de temperatura, y viene dada por J ν (T ) = hν/k e hν/kt 1. Para una frecuencia dada, J ν (T ) es una función creciente de la temperatura y lim T J ν (T ) = T. Sin embargo, J ν (T ) puede ser bastante distinto de T para temperaturas bajas a frecuencias suficientemente altas. Por ejemplo, a 115 GHz, para la temperatura de fondo cosmológica J ν (2.7 K) = 0.82 K Acoplamiento radiación-telescopio El problema del acoplamiento de la radiación incidente con el telescopio es importante en el caso de instrumentos limitados por difracción, como es el caso en las observaciones en el lejano infrarrojo, submilimétricas y radio. La imagen que el telescopio da de una fuente no resuelta (una estrella o una fuente muy compacta), P n, se llama función de dispersión de punto ( Point Spread Function PSF), o respuesta puntual del instrumento, o en el caso de los radiotelescopios, diagrama del haz. La resolución angular del instrumento puede caracterizarse mediante la anchura a altura mitad de esta función, θ A ( Full Width at Half Maximun FWHM, o también Half-Power Beam Width HPBW). El subíndice n de P n indica que la función se toma normalizada, de forma que su máximo, en la dirección del eje del telescopio, sea la unidad. Si consideramos un sistema de coordenadas angulares ligado al telescopio y centrado en la dirección de su eje, será P n (0, 0) = 1. Otra forma de caracterizar la respuesta angular del telescopio es a partir del ángulo sólido del haz del telescopio, Ω A, la integral sobre todas las direcciones del diagrama del haz, Ω A = P n (l, m) dl dm. 4π Su significado es el del ángulo sólido equivalente del cual el telescopio recibe radiación. La radiación medida por el telescopio procede principalmente de su haz principal (es decir, la parte central del haz, sin tener en cuenta los lóbulos secundarios, resultado de la difracción por la abertura del instrumento). El ángulo sólido del haz principal, Ω M, es la integral para el haz principal del diagrama de radiación P n, y es menor que el ángulo sólido de todo el haz, Ω A. El cociente entre el ángulo sólido del haz principal y el ángulo sólido de todo el haz es la eficiencia del haz principal, η M, η M = Ω M Ω A < 1. Para un telescopio con un haz principal gaussiano, de anchura a altura mitad θ A, el ángulo sólido del haz principal viene dado por Ω M = π 4 ln 2 θ2 A θa. 2 Para describir una posición en el cielo utilizaremos los cosenos directores (l, m) del punto del cielo considerado, desde un punto de referencia dado. Para regiones del cielo poco extensas, los cosenos directores se pueden aproximar por las coordenadas cartesianas en el plano tangente al cielo en el punto de referencia. En esta aproximación, el elemento de ángulo sólido vale dω = dl dm dl dm 1 l2 m2 y los cosenos directores de un punto de ascensión recta y declinación (α, δ) valen l = (α α 0 ) cos δ 0 m = δ δ 0

11 1.1. Radiación, generalidades 5 donde (α 0, δ 0 ) son las coordenadas del punto de referencia considerado. Las coordenadas utilizadas, en lugar de ascensión recta y declinación, pueden ser, cualquier par de coordenadas angulares como, por ejemplo, acimut y altura, o longitud y latitud galácticas. Consideremos un telescopio que apunta hacia una dirección (l, m) donde está situada una fuente caracterizada por una intensidad I ν (l, m ) o, de forma equivalente, por una temperatura de radiación T R (l, m ). El telescopio mide una intensidad observada de la fuente, Iν obs, que es el promedio de la intensidad de la fuente, utilizando como peso el haz del telescopio, Iν obs (l, m) = 1 I ν (l, m )P n (l l, m m) dl dm. Ω A Esta relación indica que la intensidad observada es (salvo un factor multiplicativo) el producto de convolución de la intensidad de la fuente por el diagrama del haz del telescopio (más exactamente, por P n ( l, m)). El flujo total de la fuente puede obtenerse integrando la intensidad observada. En efecto, I obs ν (l, m) dl dm = I ν (l, m) dl dm Pn (l, m) dl dm Ω A = S ν. La intensidad máxima observada, normalmente cuando el telescopio apunta al centro de la fuente, recibe el nombre de intensidad de pico 1, Iν pic. Una aproximación del flujo total de la fuente puede obtenerse multiplicando la intensidad de pico por el tamaño observado de la fuente, Ω obs S ν Iν pic Ω obs S. Esta relación es exacta para el caso de una fuente gaussiana y un telescopio con un haz gaussiano. Las unidades prácticas de la intensidad de pico son de densidad de flujo por haz, Jy haz 1. La utilidad de estas unidades es que, para una fuente no resuelta angularmente (de tamaño angular Ω S Ω M ), el número que da la intensidad de pico, en Jy haz 1, coincide con el que da la densidad de flujo de la fuente, en Jy. Una forma equivalente de caracterizar la radiación medida por el telescopio es utilizar la temperatura de radiación observada o temperatura del haz principal, T MB, que es el promedio para el ángulo sólido del haz principal de la temperatura de radiación de la fuente, T R (o, en la aproximación de Rayleigh-Jeans, de la temperatura de brillo, T B ), T MB (l, m) = 1 Ω M S, T R (l, m )P n (l l, m m) dl dm. Para una fuente gaussiana y un telescopio con un haz gaussiano, la relación entre la intensidad de pico y la temperatura de haz principal puede expresarse, en unidades prácticas, como [ Iν pic ] mjy haz 1 = 2.95 [ TMB K ] [ ] 2 θ [ A ν ] 2. arcmin GHz En radioastronomía suele utilizarse, además, la temperatura de antena, T A, que mide la energía incidente en el telescopio por unidad de tiempo y de intervalo de frecuencia, w ν (con dimensiones de erg s 1 Hz 1 ), w ν = kt A. La temperatura de antena es, según la ley de Nyquist para un cuerpo negro unidimensional, la temperatura de una resistencia que proporciona en sus bornes la potencia espectral térmica w ν. Puede demostrarse que la temperatura de antena es simplemente una fracción de la temperatura del haz principal, T A = η M T MB. Dos casos límites del acoplamiento radiación-telescopio son especialmente interesantes: 1 En la literatura se denomina a veces, erróneamente, a la intensidad de pico como flujo de pico, S pic ν.

12 6 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS Fuente no resuelta. Cuando el tamaño angular de la fuente, dado por su ángulo sólido Ω S, es mucho menor que el haz principal del telescopio, Ω S Ω M, el flujo de la fuente es el producto de la intensidad de pico por el ángulo sólido del haz, S ν = I pic ν Ω A. De esta forma, por ejemplo, una fuente no resuelta con una intensidad de pico de 3 mjy haz 1 tiene un densidad de flujo de 3 mjy. En cambio, la temperatura de radiación observada es mucho menor que la de radiación de la fuente, T MB = Ω S Ω M T R T R, puesto que el factor de dilución Ω S /Ω M es pequeño: la fuente sólo llena una parte pequeña del haz del telescopio. Fuente resuelta. Cuando la fuente está resuelta por el haz del telescopio, el factor de acoplamiento entre fuente y telescopio es más difícil de determinar. Al estar la fuente resuelta, su tamaño angular observado es mayor que el haz de la antena, Ω obs S > Ω M, y el flujo total de la fuente suele ser menor que la intensidad de pico por el ángulo sólido del haz, S ν Iν pic Ω obs S > η M Iν pic Ω A. En cuanto a la temperatura del haz principal, si consideramos el caso de una fuente homogénea que llene completamente el haz principal del telescopio, ésta coincide con la temperatura de radiación de la fuente, T MB T R. 1.2 Interacción radiación-materia, descripción macroscópica Ecuación del transporte radiativo: coeficientes de absorción y emisión La intensidad de la radiación que se propaga por el espacio libre es constante a lo largo del camino. Si la radiación interacciona con la materia en una región, en general ésta absorberá parte de la radiación y emitirá al mismo tiempo su propia radiación. La variación de intensidad a lo largo del camino l puede ser descrita mediante el coeficiente de absorción κ ν, cuyo significado es el de atenuación por unidad de longitud a la frecuencia ν, y el coeficiente de emisión j ν, cuyo significado es el de intensidad generada por unidad de longitud. La ecuación que da la variación de intensidad por unidad de longitud mediante estos coeficientes dl da I ν I ν +di ν Figura 1.2: Geometría plano-paralela para la ecuación del transporte radiativo. es la ecuación del transporte radiativo di ν dl = κ ν I ν + j ν. El coeficiente de absorción κ ν tiene dimensiones de cm 1, mientras que el de emisión j ν tiene dimensiones de erg s 1 cm 3 sr 1 Hz 1. El inverso del coeficiente de absorción es una longitud, y se denomina recorrido

13 1.2. Interacción radiación-materia, descripción macroscópica 7 libre medio de la radiación o del fotón, l ν, l ν = 1 κ ν. Su significado es el de la distancia media recorrida por un fotón de frecuencia ν antes de ser absorbido. La propagación en el espacio libre es el caso particular κ ν = j ν = 0, es decir, sin ninguna interacción radiación-materia Ecuación del transporte radiativo: profundidad óptica, función fuente Es muy útil escribir la ecuación del transporte en términos de las nuevas variables profundidad óptica τ ν (adimensional) y función fuente 2 S ν (con dimensiones de intensidad), definidas a partir de los coeficientes de absorción y de emisión por dτ ν = κ ν dl, S ν = j ν κ ν. La ecuación del transporte radiativo utilizando estas nuevas variables queda di ν dτ ν = I ν + S ν. La ecuación puede integrarse y obtenerse una solución formal, que no es más que la forma integral de la misma ecuación del transporte radiativo. Consideramos que la región donde hay interacción radiaciónmateria se extiende desde l = 0 hasta l = L y que la profundidad óptica aumenta en el sentido de la propagación de la radiación, siendo máxima cerca del observador, cuando ya ha acabado toda interacción radiación-materia. La profundidad óptica total de la región es τ ν. La solución formal es I ν (τ ν ) = I ν (0) e τ ν + τν 0 S ν e (τ ν τ ν ) dτ ν. La interpretación de esta forma integral de la ecuación es directa. La intensidad medida por el observador 0 L I ν (0) S ν I ν (τ ν ) Observador τ ν τ ν τ ν 0 τ ν τ ν Figura 1.3: La intensidad medida por el observador es suma de la intensidad de fondo I ν (0), atenuada un factor e τν, y la superposición de la emisión de todas las capas de la región, cada una con una intensidad S ν (τ ν) y atenuada un factor e (τν τ ν ). es la suma de dos componentes: la intensidad de fondo, I ν (0), atenuada por la opacidad de la región en un 2 No confundir la función fuente, S ν = j ν /κ ν, que caracteriza la temperatura de excitación T ex (ver apartado 1.2.3), con la densidad de flujo de una fuente, S ν = Iν dω, que es la intensidad integrada para dicha fuente (ver apartado 1.1.1). fuente

14 8 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS factor e τν, y la superposición de la emisión de todas las capas de la región, cada una con una intensidad S ν (τ ν) y atenuada por la opacidad existente entre la capa considerada y la parte frontal de la región, τ ν τ ν. Si suponemos que la función fuente es constante dentro de la región, la integral de la ecuación anterior puede calcularse y se obtiene la forma comúnmente utilizada de la ecuación del transporte radiativo, I ν (τ ν ) = I ν (0) e τν + S ν ( 1 e τ ν ). Los casos límite de esta ecuación son muy útiles para entender el significado físico de las magnitudes que intervienen. Caso ópticamente delgado. La región es ópticamente delgada (o, en otras palabras, tansparente) cuando su profundidad óptica τ ν 1. El término de atenuación es aproximadamente unidad (e τ ν 1), mientras que el otro se puede aproximar hasta primer orden por 1 e τ ν τ ν. En esta aproximación, I ν I ν (0) + S ν τ ν = I ν (0) + Es de destacar que, en la aproximación ópticamente delgada, por una parte la intensidad de fondo se observa sin ninguna atenuación. Por otra parte, se observa la radiación emitida por toda la región, sumada para todas las capas, sin ninguna atenuación. 0 L L 0 j ν dl. l ν S ν I ν (τ ν ) Observador τ ν 1 0 τ ν 1 Figura 1.4: En el caso ópticamente grueso, la radiación se recibe de una capa superficial de grosor igual al recorrido libre medio de la radiación o, de forma equivalente, cuya profundidad óptica es del orden de la unidad Caso ópticamente grueso. Cuando τ ν 1 decimos que la región es ópticamente gruesa (o, simplemente, opaca). El término de atenuación se hace cero (e τ ν 0), con lo que se pierde toda información sobre la intensidad de fondo, y se observa una intensidad igual a la función fuente, I ν S ν. Si analizamos esta caso con algo más de detalle y nos preguntamos de donde procede la radiación observada, veremos que procede esencialmente de la capa superficial de la región, una capa de grosor igual al recorrido libre medio de la radiación o, de forma equivalente, cuya profundidad es tal que la variación de profundidad óptica es del orden de la unidad. Si la profundidad óptica crece muy rápidamente con la profundidad geométrica, observaremos únicamente la superficie. Por esta razón, por ejemplo, se observa en el visible el borde de la fotosfera solar muy nítido: la profundidad óptica en el visible crece muy rápidamente con la profundidad geométrica. En cambio, en longitudes de onda radio la imagen del Sol tiene un borde mucho más borroso porque la profundidad óptica no crece tan rápidamente.

15 1.2. Interacción radiación-materia, descripción macroscópica Ecuación del transporte radiativo: temperatura de excitación De forma parecida a la definición de la temperatura de brillo, podemos utilizar la ley de Planck para definir una temperatura asociada a la función fuente, la temperatura de excitación, T ex (más adelante se dará una definición distinta de T ex, que demostraremos que es equivalente a ésta). La función fuente, S ν, tiene dimensiones de intensidad. La temperatura de excitación es aquella temperatura para la cual el valor de la función fuente es igual al de una función de Planck a la frecuencia dada, S ν = B ν (T ex ). Esta ecuación es simplemente la definición de T ex. Nótese que, en general, la temperatura de excitación depende de la frecuencia. Además, en la aproximación de Rayleigh-Jeans, tendremos que la función fuente será proporcional a la temperatura de excitación S ν 2kν2 Pero, en el caso más general en que no es válida la aproximación de Rayleigh-Jeans, tendremos que utilizar una función J ν, que representa la intensidad en unidades de temperatura, c 2 T ex. S ν = 2kν2 c 2 J ν(t ex ). Podemos utilizar las temperaturas de brillo y de excitación para reescribir la ecuación del transporte radiativo. En la aproximación de Rayleigh-Jeans se puede escribir como T B = T bg e τν + T ex ( 1 e τ ν ), donde se ha definido la temperatura de fondo, T bg, como la temperatura de brillo correspondiente a la intensidad de fondo, I ν (0). De forma más general, tendremos que escribirla como T R J ν (T B ) = J ν (T bg ) e τν + J ν (T ex ) ( 1 e τν ). La temperatura de excitación T ex y la profundidad óptica τ ν definen perfectamente la emisión y absorción de radiación, y su conocimiento es equivalente al de los coeficientes de absorción κ ν y emisión j ν. En los dos casos límite, para regiones ópticamente delgadas y gruesas, se obtiene, en la aproximación de Rayleigh-Jeans, τ ν 1 = T B T bg + T ex τ ν, τ ν 1 = T B T ex. Problema 1.3 Una región está formada por dos capas plano-paralelas con la misma temperatura de excitación T ex y profundidades ópticas τ 1 (izquierda) y τ 2 (derecha). Calcular, en la aproximación de Rayleigh-Jeans, la temperatura de brillo observada por un observador situado a la derecha de la región. Discutir si hay alguna diferencia con una región de profundidad óptica τ 1 + τ 2. τ 1 τ 2 T bg T ex T ex Observador

16 10 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS Problema 1.4 Una región está formada por dos capas plano-paralelas con temperaturas de excitación T 1 (izquierda) y T 2 (derecha), y la misma profundidad óptica, τ/2. Calcular, en la aproximación de Rayleigh-Jeans, la temperatura de brillo observada por un observador situado a la derecha de la región. Discutir los casos límites τ 1 y τ 1. Generalizar el resultado para el caso de n capas de temperaturas T 1,..., T n y profundidad óptica τ/n. τ 2 τ 2 T bg T 1 T 2 Observador Problema 1.5 Una región H II compacta, con temperatura de excitación T ex y profundidad óptica τ c, está sumergida dentro de otra región H II, difusa y mucho más extensa, con la misma temperatura de excitación T ex y profundidad óptica τ = τ 1 + τ 2, donde τ 1 y τ 2 son las profundidades ópticas de las partes de la región extensa situadas respectivamente detrás y delante de la región compacta. Calcular la contribución de la región compacta a la temperatura de radiación observada, es decir la diferencia entre la temperatura de radiación observada sobre la fuente compacta y fuera de la fuente compacta, TR ON T R OFF. Discutir si el resultado depende o no de la posición de la región compacta dentro de la difusa. τ 1 τ c τ 2 Observador 1.3 Interacción radiación-materia, descripción microscópica Movimientos térmicos: distribución maxwelliana, temperatura cinética Consideremos un gas de partículas cuyas velocidades están termalizadas, es decir, que el mecanismo dominante que determina sus velocidades son las colisiones entre partículas. Sea n la densidad total de partículas (en número, con dimensiones de cm 3 ), y dn(v) la densidad de partículas con un vector velocidad entre v y v + dv. La función de distribución de velocidades, f(v), tal que dn(v) = n f(v) dv,

17 1.3. Interacción radiación-materia, descripción microscópica 11 viene dada por la distribución de Maxwell ( ) 3/2 m f(v) = e m(v2 x +v2 y +v2 z )/2kT k, 2πkT k donde m es la masa molecular media de las partículas del gas y T k es la temperatura cinética del gas. El factor de normalización es tal que la integral de la función de distribución sea la unidad. El valor medio de cualquier componente de la velocidad (en particular, la componente radial, en la dirección de la visual, v r ) es evidentemente cero, v x = v y = v z = v r = 0. La desviación cuadrática media de la velocidad radial (o de cualquier otra componente) vale σ 2 v r v 2 r = kt k m. Como la distribución maxwelliana es isótropa, resulta útil expresar la función de distribución en términos del módulo del vector velocidad, v = v. Teniendo en cuenta que el elemento de volumen (en el espacio de fases) es ahora 4πv 2 dv, se obtiene ( ) 3/2 m f(v) = 4π v 2 e mv2 /2kT k. 2πkT k El valor medio del módulo de la velocidad y del cuadrado del módulo valen, respectivamente, v = 8kTk 8 πm = π σ v r, v 2 = 3kT k m = 3 σ2 v r. Problema 1.6 Comprobar mediante el cálculo directo que, efectivamente, v 2 r = v = v 2 = vr 2 f(v) dv = kt k /m, 0 0 v f(v) dv = 8kT k /πm, v 2 f(v) dv = 3kT k /m Perfil de línea, ensanchamientos natural y Doppler E + E hν 0 = E E Figura 1.5: Una transición entre dos estados de energías E y E + E tiene una frecuencia asociada ν 0 = E/h. Consideremos una transición entre dos estados de una partícula (átomo, ion o molécula), con una diferencia de energía E y una frecuencia de los fotones emitidos o absorbidos en la transición ν 0 = E/h.

18 12 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS Tal como veremos, la transición no se observa nunca como una línea monocromática, infinitamente estrecha en frecuencia, sino con un cierto perfil φ(ν), llamado función del perfil de línea, normalizado de forma que φ(ν) dν = 1. El perfil de línea es una función centrada en ν 0, que se hace cero rápidamente fuera de la frecuencia central. El valor máximo del perfil de línea, φ(ν 0 ), es el inverso de la anchura equivalente de la línea, ν eq, puesto que φ(ν 0 ) ν eq = φ(ν)dν = 1. La anchura equivalente del perfil de línea es, a efectos prácticos, igual a la anchura a altura mitad ν 1/2 y por lo tanto no haremos ninguna distinción entre ambas anchuras ( ν 1/2 ν eq ν). Por ejemplo, para un perfil de línea gaussiano, ν eq = π 4 ln 2 ν 1/2 = ν 1/2. Los coeficientes de absorción o de emisión no son, por lo tanto, monocromáticos, sino que siguen el perfil de línea, κ ν = κ 0 ν φ(ν), j ν = j 0 ν φ(ν), donde ν es la anchura equivalente, κ 0 y j 0 son los valores de los coeficientes en el centro de la línea, y se verifica que κ 0 ν = κ ν dν, j 0 ν = j ν dν. El hecho de que el perfil de línea sea el mismo para el coeficiente de absorción y el de emisión es consecuencia de que el cociente entre ambos coeficientes es la función fuente, S ν = j ν /κ ν, que viene dada por la temperatura de excitación, T ex, que a su vez es característica de la transición (tal como veremos más adelante) y, para una transición dada, no depende de la frecuencia. Estudiemos ahora las causas físicas que producen un determinado perfil de línea. Incluso en el sistema de referencia de la partícula emisora, los fotones emitidos no tienen todos exactamente la misma frecuencia. Esto puede entenderse a partir del principio de incertidumbre de Heisenberg. El hecho mismo de producirse una transición indica que el tiempo de vida del estado superior de energía, t vida, es finito y su energía indeterminada en un factor del orden de h/t vida. Esto produce una dispersión de frecuencias del orden de ν (2πt vida ) 1. La distribución de los fotones según la frecuencia da un perfil a la línea en forma lorentziana φ(ν) = 2 1 π ν 1 + 4(ν ν 0 ) 2 / ν 2, donde ν es la anchura del perfil a altura mitad. Este ensanchamiento intrínseco de la línea, llamado ensanchamiento natural, es en casi todas las situaciones de interés en el medio interestelar, extraordinariamente pequeño e inobservable. Las anchuras naturales relativas de transiciones que se observan en el medio interestelar pueden oscilar entre ν/ν 10 7 para transiciones en el visible y ν/ν para transiciones radio. El mecanismo de ensanchamiento realmente importante es provocado por los movimientos de las partículas, que producen un corrimiento de frecuencia debido al efecto Doppler. Si la componente radial de la velocidad relativa al observador de una partícula es v r, el corrimiento de frecuencia (en el límite no relativista) es ν ν 0 ν 0 = v r c, donde ν 0 es la frecuencia de la transición en el sistema de referencia de la partícula y ν es la frecuencia observada. Si la velocidad es de alejamiento (v r > 0) la frecuencia observada disminuye (ν < ν 0 ) y si es de

19 1.3. Interacción radiación-materia, descripción microscópica 13 acercamiento (v r < 0) la frecuencia aumenta (ν > ν 0 ). Si las partículas siguen una distribución maxwelliana de velocidades, el perfil de línea será gaussiano (como la distribución de velocidades) 4 ln 2 1 φ(ν) = π ν e 4 ln 2(ν ν 0) 2 / ν 2, donde ν es la anchura del perfil a altura mitad. En este caso, el ensanchamiento del perfil de línea recibe el nombre de ensanchamiento térmico. Comparando con la distribución maxwelliana, se obtiene para la anchura térmica ν th, 8 ln 2kTk ν 0 ν th = m c, donde T k es la temperatura cinética. Por ejemplo, para una nube de hidrógeno atómico con una temperatura de 100 K, la anchura térmica del perfil de línea es de 10 khz. Normalmente se utiliza la velocidad radial en lugar de la frecuencia en el eje horizontal de los espectros (aunque a veces los corrimientos en frecuencia no sean producidos por efecto Doppler). A partir de ahora llamaremos simplemente velocidad, v, a la componente radial de la velocidad, v r. Si la nube emisora tiene, en conjunto, una velocidad sistemática respecto al sistema local de referencia ( Local Standard of Rest ), v LSR, la distribución de velocidades de las partículas emisoras estará centrado en esta velocidad. La función que representa el perfil de línea en términos de la velocidad, φ v, verifica φ v dv = φ dν, por lo que 4 ln 2 1 φ v (v) = π v e 4 ln 2(v v LSR) 2 / v 2, donde v es la anchura del perfil a altura mitad que, para una distribución maxwelliana a temperatura T k, viene dada por v th = 8 ln 2kTk 8 ln 2 σ v = m, y que, en unidades prácticas, se puede expresar como [ vth ] km s 1 = 0.21 [ Tk K ] 1/2 [ ] 1/2 m. Por ejemplo, para la molécula de CO a 30 K (temperatura típica para una nube molecular), la anchura térmica del perfil de línea es de 0.2 km s 1. Sin embargo, las líneas observadas tienen típicamente anchuras del orden de algunos km s 1. A este ensanchamiento contribuye principalmente la turbulencia, cuya distribución de velocidades es gaussiana. La anchura observada es la suma cuadrática de la anchura térmica, la anchura turbulenta v turb y la anchura producida por movimientos sistemáticos tales como la rotación, contracción o expansión v sist (los movimientos sistemáticos no producen, sin embargo, un perfil de línea gaussiano), m H v obs 2 = v th 2 + v turb 2 + v sist 2. Por lo tanto, en general, la anchura observada de una línea nos permite obtener un límite superior para la temperatura cinética de la región [ ] [ ][ ] 2 Tk m vobs 22.7 K m H km s Coeficientes de Einstein Consideremos una transición entre dos estados de una partícula (átomo, ion o molécula), que denominaremos 1 (nivel inferior) y 2 (superior). La frecuencia de la transición es ν 21 = (E 2 E 1 )/h. La descripción microscópica de las transiciones entre los dos estados contempla tres posibilidades: emisión espontánea, absorción y emisión inducida (o estimulada).

20 14 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS 2 B 12 B 21 A 21 E 2 ν 21 = (E 2 E 1 )/h 1 E 1 Figura 1.6: En una transición entre dos estados 1 y 2, la partícula puede pasar espontáneamente del nivel 2 al 1 y emitir un fotón (el coeficiente correspondiente es A 21 ), puede absorber un fotón y pasar del nivel 1 al 2 (coeficiente B 12 ), o el proceso inverso: inducida por un fotón, pasar del nivel 2 al 1, emitiendo en el proceso otro fotón (coeficiente B 21 ). Emisión espontánea. La desexcitación espontánea de la partícula, del nivel 2 al nivel 1, viene descrita por el coeficiente de Einstein de emisión espontánea, A 21. El proceso implica la emisión de un fotón, en una dirección cualquiera, de frecuencia ν 21 en el sistema de referencia de la partícula. El coeficiente tiene el significado de probabilidad de transición de la partícula, por unidad de tiempo. Sus dimensiones son s 1 y el inverso del coeficiente es el tiempo de vida de la partícula en el nivel superior, t vida = A Para obtener el coeficiente de emisión j ν (energía emitida por unidad de tiempo, de volumen y de ángulo sólido), hay que multiplicar el coeficiente A 21 por la densidad de partículas en el nivel 2, n 2, por la energía del fotón emitido, hν 21, dividir por el ángulo sólido total, 4π sr, y multiplicar por el perfil de línea para pasar de frecuencias en el sistema de referencia de la partícula al sistema de referencia del observador, j ν = n 2A 21 4π hν 21φ(ν). La contribución de la emisión espontánea a la variación de las poblaciones de los dos niveles es ṅ 1 = ṅ 2 = n 2 A 21. Absorción. La absorción de un fotón de frecuencia ν 21 del campo de radiación produce la excitación de la partícula del nivel 1 al nivel 2. La probabilidad de este proceso es obviamente proporcional a la intensidad del campo de radiación, y el coeficiente de proporcionalidad es el coeficiente de Einstein de absorción, B 12. Las dimensiones del coeficiente de absorción son erg 1 cm 2 sr Hz. La contribución de la absorción a la variación de la población de los dos niveles es ṅ 2 = ṅ 1 = n 1 B 12 I ν. Para ser más precisos, en lugar de la intensidad I ν habría que utilizar J ν, la intensidad promediada para todos las direcciones y para el perfil de línea, J ν = I ν dω φ(ν) dν, pero en la mayoría de aplicaciones la distinción es irrelevante. 4π Emisión inducida. El proceso inverso al anterior es la desexcitación de la partícula del nivel 2 al nivel 1, estimulada o inducida por un fotón incidente, acompañada por la emisión de otro fotón. El coeficiente asociado es el coeficiente de Einstein de emisión inducida (o estimulada), B 21. El proceso de emisión inducida se considera normalmente como absorción negativa y ambos coeficientes, el de absorción y el de emisión inducida, entran en la expresión del coeficiente de absorción. Con un razonamiento parecido al caso de la emisión espontánea, se obtiene κ ν = n 1B 12 n 2 B 21 hν 21 φ(ν). 4π La contribución de la emisión inducida a la variación de la población de los dos niveles es ṅ 1 = ṅ 2 = n 2 B 21 I ν.

21 1.3. Interacción radiación-materia, descripción microscópica 15 Los tres coeficientes de Einstein, A 21, B 12 y B 21, no son independientes. Las relaciones entre ellos se pueden obtener en el caso límite de equilibrio termodinámico. En este límite, el número de desexcitaciones y de excitaciones es igual, n 2 A 21 = (n 1 B 12 n 2 B 21 )I ν, la intensidad viene dada por una planckiana a temperatura T, I ν = B ν (T ), y la población de los niveles viene dada por la ley de Boltzmann para la misma temperatura T, n 2 n 1 = g 2 g 1 e hν 21/kT, donde g i es el peso estadístico del nivel i. Cuando T, también I ν, con lo que Por lo tanto, en el límite debe cumplirse B 12 B 21 n 2 n 1 g 2 g 1. g 1 B 12 = g 2 B 21. Por otra parte, utilizando esta relación obtenemos ( ) ( ) 3 n1 n1 /g 1 2hν 21 1 A 21 = B 12 B 21 B ν (T ) = 1 B 21 n 2 n 2 /g 2 c 2 e hν 21/kT 1, que, utilizando la ley de Boltzmann, queda finalmente, A 21 = 2hν 21 3 c 2 B 21. Estas dos relaciones, a pesar de haberse obtenido en un caso límite, dependen únicamente de constantes atómicas y, por lo tanto, son válidas universalmente, en cualquier condición. Por lo tanto, hay un único coeficiente de Einstein independiente, que se suele tomar A 21, que es el que aparece normalmente tabulado Ecuación de Boltzmann, temperatura de excitación En el caso de equilibrio termodinámico, la relación entre la población de los dos niveles que intervienen en la transición viene dada por la ley de Boltzmann para la temperatura que define el equilibrio termodinámico. En general, fuera de equilibrio termodinámico, esto no será así. Sin embargo, de manera equivalente a como se ha hecho para definir la temperatura de brillo, se puede utilizar la ley de Boltzmann para definir una temperatura. Esta temperatura es la temperatura de excitación de la transición, T ex, n 1 n 2 = g 1 g 2 e hν 21/kT ex. La temperatura de excitación nos determina la relación de las poblaciones de los dos niveles. La definición que damos aquí es equivalente a la dada anteriormente a partir de la función fuente. Efectivamente, utilizando las relaciones entre los coeficientes de Einstein, se tiene 3 /c 2 S ν = j ν n 2 A 21 A 21 /B 21 = = κ ν n 1 B 12 n 2 B 21 n 1 B 12 /n 2 B 21 1 = 2hν 21 n 1 g 2 /n 2 g 1 1. Por otra parte, el hecho que la función fuente sea una planckiana a temperatura T ex, S ν = B ν (T ex ) = 2hν 21 3 /c 2 e hν 21/kT ex 1, implica que la relación de poblaciones venga dada por n 1 g 2 n 2 g 1 = e hν 21/kT ex, que corresponde a la ley de Boltzmann para una temperatura T ex.

22 16 CAPITULO 1. PROCESOS RADIATIVOS Profundidad óptica Hemos visto anteriormente la expresión del coeficiente de absorción en función de las poblaciones de los dos niveles y de los coeficientes de Einstein de absorción y de emisión inducida. Vamos a utilizar las relaciones entre los coeficientes de Einstein y la definición de temperatura de excitación para hallar una expresión más útil del coeficiente de absorción y de la profundidad óptica. El coeficiente de absorción viene dado por κ ν = n 1B 12 n 2 B 21 hν 21 φ(ν) = hν 21 4π 4π B 21n 2 ( n1 B 12 n 2 B 21 1 ) ( ) φ(ν) = c2 8πν 2 A 21n 2 e hν 21/kT ex 1 φ(ν). 21 La profundidad óptica se obtiene por integración a lo largo de la visual del coeficiente de absorción. Si la temperatura de excitación es constante a lo largo de la visual, la integración sólo debe realizarse para la densidad volumétrica n 2, quedando en términos de la densidad columnar N 2 = visual n 2 dl, con dimensiones de cm 2, ( ) τ ν = c2 8πν 2 A 21N 2 e hν 21/kT ex 1 φ(ν). 21 Si queremos expresar la profundidad óptica en función de la velocidad, hay que tener en cuenta que τ ν dν = (ν 21 /c) τ v dv, por lo que ( ) τ v = c3 8πν 3 A 21N 2 e hν 21/kT ex 1 φ v (v). 21 La profundidad óptica en función de la velocidad se puede expresar en términos de la profundidad óptica máxima τ 0 (en el centro de la línea), utilizando la función perfil φ v (v), τ v = τ 0 v φ v (v), que, para el caso de una distribución maxwelliana de velocidades, es una gaussiana τ v = τ 0 e 4 ln 2(v v LSR) 2 / v 2. El producto de la profundidad óptica en el centro de la línea, τ 0, y la anchura de la línea, v, viene dado por ( ) τ 0 v = c3 8πν 3 A 21N 2 e hν 21/kT ex 1, 21 que, en la aproximación de Rayleigh-Jeans, se reduce a τ 0 v = hc 3 8πν 212 kt ex A 21 N Transiciones colisionales Además de las transiciones radiativas entre dos niveles de un sistema, descritas por los coeficientes de Einstein, el otro proceso que puede producir excitaciones o desexcitaciones del sistema son las transiciones colisionales. En una colisión con otra partícula, el sistema puede ganar parte de la energía cinética de la partícula colisionante y pasar del estado 1 al 2, o por el contrario puede ceder energía a la partícula colisionante y pasar del estado 2 al 1. La probabilidad de excitación colisional es C 12 y la de desexcitación C 21. Ambas tienen dimensiones de s 1. La contribución de las transiciones colisionales a la variación de la población de los dos niveles es ṅ 2 = ṅ 1 = n 1 C 12 n 2 C 21. Las probabilidades de transición colisional C 12 y C 21 son el producto de la densidad de las partículas colisionantes, n, por el coeficiente de excitación colisional, γ 12, y el coeficiente de desexcitación colisional, γ 21, respectivamente, con dimensiones de cm 3 s 1. Estos coeficientes pueden expresarse como el volumen eficaz barrido por la partícula por unidad de tiempo, y vienen dados por γ ij = σ ij (v) vf(v) dv,