Series de Fourier y Transformada de Fourier

Transcripción

1 2.5.-Series de Fourier.nb 174 Series de Fourier y Transformada de Fourier Series de Fourier Función Escalón Unidad La función escalón unidad, UnitStep[x] se define igual a la unidad cuando x es mayor que 0, e igual a 0 cuando x es menor que 0. UnitStep[x-1] será igual a uno cuando x sea mayor que uno y cero cuando x sea menor que uno. El valor de la función no se define para el valor de x en el que se produce el salto. Desgraciadamente no existe una definición standard para este valor. Algunos autores lo definen igual a la unidad, otros a cero y otros lo dejan sin definir. Ejemplo Representar la función escalón unidad Plot@UnitStep@xD, 8x, 2, 4<, PlotRange > 8.2, 1.2<D Ejercicios 1- Representar las funciones UnitStep[x], UnitStep[x-1] en el intervalo [-2,4]. 2- La función escalón unidad se suele utilizar para construir una función que coincida con otra dada para valores de la variable independiente mayores que uno determinado y sea nula en el resto del eje real. Definir f(t) = Cos(t) para t>1 y 0 en caso contrario.representarla en el intervalo [-2,7]. - Otra función de gran aplicación que se puede definir a partir de la función escalon unitario es la función pulso rectangular. La función pulso rectangular de duranción T y centrada en el origen se define igual a la unidad cuando -T/2<t<T/2, y cero en el resto del eje real. Definir un pulso rectangular f(t) centrado en el origen y de duración igual a 2. Representarlo en el intervalo [-2,2].Representarlo en el mismo intervalo pero desplazado a t0=1,5.

2 2.5.-Series de Fourier.nb 175 Series de Fourier En los siguientes ejemplos se utilizan los comandos dentro del paquete <<Calculus`FourierTransform` que permiten obtener el desarrollo en serie de Fourier en sus formas trigonométrica y exponencial o compleja, así como un coeficiente determinado de dicha serie. Por defecto, el comando FourierTrigSeries obtiene el desarrollo en serie de Fourier de una función definida en [-1/2,1/2]. Si se desea obtener el desarrollo de una función definida en [-T/2,T/2], siendo T el periodo, se utilizará la opción FourierParametersÆ{-1,1/T}. El comando FourierSeries nos permite obtener la forma exponencial o compleja del desarrollo en serie de Fourier. Identificando las fórmulas utilizadas en clase : a n = ÅÅÅÅÅ 2 Tê2 T Ÿ -Tê2 f HtL * cosh2 npt ê TL t con las que aparecen en la ayuda en el caso general (<<Calculus`FourierTransform`:FourierCosCoefficient,y FourierParameters ( por defecto {a,b} Ø {0,1} ): 2» b» H1-aLê2 1ê2»b» Ÿ -1ê2»b» f HtL cosh2 pbntl t, Para que el resultado de aplicar los comandos FourierCosCoefficient, FourierSinCoefficient y, FourierTrigSeries y FourierSeries, coincida con las expresiones utilizadas en clase haremos {a,b} Ø {-1, 1/T}. Por otra parte hay que señalar que los resultados de los comandos de Mathematica suponen siempre que el periodo en el que se ha definido la función, es siempre un intervalo simétrico respecto del origen. Si esto no fuera así, por ejemplo si el dato es f(t) definida en [0,T] (ej. 4º) habría que hacer : 1º.- una traslación de ejes para tener un intervalo simétrico respecto del origen. 2º.- aplicar los comandos para obtener el desarrollo en serie. º.- deshacer la traslación inicial. Ejemplo 1º Para la señal periódica x(t), hallar su frecuencia fundamental y los coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier en forma compleja: x(t) = 2 + cosh 2 p ÅÅÅÅÅÅÅ tl + 4 senh 5 p ÅÅÅÅÅÅÅ tl Plot@2 + Cos@2 Pi ê td + 4 Sin@5 Pi ê td, 8t, 6, 6<D f@t_d = 2 + Cos@2 Pi ê td + 4 Sin@5 Pi ê td f@t + 6D êêsimplify El periodo es 6 Ø w 0 = 2 p ÅÅÅÅÅÅÅ T = ÅÅÅÅ p Para obtener el desarrollo utilizando el paquete: <<Calculus`FourierTransform`. La forma compleja de la serie de Fourier se obtiene mediante el comando FourierSeries. Por defecto supone que la función que toma como argumento tiene un periodo igual a uno y se da en un intervalo centrado respecto al origen. Cuando el periodo es distinto de 1 se utiliza la opción FourierParameters->{-1,1/T}

3 2.5.-Series de Fourier.nb 176 <<Calculus`FourierTransform` Ejemplo 2º t, 5, FourierParameters 8 1, 1 ê 6<D Hallar el desarrollo en serie de Fourier de la extensión periódica de periodo 1 de f(t) = ê 2 < t < < t < 1 ê 2 Clear@fpD f@t_d = UnitStep@tD UnitStep@t 1 ê 2D; f5@t_d = FourierSeries@f@tD, t,15d faux@t_d = UnitStep@t + D UnitStep@t + 2.5D; Simulando gráficamente la extensión periódica: fp@t_d = faux@td + faux@t 1D + faux@t 2D + faux@t D + faux@t 4D + faux@t 5D + faux@t 6D; Plot@fp@tD, 8t,, <D Plot@8fp@tD, f5@td<, 8t, 2, 2<, PlotStyle 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<D Repetimos el ejercicio sin utilizar el paquete. Para ello se definen los coeficientes en función de n. k j k (t) = n=-k c n e jw n t, c n = ÅÅÅÅÅ 1 Tê2 T Ÿ -Tê2 f HtL e -jw n t t, w n = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 p n T c@n_d = 1ê2 1ê2 f@td Exp@ I 2PintD t êê Simplify c@4d Como vemos la expresión que nos da c n tiene problemas para calcular los coeficientes pares. Calculándolos aparte se ve que son nulos.(la función, desplazada verticalmente 1/2,f(t)-1/2 presenta una inversión de media onda que da lugar a un desarrollo en armónicos impares)

4 2.5.-Series de Fourier.nb 177 = 1ê2 1ê2 t 1 s = c@2 k + 1D Exp@I 2Pi H2 k + 1L td + k= c@2 k + 1D Exp@I 2Pi H2 k + 1L td + c@0d k=1 c@2 k + 1D Exp@I 2Pi H2 k + 1L td k=1 Ejemplo º -1 Definir f(t) = t^2-2 Representar esta función en el intervalo [-2,2]. - Obtener los tres primeros términos del desarrollo en serie de Fourier de f(t). -4 Representar la suma trigonométrica obtenida. Clear@fD f@t_d = t 2 di1 = 8t, 2, 2<, PlotRange > 8.2, 4<D << Calculus`FourierTransform` g@t_d = FourierSeries@f@tD, t,, FourierParameters 8 1, 1 ê 4<D di2 = Plot@g@tD, 8t, 2, 2<D Show@di1, di2d Simulamos la extensión periódica fp(t), y representamos gráficamente en el intervalo [-2,10]como graf1 faux@t_d = HUnitStep@t + 2D UnitStep@t 2DL f@td; fp@t_d = faux@td + faux@t 4D + faux@t 8D; graf1 = Plot@fp@tD, 8t, 2, 10<D

5 2.5.-Series de Fourier.nb 178 Representamos gráficamente g(t), en rojo, en el intervalo [-2,10], llamándole graf2. graf2 = Plot@g@tD, 8t, 2, 10<, PlotStyle RGBColor@1, 0, 0DD Ejemplo 4º Show@graf1, graf2d Repetir el ejercicio anterior con la extensión periódica de la función f(t)=t 2 + t, definida en el intervalo [-1,1] (T=2), obteniendo los 15 priemeros términos (el independiente, 7 en coseno y 7 en seno). 1º.- Definimos la función y calculamos la serie de Fourier, llamándole g(t): Clear@f, fpd; f@t_d = HUnitStep@t + 1D UnitStep@t 1DL Ht^2+ tl; g@t_d = FourierTrigSeries@f@tD, t, 7, FourierParameters 8 1, 1 ê 2<D 2º.- Simulamos la extensión periódica de f(t), llamándole fp(t) y la representamos gráficamente en el intervalo [-1,5], llamando al gráfico, graf1. fp@t_d := f@td + f@t 2D + f@t 4D; graf1 = Plot@fp@tD, 8t, 1, 5<, PlotRange 8.5, 2<D º.- Representamos g(t) gráficamente en el intervalo [-1,5], en color rojo, llamando al gráfico, graf2. graf2 = Plot@g@tD, 8t, 1, 5<, PlotRange 8.5, 2<, PlotStyle RGBColor@1, 0, 0DD 4º.- Mostramos los dos gráficos, graf1 y graf2 juntos. Show@graf1, graf2d 5º.- Obtenemos los coeficientes del tercer coseno y cuarto seno, comprobando que son los calculados anteriormente. FourierCosCoefficient@t^2 + t, t,, FourierParameters 8 1, 1 ê 2<D FourierSinCoefficient@t^2 + t, t, 4, FourierParameters 8 1, 1 ê 2<D Comparando este ejemplo con el anterior, se puede observar, que aunque se calculan más términos de la serie, la aproximación no es tan buena. Esto se debe a la discontinuidad o salto que presenta la función, y en sus proximidades es donde hay mas diferencia.

6 2.5.-Series de Fourier.nb 179 Ejercicios 1- Sea f(t) la función definida en el intervalo [-2,2] a partir de un pulso rectangular centrado en el origen y de duración igual a 2. a) Obtener los seis primeros desarrollos distintos de Fourier de f(t) en la forma de senos y cosenos llamándoles f 1 (t), f 2 (t),..., f 6 (t). b) Introducir las gráficas de estos desarrollos junto con la de la función en una tabla, P, sin mostrar dichos gráficos. Utilizar finalmente los comandos Show, GraphicsArray y Partition para presentar en dos líneas las seis gráficas. c) Representar gráficamente los errores que se cometen al sustituir la función f(t) por las f 1 (t), f 2 (t),..., f 6 (t). 2- Calcular el nº de terminos necesarios en el desarrollo en serie de Fourier del ejercicio 1 para que al sustituir dicha función por el desarrollo el error sea menor que eps=.02, en c=.5.dar como resultado: el nº de términos de la serie, el desarrollo correspondiente S(t) y el valor de S(c).Utilizar el comando For..- Desarrollar en serie de Fourier1-x^2 en [-1,1]. Como esta función no tiene saltos, los desarrollos se ajustan en seguida a la función.(simulamos la extensión periódica gráficamente). Calcular el nº de términos necesarios para que en c=0.75 el error cometido al aproximar la función mediante la serie sea menor que eps=0.02. Imprimir en cada iteración el nº de terminos de la serie, el término de la serie y el error cometido.