Problemas de Proporcionalidad.

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1 Problemas de Proporcionalidad. 1. Responde a las siguientes cuestiones: (a) Cuál es el cuarto proporcional de 9, 12 y 5? Y el medio proporcional de 9 y 16? (b) Forman proporción las razones 2 3 y ? Y las razones 7 y ? 2. Dadas las tablas adjuntas: A C 4 3 E B D ,2 F 14 10,5 3,5 (a) Complétalas de manera que las magnitudes A y B y las magnitudes C y D sean inversamente proporcionales, y las magnitudes E y F sean directamente proporcionales. (b) Calcula la constante de proporcionalidad en cada caso. 3. Halla el término desconocido en las siguientes proporciones: (a) 4 8 = 5 x (b) = x 54 (c) x 51 = Completa estas tablas para que los valores que resulten sean: (a) Directamente proporcionales: (b) Inversamente proporcionales: A B C D Para pintar una muralla de 45 m 2 dos trabajadores necesitan 20 litros de pintura. Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar una muralla de superficie similar que mide 18 m 2? 6. Se desea limpiar un canal en dos semanas; se sabe que el año pasado se debió realizar el mismo trabajo y que 21 obreros tardaron 30 días, cuántos obreros es necesario contratar? 7. El año pasado 6 hombres cavaron una acequia de 12 metros. Cuántos hombres se necesitan para cavar en el mismo tiempo una acequia de 44 metros? 8. Un tren tarda cuatro horas en ir entre dos ciudades a una velocidad de 80 km/h. A qué velocidad promedio debe ir si necesita llegar 45 minutos antes? 9. Un equipo de 4 arquitectos dibujó 34 planos en 1 mes. Si para el mes siguiente deben entregar 51 planos, cuántos ayudantes necesitan contratar? 10. Para construir una terraza un trabajador encarga 720 baldosas cuadradas de 25 cm de lado. Su proveedor le indica que sólo tiene baldosas cuadradas de 40 cm de lado, cuántas baldosas debe comprar? 11. Cuatro grifos llenan una piscina con una capacidad de 18 m 3 en 12 horas. Cuánto tiempo se necesita para llenar la misma piscina con 3 grifos solamente? 12. Para una biblioteca infantil se disponen de e que alcanzan para comprar 120 libros de cuentos. Si se recibe una donación de e, cuántos libros más, del mismo tipo, se pueden comprar? 13. Se sabe que 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días trabajando 8 horas diarias. Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 mujeres para confeccionar 270 abrigos en 25 días? 14. Se necesitan 18 máquinas para construir un dique trabajando 9 horas diarias durante 15 días. Cuántos días deberán funcionar 27 máquinas en el mismo tipo de trabajo si lo hacen durante 10 horas diarias? 15. Un grupo de 10 jóvenes realizó una excursión ciclística de 20 días, el coste total resultó ser e. Cuánto dinero gastarán 8 muchachos en una excursión similar cuya duración sea de 25 días? 16. Un fabricante de detergente introduce al azar tres premios de e por cada cajas de detergente. 1

2 (a) Cuántos premios deberá introducir en una producción de 2 millones de cajas? Cuánto dinero es la suma de los premios en este caso? (b) A qué producción corresponde un total de premios equivalente a e? 17. Los tres integrantes de un grupo de rock se reparten las ganancias y los gastos en partes proporcionales a 3, 5 y 2. Calcula en cada caso lo que corresponde a cada uno: (a) Por un concierto obtuvieron e. (b) En viajes gastaron e. (c) El primer disco les ocasionó unos gastos por valor de e e ingresos por valor de e. 18. Si en una casa se encienden 8 lámparas iguales entre las 8.00 hrs. y las hrs. y si esto produce un coste mensual de 120 e: (a) Cuál es el coste diario por encender las lámparas? (b) Cuál sería el coste mensual por mantener encendidas 5 lámparas durante la misma cantidad de horas? (c) Si las 8 lámparas se encienden hasta las hrs. todos los días, cuál sería el coste mensual? (d) Si el número de lámparas disminuye en una y el número de horas diarias aumenta en una, cuál sería el coste mensual? 19. Si tres secretarias tardan 21 días en escribir a máquina un texto, entonces, cuántos días requieren 7 secretarias en escribir dos textos iguales al anterior, si trabajan a un ritmo similar? 20. Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar una calle, cuánto se demoran 15 obreros en hacer el trabajo, trabajando la misma cantidad de horas diariamente? 21. Tres obreros pintan en 2 días 400 m 2 (a) Cuánto tardarán 4 obreros en hacer el mismo trabajo? (b) Si los 3 obreros pintan solamente 300 m 2, en cuánto tiempo lo harán? (c) Si el número de obreros aumenta en uno y se quiere pintar 600 m 2, cuánto tardarán? 22. Un campesino tiene alimento para 20 vacas durante 30 días. Si compra 10 vacas más, cuánto le durará el alimento ahora? más de 30 días o menos? Estima el resultado. 23. Un productor de vino de exportación ocupa 12 depósitos para guardar 660 litros. Cuántos depósitos necesita para guardar tres veces esa cantidad? 24. Un contratista estima que con 10 trabajadores terminará una obra en 60 días. Cuántos trabajadores terminarán la obra en 30 días? Si la obra debe terminarse en la mitad del plazo, en cuánto debe aumentarse el número de trabajadores? 25. Si 4 gallinas ponen 4 huevos cada una en 4 días, cuántos huevos ponen 12 gallinas en 12 días? Aumenta la cantidad de huevos al aumentar el número de días y de gallinas ponedoras? Estima el resultado. 26. Un agricultor necesita 2 kilos de fertilizante cada 100 m 2 de superficie. Cuántos kilos necesitará para cubrir diez veces esa cantidad de m 2.? Cuánto fertilizante necesitará en 50 m 2? 27. Si una máquina logra etiquetar 520 productos en 4 minutos, cuántas etiquetas serán puestas en 1 hora? 28. Un auto que viaja a una velocidad promedio de 60 km/h recorre 240 km en 4 horas. A qué velocidad promedio debe ir para hacer el mismo recorrido en 2 horas? Es posible? Explica por qué. 29. Una fotocopiadora saca 50 hojas por minuto. Elabora una tabla de datos para registrar la cantidad de copias en 5, 10, 15, 20, 25 y 30 minutos. Cuántas copias sacará en 1 hora? 30. Una familia de 8 personas consume 24 m 3 de agua diariamente. Cuánto consumirá una familia de 12 personas si las condiciones de consumo individual son las mismas? 31. Para una red de alcantarillado se necesitan tubos de 3,20 m Cuántos tubos de 4 metros se ocuparían para la misma obra? 32. Para tejer un chaleco de bebé se necesitan 80 gramos de lana. Cuántos chalecos se tejerán con 1 kilo 280 gramos de lana? 2

3 33. Un cierto rey envió a 30 hombres a su huerto para plantar árboles. Si ellos pueden plantar 1000 árboles en 9 días, en cuantos días 36 hombres plantarán 4400 árboles? 34. Una empresa fleta 12 furgonetas para trasladar 15 toneladas de productos alimenticios durante 4 dias. Cuántas toneladas podrán repartir al mismo ritmo 16 furgonetas durante 8 días? 35. Ocho trabajadores tardan 6 horas en almacenar un total de 900 cajas con 1200 libros cada una. Cuántas horas tardarán 6 personas en almacenar 800 cajas con 1000 libros cada una? 36. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 e. Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 37. Con 12 botes conteniendo cada uno 1 2 kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 38. Un total de 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 39. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 40. Al comprar un monitor que cuesta 450 e nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? 41. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 e. Halla el precio de venta. 42. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 e para ganar al venderlo el 10%. 43. Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 e, para perder el 12% sobre el precio de venta? 44. Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 e. Al cabo de un año han ganado e. Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados? 45. Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 e. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera. 46. Repartir m 2 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500 e. Cuánto corresponde a los otros dos? 48. Se prestan e y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben e. Calcular el tanto por ciento de interés. 49. Se prestan e y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben y e. Calcular el tanto por ciento de interés. 50. Hallar el tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado. 51. Si para hacer un bizcocho para 3 personas se necesita medio litro de leche, 200 gr. de azúcar y 3 huevos, Qué necesitaremos para hacer el mismo tipo de bizcocho para 5 personas? 52. Sabiendo que 13 cuadernos cuestan 21,45 e. Cuanto cuestan 20 cuadernos? 53. En una parcela tenemos que dedicar el 60% de la misma a jardines y pretendemos construir una casa en el resto. (a) Si la parcela tiene 350 m 2, De cuantos m 2 disponemos para construir? (b) Si queremos construir una casa de 90 m 2, Cuantos metros cuadrados de parcela necesitaremos como mínimo? 54. Cuatro obreros realizan una obra en 20 días. En cuantos días la pueden terminar 5 obreros? 55. Vicente quiere hacer un postre de chocolate y la receta le indica que para 6 personas hay que utilizar 120 gramos de chocolate. Qué cantidad de chocolate deberá usar para 18 personas? 3

4 56. Diez hombres hacen una obra en 45 días Cuántos hombres se necesitarán para hacerla en 90 días? 57. Se quiere realizar una excursión campestre en la que el alquiler de un autobús de 60 plazas cuesta 540 e. Si el autobús no se llena porque sólo van 45 personas, cuánto pagará cada una de ellas? 58. Si una botella de 2 litros de cola cuesta 1,10 e, cuánto costarán 25 botellas? 59. En un barco viajan 15 marineros con provisiones para comer 20 días. Al quinto día de navegar encuentran a 10 náufragos de otro barco. Para cuántos días tendrán ahora provisiones?. 60. Para pintar su habitación, Khaled dio 40 pasadas con un rodillo de 56 cm de ancho. Cuántas pasadas tendrá que dar para pintar la misma habitación con otro rodillo de 70 cm de ancho? 61. Tres agricultores pueden recoger kg de peras trabajando 6 horas al día durante 10 dias. Cuántos agricultores serán necesarios trabajando al mismo ritmo, para recoger kg de peras trabajando 9 horas al día durante 15 dias? 62. El legado de un emigrante de mi pueblo, un total de e, se reparte entre las tres escuelas del pueblo de modo directamente proporcional al número de alumnos. Las escuelas tienen 25, 50 y 100 alumnos respectivamente. Calcula el legado que corresponde a cada escuela. 63. Cuatro chicos, en una acampada de 10 días, han gastado en comer 250 e. En las mismas condiciones, cuánto gastarán en comer 6 chicos durante una acampada de 15 días? 64. Una máquina fabrica 400 clavos en 5 horas. Cuánto tiempo necesitará para hacer 1000 clavos? 65. Nos repartimos de manera inversamente proporcional a 2 y 3, la cantidad de 2015 e. Qué cantidad nos toca a cada uno? 66. Expresa en forma de porcentaje: (a) 2 de 5 (b) 4 entre 100 (c) 1/5 entre Calcula: (a) 10% de 45 (b) 5% de 30% (c) 0,7% de La camiseta de Pablo marcaba 7,5 e. Si le hacen un descuento del 15%, cuánto pagará por ella? 69. En el mercadillo de Guadahortuna están de rebajas. Compré artículos por una cantidad de 150 e. Si no me hubieran hecho el 25% de descuento, cuánto hubiera pagado? 70. En las elecciones de delegado y subdelegado de una clase de 35 alumnos, se han presentado las candidaturas A, B y C. Los resultados han sido: la candidatura A ha obtenido 12 votos; la B, 10 votos y la C, 5 votos; en blanco, 3; votos nulos, 3; el resto han sido abstenciones. Se pide: (a) Porcentaje de votos emitidos, respecto del total de alumnos. (b) Porcentaje de abstención, respecto del total de alumnos. (c) Porcentaje de votos válidos, respecto del total de alumnos. (d) Porcentaje de votos de cada candidatura, respecto del total de alumnos. (e) Porcentaje de votos de cada candidatura, respecto del total de votos válidos. 71. De acuerdo con los siguientes datos, referidos a la producción de piezas por una fábrica: Máquina Producción N o de piezas defectuosas A B C (a) Cuál es el porcentaje de piezas defectuosas que produce una fábrica por hora? (b) Cuál de las máquinas es la que mayor porcentaje de piezas defectuosas tiene? 4

5 72. La población de arácnidos por m 2 en un parque aumentó de 15 individuos a 20 en estos momentos. Cuál es el porcentaje de aumento de la población de arañas? Cuál sería la población si el aumento fuera de 2 3? 73. Si en unas rebajas un CD de 12 e cuesta solo 10,80 e, qué porcentaje de descuento hacen? 74. Un coche que el año pasado valía e, ha aumentado su precio este año en un 20%. Cuál es su precio ahora? 75. Una camisa que valía 32 e se ha rebajado un 10%. Cuál es su precio actual? 76. Expresa los porcentajes en forma de fracción y las fracciones en forma de porcentaje: (a) 32 % (b) 25 % (c) 3 4 (d) 5 10 (e) 50 % (f) 75 % 77. Qué porcentaje expresan las fracciones siguientes? (a) (c) 4 1 (b) 50 (d) 5 6 (e) 1 5 (f) Calcula el 10% de las siguientes cantidades: (a) 120 (b) 450 (c) 40 (d) 7000 (e) 850 (f) El 50% es lo mismo que 1/2. Busca otros métodos para hallar porcentajes: (a) Para hallar el 50% de una cantidad divido la cantidad por... (b) Para hallar el 10% de una cantidad divido por... (c) Para hallar el 25% divido por... (d) Cómo puedo hallar el 75%? 80. De los 60 alumnos de 2 o de ESO de un instituto, 20 son repetidores. Qué porcentaje hay de alumnos repetidores? 81. De los 400 tornillos que fabrican en una hora en una fábrica, 50 son defectuosos Cuál es el porcentaje de tornillos defectuosos? 82. De los 250 alumnos que hay en un colegio, hoy ha salido de excursión el 30%. Cuántos alumnos han ido de excursión? 83. En la tienda de artículos informáticos de un amigo mío, está a la venta un juego de ordenador por 50 e. En unos grandes almacenes, el mismo juego estaba la semana pasada a 60 e pero ahora hacen un descuento del 20%. Mi amigo me hace un descuento del 10% Dónde me resulta mejor de precio? 84. En un Instituto de Secundaria, los 200 alumnos de 2 o de ESO han elegido la asignatura optativa de la siguiente manera: 50 estudian Informática, 50 Teatro, 20 Prensa y el resto Cultura Clásica Qué porcentaje estudia cada asignatura? Informática Teatro Prensa Cultura Clásica 85. En la tienda de artículos deportivos «Muévete» venden raquetas de tenis por 100 e pero después te aplican el 15% de descuento. En otra tienda, Corre, venden la misma raqueta por 90 e sin descuento Cuál crees que es mejor? 86. En un año el precio de un artículo sube un 40%, después baja un 10% y, por último, baja un 20% Qué variación porcentual ha experimentado a lo largo del año? 87. La publicidad de un vehículo asegura al comprador del mismo un ahorro del 16% del IVA correspondiente por su compra. Si el precio sin IVA original del vehículo es de e y dado que por su compra habrá que pagar este impuesto, 5

6 (a) Cuál es el nuevo precio sin el IVA del vehículo? (b) Qué porcentaje de variación hay globalmente del precio original con IVA al nuevo precio sin IVA? Una variante de la situación que se refleja en los apartados anteriores sería presentar el nuevo precio del vehículo como resultado de descontar un 16% sobre el valor global (con IVA) del vehículo. (c) Qué situación es más beneficiosa para el comprador? (d) Qué situación crees que es a la que se referirá realmente el anuncio publicitario? 88. Un fabricante de yogures lanza una nueva gama de sus productos llamada YOGURT CALCIO. El fabricante asegura que la cantidad de calcio que hay en cada yogurt es un 40% superior a la cantidad que hay en uno normal. En la composición de estos yogures se aprecia que la cantidad de calcio que contienen es de 170 mg por cada 100 g de yogurt. (a) Cuál es el porcentaje que hay de calcio en 100 g de yogurt? (b) Si un yogurt pesa en total (sin recipiente) 125 g, qué porcentaje de calcio hay en un yogurt? Cuánto pesa en total (en mg) el calcio que hay en un yogurt? (c) La cantidad de calcio de un «yogurt calcio» es el 27% de la cantidad de consumo diario recomendado de esta sustancia. Cuál es el peso del calcio diario recomendado? (d) Cuánto calcio tiene un yogurt «normal»? (e) Qué porcentaje de calcio con respecto a la cantidad diaria recomendada tiene un yogurt normal? 89. Un comerciante ha realizado unas rebajas en los precios de sus artículos del 30%. Transcurrido el tiempo de rebajas, vuelve a subir los precios un 30%, creyendo con ello que los precios volverán a su precio original. Tras realizar estas dos operaciones, se quedan los precios como al principio? Si no es así, qué porcentaje se aplica sobre los artículos tras realizar estas dos operaciones? 90. Determina el capital final equivalente a e mediante capitalización simple dentro de dos años y medio sabiendo que el tipo de interés simple anual es del 5%. 91. Calcula el capital que impuesto al 3% de interés simple anual se ha convertido en 4 meses en e. 92. Cuáles son los intereses producidos por un capital de e prestado a un interés simple anual del 2,5 por 100 durante dos trimestres? 93. Un comerciante que deberá entregar dentro de 3 años una cantidad de ,12 e, quiere saber de qué capital ha de disponer hoy si espera del mismo un rendimiento del 4,25% anual a interés simple. 94. Qué capital fue el que hizo que sus intereses fueran la mitad del mismo, sabiendo que el montante generado ascendió a e? 95. Calcula los intereses resultantes de una operación en la que a partir de un capital de e se obtiene un capital acumulado equivalente a un 125 % del capital inicial. 96. Cuánto tiempo tardará un capital de cuantía C invertido al 10 % de interés simple anual en producir unos intereses iguales al doble del mismo? Depende este tiempo del capital invertido? 97. Cuál fue el interés simple anual que permitió que por un capital de ,75 euros se obtuvieran ,85 euros de intereses en 7 años.? 98. Qué tiempo estuvo invertido un capital de euros al 0,02 por uno simple anual, si los intereses fueron de euros.? 99. Qué interés se ha aplicado a un capital para que en 25 años genere unos intereses iguales al triple del mismo? 100. Cuánto tiempo será necesario para que un capital se transforme en otro cinco veces mayor a un 8% simple anual? Un amigo tenía 4500 euros y los puso en un Banco al 3,5 % durante 50 meses. Cuánto suma el capital más los intereses? 6