Tutorial para la estimación de modelos Logit y Probit en Easyreg. Julio César Alonso C.

Transcripción

1 Tutoral para la estmacón de modelos Logt y Probt en Easyreg Julo César Alonso C. No. 19 Juno de 2009

2 APUNTES DE ECONOMÍA ISSN X No. 19, Juno de 2009 Edtor Julo César Alonso C. Vanessa Ospna López Asstente de Edcón Gestón Edtoral Departamento de Economía - Unversdad Ices Tel: ext: Fax: Calle 18 # Cal, Valle del Cauca, Colomba

3 TUTORIAL PARA LA ESTIMACIÓN DE MODELOS LOGIT Y PROBIT EN EASYREG Julo Cesar Alonso C 1. Juno de 2009 Resumen Este documento presenta Este documento presenta una breve ntroduccón a cómo estmar un modelo Logt y un modelo Probt el método de máxma verosmltud con el paquete econométrco gratuto EasyReg. Este documento está drgdo prncpalmente a estudantes de pregrado de un curso de econometría o cualquer lector con conocmentos báscos del modelo de regresón múltple. Palabras Clave: EasyReg, Máxma Verosmltud, Modelo Logt, Modelo Probt, Estmacón Logt, Estmacón Probt, Efectos margnales. Apuntes de Economía es una publcacón del Departamento de Economía de la Unversdad Ices, cuya fnaldad es dvulgar las notas de clase de los docentes y brndar materal ddáctco para la nstruccón en el área económca a dferentes nveles. El contendo de esta publcacón es responsabldad absoluta del autor. 1 Profesor del Departamento de Economía y Drector del Centro de Investgacón en Economía y Fnanzas (CIENFI) de la Unversdad Ices, jcalonso@ces.edu.co. 2

4 Al termnar este tutoral usted estará en capacdad de Estmar un modelo Probt por el método de máxma verosmltud Estmar un modelo Logt por el método de máxma verosmltud Encontrar el efecto margnal promedo de cada varable explcatva Para este tutoral emplearemos el ejemplo 17.1 de Wooldrdge (2001), que corresponde a una adaptacón de Mroz (1987). Este ejemplo replcará los cálculos realzados por Mroz (1987) para explcar la partcpacón de las mujeres norteamercanas casadas en el mercado laboral durante 1975, por medo de dferentes característcas tanto de las mujeres como de los hogares a los que pertenecen, a partr de una muestra de 753 mujeres casadas. Antes de contnuar defnamos la varable explcatva. Sea: fzatra s el ndvduo partcpa del mercado 1 = de trabajo en algún momento de o.w. Mroz (1987) supuso que la partcpacón o no en el mercado de trabajo de una mujer casada ( fzatra ) depende de las sguentes característcas: salaro por hora (meddo en dólares) del esposo de la mujer ( wesp ), edad ( ) edad y años de educacón ( edu ) de la mujer, años anterores de experenca de la mujer ( ) 2 cuadrado ( ) exp y del número de hjos menores a ses años ( ) 18 años ( hjos6 18 ) a cargo de la mujer. exp y de su hjos0 6 y entre ses y A contnuacón encontrará los pasos a segur para estmar modelos que explquen la partcpacón o no en el mercado de trabajo de una mujer norteamercana casada por medo de los modelos Probt y Logt: 3

5 1 Estmacón del Modelo Probt por el Método de Máxma Verosmltud. Recuerden que el modelo Probt para explcar s una mujer estadoundense casada partcpó en el mercado de trabajo en el año de 1975 esta dado por: z z v donde ( ) ( ) 2 ( = 1 ) = Φ ( β ) P fzatra x x (1) 1 Φ z = φ v dv = e dv 2π. Es decr, la funcón de densdad de la normal estándar; decr: x corresponde al vector fla de las característcas de la mujer casada, es y además, Por tanto: x 2 = 1 wesp edad edu exp exp hjos0 6 hjos6 18 [ ] =. T β β1 β2 β3 β4 β5 β6 β7 β8 T β x = β + β wesp + β edad + β edu + β exp + β exp + β hjos0 6 + β hjos6 18 T El vector de coefcentes β puede ser estmado por medo del método de máxma versmltud, que equvale a resolver el sguente problema: Max P y X Este problema es equvalente a resolver: ˆ β ˆ β Maxl y X n ( ) ( ˆT T = Max Φ β ) ˆ β n ( ) ln ( ˆT T = Max Φ β ) ˆ β x (2) = 1 x, = 1 donde ln [ ] corresponde al logartmo natural y l ( y X ) es conocda como el logartmo de la funcón de verosmltud. La solucón a este problema no es trval y debe soluconarse numércamente. Para encontrar la solucón de este problema se puede emplear EasyReg. Antes de ncar, cree la varable Menu/Sngle equaton/dscrete dependent varable models. 2 exp. Posterormente, haga clc en 4

6 Ahora, escoja hacendo doble clc, las sguentes varables fzatra(), hjos0-6(), hjos6-18(), edad(), edu(), wesp(), exp() y exp()^2. Luego haga clc en Selecton OK. Observará la sguente ventana. Haga clc en No y en Contnue. Ahora escoja la varable dependente, es decr fzatra() y haga clc en Contnue dos veces. En la sguente ventana verá las demás varables que serán empleadas como varables explcatvas, asegúrese que están 5

7 selecconadas todas las varables explcatvas que desea y haga clc en Selecton OK. Ahora haga clc en Contnue dos veces. Observará la sguente ventana. En esta ventana usted debe escoger el modelo a estmar, puede escoger un modelo Logt o Probt. Haga clc en el botón Probt y posterormente en el botón Contnue. En la sguente ventana encontrará la estmacón del modelo que se reporta completamente en la Tabla 1, este resultado se encuentra resumdo en la Tabla 2. Tabla 1. Resultados de la Estmacón del Modelo Probt Probt model: Dependent varable: Y = fzatra() Characterstcs: fzatra() Frst observaton = 1 Last observaton = 753 Number of usable observatons: 753 Mnmum value: E+000 Maxmum value: E+000 Sample mean: E-001 6

8 Ths varable s a zero-one dummy varable. A Probt or Logt model s sutable. X varables: X(1) = hjos0-6() X(2) = hjos6-18() X(3) = edad() X(4) = edu() X(5) = wesp() X(6) = exp() X(7) = exp()^2 X(8) = 1 Frequency of y = 1:56.84% Frequency of y = 0:43.16% Model: P(Y=1 x) = F(b(1)x(1)+..+b(8)x(8)) Chosen opton: F(u) = c.d.f. of N(0,1) dstr. (Probt model) Newton teraton succesfully completed after 5 teratons Last absolute parameter change = Last percentage change of the lkelhood = Maxmum lkelhood estmaton results: Varable ML estmate of b(.) (t-value) x(1)=hjos0-6() b(1)= (-7.33) [p-value = ] x(2)=hjos6-18() b(2)= (0.66) [p-value = ] x(3)=edad() b(3)= (-6.51) [p-value = ] x(4)=edu() b(4)= (5.03) [p-value = ] x(5)=wesp() b(5)= (-2.02) 7

9 [p-value = ] x(6)=exp() b(6)= (6.75) [p-value = ] x(7)=exp()^2 b(7)= (-3.21) [p-value = ] x(8)=1 b(8)= (0.71) [p-value = ] [The two-sded p-values are based on the normal approxmaton] Log lkelhood: E+002 Sample sze (n): 753 If the model s correctly specfed then the maxmum lkelhood parameter estmators b(1),..,b(8), mnus ther true values, tmes the square root of the sample sze n, are (asymptotcally) jontly normally dstrbuted wth zero mean vector and varance matrx: E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+02 8

10 Así, los coefcentes estmados corresponden a 2 : ˆ β ˆ β ˆ β ˆ ˆ β β = = ˆ β ˆ β ˆ β ˆ β 8 La correspondente matrz de varanzas y covaranzas se puede encontrar empleando la matrz fnal de los resultados reportados en la Tabla 1. Noten que el logartmo de la funcón de máxma verosmltud en su máxmo corresponde a = E+002. Empleando Excel, se puede encontrar rápdamente que el Índce de la razón de Verosmltud (LRI) para este caso corresponde a: donde ln L = n Pln ( P) + ( 1 P) ln ( 1 P) 0 ln L LRI = 1 = 1 = ln L , n = 753 corresponde al número de observacones y P = es la proporcón de observacones que toman el valor de uno. En el archvo Anexostutoral6.xls se presenta una hoja electrónca que efectúa este cálculo. Para encontrar una nterpretacón ntutva de los coefcentes, es mportante calcular el efecto margnal promedo de cada varable. Esto se puede efectuar por medo de Excel, 2 Estos valores no concden exactamente n con Wooldrdge Wooldrdge, J. M. (2001). Introduccón a la Econometría: Un enfoque moderno., Thomson Learnng. 9

11 calculando el promedo muestral de cada uno de los efectos margnales.para ello, se debe evaluar cada una de las 753 observacones con la sguente fórmula: E ( β y ) 2 β x x 1 = 2 φ ( β x ) β j = e β j (3) X 2π j, donde = 1, 2,... n y j = 1, 2,... k ; después de calcular esta fórmula se calcula el promedo para cada j. En el archvo Anexostutoral6.xls se presentan los cálculos correspondentes, asegúrese que usted entende estos cálculos y resultados. El resultado del cálculo del efecto margnal promedo se reporta en la Tabla 2. Por ejemplo, encontramos que en promedo un hjo más entre 0 y 6 años mplcaba en 1975 una dsmnucón en la probabldad de partcpacón en el mercado laboral de las mujeres casadas norteamercanas de puntos porcentuales. Más nteresante aún, es el efecto que tene un aumento en los años de la experenca preva en la probabldad. Pues en este caso, 2 E ( β y ) β x x 1 = 2 φ ( β x )[ β5 + 2β6exp ] = e [ β5 + 2β6exp ] (4) exp 2π Así, un año más de experenca aumenta en promedo la probabldad de partcpar en el mercado laboral en 2.62 puntos porcentuales, pero a medda que se sumen años de experenca el aumento en la probabldad cada vez se hace más pequeño, pues β 6 es negatvo. Noten que EasyReg nos permte probar cualquer tpo de restrccón lneal de la forma Rβ = C por medo de la prueba de Wald. A esta opcón se puede acceder por medo del menú Optons/Wald test of lnear parameter restrctons. Haga clc en la opcón Done para regresar al menú prncpal. 10

12 Tabla 2 Estmacón del Modelo Probt y Logt. VARIABLE DEPENDIENTE: fzatra Estadístcos t entre paréntess Probt Logt EMV EMV Coefcentes Efecto Margnal Coefcentes Efecto Margnal constante 0, , (0,71) (0,69) hjos0-6 -0,8650-0,2607-1,4320-0,2565 (-7,33) *** (-7,08) *** hjos6-18 0,0285 0,0086 0,0471 0,0084 (0,66) (0,63) edad -0,0547-0,0165-0,0913-0,0164 (-6,51) *** (-6,32) *** edu 0,1248 0,0376 0,2093 0,0375 (5,03) *** (4,92) *** wep -0,0255-0,0077-0,0438-0,0078 (-2,02) ** (-2,06) ** exp 0,1261 0,0262 0,2097 0,0261 (6,75) *** (6,56) *** exp 2-0,0019-0,0032 (-3,21) *** (-3,14) *** LRI 0, ,21743 Wald 177,64 *** 152,48 *** ln(l) -402, ,92456 # de Obs (*) nvel de sgnfcanca: 10% (**) nvel de sgnfcanca: 5% (***) nvel de sgnfcanca: 1% Wald: corresponde al estadístco de Wald que comprueba la sgnfcanca conjunta de todas las pendentes. EMV: Estmadores de Máxma Verosmltud 11

13 2 Estmacón del Modelo Logt por el Método de Máxma Verosmltud. Recuerden que la únca dferenca entre el modelo Probt y el modelo Logt corresponde al supuesto de la funcón de densdad que se emplea. En este caso, el modelo Logt para explcar s una mujer estadoundense casada partcpó en el mercado de trabajo en el año de 1975 ésta dado por: donde ( z) ( = 1 ) = Λ ( ) P fzatra x β x (5) z e Λ =. Es decr, la funcón de densdad logístca. El vector de coefcentes z 1 + e β puede ser estmado por medo del método de máxma verosmltud, que equvale a resolver el sguente problema: Max P y X Este problema es equvalente a resolver: ˆ β ˆ β Maxl y X n ( ) = Max Λ( β ) ˆ β n ( ) = Max ln Λ ( β ) ˆ β x (6) = 1 x, = 1 donde ln[ ] corresponde al logartmo natural y. l ( y X ) es conocda como el logartmo de la funcón de verosmltud. EasyReg resuelve este problema automátcamente. Para encontrar la solucón, haga clc en Menu/Sngle equaton/dscrete dependent varable models. Y escoja, hacendo doble clc, las sguentes varables fzatra(), hjos0-6(), hjos6-18(), edad(), edu(), wesp(), exp() y exp()^2. Ahora, haga clc en Selecton OK. Observará la sguente ventana. 12

14 Haga clc en No y en Contnue. Ahora escoja la varable dependente, es decr fzatra() y haga clc en Contnue dos veces. En la sguente ventana verá las demás varables que serán empleadas como varables explcatvas, asegúrese que están selecconadas todas las varables explcatvas que desea y haga clc en Selecton OK. Ahora, haga clc en Contnue dos veces. Observará la sguente ventana. 13

15 En esta ventana haga clc en el botón Logt y posterormente en el botón Contnue. En la sguente ventana encontrará la estmacón del modelo que se reporta completamente en la Tabla 3, este resultado se encuentra resumdo en la Tabla 2. Tabla 3. Resultados de la Estmacón del Modelo Logt Logt model: Dependent varable: Y = fzatra() Characterstcs: fzatra() Frst observaton = 1 Last observaton = 753 Number of usable observatons: 753 Mnmum value: E+000 Maxmum value: E+000 Sample mean: E-001 Ths varable s a zero-one dummy varable. A Probt or Logt model s sutable. X varables: X(1) = hjos0-6() X(2) = hjos6-18() X(3) = edad() X(4) = edu() X(5) = wesp() X(6) = exp() X(7) = exp()^2 X(8) = 1 14

16 Frequency of y = 1:56.84% Frequency of y = 0:43.16% Model: P(Y=1 x) = F(b(1)x(1)+..+b(8)x(8)) Chosen opton: F(u) = 1/[1+EXP(-u)] (Logt model) Newton teraton succesfully completed after 5 teratons Last absolute parameter change = Last percentage change of the lkelhood = Maxmum lkelhood estmaton results: Varable ML estmate of b(.) (t-value) x(1)=hjos0-6() b(1)= (-7.08) [p-value = ] x(2)=hjos6-18() b(2)= (0.63) [p-value = ] x(3)=edad() b(3)= (-6.32) [p-value = ] x(4)=edu() b(4)= (4.92) [p-value = ] x(5)=wesp() b(5)= (-2.06) [p-value = ] x(6)=exp() b(6)= (6.56) [p-value = ] x(7)=exp()^2 b(7)= (-3.14) [p-value = ] x(8)=1 b(8)= (0.69) [p-value = ] [The two-sded p-values are based on the normal approxmaton] Log lkelhood: E+002 Sample sze (n):

17 If the model s correctly specfed then the maxmum lkelhood parameter estmators b(1),..,b(8), mnus ther true values, tmes the square root of the sample sze n, are (asymptotcally) jontly normally dstrbuted wth zero mean vector and varance matrx: E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+02 16

18 En este caso tenemos que los coefcentes estmados para el modelo Logt son 3 : ˆ β LOGIT ˆ β ˆ β ˆ β ˆ β = = ˆ β ˆ β ˆ β ˆ β 8 Noten que los coefcentes estmados para el modelo Probt y el modelo Logt conservan el msmo sgno y como lo sugere Amemya (1981) los estmadores de máxma verosmltud para los modelo Probt y Logt sguen aproxmadamente la sguente relacón: ˆ β Probt ˆ β En este caso, ustedes pueden comprobar que esta relacón se mantene aproxmadamente. Recuerde que esta relacón se da gracas a la smltud entre las dos funcones de densdad (Ver Fgura 1 ) Logt 3 Estos valores no concden exactamente n con Wooldrdge Wooldrdge, J. M. (2001). Introduccón a la Econometría: Un enfoque moderno., Thomson Learnng, n con Mroz Mroz, T. A. (1987). "The Senstvty Of An Emprcal Model Of Marred Women's Hours Of Work To Economc And Statstcal Assumptons." Econometrca 55(4): 765-, pues los datos no son exactamente los msmos por no nclur todos los decmales. 17

19 Fgura 1. Funcones de Densdad Normal y Logístca F(x) x Dstrb. de densdad Normal Dstrb. de densdad Logístca Para este modelo Logt estmado tenemos que el logartmo de la funcón de máxma verosmltud en su máxmo corresponde a = E+002. Como se menconó anterormente, por medo de Excel se puede encontrar rápdamente que el Índce de la razón de Verosmltud (LRI) para este caso corresponde a: donde ln L = n Pln ( P) + ( 1 P) ln ( 1 P) 0 ln L LRI = 1 = 1 = ln L , n = 753 corresponde al número de observacones y P = es la proporcón de observacones que toman el valor de uno. En el archvo Anexostutoral6.xls se presenta una hoja electrónca que efectúa este cálculo. Así como en el modelo Probt, para encontrar una nterpretacón ntutva de los coefcentes, es mportante calcular el efecto margnal promedo de cada varable. Esto se puede efectuar por medo de Excel, calculando el promedo muestral de cada uno de los efectos margnales. Para ello se debe evaluar cada una de las 753 observacones en la sguente fórmula: 18

20 E y β β β x x e x e = Λ ( β x ) 1 ( β ) β j 1 β β j X Λ x = (7) x β j, 1+ e x 1+ e donde = 1, 2,... n y j = 1, 2,... k ; después de calcular esta fórmula se calcula el promedo para cada j. En el archvo Anexostutoral6.xls se presentan los cálculos correspondentes, asegúrese que usted entende estos cálculos y resultados. Los efectos margnales estmados se reportan en la Tabla 2. Noten que estos efectos margnales del modelo Logt son muy smlares a los efectos margnales encontrados para el modelo Probt estmado. Es mportante resaltar que para el caso del efecto margnal que tene un aumento en los años de la experenca preva en la probabldad hay que tener un poco de cudado, pues en este caso, β x E y exp = Λ( β x ) 1 Λ ( β x ) [ β5 + 2β6exp ] (8) Noten que así como para el caso del modelo Probt, EasyReg nos permte probar cualquer tpo de restrccón lneal de la forma Rβ = C por medo de la prueba de Wald. A esta opcón se puede acceder por medo del menú Optons/Wald test of lnear parameter restrctons. Haga clc en la opcón Done para regresar al menú prncpal. 3 Referencas Amemya, T. (1981). "Qualtatve Response Model: A Survey." Journal of Economc Lterature 19: Berens, H. J. (2009), "EasyReg Internatonal", Department of Economcs, Pennsylvana State Unversty. ( ) 19

21 Mroz, T. A. (1987). "The Senstvty Of An Emprcal Model Of Marred Women's Hours Of Work To Economc And Statstcal Assumptons." Econométrca 55(4): Wooldrdge, J. M. (2001). Introduccón a la Econometría: Un enfoque moderno, Thomson Learnng. 20