La trigonometría en planos finitos: 2

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1 La trigonometría en planos finitos: 2 Joseph C. Várilly Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica EMLC: Febrero del 2014 Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

2 Planos finitos y su trigonometría Esta es la segunda de dos conferencias: 1 El escenario: Las coordenadas en planos finitos 2 El drama: La trigonometría racional y finita Medición de distancias y ángulos Reglas para la trigonometría racional Elementos de geometría en un plano finito Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

3 Es posible evitar las raíces cuadradas? Con coordenadas cartesianas, el cálculo de la longitud de un segmento requiere evaluar raíces cuadradas. Si = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ), entonces B = B = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. E.g., si = (3, 5) y B = (7, 4), entonces B = 17. = Con esta medida de longitud, no es posible limitar las coordenadas al cuerpo Q de los números racionales. La cantidad 17, la raíz positiva de la ecuación x 2 17 = 0, pertenece al cuerpo Q de los números algebraicos. En el cuerpo finito F p (siempre con p > 2, primo), hay otra objeción: muchos números no ceros la mitad no son cuadrados y no poseen raíz cuadrada alguna. (En Q sucede lo mismo: los números negativos no son cuadrados de otros números racionales.) Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

4 La cuadrancia de un par de puntos Es posible reemplazar la longitud B del segmento cuyos extremos son = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) por su cuadrancia: Q B = Q B := (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Está claro que Q B = B 2 en el plano Q Q ó R R. En un plano finito F p F p, la cuadrancia de un par de puntos no requiere segmentos: Q B QC B Q BC C El geómetra Norman Wildberger, de Sydney, ustralia, ha propuesto suprimir longitudes en favor de cuadrancias. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

5 Goniometría: la medición de ángulos Los ángulos se pueden medir en radianes: se toma la proporción entre la longitud de un arco circular y el radio del círculo. El astrónomo Claudio Tolomeo (siglo II) midió ángulos con la cuerda en vez del arco; de hecho, usó la media cuerda [ = r sen(θ/2) ]: r rθ θ B C D Si BC es un ángulo recto, el seno del ángulo en B se define como la proporción sen( BC) := C : B. Su cuadrado es entonces sen 2 ( BC) = Q C : Q B. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

6 El despliegue de dos rectas En vez de medir ángulos, se trata de asignar un número a la abertura entre dos rectas que se cortan. Como sen 2 ( θ) = sen 2 θ = sen 2 (π θ) = sen 2 (θ π), los cuatro ángulos formados por las rectas B y BC tienen un sen 2 del mismo valor: B s s s s C Si el segmento C es la perpendicular desde a BC, el despliegue de las dos rectas B y BC se define por s B = s(b, BC) := C 2 : B 2 = Q C : Q B. Con el teorema de Thales, se ve que s(b, BC) = s(bc, B). Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

7 La cuadrancia y el despliegue son racionales La cuadrancia Q y el despliegue s no requieren raíces cuadradas. demás, el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo BC ahora es una ecuación de primer grado: Q BC + Q C = Q B si y sólo si C BC. Q s B Q C s B s C B Q BC C El triángulo BC con B = (0, 0), C = (12, 0), = (12, 5), por ejemplo, tiene los siguientes parámetros: Q BC = 144, Q C = 25, Q B = 169; s = , s B = , s C = 1. En el plano Q Q, se obtiene trigonometría racional. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

8 Funciones trigonométricas racionales El despliegue de dos rectas no nulas r 1 = a 1 : b 1 : c 1 y r 2 = a 2 : b 2 : c 2 se define así: s(r 1, r 2 ) := (a 1b 2 a 2 b 1 ) 2 (a b2 1 )(a2 2 + b2 2 ). En vista de la identidad de Fibonacci: (a b 2 1)(a b 2 2) = (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 + (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) 2, se puede definir el cruce de estas rectas, c = 1 s, por c(r 1, r 2 ) := (a 1a 2 + b 1 b 2 ) 2 (a b2 1 )(a2 2 + b2 2 ). Se ve que s(r 1, r 2 ) = 1 si y sólo si a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0, si y sólo si r 1 r 2. Fíjese que sc = s(1 s) es un cuadrado. Con coordenadas en R, esto dice que 0 s 1. Pero en F 13, s(1 s) {0, 1, 9, a} s {0, 1, 4, 6, 7, 8, a}. Los otros cuadrados 3, 4, c no son de la forma s(1 s). Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

9 Funciones trigonométricas racionales El despliegue de dos rectas no nulas r 1 = a 1 : b 1 : c 1 y r 2 = a 2 : b 2 : c 2 se define así: s(r 1, r 2 ) := (a 1b 2 a 2 b 1 ) 2 (a b2 1 )(a2 2 + b2 2 ). En vista de la identidad de Fibonacci: (a b 2 1)(a b 2 2) = (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 + (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) 2, se puede definir el cruce de estas rectas, c = 1 s, por c(r 1, r 2 ) := (a 1a 2 + b 1 b 2 ) 2 (a b2 1 )(a2 2 + b2 2 ). Se ve que s(r 1, r 2 ) = 1 si y sólo si a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0, si y sólo si r 1 r 2. Fíjese que sc = s(1 s) es un cuadrado. Con coordenadas en R, esto dice que 0 s 1. Pero en F 13, s(1 s) {0, 1, 9, a} s {0, 1, 4, 6, 7, 8, a}. Los otros cuadrados 3, 4, c no son de la forma s(1 s). Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

10 Funciones trigonométricas racionales El despliegue de dos rectas no nulas r 1 = a 1 : b 1 : c 1 y r 2 = a 2 : b 2 : c 2 se define así: s(r 1, r 2 ) := (a 1b 2 a 2 b 1 ) 2 (a b2 1 )(a2 2 + b2 2 ). En vista de la identidad de Fibonacci: (a b 2 1)(a b 2 2) = (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 + (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) 2, se puede definir el cruce de estas rectas, c = 1 s, por c(r 1, r 2 ) := (a 1a 2 + b 1 b 2 ) 2 (a b2 1 )(a2 2 + b2 2 ). Se ve que s(r 1, r 2 ) = 1 si y sólo si a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0, si y sólo si r 1 r 2. Fíjese que sc = s(1 s) es un cuadrado. Con coordenadas en R, esto dice que 0 s 1. Pero en F 13, s(1 s) {0, 1, 9, a} s {0, 1, 4, 6, 7, 8, a}. Los otros cuadrados 3, 4, c no son de la forma s(1 s). Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

11 Cuadrancia desde un punto a una recta La cuadrancia desde el punto = (x 1, y 1 ) a una recta no nula r = a : b : c se define así: Q(, r) := (ax 1 + by 1 + c) 2 a 2 + b 2. Hay una única recta p = b : a : bx 1 ay 1 que pasa por, perpendicular a r. Su intersección T con r tiene coordenadas ( b 2 x 1 aby 1 ac T = a 2 + b 2, abx 1 + a 2 ) y 1 bc a 2 + b 2 y es fácil verificar que Q(, r) = Q T. La mediatriz de un par de puntos = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) es la recta a B que pasa por el punto medio M = ( 1 2 (x 1 + x 2 ), 1 2 (y 1 + y 2 ) ). Esta es la recta p = x 1 x 2 : y 1 y 2 : 1 2 (x 2 2 x y 2 2 y 2 1 ). (La mediatriz existe aunque B sea una recta nula.) Fíjese que P es un punto de p si y sólo si Q P = Q PB. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

12 Cuadrancia desde un punto a una recta La cuadrancia desde el punto = (x 1, y 1 ) a una recta no nula r = a : b : c se define así: Q(, r) := (ax 1 + by 1 + c) 2 a 2 + b 2. Hay una única recta p = b : a : bx 1 ay 1 que pasa por, perpendicular a r. Su intersección T con r tiene coordenadas ( b 2 x 1 aby 1 ac T = a 2 + b 2, abx 1 + a 2 ) y 1 bc a 2 + b 2 y es fácil verificar que Q(, r) = Q T. La mediatriz de un par de puntos = (x 1, y 1 ) y B = (x 2, y 2 ) es la recta a B que pasa por el punto medio M = ( 1 2 (x 1 + x 2 ), 1 2 (y 1 + y 2 ) ). Esta es la recta p = x 1 x 2 : y 1 y 2 : 1 2 (x 2 2 x y 2 2 y 2 1 ). (La mediatriz existe aunque B sea una recta nula.) Fíjese que P es un punto de p si y sólo si Q P = Q PB. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

13 Las reglas básicas de la trigonometría racional La trigonometría con coordenadas generales depende de 5 reglas básicas. s Q B Q C s B s C B Q BC C Tres puntos, B, C definen tres cuadrancias Q BC, Q C, Q B ; y tres despliegues s = s(b, C), s B = s(bc, B), s C = s(c, CB) cuando las rectas BC, C, B son rectas ordinarias (no nulas). Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

14 La regla de colinealidad Regla 1 Los tres puntos, B, C son colineales si y sólo si (Q BC + Q C + Q B ) 2 = 2(Q 2 BC + Q2 C + Q2 B ). La diferencia entre los dos lados de esta ecuación es (Q BC + Q C + Q B ) 2 2(Q 2 BC + Q2 C + Q2 B ) = 4 Q BC Q C (Q BC + Q C Q B ) 2 = 4(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 1 y 3 x 2 y 1 x 3 y 2 ) 2. La última cantidad es cero si y sólo si, B, C son colineales. Con coordenadas en Q ó R, dicha diferencia es positiva (si no hay colinealidad) y es 16 veces el cuadrado del área de BC. Esta relación con el área euclidiana es equivalente a la fórmula de Herón (y rquímedes): rea 2 (BC) = s(s a)(s b)(s c). Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

15 La fórmula de Pitágoras Regla 2 Las rectas C y BC son perpendiculares si y sólo si Q BC + Q C = Q B. Un cálculo con coordenadas muestra que Q BC + Q C Q B = 2 ( (x 1 x 3 )(x 2 x 3 ) + (y 1 y 3 )(y 2 y 3 ) ). l trasladar el origen al punto C, tal que (x 3, y 3 ) = (0, 0), el lado derecho se convierte en 2(x 1 x 2 + y 1 y 2 ). Esto se anula si y sólo si C BC. Q B s B Q BC Q C Si C BC y ninguna de las tres rectas B, C, BC es nula, entonces C s(b, BC) = Q C : Q B. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

16 La ley de despliegues Regla 3 Si BC, C, B son rectas no nulas, sus despliegues y cuadrancias están ligadas así: s = s B = s C. Q BC Q C Q B Q B Q D Q C s B s C B Q BD D Q CD C En el diagrama, la recta D es a BC. La fórmula anterior muestra que s B Q B = Q D = s C Q C, así que s B /Q C = s C /Q B. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

17 La ley de cruces Regla 4 Si las rectas BC y C no son nulas, esta igualdad es válida: (Q BC + Q C Q B ) 2 = 4 Q BC Q C (1 s C ). Del diagrama anterior y la fórmula de Pitágoras, se obtiene 1 s C = 1 s(cd, C) = s(d, C) = Q CD : Q C, y por ende Q CD = Q C (1 s C ). Por la misma fórmula, Q C Q CD = Q D = Q B Q BD, luego Q C Q B = Q CD Q BD. La colinealidad de los puntos B, D, C da (Q BC + Q CD Q BD ) 2 = 4 Q BC Q CD. l combinar estas relaciones, se obtiene la fórmula de la regla. Las reglas 3 y 4 son versiones cuadráticas de la ley de senos y la ley de cosenos de la trigonometría usual. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

18 La relación de tres despliegues Regla 5 Si las rectas BC, C, B no son nulas, esta igualdad es válida: (s + s B + s C ) 2 = 2(s 2 + s2 B + s2 C ) + 4 s s B s C. La fórmula de la Regla 4 se reorganiza así: (Q BC + Q C + Q B ) 2 = 2(Q 2 BC + Q2 C + Q2 B ) + 4 Q BC Q C s C. La Regla 3 muestra que hay un número k 0 tal que Q BC = k s, Q C = k s B, Q B = k s C. l dividir la primera fórmula por k 2, se obtiene la fórmula de la regla. Una forma menos simétrica de escribir esta regla es: ( sc (s (1 s B ) + (1 s )s B ) ) 2 = 4s s B (1 s )(1 s B ). En la trigonometría usual, esta relación es equivalente a sen 2 C = (sen cos B + cos sen B) 2 = sen 2 ( + B), o bien sen( + B) = sen C = sen(π C). La Regla 5 entonces expresa el teorema + B + C = π de la geometría euclidiana. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

19 La relación de tres despliegues Regla 5 Si las rectas BC, C, B no son nulas, esta igualdad es válida: (s + s B + s C ) 2 = 2(s 2 + s2 B + s2 C ) + 4 s s B s C. La fórmula de la Regla 4 se reorganiza así: (Q BC + Q C + Q B ) 2 = 2(Q 2 BC + Q2 C + Q2 B ) + 4 Q BC Q C s C. La Regla 3 muestra que hay un número k 0 tal que Q BC = k s, Q C = k s B, Q B = k s C. l dividir la primera fórmula por k 2, se obtiene la fórmula de la regla. Una forma menos simétrica de escribir esta regla es: ( sc (s (1 s B ) + (1 s )s B ) ) 2 = 4s s B (1 s )(1 s B ). En la trigonometría usual, esta relación es equivalente a sen 2 C = (sen cos B + cos sen B) 2 = sen 2 ( + B), o bien sen( + B) = sen C = sen(π C). La Regla 5 entonces expresa el teorema + B + C = π de la geometría euclidiana. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

20 Triángulo isósceles: Pons asinorum Un triángulo no nulo (ninguna de sus tres rectas es nula) es isósceles si tiene dos cuadrancias iguales: Q B = Q C, por ejemplo. Esto es equivalente a que s C = s B, por la ley de despliegues: Q B s B r Q C s C Q BC Si s B = s C = s y s = r, la relación entre estos despliegues es r = 4s(1 s). Esto es una consecuencia de la relación de tres despliegues: (r + 2s) 2 = 2(r 2 + 2s 2 ) + 4 rs 2 implica r 2 = 4rs 4rs 2 pero r 0 ya que, B, C no son colineales. (Versión tradicional: sen 2 (π 2θ) = sen 2 2θ = 4 sen 2 θ cos 2 θ.) Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

21 Teoremas de Ceva y Menelaos Sea BC un triángulo no nulo y sean P, Q, R tres puntos de las rectas respectivas BC, C, B. Si se cumple uno de: Ceva: las rectas P, BQ, CR son no nulas y concurrentes; o bien Menelaos: P, Q, R son colineales en una recta no nula; entonces Q BP Q PC Q CQ Q Q Q R Q RB = 1. B R P Q J C B R Q C P Dem. para Menelaos: apĺıquese la ley de despliegues en los triángulos RQ, BPR, CQP y cancélese los despliegues. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

22 Circuncírculo de un triángulo En un triángulo BC, las mediatrices de los lados son concurrentes en el circuncentro O, que satisface Q O = Q OB = Q OC =: K. (La circuncuadrancia K no es necesariamente un cuadrado.) B C K B O K K C Si BC es un triángulo no nulo, se cumple la ley de despliegues extendida: s = s B = s C = 1 Q BC Q C Q B 4K. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

23 Despliegues inscritos en círculos Sean y B dos puntos de un círculo no nulo con centro O. Si P es cualquier otro punto del círculo, el despliegue central r = s(o, OB) y el despligue periférico s = s(p, PB) cumplen la relación r = 4s(1 s). P s s 1 O r B s 2 s 2 D B s 1 C demás, si, B, C, D son cuatro puntos de un círculo no nulo, entonces s(b, D) = s(cb, CD) y s(bc, B) = s(dc, D). Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

24 Incentros de un triángulo Una recta I es una bisectriz de las rectas no nulas B y C si s(i, B) = s(i, C). Una bisectriz existe si y sólo si s(b, C) es un cuadrado; en cuyo caso, hay dos bisectrices, perpendiculares entre sí. I 3 B I 1 I 0 C I 2 Si hay bisectrices de dos vértices de BC, hay del tercero también. Los 6 bisectrices son concurrentes en 4 puntos: los incentros de BC. Hay cuatro incírculos: Q(I n, BC) = Q(I n, C) = Q(I n, B); n = 0, 1, 2, 3. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21

25 El teorema de Stewart Si F queda sobre la recta BC y BC es un triángulo no nulo, Q CF (Q F + Q BF Q B ) 2 = Q BF (Q F + Q CF Q C ) 2. Q B Q F Q C r s B s C B Q BF F Q CF r C Si la recta F no es nula, sea r := s(f, BF ). La ley de cruces, aplicada a BF y CF, reduce la fórmula enunciada a la igualdad Q CF ( 4 QF Q BF (1 r) ) = Q BF ( 4 QF Q CF (1 r) ). Si la recta F es nula: Q F = 0, la relación de tres despliegues la reduce a 4 Q CF Q BF Q B s B = 4 Q BF Q CF Q C s C. Joseph C. Várilly La trigonometría en planos finitos: 2 EMLC: Febrero del / 21