c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos, realizando el DCL de cada uno: P B

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1 Capitulo º 5: [S.Z.F.Y. 5] APLICACIOES DE LAS LEYES DE EWO 5-1 Pasos a seguir para resolver problemas de Dinámica a) Comprender la situación física planteada en el enunciado, leéndolo cuidadosamente. b) Identificar los cuerpos cua masa no se desprecia. c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos. d) Representar (si se conoce o puede preverse) el vector aceleración (recordar que no es una fuerza). e) Escoger dibujar los ejes coordenados e representar el sentido positivo de cada uno. Es conveniente seleccionar la dirección sentido de uno de los ejes, en la dirección sentido de la aceleración (así cuando se aplique la segunda Le de ewton las componentes de la aceleración serán positivas). Si la componente de la aceleración es nula, el sentido adoptado para el eje es arbitrario. f) Calcular las componentes de todas las fuerzas en las direcciones de ambos ejes (para esto se utilizan las funciones trigonométricas seno coseno) g) Plantear la segunda Le de ewton para cada cuerpo, en las direcciones elegidas: F = m. a F = m. a F = m. a h) Comprobar que se dispone de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, calcular la/s incógnita/s resolviendo matemáticamente el sistema. i) Verificar la validez de las soluciones halladas. Ejemplo de resolución de un problema: En el sistema de la Figura 5-1, el bloque A de masa m A se ubica sobre el plano inclinado sin roce, que forma un ángulo con respecto a la horizontal. La polea por donde cuelga el bloque B de masa m B conectado a A, es de masa despreciable la cuerda se considera inetensible también de masa despreciable. Calcular la aceleración del sistema. Resolución: A Figura 5-1 B a) Se trata de un sistema físico que podría estar en equilibrio, en reposo o moviéndose ambos cuerpos con velocidades constantes, o bien estar acelerados. Por acción de la atracción gravitatoria, el cuero B puede caer, arrastrando hacia arriba al cuerpo A sobre el plano inclinado, o bien, el cuerpo A cae sobre el plano el cuerpo B asciende. Que ocurra cualquiera de estas situaciones dependerá, como veremos, de las masas de los cuerpos del ángulo del plano inclinado. b) Identificar los cuerpos cua masa no se desprecia: Cuerpos A B 1

2 c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos, realizando el DCL de cada uno: d) Representar (si se conoce o puede preverse) el vector aceleración (recordar que no es una fuerza). De los casos que hemos considerado posibles, suponemos uno de ellos (esto es arbitrario en este caso) que el sistema se acelera de modo que A asciende B desciende. a A 1 2 a B P A P B e) Escoger dibujar los ejes coordenados e representar el sentido positivo de cada uno. De acuerdo con la aceleración que suponemos adquiere el sistema, escogemos el eje en la dirección sentido de la aceleración para el cuerpo A el eje para el cuerpo B. De este modo, ambas aceleraciones tienen una única componente ésta es positiva. De este modo, la elección del sentido positivo del eje perpendicular al eje en el Bloque A es indistinto, porque no ha componente de la aceleración en esa dirección. a A a A 0 a A = 0 a A 1 2 a B a B = 0 a B 0 P B P A f) Calcular las componentes de todas las fuerzas en las direcciones de ambos ejes. En este caso, sólo es necesario descomponerla fuerza P A : P AX = m B. g. cos P A = m A. g. sen a A 1 2 m A. g. sen m A. g. cos m B. g a B m A. g g) Plantear la segunda Le de ewton para cada cuerpo: Para el Bloque A: F = m A. a A - m A. g. cos = 0 (1) F = m A. a AX 1 - m A. g. sen = m A.a AX (2) 2

3 Para el Bloque B: F = m B. a B m B. g 2 = m B.a B (3) h) Comprobar que se dispone de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, calcular la/s incógnita/s resolviendo matemáticamente el sistema. 1 = 2 = a que la masa de la polea se consideró despreciable. a = a = a si se considera que la cuerda es de masa despreciable e inetensible. Con estas consideraciones, la ecuación (2) queda: = m A. g. sen + m A.a Y la (3) queda: = m B.g - m B. a En este caso, tenemos entonces tres ecuaciones, en las que se desconocen, a. Como se solicita sólo la aceleración, la ecuación (1) no aporta información debemos resolver el sistema de las dos ecuaciones anteriores: m A. g. sen + m A.a = m B.g - m B. a m A.a + m B. a = m B.g - m A. g. sen de donde obtenemos finalmente: a = g. (m B - m A. sen ) m A + m B i) Verificar la validez de las soluciones halladas. Analizando la epresión anterior, vemos que: si m B > m A. senentonces a > 0 el sistema se acelerará según lo supuesto. si m B < m A. senentonces a < 0 el sistema se acelerará en el sentido opuesto al supuesto. si m B = m A. senentonces a = 0 el sistema no tiene aceleración, en cuo caso puede estar en reposo o bien moviéndose con velocidad constante en cualquiera de los dos sentidos. ambién vemos que cuanto maor es la inercia total del sistema (m A + m B ), menor es la aceleración que éste adquiere. 5-2 Fuerzas de rozamiento Aunque la naturaleza de la interacción responsable de las fuerzas de rozamiento no es bien conocida, parece que son debidas a interacciones entre las moléculas de ambos cuerpos en los lugares en los que las superficies están en contacto. Las fuerzas de rozamiento pueden ser: Fuerza de rozamiento estática (fr e ): Se origina cuando un cuerpo en reposo sobre un plano se le aplica una fuerza para intentar ponerlo en movimiento (aunque no llegue a deslizar). El sentido de esta fuerza de rozamiento es tal que se opone al movimiento relativo entre las superficies de contacto. Fuerza de rozamiento cinética (fr c ): Se origina cuando un cuerpo desliza, por ejemplo, sobre un plano. De las mediciones eperimentales se deduce que: La fuerza de rozamiento siempre se opone al deslizamiento de los puntos del objeto en contacto con la superficie de apoo respecto de la misma. Es paralela al plano. 3

4 Depende da la naturaleza estado de las superficies en contacto. Es proporcional a la fuerza normal. Es independiente de la velocidad del cuerpo, mientras ésta no sea mu elevada. Es independiente del área (aparente) de las superficies en contacto. FUERZA DE ROZAMIEO CIÉICA La fuerza de rozamiento cinética es ejercida por el plano sobre los cuerpos es la responsable de que éstos disminuan su velocidad si se dejan deslizar libremente. De aquí (primera le de ewton) que si queremos que un cuerpo que desliza sobre un plano no disminua su velocidad, hemos de empujarlo (aplicar una fuerza). Como se puede observar tiene un valor constante depende del valor de la normal del coeficiente de rozamiento. fr c = c Donde: fr c : es la fuerza de rozamiento cinética. c : Coeficiente de rozamiento cinetico. úmero sin unidades. Depende de la naturaleza de las superficies de su estado. : Fuerza normal o acción del plano. FUERZA DE ROZAMIEO ESÁICA La fuerza de rozamiento estática aparece cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo para intentar que éste deslice. Si la fuerza aplicada está por debajo de determinado valor no se iniciará el deslizamiento, debido a que la fuerza de rozamiento estática equilibra la fuerza aplicada. Si aumentamos el valor de la fuerza aplicada, aumenta en la misma relación que el valor de la fuerza de rozamiento estática el cuerpo permanece en reposo. Si seguimos aumentando la fuerza llegará un momento que el cuerpo comienza a deslizar. La fuerza de rozamiento estática no puede crecer indefinidamente. Su valor máimo viene dado por la epresión: fr e = e. Donde: Fr e : es la fuerza de rozamiento estática. e: es el coeficiente de rozamiento estático. Depende de la naturaleza de las superficies en contacto de su estado. iene un valor igual o superior a c. : Fuerza normal o acción del plano Una vez que la fuerza aplicada es superior al valor máimo que puede alcanzar la fuerza de rozamiento estática, el cuerpo comienza a deslizar aparece la fuerza de rozamiento cinética. Ejemplos de coeficientes de rozamiento: Materiales en contacto e c Acero - acero 0,74 0,57 Aluminio - acero 0,61 0,47 Cobre - acero 0,53 0,36 Las fuerzas de fricción también pueden actuar cuando no ha movimiento relativo. Si tratamos de deslizar por el piso un bloque, tal vez no se mueva porque el piso ejerce una fuerza de fricción igual opuesta sobre el bloque. En la Figura 5-2 a, un bloque está en reposo, en equilibrio, bajo la acción de su peso la fuerza normal hacia arriba, la fuerza normal es igual en magnitud al peso ejercida por el piso sobre el bloque. En la Figura 5-2 b, aplicamos una fuerza F gradualmente aumentamos la fuerza. Al principio, el bloque no se mueve porque, al aumentar F, la fuerza de fricción estática fr e también aumenta (su magnitud se mantiene igual a F). 4

5 En la Figura 5-2 c, muestra las fuerzas cuando F tiene un valor crítico. Si F ecede dicho valor, el bloque a no estará en equilibrio. Para un par de superficies dado, el valor máimo de fr e depende de la fuerza normal. Los eperimentos han revelado que, en muchos casos, ese valor máimo, llamado (fr e MAX, es aproimadamente proporcional a ; llamamos coeficiente de fricción estática al factor de proporcionalidad e. En la Figura 5-2 d, cuando se inicia el deslizamiento del bloque, la fuerza de fricción suele disminuir; es más fácil mantener el bloque en movimiento que ponerlo en movimiento. Por lo tanto, el coeficiente de fricción cinética suele ser menor que el de fricción estática para un par de superficies dado. Si comenzamos con una fuerza aplicada igual a cero aumentamos gradualmente la misma, la fuerza de fricción varía un poco, como se muestra en la Figura 5-2 e. a) b) c) d) F F F P P P P o se aplica fuerza, el bloque está en reposo. Sin fricción. fr e =0 fr e fr e fr c Fuerza aplicada de pequeña magnitud, el bloque permanecerá en reposo. fr e < e. Maor fuerza aplicada, el bloque a punto de deslizarse. Fricción estática fr e = e. El bloque se desliza con rapidez constante. Fricción cinética Fr c = c. e) fr fr e MAX. fr c Bloque en reposo: La fricción estática es igual a la fuerza aplicada Bloque en movimiento: La fricción cinética es constante Figura 5-2 F 5-3 Dinámica del movimiento Circular En el movimiento circular uniforme vimos que cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, su aceleración siempre es hacia el centro del círculo (perpendicular a la velocidad instantánea). La magnitud a RAD de la aceleración es constante está dada en términos de la rapidez v el radio R del círculo por a RAD = v 2 /R El subíndice rad nos recuerda que en cada punto la aceleración siempre es radial hacia el centro del círculo, perpendicular a la velocidad instantánea. El movimiento circular uniforme, como todos los movimientos de una partícula, se rige por la segunda le de ewton. Para hacer que la 5

6 partícula acelere hacia el centro del círculo, la fuerza neta sobre la partícula debe estar dirigida siempre hacia el centro (Figura 5-3). La magnitud de la aceleración es constante, así que la magnitud de la fuerza neta también debe ser constante. Si deja de actuar lafuerza neta hacia adentro, la partícula saldrá disparada en una línea recta tangente al círculo La magnitud de la aceleración radial está dada por a RAD = V 2 /R, así que la magnitud de la fuerza neta sobre una partícula de masa m, es: F neta = m. a RAD = m. v 2 /R v F a F a a v F 5-4 Ejemplos de problemas de Dinámica del movimiento Circular Figura 5-3 v a) Péndulo cónico: Se llama péndulo cónico a un cuerpo de masa m sujeto al etremo de una cuerda de longitud L, que describe una traectoria circular en el plano horizontal, generando una superficie cónica (Figura 5-4). F = 0 cos - m.g = 0 = m.g/cos F = m. a RAD. sen = m v 2 /R [m.g/cos q. sen = m v 2 /R v 2 = R. g. tg. cos. sen a RAD m L R b) Vuelta a una curva plana: m.g Figura 5-4 F = 0 - m.g = 0 = m.g Fr =. =. F = m. a RAD Fr = m. a RAD. = m v 2 /R. g. R = v 2 v MAX =.R. g R a RAD Fr m.g c) Curva Peraltada: F = 0 cos - m.g = 0 = m.g/ cos F = m. a RAD. sen = m. a RAD [m.g/ cos. cos = m v 2 /R v 2 MAX= g. tg. R R = 150 m a RAD. cos 6. sen

7 d) Movimiento circular vertical (MCUV): PUO A: F = m. a RADA + = m. v A 2 /R PUO B: F = m. a RADB - = m. v B 2 /R A m.g.sen D C m.g.cos PUO C: F = m. a RADC = m. v C 2 /R F = m. a GC = m. a GC a GC = g PUO D: F = m. a RADD +. sen = m. v D 2 /R a RADC a GC v C C v D m.g.sen a RADC B D m.g.cos a GD 7