MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA. Número reales Operaciones, valor absoluto. Números irracionales. Los números reales. La recta real. Intervalos y semirrectas. Valor absoluto de un número real. Radicales. Propiedades. Epresión decimal aproimada. Errores. Notación cientíica. Logaritmos. Propiedades.. Aritmética Mercantil Aumentos y disminuciones porcentuales. Cálculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad inal. Intereses bancarios. Qué es la tasa anual equivalente (T.A.E.)? Amortización de préstamos. Progresiones geométricas. Cálculo de anualidades o mensualidades para amortizar deudas.. Polinomios. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Operaciones con polinomios. Raíz de un polinomio. Cálculo del valor numérico de un polinomio. División de un polinomio por -a. Regla de Ruini. Teorema del resto. Factorización de un polinomio. Ecuación de primer grado. Ecuación de segundo grado. Problemas de enunciado. Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución, interpretación gráica. Sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Resolución, interpretación gráica. FUNCIONES. Funciones elementales Concepto de unción. Dominio de deinición de una unción. Funciones lineal y cuadrática. Valor absoluto de una unción. Composición de unciones. Función inversa o recíproca de otra. Algunas transormaciones de unciones. Funciones de proporcionalidad inversa. Funciones potenciales. Interpolación lineal y cuadrática. 5. Funciones Eponenciales, logarítmicas trigonométricas Logaritmos, deinición, propiedades, ecuaciones eponenciales y logarítmicas. Funciones eponencial y logarítmica. Propiedades y Graicas. Las unciones seno, coseno y tangente. Propiedades y Graicas. Funciones periódicas sencillas. Funciones deinidas "a trozos". 6. Limites. Continuidad Límite de una unción en un punto. Cálculo de límites. Comportamiento de una unción cuando. Cálculo de límites. Ramas ininitas. Asíntotas. Ramas ininitas en las unciones eponenciales y logarítmicas. Discontinuidades. Continuidad. 7. Derivadas. Aplicaciones Tasa de variación de una unción en un intervalo. Tasa de variación de una unción en un punto. Derivada. Derivada de las unciones elementales. Reglas de derivación. Aplicaciones de a unción derivada. Aproimación lineal de una unción. Dierencial. Determinación de la variación de una unción por el signo de su derivada. Máimos y mínimos. Determinación de la concavidad de una unción por el signo de la segunda

2 derivada. Puntos de inleión. Representación de polinomios y racciones racionales conocidos sus puntos singulares. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 8. Estadística Gráicos estadísticos. Barras e histogramas. Tablas de recuencias. Parámetros estadísticos. Parámetros de centralización y dispersión: Media, moda, recorrido, percentiles, varianza, y desviación típica para datos aislados y agrupados. Desigualdad de Chebyshev: P ( k Xk) / k. Coeiciente de variación. Medidas de posición en distribuciones dada por intervalos. Estadística descriptiva. Gráicos. Interpretación gráica de un histograma: la distribución uniorme a trozos. Percentiles. Polígono de recuencias acumuladas. Diagrama de caja y bigotes. 9. Variables bidimensionales Tablas de doble entrada. Variables bidimensionales, variables marginales. Regresión lineal: La dependencia lineal entre las variables marginales. Recta de regresión: hay dos rectas de regresión. El método de los mínimos cuadrados. Ajuste de una recta a una nube de puntos, grado de ajuste. Correlación. Medida de la correlación. Interpretación de enómenos sociales y económicos en los que intervengan dos variables. 0. Cálculo de probabilidades Principio undamental del recuento. Diagrama de árbol. Variaciones con y sin repetición. Permutaciones sin repetición. Factorial de un número. Números combinatorios. El binomio de Newton. Eperimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos aleatorios. Operaciones. Ley de Laplace. Probabilidad del suceso contrario, de la unión de sucesos. Eperimentos compuestos. Sucesos dependientes e independientes. Probabilidad condicionada. Probabilidad total. Distribuciones de probabilidad. Variable discreta Distribuciones estadísticas. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. El modelo de Bernuilli. Función de probabilidad de la variable binomial. La unción de distribución de la variable binomial. Ajuste de un conjunto de datos a una binomial.. Distribuciones de probabilidad. Variable Continua Función de densidad de una variable continua. Distribución uniorme a trozos. La campana de Gauss y la variable normal. La distribución normal estándar. Tipiicación de una variable. Manejo de la tabla de la unción de distribución de la Normal típica para el cálculo de probabilidades. Teorema de Moivre: Aproimación de la distribución binomial por la normal (npq>5). Ajuste de un conjunto de datos a una normal -Recta de Henry-

3 CONOCIMIENTOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I CONTENIDOS DESTREZAS Aritmética y Álgebra Números reales, Operaciones con potencias y radicales, notación cientíica Aritmética mercantil: interés simple y compuesto Ecuación de primero y segundo grado. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado. Se requiere un manejo con soltura de estos conceptos. Intereses, TAE, amortización de préstamos Interpretación geométrica. Cálculo de las soluciones. Aplicación a la resolución de problemas de enunciado. Planteo de problemas cuya solución puede ser una ecuación o un sistema donde intervienen ecuaciones de primer y segundo grado. Inecuaciones con una y dos incógnitas Funciones Deinición de unción. Dominio. Composición de unciones. Límites de unciones. Cálculo de límites. Interpolación Funciones eponencial y logarítmica. Gráica de la unción: b y a ( a, b0, b 0) El logaritmo es la operación inversa de y la eponencial. a ó y log Resolver ecuaciones eponenciales y logarítmicas. a El alumno debe conocer las gráicas de las unciones elementales y las unciones deinidas a trozos a partir de estas. Idea intuitiva de la noción de límite. Estudio gráico de la continuidad. Asíntotas de una unción. Manejar las propiedades de las potencias. El logaritmo es sinónimo de eponente. Manejo de las propiedades: log( y) log( ) log( y) log( / y) log( ) log( y) n log( ) n log( )

4 Cálculo dierencial Derivada de una unción en un punto. Aplicaciones. Derivación de sumas, productos, cocientes, potencias de unciones elementales, incluyendo la regla de la cadena: Gráicas de unciones Pendiente de la recta tangente. Ecuación de la recta tangente. dz dz dy d dy d Funciones polinómicas y elementales Estadística y Probabilidad Calcular los estadístico undamentales en variables unidimensionales y bidimensionales. Representación gráica de los datos estadísticos. Frecuencias absolutas y relativas. Media, mediana, percentiles, varianza, desviación típica, coeiciente de variación. Covarianza, coeiciente de correlación lineal. Cálculo de la recta de regresión, estimaciones. Ajustar una recta a una nube de puntos. Uso de las rutinas estadísticas de la calculadora, para calcular los estadísticos de variable bidimensional, y la recta de regresión. Sucesos Aleatorios. Probabilidad Distribuciones de probabilidad de variable discreta. Parámetros. Probabilidad condicionada

5 Modelo de probabilidad de Laplace. Calcular probabilidades de ocurrencia de sucesos en poblaciones binomiales Manejo del modelo de Bernouilli para la distribución Binomial, cálculo de probabilidades. La variable z~ N(0,). Tipiicación de una variable normal. Manejo de tablas para el cálculo de las probabilidades La Distribución normal

6 Aritmética y álgebra. Ejercicio nº.- Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales: 8,5 9 6, Naturales: 6 Enteros: 9; 6 7 Racionales: 8,5; 9; 6; ;,555 6 Reales: Todos Ejercicio nº.- Halla el valor de la siguiente epresión, utilizando la deinición de logaritmo: 5 log 6 log 8 log 5 5 log6 log 8 log5 log log log Ejercicio nº.- Calcula y simpliica al máimo: 96 a) 7 8 b) 75 8 c) a) b)

7 6 c) Ejercicio nº.- Una máquina, trabajando 8 horas diarias, tarda días en abricar piezas. Calcula cuánto tardaría en abricar piezas si trabajara 0 horas diarias : 000 piezas diarias que abrica trabajando 8 horas al día. En un hora abrica 000 : 8 50 piezas. En diez horas abrica piezas. En abricar tardará, si trabajara 0 horas diarias, : 500 días. Ejercicio nº 5.- El precio de un piso subió un 5 en el año 998 y bajó un 0 en el 999. Si su precio en el 000 es de euros, cuál era su precio hace dos años? Di cuál es el índice de variación y eplica su signiicado. Índice de variación:,5 0,80 0, Precio hace dos años: 565, euros 0,9 El índice de variación, 0,9, representa una disminución del 8 en el precio del piso. Ejercicio nº 6.- Halla en cuánto se transorma un capital de euros depositado durante 6 meses al 9 anual, si los períodos de capitalización son mensuales. 9 9% anualcorresponde a 0,75% mensual. Al cabo de seis meses se habrá transormado en: 5 000, ,6 euros Ejercicio nº 7.- Factoriza el polinomio: 9 9

8 Sacamos actor común: Ejercicio nº 8.- Eectúa estas operaciones y simpliica: Ejercicio nº 9.- Halla las soluciones de las ecuaciones: 6 a) 6 5 b) a)

9 7 7 5 b) Hay dos soluciones: ; Ejercicio nº 0.- Resuelve estos sistemas: y a) 0 y 0 b) 5y 0 y y y a) 0 y 0 5 y y 0 y 0 y 0 y 5 y 5 y y La solución es: ; y b) 5y 0 5y 0 5y 0 y y y y y y

10 Despejamos y de la primera ecuación: y ; y sustituimos en la segunda: Calculamos el valor de y sustituyendo en y : 5 5 Si 5 y 5 5 Si 5 y 5 Las soluciones son: 5; y 5; y Ejercicio nº.- La edad de un padre hace dos años era el triple de la edad de su hijo. Dentro de once años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. Cuál es la edad actual de cada uno? Llamamos a la edad actual del padre e y a la edad actual del hijo. Así: Hace dos años, la edad del padre era el triple de la edad del hijo: y Dentro de once años, el padre tendrá el doble de edad que el hijo: y Resolvemos el sistema de ecuaciones: y y 6 y y y y y y y y y 5 y 5 El padre tiene años y el hijo, 5 años. 5

11 Ejercicio nº.- Resuelve e interpreta gráicamente esta inecuación: 5 Resolvemos la inecuación: / Soluciones:, La interpretación gráica es la siguiente: para valores de menores que, la recta y, va por encima de la recta y 5; es decir, 5: Ejercicio nº.- Para trabajar en el campo, se contratan dos cuadrilla de segadoras. Una de ellas corta un campo de trigo en horas. Si trabajaran juntas tardarían horas y minutos. Calcula cuánto tardaría la otra cuadrilla en cortar el mismo campo. Si la primera cuadrilla tarda horas en cortar el campo en hora corta del campo Ambas cuadrillas tardarían en cortar el campo horas y minutos: hora En hora cortarían: 5 : del campo 5 Por tanto, siendo la parte del campo que cortaría la segunda cuadrilla en hora, se tiene que: La segunda cuadrilla cortaría en hora, 6 del campo; luego para cortar todo el campo tardaría 6 horas. 6

12 Ejercicio nº.- De los números que se dan a continuación, di cuáles son naturales, enteros, racionales o reales: ,5 5 Naturales: 9; 5 Enteros: 9; 5; 5 Racionales: 9; 6 ; 5; 5; ; 8,5 5 Reales: Todos Ejercicio nº 5.- Halla el valor de en cada caso, utilizando la deinición de logaritmo: a) log b) log a) log 5 b) log 7 Ejercicio nº 6.- Opera y simpliica al máimo las epresiones: a) b) 8 c) a) b) c)

13 Ejercicio nº 7.- Un grio tarda 6 minutos en llenar un depósito y otro lo llena en minutos. Calcula el tiempo que tardaría en llenarse el depósito si estuvieran abiertos los dos grios a la vez. Si el primer grio tarda 6 minutosen llenar el depósito,en un minutollenará Si el segundogrio tarda minutosen llenar el depósito,en un minutollenará Entre los dos juntos, en un minuto llenarán: 6 Si enunminutollenan de depósito. de depósitoentre los dos,tardarán enllenarlo minutos. 6 de depósito. de depósito. Ejercicio nº 8.- Durante un curso escolar el número de alumnos matriculados en un colegio ue de 500. El curso siguiente, este número se redujo en un 5 y, el siguiente, aumentó un. a) Qué variación total de alumnos ha habido en esos años? b) Cuál es el número de alumnos matriculados que había después de las dos variaciones? a) Una reducción del 5 tiene como índice de variación 0, Un aumento del tiene como índice de variación,. El índice de variación total es: 0,95,,06 que corresponde a un aumento del 6,. b) El número inal de alumnos será: 500,06 5 Ejercicio nº 9.- Averigua cuál es el capital que colocamos al 6 anual durante 5 años, sabiendo que al inal teníamos 676,5 euros. 8

14 9 Llamamos C al capital inicial. Al cabo de los 5 años se transormó en: C, ,5 euros Por tanto: euros 000,06 676,5 5 C Ejercicio nº 0.- Descompón en actores el siguiente polinomio: 5 Sacamos actor común: 5 5 Buscamos las raíces de 5 resolviendo la ecuación: Por tanto: 5 5 Ejercicio nº.- Calcula: Ejercicio nº.- Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes:

15 a) b) 5 a) Cambio: z z z 0z z z 6 z z z Hay cuatro soluciones:,,, b) Comprobación: 9 Es válida No es válida Hay una solución: Ejercicio nº.- Resuelve los siguientes sistemas: y a) 5 y 8 b) y y 6 0

16 y 5 y 0 a) 5 y y y 8 6 y 8 Despejamos de la segunda ecuación: y Sustituimos en la primera ecuación: y 9 5 La solución es: ; y 5 b) y y y 6 6y 6 y 6y Despejamos en la.ª ecuación: 6y Sustituimos en la primera: 6y y 9 8y y 9 8y y 9 8y y 9 8y y y y y 8 0 y 7y y 6 Sustituimos en la ecuación 6y : 6 Si y 0 Si y 7 Comprobamos las soluciones obtenidas en la primera ecuación, y : 0, y 0 Válida. 7, y Válida. Las soluciones son: 0, y ; 7, y Ejercicio nº.-

17 La suma de dos números es 0 y la de sus inversos,. Hállalos. 5, y son los números buscados. y 0 y 0 y y y 5 Los números son 5 y 5. Ejercicio nº 5.- Resuelve e interpreta gráicamente: 5 Resolvemos la inecuación: 5 8 Soluciones: /, La interpretación gráica es la siguiente: para valores de menores que, la recta y queda por debajo de la recta y 5; es decir, 5: Ejercicio nº 6.-

18 Racionaliza y opera, simpliicando al máimo, la siguiente epresión: 7 7 Ejercicio nº 7.- Escribe cada uno de los siguientes números donde corresponda en la tabla: ,7 8 NATURALES ENTEROS RACIONALES REALES NATURALES 7; 5 ENTEROS 7; RACIONALES 7; REALES 7; 7; 5 7; ; 5; ; 8 5,7 8 7; 7; ; 5; ; 5,7 Ejercicio nº 8.- Calcula, utilizando la deinición de logaritmo: log 7 log log

19 5 5 log7 log log log77 log log 9 Ejercicio nº 9.- Halla y simpliica: a) 5 80 b) 6 c) 8 a) b) c) 7 Ejercicio nº 0.- Se mezclan 0 kg de arroz de 0,75 euros/kg con 0 kg de arroz de 0,8 euros/kg. A cuánto sale cada kilogramo de la mezcla? En total hay kg de arroz. El total cuesta 0 0,75 0 0,8,5 6 8,5 euros. Cada kilogramo de la mezcla cuesta 8,5 : 50 0,77 euros. Ejercicio nº.- El número de habitantes de una cierta población aumentó hace tres años en un. El año siguiente, el aumento ue del ; y, el siguiente, del. a) Cuál ha sido el porcentaje total de aumento? b) Si inicialmente eran habitantes, cuántos había después de los tres años de aumento?

20 a) El índice de variación para un aumento del es de,0. El índice de variación para un aumento del es de,0. El índice de variación para un aumento del es de,0. El índice de variación total es:,0,0,0,096 que corresponde a un 9,6 de aumento. b) Después de los tres años habrá: 6 000, , habitantes Ejercicio nº.- Halla el tanto por ciento anual de interés al que debe colocarse un capital de 000 euros para que en dos años se transorme en 07,5 euros. Si se coloca al r anual durante dos años, se transorma en: r ,5 euros. 00 Despejamos r : r 07, r,05 00 r,05 00 r r,05 0,05 r 5% Ejercicio nº.- Factoriza: 6 Sacamos actor común: 6 6 5

21 Ejercicio nº.- Opera y simpliica: : : Ejercicio nº 9.- Resuelve: a) b) 6 6 a) b)

22 Hay dos soluciones: ; Ejercicio nº 5.- Halla la solución de estos sistemas: y a) y y b) y 5 y y y 8 a) y 8 y y y y y y y 8 y 8 y y y La solución es: ; y b) y 5 y 5 y 5 y 6 y 6 6 y 7 Despejamos y de la.ª ecuación: y 7 6 Sustituimos en la primera: (7 6) Calculamos en cada caso el valor de y, sustituyendo en y

23 5 5 Si y Si y Las soluciones son: 5, y 6, y 5 Ejercicio nº 6.- Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 0 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 5 euros, altan 0 euros. Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar? Llamamos al número de amigos e y al precio total de la cena. Si cada uno pone 0 euros, sobran 5 euros, es decir: 0 5 y Si cada uno pone 5 euros, altan 0 euros, es decir: 5 0 y Resolvemos el sistema de ecuaciones: 0 5 y y y Son 5 amigos y el precio total es de 95 euros. Ejercicio nº 7.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

24 Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: y /, Ejercicio nº 8.- Comprueba que: log 000 a log 0 a log a log 000a log 0a log 0 a log 0a log 0 a log 0a log a log a log a log a log a log a log a log 0 log a log 0 log a log a log a log a log a Ejercicio nº9.- Clasiica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales: 8 8,5 Naturales: ; 8 8 Enteros: ; ; 8; 8 Reales: Todos Racionales: ; ; ; 8; ;,5 Ejercicio nº 0.- Teniendo en cuenta la deinición de logaritmo, halla el valor de en cada caso: a) log 5 b) log 7 9

25 5 a) log 5 b) log 7 7 Ejercicio nº.- Eectúa y simpliica: a) b) 80 c) a) b) c) Ejercicio nº.- Una persona se gasta la novena parte del dinero que lleva en la rutería, la cuarta parte del resto lo gasta en la carnicería, y la mitad de lo que le queda después de las dos compras lo gasta en la pescadería. Al inal, le sobran 0 euros. Cuánto dinero llevaba? Si gasta 9 En la carnicería gasta enla rutería, le quedanotros de 8, 9 del total es decir: 8 9 del total. Despuésde ir a la rutería y a lapescaderíaha gastado En la pescadería gasta la mitad de lo que le queda: de y le quedan 9. 0

26 Por tanto, al inal de las compras, le quedan: Así, el total que llevaba serán: 0 90 euros del total, que son0 euros. Ejercicio nº.- El precio de un ordenador que costaba 00 euros ue rebajado en un 8. Posteriormente, se le aplicó otra rebaja del 0. a) Qué porcentaje de rebaja supone en total? b) Cuánto costaba después de las dos rebajas? a) El índice de variación para una rebaja del 8 es de 0, Índice de variación, 0,9. El índice de variación total es: 0,9 0,9 0,88, que corresponde a una rebaja del 7,. b) El precio inal será: 00 0,88 99,6 euros Ejercicio nº 6.- Calcula en cuánto se transorman 500 euros depositados durante dos años al 6 anual si los períodos de capitalización son trimestrales. 6% anual 6,5% trimestral En dos años hay 8 trimestres. Al cabo de los 8 trimestres tendríamos: 500,05 8 9,7 euros Ejercicio nº.- Factoriza el siguiente polinomio:

27 0 0 0 Ejercicio nº 5- Calcula: Ejercicio nº 6.- Resuelve estas ecuaciones: a) 6 b) a) Cambio: z z z z z z z

28 z z Hay cuatro soluciones: 6,,, 6 b) Hay dos soluciones: ; Ejercicio nº 7.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) y y y y b) y a) y y y y 6y y y y Sumando las dos ecuaciones queda: 6y y 8y 8 y Tomando la segunda ecuación, hallamos : y y Por tanto, la solución es: ; y

29 y b) y Despejamos en la segunda ecuación: y Sustituimos en la primera ecuación: ( ) ( 6 9 ) Si y 0 Si y Las soluciones son: 0, y ;, y 7 7 Ejercicio nº 8.- Se mezcla cierta cantidad de caé de, /kg con otra cantidad de caé de,8 /kg, obteniendo 60 kg al precio de, euros/kg. Cuántos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla? Llamamos a la cantidad de caé utilizado del primer tipo e y a la cantidad del segundo tipo. Así: y 60 (pues hemos obtenido 60 kg de mezcla),,8y 60, (este es el precio total de la mezcla) Resolvemos el sistema de ecuaciones: y 60 y 60,,8 y 8,,8 y 8,,8 60 8, 08,8 8,, ,6 0 y Se han utilizado 0 kg del primer tipo y 0 kg del segundo tipo. Ejercicio nº 9.- Resuelve e interpreta gráicamente la siguiente inecuación: 0

30 0 La parábola y corta al eje en y en. En el intervalo [, ] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [, ]: Ejercicio nº 50.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 b) 7 0 a) 0 0 Elevamos al cuadrado: Comprobamos la solución: La solución es 5. b 7 0 Aplicamos la regla de Ruini: 5

31 Las soluciones son:,,,, Ejercicio nº 5.- Di cuáles de los siguientes números son naturales, cuáles son enteros, cuáles son racionales y cuáles son reales: , 5 6 Naturales: ; ; 6 6 Enteros: ; ; 6; Racionales: ; ; ; 6; 95;, 5 6 Reales: Todos Ejercicio nº 5.- Calcula, utilizando la deinición de logaritmo: a) log 5 5 b) log c) log 000 a) log5 5 log5 5 b) log log0 000 c) log log 6

32 Ejercicio nº 5.- Simpliica al máimo las siguientes epresiones: 8 a) 75 b) 08 c) a) b) c) Ejercicio nº 5.- Tres socios invierten 0, 0 y 60 miles de euros, respectivamente, en un negocio. Al cabo de un tiempo obtienen euros de beneicio. Cuánto le corresponde a cada uno? Entre los tres socios invierten miles de euros. Por cada mil euros invertidos corresponden : ,5 euros de beneicio. 0, euros le corresponden al primero. 0, euros le corresponden al segundo. 0, euros le corresponden al tercero. Ejercicio nº 55.- Un artículo que costaba 00 euros surió un aumento del 5 en su precio. Después tuvo un segundo aumento del 5 y luego se rebajó un 0. a) Calcula el índice de variación total. b) Cuál es el precio inal? a) Índice de variación,, Índice de variación,, Índice de variación, 0,8. El índice de variación total será: 7

33 ,5,5 0,8,5 (que corresponde a un 5 de aumento en el precio). b) El precio inal es: 00,5 5 euros Ejercicio nº 56.- Hemos colocado un capital de euros al 5 anual, y al cabo de un tiempo se ha transormado en 8 95,8 euros. Calcula los años transcurridos, sabiendo que los períodos de capitalización han sido anuales. Al cabo de n años tendremos: 6 500,05 n 8 95,8 euros. Despejamos n:,05 n 895, n,05,76 n 5 años Ejercicio nº 57.- Descompón en actores el siguiente polinomio: Sacamos actor común: Ejercicio nº 58.- Opera y simpliica: 8

34 6 Ejercicio nº 59.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 8 b) a) b) Comprobación: 9

35 Es válida 9 9 No es válida Hay una solución: 0 Ejercicio nº 60.- Averigua la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: y a) y 5 b) y y y y a) y y y y 0 y y y y y 0 y y 0 y y y La solución es: ; y 5 b) y y Despejamos de la.ª ecuación: y ; y sustituimos en la primera: 5 5 y y y y y y y y y y y y 5y y 6y y y 5y y Calculamos, en cada caso, el valor de sustituyendo en la ecuación y : 0

36 Si y 5 Si y 6 6 Las soluciones son: ; y 5 ; y 6 Ejercicio nº 6.- Hemos comprado un pantalón y una camiseta por, euros. El pantalón tenía un 5 de descuento y la camiseta estaba rebajada un 0. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 5 euros. Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta? Llamamos al precio del pantalón sin el descuento e y al precio de la camiseta sin descuento. Así: y 5 y 5 0,85 0,9y, 0,85 0,9y, 0,85 0,9 5, 0,85 0,9, 5,9 0,05,8 6 y El pantalón costaba 6 euros y la camiseta 5 euros, sin los descuentos. Por tanto, el precio del pantalón (con descuento) ha sido de: 6 0,85 0,6 euros y el de la camiseta (con descuento) ha sido de: 5 0,9,5 euros Ejercicio nº 6.- Resuelve el sistema de inecuaciones:

37 Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: y /, Ejercicio nº 6.- Un grio tarda en llenar un estanque dos horas más que otro grio. Si se abren los dos grios a la vez, el estanque se llena en, horas. Cuánto tiempo tardará el primer grio en llenar el estanque? Y el segundo grio solo? Llamamos a las horas que tarda uno de los grios en llenar el estanque. Como el otro grio tarda dos horas más, tardará. Es decir: er grio grio horas horas Entre los dos llenan, en una hora: delestanque en una hora llena en una hora llena delestanque delestanque Como los dos grios juntos tardan, horas en llenar el estanque, en una hora llenarán, del estanque. Por tanto:, Resolvemos la ecuación:,,,,8, 0,8,8,8 7,8 9,,8 7,0,8 5,, (no vale) Uno de los grios tardaría horas en llenarlo y el otro grio tardaría 6 horas.

38 Ejercicio nº 6.- Clasiica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales: 8 8,5 Naturales: ; 8 8 Enteros: ; ; 8; 8 Reales: Todos Racionales: ; ; ; 8; ;,5 Ejercicio nº 65.- Halla el valor de la siguiente epresión, utilizando la deinición de logaritmo: 5 log 6 log 8 log 5 5 log6 log 8 log5 log log log Ejercicio nº 66.- Halla y simpliica: a) 5 80 b) 6 c) 8 a) b) c) 7

39 Ejercicio nº 67.- Un grio tarda 6 minutos en llenar un depósito y otro lo llena en minutos. Calcula el tiempo que tardaría en llenarse el depósito si estuvieran abiertos los dos grios a la vez. Si el primer grio tarda 6 minutosen llenar el depósito,en un minutollenará Si el segundogrio tarda minutosen llenar el depósito,en un minutollenará Entre los dos juntos, en un minuto llenarán: 6 Si enunminutollenan de depósito. de depósitoentre los dos,tardarán enllenarlo minutos. 6 de depósito. de depósito. Ejercicio nº 68.- El precio de un ordenador que costaba 00 euros ue rebajado en un 8. Posteriormente, se le aplicó otra rebaja del 0. a) Qué porcentaje de rebaja supone en total? b) Cuánto costaba después de las dos rebajas? a) El índice de variación para una rebaja del 8 es de 0, Índice de variación, 0,9. El índice de variación total es: 0,9 0,9 0,88, que corresponde a una rebaja del 7,. b) El precio inal será: 00 0,88 99,6 euros Ejercicio nº 69.- Calcula en cuánto se transorman 500 euros depositados durante dos años al 6 anual si los períodos de capitalización son trimestrales. 6% anual 6,5% trimestral En dos años hay 8 trimestres.

40 Al cabo de los 8 trimestres tendríamos: 500,05 8 9,7 euros Ejercicio nº 70.- Descompón en actores el siguiente polinomio: Sacamos actor común: Ejercicio nº 7.- Opera y simpliica: 6 Ejercicio nº 7.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 8 b) 5

41 a) b) Comprobación: Es válida 9 9 No es válida Hay una solución: 0 Ejercicio nº 7.- Averigua la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: y a) y 5 b) y y 6

42 y y a) y y y y 0 y y y y y 0 y y 0 y y y La solución es: ; y 5 b) y y Despejamos de la.ª ecuación: y ; y sustituimos en la primera: 5 5 y y y y y y y y y y y y 5y y 6y y y 5y y Calculamos, en cada caso, el valor de sustituyendo en la ecuación y : Si y 5 Si y 6 6 Las soluciones son: ; y 5 ; y 6 Ejercicio nº 7.- Se mezcla cierta cantidad de caé de, /kg con otra cantidad de caé de,8 /kg, obteniendo 60 kg al precio de, euros/kg. Cuántos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla? Llamamos a la cantidad de caé utilizado del primer tipo e y a la cantidad del segundo tipo. Así: y 60 (pues hemos obtenido 60 kg de mezcla),,8y 60, (este es el precio total de la mezcla) 7

43 Resolvemos el sistema de ecuaciones: y 60 y 60,,8 y 8,,8 y 8,,8 60 8, 08,8 8,, ,6 0 y Se han utilizado 0 kg del primer tipo y 0 kg del segundo tipo. Ejercicio nº 75.- Resuelve e interpreta gráicamente: 5 Resolvemos la inecuación: 5 8 Soluciones: /, La interpretación gráica es la siguiente: para valores de menores que, la recta y queda por debajo de la recta y 5; es decir, 5: Ejercicio nº 76.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 b) 7 0 a) 0 0 Elevamos al cuadrado: 8

44 Comprobamos la solución: La solución es 5. b 7 0 Aplicamos la regla de Ruini: Las soluciones son:,,,, 9

45 Funciones Elmentales. Funciones eponenciales, logarítmicas. Ejercicio nº.- Dadas las unciones y g, calcula : a) b) g g a) b) g g g g g Ejercicio nº.- Dadas las unciones: y g Eplica como, a partir de ellas, se pueden obtener por composición estas otras: p q p g q g Ejercicio nº.- Dada la gráica de la unción y (): a) Calcula y 0. b) Representa gráicamente en los mismos ejes, a partir de la gráica de. a) 0 porque 0.

46 b) 0 porque 0. Ejercicio nº.- Halla la inversa de la siguiente unción: 7 Cambiamos por y, y despejamos la y : 7y 7y y 7 Por tanto: 7 Ejercicio nº 5.- Consideramos la gráica: a) Halla la epresión analítica de la unción correspondiente. b) Cuál es el dominio de dicha unción? c) Estudia la continuidad y el crecimiento. a) Es una unción eponencial de base mayor que, que pasa por los puntos (0, ), (, )... Su epresión analítica es y. b) Dominio c) Es una unción continua y creciente.

47 Ejercicio nº 6.- Representa la gráica de la unción: y La unción está deinida y es continua en. No corta al eje X porque Es decreciente,pues. Hacemos una tabla de valores: 0 no tiene solución. y La gráica será: Ejercicio nº 7.- Un coche que nos costó 000 euros pierde un % de su valor cada año. a) Cuánto valdrá dentro de un año? Y dentro de años? b) Obtén la unción que nos da el precio del coche según los años transcurridos. a) Dentro de un año valdrá: 000 0, euros Dentro de tres años valdrá: 000 0, ,66 euros b) Dentro de años valdrá y euros, siendo:

48 y 000 0,88 Ejercicio nº 8.- Dadas las unciones y g. Calcula g y g. Qué relación hay entre y g? g g g Es decir g g y g son unciones inversas. Ejercicio nº 9.- Dadas las siguientes unciones: a) b) g g g y g, halla : a) b) g g g g g g g Ejercicio nº 0.- Sabiendo que: y g Eplica cómo se pueden obtener por composición, a partir de ellas, las siguientes unciones: p q

49 p g q g Ejercicio nº.- Esta gráica corresponde a la unción y = (): A partir de ella: a) Calcula y 0. b) Representa, en los mismos ejes, la unción. a) porque. b) 0 porque 0. Ejercicio nº.- Calcula la unción inversa de: Cambiamos por y, y despejamos la y: y y y Por tanto: 5

50 Ejercicio nº.- Observa la siguiente gráica: a) Halla la epresión analítica de la unción correspondiente. b) Indica cuál es su dominio de deinición y estudia la continuidad y el crecimiento de la unción. a) Es una unción eponencial que pasa por ( 0, ), (, ), (, 9)... Su epresión analítica es: y b) Dominio R Es una unción continua. Es creciente. Ejercicio nº.- Dibuja la gráica de: y = log Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores. y 8 0 La gráica será: 6

51 Ejercicio nº.- Colocamos en una cuenta 000 euros al % anual. a) Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? Y dentro de años? b) Halla la epresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en unción del tiempo transcurrido (en años). a) Dentro de un año tendremos: 000,0 060 euros Dentro de cuatro años tendremos: 000,0 5,0 euros b) Dentro de años tendremos y euros, siendo: y 000,0 Ejercicio nº 5.- En el contrato con el trabajo de un empleado igura que su sueldo subirá un 5% anual. Si empieza cobrando 5 00 : a Halla la epresión analítica que nos da su sueldo en unción de los años trabajados. b Cuánto tiempo tardará en duplicarse su sueldo? a Sea: n. de años trabajados y sueldo euros) Incremento del 5% I.V. es,05 Dentro de años su sueldo será: y 5 00,05 b Buscamos el valor de tal que 5 00, ,05 5 años 7

52 8 Su sueldo se duplicará después de 5 años. Ejercicio nº 6.- : Calcula y estándeinidas por y Las unciones. g g g a) g g b) a) g g b) g g g g g g g Ejercicio nº 7.- Las unciones y g están deinidas por: g y Eplica cómo, a partir de ellas, por composición, podemos obtener: y q p g q g p Ejercicio nº 8.- Esta es la gráica de la unción y = (): a) Calcula 0 y.

53 b) Representa en los mismos ejes a partir de la gráica de. a) 0 porque 0. b) 5 porque 5. Ejercicio nº 9.- Halla la unción inversa de: Cambiamos por y, y despejamos la y : y y y Por tanto: Ejercicio nº 0.- Considera la siguiente gráica: a) Escribe la epresión analítica de la unción correspondiente. b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la unción e indica cuál es su dominio de deinición. 9

54 a) Es una unción logarítmica con base menor que, que pasa por los puntos,,, 0,,,,, Su epresión analítica es: y log b) Es una unción continua. Es decreciente. Dominio 0, Ejercicio nº 0.- Dibuja la gráica de la siguiente unción: y La unción está deinida y es continua en. Hacemos una tabla de valores: y 0 8 La gráica es: Ejercicio nº.- En un contrato de alquiler de una casa igura que el coste subirá un % cada año. Si el primer año se pagan 7 00 euros (en recibos mensuales): a) Cuánto se pagará dentro de año? Y dentro de años? b) Obtén la unción que nos dé el coste anual al cabo de años. a) Dentro de un año se pagarán 7 00,0 7 euros. Dentro de dos años se pagarán 7 00,0 7 90,88 euros. 0

55 b) Dentro de años se pagarán: y 7 00, euros Ejercicio nº.- 6 La unción t 0, indica el nivel de alcohol en la sangre en mgml desde que alcanza su nivel máimo t 0. Calcula cuánto tiempo tendría que esperar una persona para poder conducir si el mínimo legal uera 0,06 mg/ml de alcohol en sangre. Buscamos el valor de t que haga t 0,06. t t t t 0, 0,06 0, 5 t, h 5 Tendría que esperar horas y 9 minutos, aproimadamente. Ejercicio nº.- Considera las unciones y g deinidas por: Calcula: y g a) b) g g a) b) g g g g g Ejercicio nº.- Eplica cómo se pueden obtener por composición las unciones p() y q() a partir de () y g(), siendo:, g, p y q 5

56 p g q g Ejercicio nº.- A partir de la gráica de y = (): a) Calcula y 5. b) Representa, en los mismos ejes,. a) porque. b) 5 porque 5. Ejercicio nº 5.- Obtén la unción inversa de: Cambiamos por y, y despejamos la y : y y y Por tanto:

57 Ejercicio nº 6.- a) Halla la epresión analítica de la unción cuya gráica es: b) Estudia los siguientes aspectos de la unción: dominio, continuidad y crecimiento. a) Es una unción logarítmica que pasa por los puntos (, 0), (, ), ( 9, )... Su epresión analítica será: b Dominio (0, ) Es una unción continua Es creciente Ejercicio nº 76.- Representa la unción: y log Dominio ( 0, ) Es decreciente porque. Hacemos una tabla de valores: y 6 8 0,5 La gráica es: Ejercicio nº 8.-

58 Una población que tenía inicialmente 00 individuos va creciendo a un ritmo del % cada año. a) Cuántos individuos habrá dentro de un año? Y dentro de años? b) Halla la unción que nos da el número de individuos según los años transcurridos. a) Dentro de un año habrá: 00, 6 individuos Dentro de tres años habrá: 00, individuos b) Dentro de años habrá y individuos, siendo: y 00, (toma y entero) Ejercicio nº 9.- La gráica de la unción y ka pasa por los puntos, y, 8. Calcula k y a y di si se trata de una unción creciente o decreciente. ( ka Por pasar por, k a ka ka 8 6 Por pasar por, 8 8 k a 8 a por ser a la base de la unción eponencial a 0. Como ka k k La unción es creciente por ser a a Ejercicio nº 0.- y Sabiendo que g, halla : a) b) g g g

59 g g g g g a) g g g b) Ejercicio nº.- Con las unciones: y g hemos obtenido, por composición, estas otras: p y q Eplica cómo, a partir de y g, se pueden obtener p y q. p g q g Ejercicio nº.- La siguiente gráica corresponde a la unción y (): a) Calcula y b) Representa, en los mismos ejes, a partir de la gráica de. a) porque. b) 0 porque 0. 5

60 Ejercicio nº.- Calcula, sabiendo que : Cambiamos por y, y despejamos la y : y y Por tanto: Ejercicio nº.- a) Cuál es la epresión analítica de la unción correspondiente a esta gráica? b) Indica cuál es el dominio de deinición y estudia la continuidad y el crecimiento de la unción. a) Es una unción eponencial con base menor que, que pasa por los puntos (, ),,,, Su epresión analítica será: y b) Dominio R Es continua. Es decreciente. Ejercicio nº 5.- Representa gráicamente la siguiente unción: y = 6

61 La unción está deinida y es continua en. No corta al eje X porque 0 no tiene solución. Es creciente, puesto que. Hacemos una tabla de valores: y La gráica es: Ejercicio nº 6.- Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de euros, y el aumento del sueldo va a ser de un % anual. a) Cuál será su sueldo anual dentro de un año? Y dentro de dos años? b) Halla la epresión analítica que nos da su sueldo anual en unción del tiempo (en años). a) Dentro de un año ganará: 5 000, euros Dentro de dos años ganará: 5 000, euros. b) Dentro de años su sueldo será de y euros, siendo: y 5 000,0 Ejercicio nº 7.- Calcula la unción inversa de las siguientes unciones: a) y b y 7

62 Intercambiamos por y, y despejamos la y : a y y y y y Por tanto: y b) y y y y y y y y y y Por tanto: Ejercicio nº 8.- Considera las unciones y g deinidas por: Calcula: y g a) b) g g a) b) g g g g g Ejercicio nº 9.- Con las unciones: y g hemos obtenido, por composición, estas otras: p y q Eplica cómo, a partir de y g, se pueden obtener p y q. 8

63 p g q g Ejercicio nº 0.- Dada la gráica de la unción y (): a) Calcula y 0. b) Representa gráicamente en los mismos ejes, a partir de la gráica de. a) 0 porque 0. b) 0 porque 0. Ejercicio nº.- Halla la inversa de la siguiente unción: 7 Cambiamos por y, y despejamos la y : 7y 7y y 7 Por tanto: 7 9

64 Ejercicio nº.- Observa la siguiente gráica: a) Halla la epresión analítica de la unción correspondiente. b) Indica cuál es su dominio de deinición y estudia la continuidad y el crecimiento de la unción. a) Es una unción eponencial que pasa por ( 0, ), (, ), (, 9)... Su epresión analítica es: y b) Dominio R Es una unción continua. Es creciente. Ejercicio nº.- Representa la unción: y log Dominio ( 0, ) Es decreciente porque. Hacemos una tabla de valores: y 6 8 0,5 La gráica es: 0

65 Ejercicio nº.- Colocamos en una cuenta 000 euros al % anual. a) Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? Y dentro de años? b) Halla la epresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en unción del tiempo transcurrido (en años). a) Dentro de un año tendremos: 000,0 060 euros Dentro de cuatro años tendremos: 000,0 5,0 euros b) Dentro de años tendremos y euros, siendo: y 000,0 Ejercicio nº La unción t 0, indica el nivel de alcohol en la sangre en mgml desde que alcanza su nivel máimo t 0. Calcula cuánto tiempo tendría que esperar una persona para poder conducir si el mínimo legal uera 0,06 mg/ml de alcohol en sangre. Buscamos el valor de t que haga t 0,06. t t t t 0, 0,06 0, 5 t, h 5 Tendría que esperar horas y 9 minutos, aproimadamente.

66 Límites de unciones, continuidad y ramas ininitas.. Dada la siguiente gráica de (), calcula los límites que se indican: a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim 0 a) lim b) lim c) lim d) lim lim e) 0 0. Calcula: lim b) lim a) a) 5 b) 5 8. Calcula el límite de () en =. 5 6 Calculamos los límites laterales: +. Halla el límite siguiente: 5 lim +

67 5. Calcula el límite cuando y cuando delasiguienteunción : Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: a) lim b) lim 5 5 a) b) La siguiente gráica corresponde a la unción 7. : Di si es continua o no en y en. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad. En no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que lim lim. En sí es continua. 8. Estudia la continuidad de: si si Si, la unción es continua. No es continua en porque lim lim. Es decir, no tiene límite en ese punto. Si :

68 9. Averigua las asíntotas verticales de la siguiente unción y sitúa la curva respecto a ellas: Las asíntotas verticales son y. Posición de la curva respecto a las asíntotas: 0. Halla las ramas ininitas, cuando y cuando, de la unción : lim lim. Sea la unción: Halla las ramas ininitas cuando -> +-> - lim lim. Halla las ramas ininitas cuando -> +y-> -de la unción lim lim

69 . La siguiente unción, tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua? Halla la asíntota horizontal u oblicua). Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la unción tiene una asíntota oblicua. Asíntota oblicua: y = -6.. Estudia la continuidad de la unción: si si si es continua en, 5. Resuelve: a) lim b) lim c) lim tg a) 0, b) /, c). 6. Calcula el siguiente límite: lim. 7. Halla el límite cuando + de las siguientes unciones: a) b) 5 a)-b)

70 Ejercicio nº 8 Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la unción por la izquierda y por la derecha de : lim lim lim lim Ejercicio nº 9 Calcula y representa gráicamente la inormación obtenida: lim lim lim lim Calculamos los límites laterales: lim lim Ejercicio nº 0 Halla ellímite cuando la inormación que obtengas: de las siguientes unciones y representa gráicamente a) 5

71 b) 5 a) lim b) lim 5 Ejercicio nº Halla los siguientes límites y representa gráicamente los resultados que obtengas: a) lim b) lim a) lim 0 b) lim 6

72 Ejercicio nº Esta es la gráica de la unción : a) Es continua en =? b) Y en 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. a) No es continua en porque no está deinida, ni tiene límite inito en ese punto. Tiene una rama ininita en ese punto (una asíntota vertical). b) Sí es continua en 0. Ejercicio nº Comprueba si la siguiente unción es continua: si 0 si 0 Si 0, la unción es continua. Si 0: 7

73 lim lim lim lim Es continua en 0 porque lim Ejercicio nº Sea la unción: Halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas. 0 Solo tiene una asíntota vertical: Posición de la curva respecto a la asíntota: lim lim Ejercicio nº 5 Halla las ramas ininitas, cuando y de la siguiente unción y representa los resultados obtenidos: lim lim 8

74 Ejercicio nº 6 Halla las ramas ininitas, cuando y cuando, de la unción : Representa la inormación obtenida. lim lim Ejercicio nº 7 Halla las ramas ininitas, cuando y cuando, de la siguiente unción y situa la curva respecto a ellas: lim lim Ejercicio nº 8 9

75 Dada la unción: halla su asíntota oblicua y representa la posición de la curva respecto a ella. 9 Asíntota oblicua: y Cuando, 9 0 La curva está por encima de la asíntota. Cuando, 9 0 La curva está por debajo de la asíntota. Representación: Ejercicio nº 9- Calcula los siguientes límites: a) lim b) lim 9 a) lim b) lim Ejercicio nº 0 Dada la gráica de : 0

76 a) Es continua en? b) Y en? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad. a) Sí es continua en. b) No, en es discontinua porque no está deinida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable. Ejercicio nº Estudia la continuidad de la unción: 5 si si Si, la unción es continua. Si : lim lim lim lim 5 También es continua en porque lim. Ejercicio nº Halla las asíntotas verticales de:

77 Sitúa la curva respecto a ellas. 0,. Las asíntotas verticales son y. Posición de la curva respecto a ellas: lim lim lim lim Ejercicio nº Calcula el siguiente límite e interprétalo gráicamente: lim lim lim lim Ejercicio nº Calcula los siguientes límites y representa la inormación que obtengas: a) lim b) lim

78 a) lim b) lim Ejercicio nº 5 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: a) lim b) lim a) lim / b) lim 0

79 Derivación. Ejercicio nº.- Halla el dominio de deinición de las siguientes unciones: a) y 5 b) y a) Dominio 5 b) 0 Dominio, Ejercicio nº.- Calcula los siguientes límites : a) lim b) 5 lim c) lim a) lim b) lim 5 Hallamos los límites laterales: 5 lim 5 lim c) lim lim lim

80 Ejercicio nº.- Halla los siguientes límites y representa gráicamente los resultados que obtengas: a) lim b) c) lim lim a) lim b) lim 0 c) lim 0 Ejercicio nº.- Calcula ' encada caso : a) 5 7 b) cos c) e a) ' 5 7 b) ' cos cos c) ' sen sen e e e Ejercicio nº 5.- Representa gráicamente:

81 a) y b) y a) Sobre la recta y, hallamos su valor absoluto: b) Hacemos una tabla de valores: y 0 / / La gráica sería: Ejercicio nº 6.- Dada la unción: si si 0 0 a) Estudia su continuidad. b) Dibuja su gráica. a) Si 0, la unción es continua. Si 0:

82 lim lim 0 0 lim lim También es continua en Es una unción continua. b) Si 0, es un trozo de parábola. Si > 0, es un trozo de recta. La gráica es: Ejercicio nº 7.- Subiendo una montaña, medimos la temperatura a 60 m de altura, y esta era de 8 C. Cuando estábamos a 70 m de altura, la temperatura era de 6 C. a) Estima, mediante interpolación lineal, la temperatura que había a 500 m de altura. b) Halla la epresión analítica de la recta que nos da la temperatura en unción de la altura, y represéntala gráicamente. a) Sabemos que (60) 8 y que (70) 6. Por tanto: Así: (500) 7, C b) Hemos obtenido la epresión analítica en el apartado a) Su representación gráica es:

83 Ejercicio nº 8.- Dada la unción: Calcula ', utilizando la deinición de derivada. h h h h ' lim lim lim h0 h h0 h h0 h h h hh lim lim limh h0 h h0 h h0 Ejercicio nº 9.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa. ' La pendiente de la recta es ' 7. Cuando, y. La recta será: y 7 Ejercicio nº 0.- Dada la siguiente unción: 7 a) Es creciente o decreciente en 0? Y en? b) Halla los tramos en los que la unción es creciente y en los que es decreciente. 5

84 a) ' ' 0 0 Creciente en 0. ' 0 Decreciente en. b) Estudiamos el signo de la derivada: ' 0 0 ' 0 0 ' 0 0 La unción es creciente en, y decreciente en,. Tiene un máimo en. Ejercicio nº.- Averigua cuáles son las asíntotas de la siguiente unción y representa gráicamente la posición de la curva respecto a ellas: 9 Asíntota horizontal: y = 0 lim 0; lim Asíntotas verticales: ; lim ; lim 9 9 lim ; lim 9 9 Representación: Ejercicio nº.- Halla y representa gráicamente los puntos de tangente horizontal de la siguiente unción: () ( ) ( 5) 6

85 ' 5 5 Punto, 0 Punto, ; 5 lim lim Máimo en (, ) y mínimoen(, 0). Ejercicio nº.- a Representa la gráica de la unción: b Sobre la gráica anterior, estudia el dominio de (), su continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la unción a) lim ; lim Puntos de corte con los ejes: Con el eje X z 0 z z 0 (siendoz ) 6 6 z 0, (no vale),55 z,,55 Punto (,55; 0) Punto(,55; 0) Conel eje Y 0 y Punto 0, Puntos singulares: 0 Punto 0, Punto, Punto, Gráica: 7

86 b Dominio Es una unción continua. Creciente en, 0, y decreciente en, 0,. Ejercicio nº.- a Representa gráicamente la siguiente unción: b A partir de la gráica, estudia la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de (). a) Dominio Puntos de corte con los ejes: Con el eje Conel eje X Y y y Punto 0, No corta al eje X. Asíntota vertical: lim ; lim Asíntota oblicua: y es asíntota oblicua. Si, 0 La curva está por encima de la asíntota. Si, 0 La curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares: 8

87 ' 0 Punto 0, ' 0 0 Punto, Gráica: b Continuidad: Si, Si es continua., es discontinua, pues tiene una rama ininita asíntota vertical). Creciente en, 0, y decreciente en,, 0. Ejercicio nº 5.- Los beneicios o las pérdidas obtenidos por una cadena de alimentación desde su apertura vienen dadas por la unción: si si siendo el número de años y los miles de euros. a Qué ocurrió los dos primeros años? b Estudia la continuidad de la unción. c Con el paso del tiempo, hacia qué valor se estabiliza el beneicio? a Los dos primeros años, la cadena de alimentación tiene pérdidas por valor de 000. b. er tramo: y unción constante y, por tanto, continua en todo su dominio tramo: y unción continua en todo su dominio ( 0 para cualquier valor de. 9

88 Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura : lim lim lim lim 5 No eiste el lim, luego es discontinua en c) 6 5 lim lim 6 Con el paso del tiempo, el beneicio anual se estabiliza entorno a los Ejercicio nº 6.- a Dibuja la gráica de la siguiente unción: b A partir de la gráica, di cuál es el dominio de (), estudia su continuidad y di cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la unción. a) lim ; lim Puntos de corte con los ejes: Con el eje X 0 0 Punto 0, 0 Punto, 0 Conel eje Y 0 y 0 Punto 0, 0 Puntos singulares: Punto, Punto, 7 ' 0 Gráica: 0

89 b Dominio Es una unción continua. Creciente en, 0, y decreciente en, 0. Ejercicio nº 7.- a Representa la gráica de la unción: b Ayúdate de la gráica para estudiar la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de (). a) Dominio 0 Puntos de corte con los ejes: Conel eje X y 0 0,6 Con el eje Y: no corta el eje Y, pues 0 no está en el dominio. Asíntotas verticales: 0 lim ; lim 0 0 Punto,6; 0 Asíntota oblicua: y es asíntota oblicua. Si, 0 La curva está por debajo de la asíntota. Si, 0 La curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares:

90 8 ' ' Punto, Gráica: b Continuidad: es continua. 0, Si Es discontinua en 0, pues tiene una rama ininita (asíntota vertical). Creciente en, 0, y decreciente en, 0.

91 ESTADÍSTICA Ejercicio nº.- En un grupo de personas se pregunta por el número de veces que han visitado al dentista en el último año. Las respuestas obtenidas se recogen en la siguiente tabla: N. de visitas 0 5 N. de personas a) Halla la media y la desviación típica. b) Cuántas personas hay en el intervalo σ, σ? Qué porcentaje del total representan? c) Otro grupo de personas, ha visitado al dentista en el último año una media de,5 veces, con una desviación típica de,7. Halla el coeiciente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos. a) Media: i n i Desviación típica:,95 i n i 5, ,998 0,999 b),96,9 En elintervalo , hay 8 55personas, querepresentan un 67,5% del total. 0,999 c) C. V.,7 0,5 ; C. V. 0,5,95,5 La dispersión es mayor en el segundo caso.