Estudio del movimiento: Movimiento circular uniforme

Transcripción

1 Estudio del movimiento: Movimiento circular uniforme La trayectoria de un móvil sabemos que puede tener formas muy diversas. Hasta ahora hemos estudiado el caso más simple de trayectoria, la rectilínea. Ahora vamos a dar un paso más y vamos a estudiar de entre los movimientos cuya trayectoria no es recta, el más sencillo de todos. Sabes a qué movimiento nos referimos? Algunos derechos reservados por robokow Pues sí, nos referimos al movimiento circular. Estamos seguros de que si haces un poco de memoria podrás recordar muchas movimientos en los que la trayectoria es una circunferencia o parte de ella. Desde el movimiento de las manecillas de un reloj, hasta la noria que ves en la fotografía pasando por la rueda de una bicicleta. En todos estos casos hay un punto del objeto que se mueve mantiendo fija su distancia a otro punto. En los ejemplos que te acabamos de comentar ese punto sobre el que se gira es el eje del reloj, de la rueda o de la noria. Actividad Decimos que un objeto se mueve con un movimiento circular si su trayectoria

2 En este tema vamos a estudiar de entre los movimientos circulares, el más sencillo de todos. Se trata del movimiento circular uniforme (en adelante MCU) que se caracteriza por tener una velocidad angular constante. Pero no adelantemos acontecimientos. Pregunta Verdadero-Falso Un movimiento circular es aquel en el que la trayectoria es una curva. Verdadero Falso Un movimiento circular es un tipo particular de movimiento curvilíneo. Verdadero Falso El MCU además de tener una trayectoria en forma de circunferencia, tiene una velocidad constante. Verdadero Falso Hay un caso de pista circular particularmente llamativo en Nardó, localidad situada en el tacón de la bota que forma la península italiana. Se trata de una pista de pruebas para vehículos en la que se han batido récords de velocidad, superándose los 400 km/h. Las imágenes vía satélite que facilita la NASA resultan espectaculares. Fíjate en que la pista se observa con toda nitidez gracias a sus 12,5 km de longitud y a que sus muros exteriores tienen 3 metros de altura. La trayectoria seguida por un móvil que lleva mcu es circular, y mantiene una distancia constante al eje de giro, que es precisamente el radio de la circunferencia que traza al moverse. Fotografía de la NASA de dominio público

3 una vuelta completa si circula a 300 km/h. A pesar de no haber entrado todavía en el mcu, puedes responder esas cuestiones utilizando lo que ya sabes. En primer lugar, como la longitud de la circunferencia es, y sabes que es 12,5 km, resulta que r es de casi 2 km (1989,4 m exactamente). En cuanto al tiempo que necesita para dar una vuelta, puedes hacer una sencilla proporción para determinar que en 150 s da una vuelta completa. Al fin y al cabo, en cuanto a espacio recorrido qué más da la forma de la trayectoria? Por tanto, debes razonar exactamente igual que lo hacías en el movimiento rectilíneo. Por último, cómo se puede localizar al coche sobre la pista en un momento dado?

4 1. Movimientos circulares Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Observa los dós móviles de la animación. Describen el mismo tipo de movimiento? Ambos describen una trayectoria circular pero, qué ocurre con su velocidad? Si te fijas el de la derecha da vueltas siempre al mismo ritmo mientras que el de la izquierda unas veces va más rápido y otras más lento, incluso se para y cambia de sentido. El engranaje de la derecha tiene un MCU mientras que el de la izquierda es un movimiento circular variado.

5 1.1 La posición de los móviles que giran Cómo podemos saber dónde se encuentra en un momento concreto un móvil que lleva movimiento circular? Si sabemos situar un punto en el plano, la tarea es sencilla. Recuerda que el vector de posición se puede expresar en función de sus componentes cartesianas. En este caso, el móvil se mantiene siempre a una distancia r del centro de giro, precisamente el radio de la circunferencia que describe. Por eso en este caso particular de trayectoria circular, es más útil utilizar las coordenadas polares. La posición en coordenadas polares se describe utilizando la distancia del punto al origen de coordenadas y el ángulo que forma dicho vector de posición con la parte positiva del eje x. Fuente propia Ambas descripciones guardan relación. Podemos pasar de las coordenadas "x" e "y" a las coordenadas polares "r" y " " ( se lee teta según la Real Academia de la Lengua) y viceversa. Para ello necesitamos recordar las definiciones de seno y coseno. Tanto el seno como el coseno son razones trigonométricas. De este modo usando las expresiones anteriores podemos determinar las coordenadas x e y conociendo r y : O al revés, conociendo r y podemos determinar x e y: Actividad La unidad de ángulo en el Sistema Internacional es el radián. En la descripción de los movimientos circulares también se suelen emplear otras unidades como el grado sexagesimal o la revolución (vuelta).

6 Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes: 1. rad 2. rad

7 4. rad En una calculadora científica es muy fácil calcular el seno y el coseno de un ángulo. Por ejemplo imagina que queremos calcular el seno y el coseno de 60º. Para calcular el seno basta con escribir 60 y luego pulsar la tecla sin. Del mismo modo, pero pulsando la tecla cos, se calcula el coseno. Y al revés? Si sé que el seno de un ángulo es 0,25, cómo puedo calcular dicho ángulo? Pues basta con escribir 0,25 en tu calculadora y luego pulsar las teclas INV y sin sucesivamente. Supongamos que tenemos rueda de una bicicleta cuyo radio mide 50 cm. Cuáles son las coordenadas cartesianas y polares de los puntos marcados en la fotografía? Estima aproximadamente los ángulos a partir de la fotografía. Algunos derechos reservados por José Antonio Galloso

8 Pregunta Verdadero-Falso Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o no. 180º equivalen a radianes Verdadero Falso Un ángulo de son 270º Verdadero Falso El mismo ángulo tiene como seno 1 y como coseno -1 Verdadero Falso Cuando el seno de un ángulo es cero, el coseno solamente puede ser 1 Verdadero Falso Importante Dado que la distancia al centro de giro se mantiene fija en los movimientos circulares, vamos a utilizar coordenadas polares para describirlo. Daremos la distancia al centro y el ángulo entre el lado positivo del eje x y el vector de posición de nuestro móvil.

9 1.2 La velocidad en los móviles que giran Observa con el siguiente simulador el movimiento de un cuerpo con velocidad angular constante. Modifica el radio de la trayectoria y la velocidad angular para observar distintos movimientos. Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Haciendo pruebas con el simulador anterior hemos tomado nota del ángulo (medido en radianes) en diferentes momentos. Tiempo (s) Ángulo (rad) 0,0 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12 Si observas cómo va cambiando el ángulo te darás cuenta de que lo hace a un ritmo constante. Representando el ángulo frente al tiempo podemos comprobarlo definitivamente.

10 Está claro que en este caso el ritmo de cambio del ángulo es constante y precisamente a eso le debe el nombre el movimiento circular uniforme. Pero, qué magnitud medirá el cambio en el ángulo? La velocidad angular que se mide en radianes por segundo. En el caso de nuestros datos, obtenemos un valor constante de 3,14 rad/s para la velocidad angular cualquiera que sea el intervalo de tiempo que seleccionemos. Dado que en los MCU la valocidad angular es constante, podemos calcular podemos calcular el ángulo recorrido en un cierto tiempo operando en la ecuación anterior: Si empezamos a estudiar el movimiento con el cronómetro a cero segundos y sustituimos t 2 por t, La ecuación de la velocidad angular en un MCU es: que recuerda mucho a la ecuación velocidad de un MRU pero ahora el papel de las posiciones lo juegan los ángulos y la velocidad angular ha sustituido a la velocidad. Más adelante veremos si existe alguna relación entre estas magnitudes angulares y lineales.

11 Es la velocidad constante en un MCU? Ya sabemos que la velocidad de un móvil es una magnitud vectorial y por tanto no basta para describirla con dar el espacio recorrido cada segundo sino que necesitamos indicar la dirección y el sentido con que se mueve. Es decir, la velocidad tiene dos componentes: por un lado su módulo que indica cómo de rápido se mueve el objeto y por otro la dirección y sentido. En un MRU sabemos que no cambia el módulo de la velocidad porque siempre se mueve con el mismo ritmo y además como la trayectoria es recta, la componente vectorial tampoco. Podemos decir que en un MRU la velocidad, tanto en módulo como en dirección y sentido es constante. En un MCU sabemos que no cambia el ritmo con que da vueltas pero al describir una circunferencia, la dirección y el sentido cambian continuamente. Por lo tanto, estrictamente la velocidad no es constante es un MCU y cuando decimos que es uniforme queremos decir que el módulo de la velocidad no varía. AV - Pregunta Verdadero-Falso Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En un MCU, el módulo de la velocidad lineal es constante. Verdadero Falso En un MCU, el vector velocidad varía. Verdadero Falso En un MCU, la velocidad angular es variable. Verdadero Falso La velocidad de giro se puede expresar en unidades diferentes: vueltas por minuto ( rpm, revoluciones por minuto) o por segundo ( rps ), grados por minuto o por segundo, y radianes por segundo ( rad/s ), que es la unidad del Sistema Internacional. Esta magnitud se llama velocidad angular, y se representa por. Se calcula como donde es el ángulo girado en un tiempo t.

12 Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

13 Algunos derechos reservados por kassandrapoised Una lavadora centrifuga a 1200 rpm. Podrías convertir esta velocidad angular a rad/s? Pregunta Verdadero-Falso En las siguientes cuestiones necesitarás lápiz y papel, y utilizar las ecuaciones del mcu. Un punto que describe un mcu parte de la posición 90º con una velocidad angular de 0,1 rps. Tardará 8 s en llegar a ocupar la posición 270º? Verdadero Falso El balón de baloncesto da 90 vueltas en 30 segundos. Su velocidad angular es de rad/s. Verdadero Falso

14 Actividad Las ecuaciones, más sencillas, del movimiento circular uniforme son: En coordenadas cartesianas las ecuaciones del MCU son: o bien esta, expresada en forma de vector: Una moto gira en una pista circular de 5m de radio. Si lo hace a razón de 1 vuelta cada 4 segundos, escribe la expresión de su vector de posición en función del tiempo. Además, calcula dónde estará al cabo de 1, 2, 3 y 4 segundos de comenzar a girar, sabiendo que inicialmente se encuentra en la posición (5,0), justificando el resultado en cada caso. Escribe también la ecuación que nos da el ángulo descrito por la moto en función del tiempo. Piensa ahora en la lavadora que tienes en tu casa. El motor gira muy deprisa para que la ropa pierda el agua, que se escapa por los agujeros que tiene el tambor, quedando la ropa escurrida. Qué diferencia práctica habrá entre una muy moderna, que al centrifugar gira hasta a 1600 rpm, frente a las que solamente alcanzan 900 rpm?

15 1.3 La aceleración en los movimientos circulares Del mismo modo que en su momento definimos la aceleración lineal como el ritmo del cambio de la velocidad, podemos definir una magnitud que mida el cambio en la velocidad angular. Fotografía de autor desconocido Como la velocidad angular se mide en radianes por segundo, uso educativo la no aceleración comercial angular se mide en radianes por segundo cada segundo, o lo que es lo mismo en radianes por segundo al cuadrado. En el siguiente apartado veremos que esta aceleración guarda una relación con la aceleración tangencial. En el caso de un MCU esta aceleración es nula puesto que la velocidad angular se mantiene constante. Del mismo modo que dedujimos la ecuación velocidad-tiempo para los MRUA, ahora podríamos hacer lo propio con la velocidad angular. Basta despejar de la definición de aceleración angular. Si consideramos que en el instante inicial nuestro crónometro estaba puesto a cero, Puedes observar el parecido de esta ecuación con la ecuación velocidad-tiempo de los MRUA. En lugar de velocidades aparecen velocidades angulares y en lugar de la aceleración, la aceleración angular.

16 1.4 Componentes tangencial y normal de la aceleración Hemos indicado anteriormente que la velocidad tiene carácter vectorial. Como tal vector podemos distinguir en ella su módulo y la dirección y el sentido. Cuando la velocidad de un objeto varía con el tiempo puede hacerlo bien porque varíe el módulo, porque varíe la dirección y sentido del movimiento o porque varíen ambos aspectos. Ya sabemos que la magnitud que mide la variación de la velocidad es la aceleración. Es posible definir la aceleración como suma de otras dos: 1. La aceleración tangencial (a t ) que informa del cambio en el módulo de la velocidad. 2. La aceleración normal (a n ) que informa del cambio en la dirección y en el sentido de la velocidad. Componentes intrínsecas de la aceleración. Imagen de dominio público alojada en Wikipedia. En el siguiente cuadro resumimos qué valor tendría cada una de estas dos componentes de la velocidad en los movimientos que hemos estudiado hasta ahora y en el MCU. Tipo de movimiento Aceleración tangencial Aceleración normal Aceleración Reposo MRU MRUA MCU En un MCU, lógicamente la aceleración tangencial es nula porque no varía el ritmo con el que gira el móvil (siempre da las mismas vueltas por segundo). Sin embargo la normal es distinta de cero puesto que la dirección y el sentido cambian constantemente para dibujar la trayectoria circular.

17 La aceleración debida al cambio de dirección del vector velocidad se llama normal o centrípeta, está dirigida hacia el centro de giro y tiene como valor. La aceleración debida al cambio en el módulo del vector velocidad se llama tangencial y está dirigida en el sentido de la velocidad, es decir, tangente a la trayectoria. Pregunta de Selección Múltiple Se está probando un prototipo de carreras en la pista de Nardó. Se mueve con mcu a 250 km/h, por la pista, que tiene un radio de 1989,4 m. Qué afirmaciones son ciertas en relación con su aceleración normal? Es de 31,42 m/s 2 Tiene un valor de 2,42 m/s 2 Es perpendicular a la trayectoria y dirigida hacia el centro Es tangente a la trayectoria Mostrar retroalimentación

18 con el tiempo. Serán nulas las componentes tangencial y vectorial de la aceleración?

19 1.5 Magnitudes lineales y angulares Hay un caso de mcu que tiene un interés especial: se trata de aquellos mecanismos en los que el mcu se transforma en movimiento lineal. Es decir, auitomóviles, tractores, bicicletas, etcétera, en los que el giro de las ruedas apoyadas sobre el suelo hace que el móvil avance a retroceda. Cómo podemos determinar la velocidad lineal del móvil si sabemos la velocidad angular de sus ruedas? Y el espacio recorrido a partir del ángulo girado? Para ello, es necesario establecer la relación existente entre magnitudes lineales y angulares. Vas a comprobar de forma experimental la relación entre ángulo girado y espacio recorrido. Para ello, deberás utilizar un coche o tractor de juguete, que tenga unas ruedas de al menos 2 cm de diámetro. Haz una marca blanca en el lateral de la rueda (usa corrector typex o algo parecido). Apoya la rueda de forma que el punto marcado quede junto al suelo, y haz una marca con lápiz en ese punto de Fotografía de Jester79 bajo licencia GNU apoyo. Mueve el coche de forma que la rueda gire cinco vueltas completas, contando una cada vez que el punto marcado quede junto al suelo, y haz otra marca en el suelo al finalizar el recorrido. Mide la distancia entre las dos marcas, que corresponderá al espacio recorrido en cinco vueltas de rueda. Mide ahora el diámetro de la rueda, con lo que sabrás su radio. Utiliza un flexómetro o una regla. Ahora, calcula el valor de cinco veces la longitud de la circunferencia ( ) y compáralo con el espacio medido sobre el suelo. El resultado debe ser aproximadamente el mismo! Por último, solamente debes tener en cuenta que cuando la rueda da un giro completo, ha descrito un ángulo de radianes, y ha avanzado metros. Es decir, el espacio recorrido es el ángulo descrito en radianes multiplicado por el radio. Una partícula cuando se mueve sobre una circunferencia describe un ángulo pero también recorre un espacio sobre su trayectoria. Existe alguna relación entre ambas magnitudes? Sí y es muy sencilla de obtener. Vayamos a un caso particular. Imagina que el móvil ha dado una vuelta completa. El espacio que habrá recorrido es justo la longitud de la circunferencia, es decir:

20 Como vemos el espacio es el producto del ángulo completo por el radio. Si en vez de haber dado una vuelta completa, hubiera dado media entonces el espacio recorrido sería: De nuevo el producto del ángulo correspondiente a media circunferencia por el radio. En el caso de que se haya batido un ángulo cualquiera, el espacio recorrido será: Esta misma relación se da entre las velocidades y las aceleración tangencial: En el caso de la aceleración normal la relación es: Actividad Las magnitudes lineales s, v y a t se pueden calcular multiplicando las angulares por el radio de giro, con todas las unidades en el Sistema Internacional. A continuación te mostramos un resumen las ecuaciones de los diferentes movimientos que hemos estudiado hasta ahora así como las de los MCU y del movimiento circular uniformemente variado. Podrás observar que son muy similares. Movimiento rectilíneo y uniforme Movimiento circular uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento circular uniformemente acelerado

21 Algunos derechos reservados por swisscan Un tractor se mueve con velocidad constante de 5 m/s en línea recta. 1. Qué tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta del neumático de una de sus ruedas? 2. Si las ruedas traseras tienen un diámetro 1,60 metros, con qué velocidad angular girarán? 3. Y las ruedas delanteras si su diámetro es de 1 metro? 4. Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, cuántas vueltas dan las ruedas delanteras?

22 1.6 Movimiento circular uniforme: periodo y frecuencia Algunos derechos reservados por The Knowles Gallery En el caso de un movimiento circular uniforme, en el que la velocidad angular no cambia, podemos definir dos magnitudes que pueden ayudarnos a describir el movimiento.

23 Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons El período es el tiempo que invierte un objeto que describe un MCU en dar una vuelta completa. Se mide en segundos y se representa por una T. La frecuencia es el número de vueltas por segundo que da un objeto que se mueve siguiendo un MCU. Se mide en ciclos por segundo o Hertzios y se representa por la letra f. Por la forma es que están definidas, período y frecuencia son una la inversa de la otra: La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia y del periodo. Como el período es el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta, la velocidad angular de ese objeto será: Usando la relación entre frecuencia y periodo también podemos escribir que:

24 Actividad La frecuencia y el periodo son dos magnitudes inversas, relacionadas como f=1/t ó T=1/f. AV - Pregunta de Elección Múltiple Determina con el simulador la velocidad angular si el periodo del movimiento es 3s y señala la respuesta correcta: 2.09 rad/s 0.69 rad/s 1 rad/s La posición de este móvil quedará perfectamente descrita si damos la distancia al eje de giro (r) y el ángulo que forma el vector de posición y eje x (su parte positiva concretamente). Este ángulo varía con el tiempo según la ecuación: En este caso particular de movimiento circular, no cambia el módulo de la velocidad, sólo lo hace su dirección y sentido. Por eso la aceleración tangencial es cero pero la normal no.

25 Algunos derechos reservados por Johan J.Ingles-Le Nobel Sabiendo que la distancia entre la Tierra y Luna es de Km y que tarda en dar una vuelta alrededor de la Tierra 27 días 7 horas y 43 minutos, calcula: 1. El período y la frecuencia de giro. 2. La velocidad angular. 3. La velocidad lineal. 4. La aceleración angular y normal. 5. El ángulo rotado durante un día. Nota: supón que el movimiento de la Luna es un MCU. Objetivos Satélites geoestacionarios Los satélites que se envían al espacio tienen funciones de toma de datos y fotografías con fines muy diversos, desde meteorológicos hasta militares, y también como transmisores de señales en telecomunicaciones.

26 distancia fija, manteniendo un movimiento circular uniforme. Algunos de ellos siempre se encuentran situados sobre el mismo punto de la Tierra, y se llaman geoestacionarios, mientras que otros pasan varias veces al día sobre el mismo sitio. El más conocido de los satélies geoestacionarios es el Meteosat, que orbita a km situado sobre el cruce del meridiano 0 Imagen de autor desconocido bajo licencia de Greenwich, que atraviesa las de uso educativo no comercial Pirineos, y la línea ecuatorial de la Tierra. Desde él se toman imágenes cada media hora, en las que se ve muy bien España, y son la fotografías que podemos ver en las predicciones del tiempo. Aunque su velocidad angular es muy pequeña (1 vuelta al día, que son 7, rad/s), se mueve realmente muy deprisa, ya que su radio de giro es de km (6400 km del radio de la Tierra más km de altura de giro sobre al Tierra), con lo que su velocidad es de 3080,6 m/s, que equivalen a km/h! Son suficientes tres satélites geoestacionarios, colocados formando un ángulo de 120 grados cada uno con respecto a los otros dos, para cubrir todo el globo y asegurar un sistema de comunicaciones rnundial. Dibuja un triángulo equilátero y una circunferencia centrada dentro de él, que representa a la Tierra, de forma que en los vértices están los tres satélites de comunicaciones. Si un satélite recibe información que quiere enviar a las antípodas, no puede trasnsmitirla directamente, ya que no "ve" en línea recta el punto de recepción. Por esa razón la pasa previamente a uno de los otros dos satélites, que es el que envía la señal a tierra. No tienes mas que hacer el dibujo para comprobarlo. Pregunta de Selección Múltiple Una lavadora centrifuga a 900 rpm en la última fase de su programa de lavado. Indica si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes: f=15 Hz

27 T=0,1 s Mostrar retroalimentación

28 1.7 La bicicleta En las bicicletas se ve muy bien cómo el movimento circular de las ruedas se transforma en desplazamiento lineal de la máquina. El ciclista pedalea y el movimiento circular de los pedales hace girar el plato, transmitiéndose el giro al piñón mediante una cadena, con lo que se consigue que gire la rueda trasera. Tanto el plato como el piñón son dos ruedas dentadas, de forma que según cuál sea la relación de dientes entre ambas se modifica la Fuente propia relación de vueltas giradas por las ruedas por cada giro completo de los pedales. Habitualmente hay más de un plato y de un piñón: con el cambio de marchas se pasa de uno a otro. Observa en la simulación cómo al pulsar sobre el pedal y, sin soltarlo, hacer girar los pedales una vuelta, la rueda trasera de la bicicleta da tres vueltas (es decir, la relación es de 3 a 1), con lo que con un giro completo de pedales -dos pedaladas, una con cada pierna- se avanza el equivalente a tres giros de las ruedas. Esa relación depende del número de dientes del plato y del piñón unidos por la cadena. En el caso de la simulación que acabas de ver, el plato tiene el triple de dientes que el piñón. Reflexiona! Además, hay que tener en cuenta que cuanto mayor es el tamaño de las ruedas, la bicicleta avanza más por cada giro que realizan cuando el ciclista pedalea. Flash de S.Wilkinson bajo licencia de uso libre educativo no comercial

29 2. Movimientos periódicos El mcu es un caso particular de movimiento periódico, que se caracterizan porque los móviles ocupan la misma posición en intervalos de tiempo iguales. Animación de autor desconocido Fíjate en las aspas de los molinos de viento. Cuando giran con mcu, al cabo de un tiempo determinado vuelven a pasar por la misma posición: se trata de un movimiento periódico. Ese tiempo es menor cuanto más deprisa giren. Fotografía de Lourdes Cardenal bajo licencia GNU movimiento armónico simple. Lo mismo sucede con la bola que cuelga del muelle y oscila de forma periódica. Su movimiento es muy característico, y recibe el nombre de Importante Una magnitud fundamental para describir un movimiento periódico es su periodo T o tiempo que tarda en repetirse el movimiento.

30 Indica si los siguientes movimientos son periódicos: La Luna alrededor de la Tierra Una moto GP compitiendo en un circuito del campeonato del mundo El péndulo de un reloj de pared Mostrar retroalimentación Indica al menos otros dos movimientos periódicos. Para ello, utiliza cualquier buscador, realizando la pregunta adecuada en google, yahoo, altavista,...