1 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

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1 1 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Ya sabemos como determinar si una función es estric. creciente o decreciente en un punto. Pero nos interesa determinar si la función crece o decrece de forma cóncava o convexa. Nuestra finalidad va a ser definir y caracterizar las funciones cóncavas o convexas en un punto. 1.1 Función cóncava en un punto Dada una función continua en [a, b], derivable en ]a, b[. Seax 0 ]a, b[ Diremos que una función y f(x) es cóncava en un punto x 0 ; siempre que podamos encontrar un entorno de centro x 0 yderadioδ (suficientemente pequeño) de tal manera que en dicho entorno la recta tangente a la función en ese punto quede por debajo de la gráfica de f (salvo en el punto de tangencia P (x 0,f(x 0 )) ) f es cóncava en x 0 δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que x Eδ (x 0 ) ]a, b[ siempre se verifica que y t (x) <f(x) Es decir que y t (x) f 0 (x 0 )( )+f(x 0 ) <f(x) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } ]a, b[ f 0 (x 0 )( ) <f(x) f(x 0 ) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } ]a, b[ Ejemplo: La funció y x ln x es cóncava en el punt P (1, 0) x En ese punto P la ecuación de su recta tangente es y x 1. Fíjate que alrededor de ese punto, los puntos de la gráfica de la función quedan por encima de esa recta tangente. 1

2 1.1.1 Caracterización de las funciones cóncavas Teorema Sea f una función continua en [a, b], derivable hasta el orden dos x ]a, b[. Si f 0 es estrictamente creciente en ]a,b[ f es cóncava en ]a, b[ Demostración de 1 Método reducción al absurdo Supongamos que f no es concava en ]a, b[ x 0 ]a, b[ en el que f no es cóncava Al ser f no cóncava en x 0 podemos afirmar que δ > 0 (con Eδ (x 0 ) ]a, b[) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } tal que y t (x) f(x) Es decir: f 0 (x 0 )( )+f(x 0 ) f(x) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } f 0 (x 0 )( ) f(x) f(x 0 ) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } Posibilidades: a) Si x>x 0 entonces f 0 (x 0 ) f(x) f(x 0) Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x 0,x],entonces podemos afirmar que c ]x 0,x[ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Así pues: Hemos encontrado dos números reales c y x 0 ]a, b[ tal que f 0 (x 0 ) siendo c>x 0.Podemos afirmar que entonces, la función f 0 no es estrictamente creciente. Lo cual es absurdo; está en contradición con la hipótesis de que f 0 es estrictamente creciente en ]a, b[ 1 Ayuda: Diremos que una función g es estrictamente creciente en ]a, b[ c, t ]a, b[ g(c) < g(t) siempre que c<t g no es estrictamente creciente en ]a, b[ c, t ]a, b[ con c<ttal que g(c) g(t) g no es estrictamente creciente en ]a, b[ Encontramos, al menos dos números reales, c y t con c<t,delintervalo]a, b[ tal que g(c) no es menor que g(t)

3 b) Si x<x 0 entonces f 0 (x 0 ) f(x) f(x 0) Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x, x 0 ],entonces podemos afirmar que c ]x, x 0 [ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Así pues: Hemos encontrado dos números reales c y x 0 ]a, b[ tal que f 0 (x 0 ) siendo x 0 > c. Podemos afirmar que entonces, la función f 0 no es estrictamente creciente. Lo cual es absurdo; está en contradición con la hipótesis de que f 0 es estrictamente creciente en ]a, b[ Como en ambas situaciones llegamos a un absurdo. Entonces lo que hemos supuesto es falso Demostración de Por ser f cóncava en ]a, b[ entonces f es cóncava x 0 ]a, b[ Por lo tanto sea cual sea x 0 ]a, b[ siempre podremos encontrar un δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que x Eδ (x 0 ) ]a, b[ siempre se verifica que y t (x) <f(x) Es decir que f 0 (x 0 )( ) <f(x) f(x 0 ) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } ]a, b[ Posibilidades: a) Si x>x 0 entonces f 0 (x 0 ) < f(x) f(x 0) Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x 0,x],entonces podemos afirmar que c ]x 0,x[ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Por lo tanto: Si x 0 <c<xentonces f 0 (x 0 ) < con c ]x 0,x[ b) Si x<x 0 entonces f 0 (x 0 ) > f(x) f(x 0) 3

4 Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x, x 0 ],entonces podemos afirmar que c ]x, x 0 [ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Por lo tanto: Si x<c<x 0 entonces <f 0 (x 0 ) con c ]x 0,x[ En ambos casos hemos comprobado que: x 0 ]a, b[ siendo c 6 x 0 y c ]a, b[ siempre se verifica que: Si x 0 <c entonces f 0 (x 0 ) <f 0 ) (c) Si c<x 0 entonces <f 0 f (x 0 ) 0 es est. creciente en ]a, b[ Interpretación geométrica de este teorema x Si a medida que las x son cada vez mayores dentro del intervalo ]a, b[, siempre observamos que las pendientes de sus correspondientes rectas tangentes son cada vez mayores la función f es siempre cóncava en ]a, b[ 1.1. Condición suficiente de concavidad Teorema Sea f una función continua en [a, b] ytalquef 00 (x 0 ) > 0 siendo x 0 ]a, b[.con estas hipótesis siempre podremos afirmar que la función f es cóncava en x 0 DEMOSTRACION 4

5 Por ser f 00 (x 0 ) > 0 f 0 es est. creciente en x 0,yporlotantoenvirtud del teorema de caracterización de funciones cóncavas podemos afirmar que f será cóncava en x 0 1. Función convexa en un punto Dada una función continua en [a, b], derivable en ]a, b[. Seax 0 ]a, b[ Diremos que una función y f(x) es cóncava en un punto x 0 ; siempre que podamos encontrar un entorno de centro x 0 yderadioδ (suficientemente pequeño) de tal manera que en dicho entorno la recta tangente a la función en ese punto quede por encima de la gráfica de f (salvo en el punto de tangencia P (x 0,f(x 0 )) ) f es cóncava en x 0 δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que x Eδ (x 0 ) ]a, b[ siempre se verifica que y t (x) >f(x) Es decir que y t (x) f 0 (x 0 )( )+f(x 0 ) >f(x) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } ]a, b[ f 0 (x 0 )( ) >f(x) f(x 0 ) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } ]a, b[ Ejemplo: La funció y x 1+x es convexa en el punt P (1, 5 ) x En ese punto P la ecuación de su recta tangente es y 1 5 x Fíjate que alrededor de ese punto, los puntos de la gráfica de la función quedan por debajo de esa recta tangente. 5

6 1..1 Caracterización de las funciones convexas Teorema Sea f una función continua en [a, b], derivable hasta el orden dos x ]a, b[. Si f 0 es estrictamente decreciente en ]a,b[ f es convexa en ]a, b[ Demostración de Método reducción al absurdo Supongamos que f no es convexa en ]a, b[ x 0 ]a, b[ en el que f no es convexa Al ser f no convexa en x 0 ;podemosafirmar que δ > 0 (siendo Eδ (x 0 ) ]a, b[) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 }tal que y t (x) f(x) Es decir: y t (x) f 0 (x 0 )( )+f(x 0 ) f(x) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } f 0 (x 0 )( ) f(x) f(x 0 ) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } Posibilidades: a) Si x>x 0 entonces f 0 (x 0 ) f(x) f(x 0) Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x 0,x],entonces podemos afirmar que c ]x 0,x[ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Así pues: Hemos encontrado dos números reales c y x 0 ]a, b[ tal que f 0 (x 0 ) siendo x 0 <c.podemos afirmar entonces, la función f 0 no es estrictamente decreciente. Lo cual es absurdo; ya que está en contradición con la hipótesis de que f 0 es estrictamente decreciente en ]a, b[ Ayuda: Diremos que una función g es estrictamente decreciente en ]a, b[ c, t ]a, b[ g(c) <g(t) siempre que c>t g no es estrictamente decreciente en ]a, b[ c, t ]a, b[ con c>ttal que g(c) g(t) g no es estrictamente creciente en ]a, b[ Encontramos, al menos dos números reales, c y t siendo c>t,delintervalo]a, b[ tal que g(c) no es menor que g(t) 6

7 b) Si x<x 0 entonces f 0 (x 0 ) f(x) f(x 0) Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x, x 0 ],entonces podemos afirmar que c ]x, x 0 [ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Así pues: Hemos encontrado dos números reales c y x 0 ]a, b[ tal que f 0 (x 0 ) siendo x 0 >c.podemos afirmar entonces que la función f 0 no es estrictamente decreciente. Lo cual es absurdo; ya que está en contradición con la hipótesis de que f 0 es estrictamente decreciente en ]a, b[ Como en ambas situaciones llegamos a un absurdo. Entonces lo que hemos supuesto es falso Demostración de Por ser f convexa en ]a, b[ entonces f es convexa x 0 ]a, b[ Por lo tanto sea cual sea x 0 ]a, b[ siempre podremos encontrar un δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que x Eδ (x 0 ) ]a, b[ siempre se verifica que y t (x) >f(x) Es decir que y t (x) f 0 (x 0 )( )+f(x 0 ) >f(x) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } ]a, b[ f 0 (x 0 )( ) >f(x) f(x 0 ) x Eδ (x 0 )]x 0 δ,x 0 + δ[ {x 0 } Posibilidades: a) Si x>x 0 entonces f 0 (x 0 ) > f(x) f(x 0) Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x 0,x],entonces podemos afirmar que c ]x 0,x[ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Por lo tanto: Si x 0 <c<xentonces f 0 (x 0 ) > con c ]x 0,x[ b) Si x<x 0 entonces f 0 (x 0 ) < f(x) f(x 0) 7

8 Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en [x, x 0 ],entonces podemos afirmar que c ]x, x 0 [ ]a, b[ tal que f(x) f(x 0) Por lo tanto: Si x<c<x 0 entonces >f 0 (x 0 ) con c ]x 0,x[ En ambos casos hemos comprobado que: x 0 ]a, b[ siendo c 6 x 0 y c ]a, b[ siempre se verifica que: Si x 0 <c entonces f 0 (x 0 ) >f 0 ) (c) Si c<x 0 entonces >f 0 f (x 0 ) 0 es est. decreciente en ]a, b[ 1.. Condición suficiente de convexidad Teorema Sea f una función continua en [a, b] ytalquef 00 (x 0 ) < 0 siendo x 0 ]a, b[.con estas hipótesis siempre podremos afirmar que la función f es convexa en x 0 DEMOSTRACION Por ser f 00 (x 0 ) < 0 f 0 es est. decreciente en x 0,yporlotantoen virtud del teorema de caracterización de funciones convexas podemos afirmar que f será convexa en x Procedimientos para determinar los intervalos de concavidad y convexidad Estos dos condiciones suficientes de concavidad y convexidad nos indican que para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función, será suficiente con estudiar el signo de f 00 Exercise 1.1 Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de las funciones 8

9 y x x x y x 1 (x +) y x +3 x +1 y ln(1 x ) y x x +1 y x arctan x y x 4 x y x 3 x y x x +1 y x e x y x e x y x3 1 (x +) 1.4 Definición de punto de inflexión Diremos que una función y f(x) tiene en P (x 0,f(x 0 )) un punto de inflexión si en él la función pasa de ser cóncava a convexa o de convexa a cóncava NOTA: Fíjaos que no hemos afirmado todavía nada acerca de la derivabilidad de f en x 0 (así pues, puede ser o no derivable) Clasificación puntos de inflexión Pto inflexi. convexo-cóncavo de tangente no horizontal Pto inflexi. cóncavo-convexo de tangente no horizontal Pto inflexi. convexo-cóncavo de tangente horizontal Pto inflexi. cóncavo-convexo de tangente horizontal Pto inflexi. convexo-cóncavo no derivable Pto inflexi. cóncavo-cconvexo no derivable 1.4. Condición necesaria para la determinación de punto de inflexión Teorema Sea f una función continua en [a, b] Sea x 0 ]a, b[ / f 00 (x 0 ) Sea P(x 0,f(x 0 )) un punto de inflexión f 00 (x 0 )0 DEMOSTRACION Por el método de reducción al absurdo.supongamos que f 00 (x 0 ) 6 0;entonces sólo se pueden presentar las siguientes situaciones.f 00 (x 0 ) > 0 oquef 00 (x 0 ) < 0 Posibilidades: 9

10 1) Si f 00 (x 0 ) > 0 la función será cóncava en x 0 ) Si f 00 (x 0 ) < 0 la función será convexa en x 0 En ambos casos obtenemos una contradicción con la hipotésis de quef tiene en x 0 un pto de inflex. Por lo tanto lo que hemos supuesto es falso. Así pues, en toda función que verifique las hipótesis dadas, siempre se verificará que f 00 (x 0 )0 NOTA: El recíproco de este teorema no es cierto, ya que existen funciones cuya segunda derivada en un punto es nula y sin embargo no es un punto de inflexión. Por ejemplo y x 4 en x 0verifica que f 00 (0) 0 yenp (0, 0) tiene un mínimo local Condiciones suficientes puntos de inflexión A) CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA TEOREMA A1 Sea f continua en [a, b] Sea x 0 ]a, b[ Si h >0 / x ]x 0 h, x 0 + h[ ]a, b[ existe f 00 (x) salvo quizás en x 0 f 00 (x) < 0 x ]x 0 h, x 0 [(convex. a la izq. de x 0 ) f 00 (x) > 0 x ]x 0,x 0 + h[ (cóncav.alader.dex 0 ) P (x 0,f(x 0 )) es un punto de inflexión convexo-cóncavo TEOREMA A Sea f continua en [a, b] Sea x 0 ]a, b[ Si h >0 / x ]x 0 h, x 0 + h[ ]a, b[ existe f 00 (x) salvo quizás en x 0 f 00 (x) > 0 x ]x 0 h, x 0 [(cóncav. a la izq. de x 0 ) f 00 (x) < 0 x ]x 0,x 0 + h[ (convex.alader.dex 0 ) P (x 0,f(x 0 )) es un punto de inflexión cóncavo-convexo COMENTARIO: Estos dos teoremas A1,A nos aseguran que en aquellos puntos de continuidad en los que cambie el signo de la segunda derivada habrá un pto de inflexión siempre que la función sea continua en dicho punto(si la función pasa de ser cóncava a convexa ó de convexa a cóncava) B) CRITERIO DE LA TERCERA DERIVADA TEOREMA B1 Sea f continua en [a, b] Sea x 0 ]a, b[ Si f 00 P (x (x 0 )0 0,f(x 0 )) es un punto de inflexión f 000 (x 0 ) 6 0 Demostración 10

11 Si llamamos F (x) f 00 (x), entoncesf 0 (x) f 000 (x) Partimos de la hipótesis de que f 000 (x 0 ) 6 0; F 0 (x 0 ) 6 0,porlotanto sólo se pueden presentar dos posibilidades ó F 0 (x 0 ) > 0 ó F 0 (x 0 ) < 0 Veamos que ocurriría si F 0 (x 0 ) > 0 (1 a Posibi) Por ser F 0 (x 0 ) > 0 F es estrictamente creciente en x 0,entonces h >0 / ]x 0 h, x 0 + h[ ]a, b[ se verifica que : a) Si x<x 0 f 00 (x)f (x) <F(x 0 )f 00 (x 0 )0(es decir f 00 (x) < 0) la función es convexa a la izquierda de x 0 b) Si x>x 0 f 00 (x)f (x) >F(x 0 )f 00 (x 0 )0(es decir f 00 (x) < 0) la función es cóncava a la derecha de x 0 Por lo tanto en virtud del teorema A1, la función presenta en x 0 un pto de inflexión Razona tú, que ocurriría en la a Posibil. Procedimiento para calcular puntos de inflexión Este teorema B1 nos permite enunciar el siguiente método para determinar los ptos de inflexión de una función 1) Se calcula la primera derivada ) Se calcula la segunda derivada 3) Los valores que anulan la derivada segunda serán los posibles ptos de inflexión. Sea x 0 uno de ellos 4) Calculamos la 3 a derivada y sustituimos dicho punto x 0 en ella Casos a) Si f 000 (x 0 ) 6 0 P (x 0,f(x 0 )) Pto de inflex. c) Si f 000 (x 0 )0, entonces tendremos que recurrir al estudio del signo de la derivada segunda, a la derecha y a la izquierda de dicho punto Exercise 1. Determinar los ptos de inflexión de las funciones siguientes: y x 5 5x 4 y x 3 3x y x 4 x y x 1 (x +) y x +3 x +1 y ln(1 x ) y x x +1 y x 3 x x y x x +1 y x e x y x e x y x3 1 (x +) Nota :El recíproco de estos teoremas A1,A yb1 no es cierto, ya que existenfuncionesquetienenptosdeinflex. en algún pto y sin embargo en él no son derivables 11

12 Ejemplo1: La funcion y 3x + 3 x tiene un punto de inflexión en x y sin embargo no es derivable en él (Compruébalo) x Ejemplo: La funcion y tiene un punto de inflexión en x 0 x y sin embargo no es derivable en él (Mira la gráfica ) Nota: En dicho punto también tenemos un mínimo local y absoluto x 4 1