FUNCIONES Y SUCESIONES

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Ángela Lucero Castellanos
hace 7 años
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1 FUNCIONES Y SUCESIONES Las funciones se pueden interpretar como relaciones Una relación binaria ƒ X x Y se denomina una función si para cada x X existe una única y Y tal que (x,y) es un elemento de ƒ Ejemplo: Cuál de las siguientes relaciones de A={a,b,c} con B={1,2,3,4} son funciones? 1. ƒ 1 = { (a,3), (b,1), (c,2) } 2. ƒ 2 = { (a,3), (b,3), (c,2) } 3. ƒ 3 = { (a,3), (a,4), (b,1), (c,2) } 4. ƒ 4 = { (a,3), (b,1) }

2 Solución: ƒ 1 y ƒ 2 son funciones porque cada x está relacionada exactamente con una y ƒ 3 no es función porque a se relaciona con 3 y con 4. ƒ 4 no es función porque no existe un elemento relacionado con c

3 NOTACIÓN DE FUNCIONES La notación mas común para indicar que el par (x,y) pertenece a alguna función ƒ es y = ƒ (x) Por lo tanto, (x,y) ƒ e y = ƒ (x) son sinónimos También se puede expresar como ƒ : x y En una función ƒ : X Y, X es el espacio de dominio e Y es el espacio de rango. Esto significa que debe existir una y Y para cada x X tal que (x,y) esté en ƒ

4 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Notación de lista ƒ 1 = { (a,3), (b,1), (c,2) } Tablas País Canadá Estados Unidos México Capital Ottawa Washington Cd. De México Curvas (números reales)

5 Grafos x 1 z 1 x 2 z 2 x 3 z 3 x 4

6 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Se usa el símbolo Si ƒ y g son relaciones, la relación ƒ contiene todos los pares (x,y) con y = ƒ (x) y la relación g contiene todos los pares (y,z) con z = g(y) El par (z,x) está en ƒ g si existe una y tal que y = ƒ (x) y z = g(y) Como y = ƒ (x), se puede reemplazar y en g(y) por ƒ (x), lo cual produce z = g(ƒ (x)) Entonces su composición es (x,g(ƒ (x)))

7 Si ƒ : X Y y g: Y Z, se tiene g ƒ : X Z en este caso, el espacio de rango de ƒ se convierte en el espacio de dominio de g Ejemplo: y1 = ƒ (x2) z1 = g (y1) z1 = g( ƒ (x2) )

8 ƒ g X Y Z y 1 x 1 y 2 z 1 x 2 x 3 y 3 z 2 x 4 y 4 z 3 y 5 En esta figura, x 2 puede alcanzar a z 1 pasando a través de y 1, lo cual implica que la imagen de g ƒ para x=x 1 es z 1 y1 = ƒ (x2) z1 = g (y1) z1 = g( ƒ (x2) )

9 ƒ g X Z x 1 z 1 x 2 z 2 x 3 x 4 z 3 De modo similar (x 4,z 2 ) está en g ƒ porque hay una conexión de x 4 a z 2 por medio de y 5 y5 = ƒ (x4) z2 = g (y5) z1 = g( ƒ (x4) )

10 Ejemplo: En una compañía cada pedido se identifica mediante un número de pedido. Cada número de pedido tiene un proveedor y cada proveedor tiene una cuenta de abono. Los números de pedido son 204, 217, 451 y 233. Los proveedores son ABM, CC, MDM y RMB. La función ƒ que relaciona cada pedido con un proveedor es: ƒ ={ (204,ABM), (217,RMB), (451,CC), (233,RMB) } Los proveedores y sus cuentas son: g={ (ABM, 124), (CC, 321), (MDM, 214), (RMB, 113) } Encuentre g ƒ

11 FUNCIÓN INYECTIVA Una función ƒ : X Y es inyectiva (uno-a-uno) si para todo x1,x2 X se tiene ƒ (x1) = ƒ (x2) x1 = x2 Una función es una inyección si diferentes argumentos tienen diferentes imágenes. Relación uno-a-uno.

12 ƒ X Y x 1 x 2 y 1 y 2 La función ƒ es una inyección x 3 y 3 y 4 g X Y x 1 x 2 y 1 y 2 La función g no es una inyección x 3 y 3 y 4

13 FUNCIÓN SOBREYECTIVA Una función ƒ : X Y es sobreyectiva si ran ƒ = Y. Por lo tanto Para cada y Y debe existir un x X tal que y = ƒ (x) Una función no es sobreyectiva si existen algunos elementos que sobran una vez que todos los argumentos están pareados con sus imágenes. h X Y x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 La función h es sobreyectiva ya que no sobran elementos del rango

14 FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA Una función ƒ : X Y es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. De acuerdo a esto, una función tiene inversa si y sólo si es biyectiva. x 1 y 1 x 2 y 2 La función no tiene inversa x 3 y 3 y 4 (no existe x tal que ƒ (x) = y3)

15 x 1 y 1 La función no tiene inversa x 2 y 2 (y2 puede ser x 3 asociada con x2 y con x3)

16 S U C E S I O N E S Ciertas aplicaciones requieren especificar el orden de los datos Una sucesión de x elementos extraídos del conjunto T se declara como x:seq T P. ejem. Días_semana={dom,lun,mar,mie,jue,vie,sab} Sucesiones extraídas del conjunto: Día_Laborable= <lun, mar, mie, jue, vie, sab> Fin_Semana = <dom, sab> Días = <lun,lun,vie,sab,sab,vie,lun> Nótese que los elementos de una sucesión se enumeran y encierran entre paréntesis angulares <. >

17 OPERACIONES CON SUCESIONES Selección < lun, mar, mie, jue, vie > 4 = jue Concatenación Dadas las sucesiones <x 1, x 2,, x n > e <y 1, y 2,, y n > su concatenación se representa como Símbolo de concatenación <x 1, x 2,, x n > <y 1, y 2,, y n >= <x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y n > Head head < lun, mar, mie, jue, vie >= lun Last last < lun, mar, mie, jue, vie >= vie

18 Tail tail < lun, mar, mie, jue, vie >= < mar,mie,jue,vie > Front front < lun, mar, mie, jue, vie >= < lun,mar,mie,jue > Inversa rev < lun, mar, mie, jue, vie >= < vie,jue,mie,mar,lun > Comprimir squash(2..3 <lun,mar,mie,jue,vie>)= <mar,mie> APLICACIONES DE SUCESIONES Colas Archivos secuenciales Cadenas

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