Ejercicios Tema 3 Variables aleatorias

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1 Ejercicios Tema 3 Variables aleatorias 1. Si consideramos el lanzamiento de tres monedas no trucadas, calcula la unción de distribución de la variable X que cuenta el número de caras obtenido en el lanzamiento de las tres monedas y representa gráicamente dichas unciones. 2. Un proesor llega cada día a su despacho con igual probabilidad entre las 8 y las 9 horas. a) Cuál es la unción de densidad de la variable X = hora de llegada al despacho wq b) Cuál es la probabilidad de que llegue antes de las 8 y media?. c) Cuál es la media de la variable aleatoria?. d) Cuál es la media de la variable aleatoria transormada Y=g(X)=X Sea una variable aleatoria con unción de densidad: 2 ( x ) k1 si 1 < x 1 = a) Halla el valor de k. b) Halla la unción de distribución de X. c) Calcula P(-0,5 X 1). 4. Supongamos que la unción de probabilidad del número de erratas, X, que hay en las páginas de un libro de bioquímica es: P(0) = 0,81 P(1) = 0,17 P(2) = 0,02 a) Dibuje la unción de probabilidad. b) Calcule y dibuje la unción de distribución. c) Halle el número medio de erratas por página. 5. Las llamadas al teléono de emergencias 112 siguen una distribución de Poisson de media 2 llamadas por minuto. Calcula la probabilidad de que: a) No haya ninguna llamada en un minuto. b) Haya menos de 5 llamadas en un minuto. 6. En un examen de matemáticas, la caliicación media ue 7,2 y la desviación típica 1,5. Determinar en unidades estándar las puntuaciones de los alumnos que obtuvieron: a) 6,0. b) 9,3. c) 7,2. d) Hallar la puntuación correspondiente a la puntuación estándar 1. e) Hallar la puntuación correspondiente a la puntuación estándar 1,6. 1

2 7. Un agente de seguros cree que la probabilidad de vender un seguro agrario en un contacto especíico con un agricultor es 0,4. Si la variable aleatoria X toma el valor 1 si se vende un seguro y 0 en caso contrario: a) halle la media y la varianza de la distribución. b) Suponga que el agente de seguros contacta con cinco personas y cree que la probabilidad de vender un seguro a cada una es 0,40. Halle la probabilidad de que venda como máximo un seguro. c) En la situación anterior, halle la probabilidad de que venda entre 2 y 4 seguros (inclusive ambos). d) En la situación del apartado b), represente gráicamente la unción de probabilidad. 8. Sea la siguiente unción de densidad: 2-2x si x = [ 0,1] a) Veriica que es en eecto una unción de densidad. b) Calcula su unción de distribución. c) Calcula la probabilidad de que esté entre los valores ¼ y ½. d) Calcula su valor esperado. e) Calcula su varianza. 9. Un concesionario de tractores calcula la proporción de tractores nuevos vendidos que se han devuelto para que se corrijan los deectos durante el período de garantía. La tabla adjunta muestra los resultados: Nº de devoluciones Proporción 0 0,28 1 0,36 2 0,23 3 0,09 4 0,04 a) Dibuje la unción de probabilidad. b) Calcule y dibuje la unción de distribución. c) Halle la media del número de devoluciones de un tractor para que se corrijan los deectos durante el período de garantía. d) Halle la varianza del número de devoluciones de un tractor para que se corrijan los deectos durante el período de garantía. 10.Sea el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda dos veces. Se considera la variable aleatoria X: número de caras obtenidas. a) Cuáles son los posibles resultados del experimento?. b) Calcula la unción de masa de probabilidad. c) Calcula el valor esperado. d) Calcula su varianza. 2

3 11.Sabemos que el número de latas deectuosas envasadas que abrica una determinada industria agroalimentaria sigue una distribución binomial con P = 0,05. Si tomamos una muestra de 100 latas, cuál es la probabilidad de que haya más de dos latas deectuosamente envasadas?. 12.En un juego se disponen 15 globos llenos de agua, de los que 4 tienen premio. Los participantes en el juego, con los ojos vendados, golpean los globos con un palo por orden hasta que cada uno consigue romper 2. a) Cuál es la probabilidad de que el primer participante consiga un premio?. b) Si el primer participante ha conseguido sólo un premio, cuál es la probabilidad de que el segundo participante consiga otro?. 13.Dada una variable aleatoria continua con unción de densidad: 3x 2 si 0 x 2 = 8 a) Halla la unción de distribución de X. b) Calcule la probabilidad de que la variable X tome valores entre 1,5 y Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o also: a) Cuál es la probabilidad de que acierte 4?. b) Cuál es la probabilidad de que acierte 2 o menos?. c) Cuál es la probabilidad de que acierte 5 o más?. 15.Una cierta área de EEUU se ve aectada, en promedio, por 6 huracanes al año. Si el número de huracanes sigue una distribución de Poisson, encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área se vea aectada por: a) Menos de 4 huracanes. b) Entre 6 y 8 huracanes. c) Represente la unción de probabilidad de la variable aleatoria que mide el número de huracanes por año. 16.Suponga que es el responsable de la venta de las plazas de avión de una gran compañía aérea. Cuatro días antes de la echa del vuelo, quedan 16 plazas libres. Sabemos por experiencia que el 80% de las personas que compran un billete en este período de tiempos se presentan el día del vuelo. a) Si vende 20 billetes más, cuál es la probabilidad de que el número de personas que se presentan sea mayor que el de lazas o de que haya al menos una plaza libre?. b) Si vende 18 billetes más, cuál es la probabilidad de que el número de personas que se presentan sea mayor que el de plazas o de que haya al menos una plaza libre. 3

4 17.La variable X: número de hijos varones de una amilia de dos hijos, puede tomar los valores 0, 1 y 2. a) Se desea calcular la probabilidad de que X tome cada uno de sus valores posibles, suponiendo que la probabilidad de que un hijo sea varón es 0,49 y en el supuesto de que los sucesos sean independientes. b) Calcula y dibuja la unción de masa de probabilidad. c) Calcula y dibuja la unción de distribución. 18.Se selecciona aleatoriamente una bombilla de una caja que contiene 5 bombillas de 40, 60, 75, 100 y 125 vatios respectivamente. a) Obtén la unción de probabilidad de la variable que representa los vatios de la bombilla extraída. b) Calcula el valor esperado de la misma. c) Calcula su varianza. 19.Se sabe por experiencia que sólo el 30% de los alumnos que inician sus estudios en cierta carrera los terminan en el plazo preijado de cuatro años. Se toman en este momento 8 alumnos al azar que han iniciado este curso dichos estudios. a) Cuál es la probabilidad de que dos de ellos terminen sus estudios en el plazo previsto de cuatro años?. b) Cuántos alumnos se espera que terminen los estudios en el plazo preijado?. 20.Una variable aleatoria continua X con valores entre 0 y 4 tiene una unción de densidad dada por (x)= ½ ax, donde a es una constante. a) Calcular a. b) Hallar P(1 < X < 2). 21.Para la distribución de probabilidad que muestra la siguiente tabla: a) Hallar E(X). b) Hallar E(X 2 ). c) Hallar E[(X µ) 2 ]. X P(x) 8 1/8 12 1/6 16 3/8 20 1/4 24 1/12 22.Se lanza un dado no trucado 120 veces. Hallar la probabilidad de que salga el 4 (plantea el problema como una distribución binomial y resuélvelo con la aproximación normal): a) 18 veces o menos. b) 14 veces o más. 4

5 23.Un 10% de las herramientas producidas en una ábrica son deectuosas. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas tomadas el azar exactamente 2 sean deectuosas, usando: a) La distribución binomial. b) La aproximación de Poisson a la distribución binomial. 24.Suponiendo que la probabilidad de nacer un chico es ½, hallar la probabilidad de que en una amilia con 4 hijos haya a) Al menos un chico. b) Al menos un chico y una chica. 25.Suponiendo una distribución normal tipiicada, calcula: a) El área bajo la curva de la unción de densidad entre z = 0 y z = 1,2. b) El área bajo la curva de la unción de densidad entre z = 0,68 y z = 0. c) El área bajo la curva de la unción de densidad entre z = 0,46 y z = 2,21. d) El área bajo la curva de la unción de densidad entre z = 0,81 y z = 1,94. e) El área bajo la curva de la unción de densidad a la izquierda de z = 0,6. ) El área bajo la curva de la unción de densidad a la derecha de z = 1,28. g) El área bajo la curva de la unción de densidad a la derecha de z = 2,05 y a la izquierda de z = 1,28. h) Determina el valor de z tal que el área bajo la curva de la unción de densidad entre 0 y z es 0,3770. i) Determina el valor de z tal que el área bajo la curva de la unción de densidad a la izquierda de z es 0,8621. j) Determina el valor de z tal que el área bajo la curva de la unción de densidad entre 1,5 y z es 0, Hallar la probabilidad de obtener entre 3 y 6 caras inclusive en 10 tiradas de una moneda, usando: a) La distribución binomial. b) La aproximación normal a la distribución binomial. 27.Si la probabilidad de que un individuo sura una reacción negativa ante una inyección de cierto suero es 0,001, hallar la probabilidad de que entre individuos reaccionen negativamente (distribución de Poisson): a) Exactamente 3. b) Más de 2 de ellos. 28.En una cierta prueba, el 35% de la población examinada obtuvo una nota superior a 6; el 25%, entre 4 y 6, y el 40% inerior a 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, hállese la nota media y la desviación típica. Qué porcentaje de la población tiene una nota que se dierencie de la media en menos de dos unidades?. 5

6 29.En un cierto hospital se comprobó que el peso en kilos de los niños al nacer era una variable aleatoria cuya unción de densidad es: kx si 2 x 4 = Se pide: a) Hallar k para que (x) sea una unción de densidad. b) Hallar la unción de distribución. c) Calcular la media, la varianza y la desviación típica. d) Probabilidad de que un niño elegido al azar pese más de 3 kilos. e) Probabilidad de que pese entre 2 y 3,5 kilos. ) Qué debe pesar un niño para tener inerior o igual a su peso el 90% de los niños?. 30.Una variable aleatoria continua X tiene por unción de densidad: 2 kx si 0 x 6 = 36 Se pide: a) Encontrar k para que (x) sea unción de densidad. b) Hallar la unción de distribución de X. c) Hallar la media, la varianza y la desviación típica. d) Calcular las probabilidades siguientes: P(0 < X 1), P(X > 3), P( X < 2), P(X 1,5). 31.Sea X una variable aleatoria continua que tiene por unción de densidad: 1 x si 0 x < 1 = x 1 si 1 x 2 Sean además los sucesos: A = {ω Ω 0 X(ω) 1} B = {ω Ω 2 X(ω) 2} C = {ω Ω 1/2 X(ω) + } D = {ω Ω X(ω) = 0, 1/2, 1, 3/2, 2} Se pide: a) Hallar la unción de distribución de X. b) Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: A, B, C, c D, AI C, B C, AU C. 32.El número de piezas deectuosas que produce cierta máquina es de una cada mil. Se toman al azar piezas producidas cierta semana. Cuál es la probabilidad de que aparezcan 5 piezas deectuosas?. 6

7 33.Sea X una variable aleatoria discreta que tiene como distribución de probabilidad: P 1 10 ( X = x) = a = 2,3, K, 11 Se pide: a) Función de distribución. b) P(X > 7). c) P(X 5). d) P(3 < X 8). 34.Una variable aleatoria X tiene por unción de distribución: F 0 si x < 0 2 x si 0 x 1 = 2 2 x 2x 1 si 1 < 2 1 si x > 2 x 2 a) Hallar la unción de densidad. b) Calcular la media, la varianza y la desviación típica de X. c) Calcular P(1/2 < X 3/2). 35.En un cierto hospital se comprobó que la aplicación de un determinado tratamiento en enermos de cirrosis produce una cierta mejoría en el 80% de los casos. Si se aplica el tratamiento a 8 personas, se pide calcular: a) Probabilidad de que mejoren 5. b) Probabilidad de que mejoren al menos 3. c) Número de personas que se espera que mejoren. Qué nos indica este número?. 36.En una cooperativa, el 20% de los socios tenían asegurados sus cultivos. Una compañía de seguros selecciona 5 socios al azar. Se pide: a) Número de socios que se espera que tengan asegurados sus cultivos. b) Probabilidad de que 2 socios tengan asegurados sus cultivos. c) Probabilidad de que al menos 3 estén asegurados. d) Probabilidad de que ninguno tenga asegurados sus cultivos. e) Probabilidad de que alguno esté asegurado. 37.Un grupo muy numeroso de estudiantes obtiene unas caliicaciones (de 0 a 100) que siguen una distribución normal que tiene una media de 60 y una desviación típica de 15. a) Qué proporción de los estudiantes obtiene una caliicación de entre 85 y 95?. b) Halle el punto de corte del 10% superior de todos los estudiantes. 7

8 38.Por prescripción acultativa, un enermo ha de hacer una toma de 3 píldoras de un determinado medicamento. Se sabe de que las 12 píldoras que contiene el envase, 4 están en malas condiciones. Se pide: a) Probabilidad de que tome sólo una buena. b) Probabilidad de que de las 3 píldoras de la toma, al menos una esté en malas condiciones. c) Cuál es el número de píldoras que se espera tome el enermo en buenas condiciones en cada toma?. d) Si existe otro envase que contenga 40 píldoras, de las cuales 10 están en malas condiciones, qué envase sería más beneicioso para el enermo?. 39.Una compañía de seguros agrarios garantiza pólizas de seguros contra una determinada plaga. Una encuesta ha permitido estimar que a lo largo de un año, cada agricultor tiene una posibilidad entre mil de que su cosecha sea víctima de la plaga cubierta por la póliza, y que la compañía podrá vender una media de cuatro mil pólizas de seguros de este tipo al año. Se pide hallar: a) Probabilidad de que el número de cosechas aectadas, cubiertas por la póliza no pase de cuatro por año. b) Número de plagas esperadas por año. c) Probabilidad de que el número de plagas sea superior a dos por año. d) Probabilidad de que ocurran doce plagas por año. 40.Un proesor realiza un test de 10 ítems a una clase, teniendo cada ítem 4 posibles respuestas A, B, C, D, de las cuales sólo una es correcta. Suponiendo que un alumno no se ha preparado para hacer el test y que tiene la misma probabilidad de responder A, B, C o D, se pide hallar las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Contestar todos los ítems mal. b) Contestar al menos 5 ítems bien. c) Contestar entre 4 y 6 bien. d) Contestar todos bien. e) Contestar menos de 3 bien. 41.Un proesor realiza un test de 100 ítems a un curso con 200 alumnos. Suponiendo que las puntuaciones X obtenidas por los alumnos siguen una distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, se pide calcular: a) P(X 70). b) P(X 80). c) P(X 30). d) P(X 46). e) P(39 X 80). ) P(80 X 82,5). g) P(30 X 40). h) P( X 60 20). i) P( X 60 30). j) Número de alumnos que obtuvieron al menos 70 puntos. 8

9 42.El número de accidentes que se producen en una ábrica tiene una distribución de Poisson con una media de 4,2 accidentes al mes. Cuál es la probabilidad de que en un mes elegido al azar haya al menos tres accidentes?. 43.Los dirigentes de una cooperativa deciden otorgar un premio entre los comerciales si venden 320 o más toneladas de cereales por día. El número de toneladas vendidas al día por los comerciales A y B está normalmente distribuido de la orma siguiente: Comercial Media Desv. típica A 290 t 20 t B 300 t 10 t Se pide: a) Qué porcentaje de días obtendrá premio el comercial A?. b) Qué porcentaje de días obtendrá premio el comercial B?. c) A quién de los dos comerciales beneicia la decisión de la empresa?. d) Si se asocian los comerciales A y B, qué porcentaje de los días obtendrían premio?. 44.Sea X una variable aleatoria con la siguiente unción de densidad. 1 x si 0 x 1 = k si 2 x 3 a) Calcula el valor de k para que (x) sea realmente una unción de densidad. b) Calcula la unción de distribución. c) Calcula la media de X. d) Calcula la media de la variable transormada Y = 12X. e) Calcula la media de la variable transormada Y = 7/12 + X. 45.Sea X una variable aleatoria con la siguiente unción de distribución: F 0 si = x 1 1 si x < 1 si 1 x 2 x < 2 a) Calcula su media. b) Calcula su varianza. 46.El número medio de vehículos por minuto que llegan a una gasolinera es igual a 2. a) Si la llega de vehículos sigue una distribución de Poisson, cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen 5 vehículos?. b) Y de que en 5 minutos no llegue ninguno?. 9

10 47.Un autobús pasa por cierta parada cada 15 minutos. Cuál es la probabilidad de que un señor que llega en un momento dado tenga que esperar el autobús más de 5 minutos?. 48.El contenido de un tipo de barriles de cerveza se distribuye normalmente con media 25 kg y desviación típica 0,25 kg. Cuál es la probabilidad de que un barril tenga más de 25,3 kg?. 49.Un director de producción sabe que el 5% de los componentes producidos en un determinado proceso de producción tiene algún deecto. Se examinan 6 de estos componentes, cuyas características puede suponerse que son independientes entre sí: a) Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tenga un deecto?. b) Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes tengan un deecto?. c) Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tenga un deecto?. 50.Una empresa instala invernaderos y ha observado que en el 15% de todas las instalaciones es necesario volver para hacer algunas modiicaciones. Suponga que los resultados de estas instalaciones son independientes. La última semana ha hecho 10 instalaciones. a) Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en todos estos casos?. b) Cuál es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno de estos casos?. c) Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en más de uno de estos casos?. 51.Una empresa se dedica a la preparación de sacos para el cultivo de champiñones. Al cambiar el proceso de producción se ha observado que el 90% de los sacos son satisactorios según los controles de calidad. Si se toma una muestra de 4 sacos, a) Cuál es la probabilidad de que todos los sacos sean correctos?. b) Cuál es la probabilidad de que todos sean incorrectos?. c) Cuál es la probabilidad de que al menos 2 sean correctos?. 52.Una empresa produce sacos de semillas y le preocupa la cantidad de impurezas que contienen. Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue una distribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación típica de 2,8 gramos. Se elige aleatoriamente un saco, a) Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?. b) Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas?. c) Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?. d) Es posible deducir, sin realizar los cálculos detallados, cuál de las respuestas a los apartados a) y b) es mayor. Cómo?. 10

11 53.Se han comprado 400 botellas de vino de las cuales 200 son D.O. Navarra. Se han colocado sin ningún orden en la bodega. Si se toman 15 botellas al azar, cuál es la probabilidad de que 8 sean D.O. Navarra?. 54.Una empresa desea contratar 12 nuevos trabajadores. Se presentan 50 candidatos, de los cuales 25 son mujeres. Si se eligen a sorteo entre los candidatos, cuál es la probabilidad de elegir exactamente 5 mujeres?. 55.Sabemos que de un directorio de 80 industrias agroalimentarias, 42 de ellas están contratando trabajadores. Si mandamos nuestro currículo a 20 de ellas, cuál es la probabilidad de que justo 9 de ellas estuvieran buscando trabajadores?. 56.Un analista ha predicho que el 3,5% de todas las empresas del sector agroalimentario quebrará el próximo año. Suponiendo que la predicción del analista es correcta, estime la probabilidad de que el próximo año quiebren al menos 3 empresas del sector agroalimentario de una muestra aleatoria de Una vendedora de seguros agrarios se pone en contacto por teléono con posibles clientes en un intento de averiguar si es probable que merezca la pena ir a su casa a verlos. Su experiencia sugiere que en el 40% de los contactos iniciales acaba yendo a cada del cliente. Si se pone en contacto con 100 personas por teléono, cuál es la probabilidad de que vaya a ver a entre 45 y 50 personas?. 11