COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES

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1 ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PRACTIQUEMOS DE LA FICHA N 4 en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. ITEM 1: Observa el anuncio de rebajas: Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. Antes: S/. 63,00 Ahora: S/. 47,80 Antes: S/. 119,70 a. Están rebajados estos artículos proporcionalmente? Ahora: S/. 100,00 b. Si la respuesta anterior es negativa, responde: cuál de las dos prendas han rebajado más? a) determinamos la tabla: Precio normal Precio rebajado Precio zapatillas S/. 119,70 100,00 Precio pijama S/. 63,00 47,80 Precio antes de la rebaja: Observamos que no se conserva la constante de proporcionalidad, entonces no se rebajaron proporcionalmente Precio después de la rebaja: Rpta: Los artículos no están rebajados proporcionalmente. B) Para determinar que prenda han rebajado más, necesitamos hallar el porcentaje: (Aplicamos parte/todo) Descuento del pijama = S/. 63,00 S/. 47,80 = S/. 15,20 % pajama = Zapatillas = S/. 119,70 100,00 = S/. 19,70 % zapatilla = Rpta: El pijama fue la que tuvo más rebaja. 1

2 en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. 2. ITEM: Los ingredientes de una receta para un postre casero son los siguientes: 1 vaso de mantequilla; 3 huevos; 1,5 vasos de azúcar y 2 vasos de harina. Si solo tenemos 2 huevos, cómo debemos modificar los restantes ingredientes de la receta para poder hacer el postre? 1era forma: Elaboramos la tabla, reducimos a la unidad. Si dividimos a una cantidad de uno de los ingredientes, entonces tenemos que dividir a todas las cantidades del resto de los ingredientes de la receta. Si multiplicamos por cierto número a una cantidad de los ingredientes, entonces tenemos que multiplicar por ese mismo número a todas las cantidades del resto de los ingredientes de la receta. : 3 x2 Cantidades Cantidades Cantidades Huevos (unidades) Mantequilla (vasos) 1 1/3 2/3 Azúcar (vasos) 1,5 0,5 1 Harina (vasos) 2 2/3 4/3 2da forma: determinando la constante de proporcionalidad Hallando: Cantidades Cantidades Huevos (unidades) 3 2 Mantequilla (vasos) 1 Azúcar (vasos) 1,5 Harina (vasos) 2 Mantequilla: vaso Azúcar: vaso Harina: vaso Respuesta: Necesitamos de vaso mantequilla, 1 vaso de azúcar y de vaso de harina. 2

3 Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. ITEM 3: En una prueba de ciclismo se reparte un premio de S/ entre los tres primeros corredores que lleguen a la meta, de modo inversamente proporcional al tiempo que han tardado en llegar. El primero tarda 12 min; el segundo, 15 min, y el tercero, 18 min. Cuánto le corresponde a cada uno, según el orden de llegada? a. S/. 2472; S/ y S/ respectivamente. b. S/. 2466,72; S/. 3083,40 y S/. 3700,08 respectivamente. c. S/. 2466,60; S/. 3083,25 y S/. 3699,90 respectivamente. d. S/. 3750; S/ y S/ respectivamente. Asignamos letras a los premios que han recibido cada ciclista según su orden de llegada. Primero recibió a soles Segundo recibió b soles Tercero recibió c soles Luego: a +b + c = 9250 Premio S/. a b c Tiempo ( minutos ) Las magnitudes premio y tiempo son inversamente proporcionales. Aplicamos la constante de proporcionalidad: k = 12 * a a = K = 15 * b b = k = 18 * c c = Sabemos que: a + b + c = 9250 Reemplazamos: k + k + k = 9250 Hallamos mcm (12, 15, 18) = k + 12k + 10k = k = 9250 x 180 k = b Respuesta: el primero recibe S/. 3750, el segundo S/ y el tercero S/ CLAVE: D 3

4 Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. ITEM 4:El precio de un pasaje varía inversamente con relación al número de pasajeros. Si para 14 pasajeros el precio es S/. 15, cuántos pasajeros habrá cuando el pasaje cuesta S/.6? a. 35 pasajeros b. De 5 a 6 pasajeros c. 84 pasajeros d. 56 pasajeros 1era forma: Elaboramos la tabla N Pasajeros 14 X Precio S/.15 S/.6 Número de pasajeros= x Entonces 35 = x 2da forma:empleando la constante de proporcionalidad: K= (N de pasajeros) (Precio del pasaje) K= 14 x 15= = 6X Rpta.: Habrá 35 pasajeros cuando el pasaje cueste S/. 6 Clave: A Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. ITEM 5: El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 80 g cuesta S/.3200, cuánto valdrá otro diamante de 100 g de peso? a. S/ b. S/ c. S/ d. S/. 50 1era forma: Elaboramos la tabla Pesoal cuadrado (80g) 2 (100g) 2 Precio S/.3200 S/.X 4

5 Precio del diamante de 100g = x Reemplazamos los valores de la tabla en la relación generalizada Desarrollamos los cuadrados Simplificamos Hallamos el valor de x 2da forma:empleando la constante de proporcionalidad: = X = 5000 Rpta.: El otro diamante de 100 g de peso cuesta S/ CLAVE: A Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 6:El gráfico muestra el comportamiento de dos magnitudes (cantidad de obreros y tiempo); halla numéricamente el valor de y/x a. 440 b. 10 c. 275 d. 6 5

6 Se ubican las coordenadas en el gráfico mostrado: 1era forma:elaboramos la tabla Observando el gráfico, completamos la Tabla: Obreros y Tiempo ( días) 80 x 20 Observamos que la cantidad de obreros aumenta y la cantidad de días disminuye por lo tanto son magnitudes Inversamente proporcionales: Hallamos el valor de x (100)(80) = (200)(x) 8000 = 200x 40 = x Hallamos el valor de y 8000 = 20y 400 = y Hallamos el valor de y/x 400/40 =10 2da forma:empleando la constante de proporcionalidad: K= (Números de obreros) (Número de días)= (100) (80)= 8000 Hallamos x 8000=200x x= 40 Hallamos y 8000=20y y=400 Hallamos y/x 400/40 = 10 6

7 Rpta. : El valor de y/x es igual a 10 CLAVE: B Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 7:En el siguiente gráfico ilustra dos variables, x e y, en proporcionalidad directa. Señale el valor de x.y a. 3 b. 16 c. 48 d. 60,75 De acuerdo, al enunciado del ítem y a la gráfica, se trata de Magnitudes Directamente Proporcionales, por lo tanto: = entonces 6.6 = 9. y = y 4 = y = entonces x. 6 = 8. 9 x = x = 12 El valor de x.y = = 48 Rpta. El valor de x.y es 48. CLAVE: C Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 8 Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes de Matemática con distinta cantidad de preguntas. Todos los ejercicios tenían la misma puntuación. Si Sergio resolvió correctamente 24 de las 30 preguntas que tenía su examen, cuántos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas? a. 14 aciertos. b. 16 aciertos. c. 20 aciertos. d. 24 aciertos Elaboramos una tabla: Número de preguntas resueltas correctamente 24 x 7

8 Total de preguntas del examen Aplicamos proporcionalidad: Respuesta. Jorge tuvo 16 aciertos.alternativa b) Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 9:La distancia que cae un cuerpo partiendo del reposo varía en relación con el cuadrado del tiempo transcurrido (se ignora la resistencia del aire). Si un paracaidista de caída libre cae 64 pies en 3 s, qué distancia caerá en 9 s? a. 576 pies b. 192 pies c. 7,11 pies d. 567 pies Elaboramos una tabla: Distancia : d (pies) 64 x Tiempo: t (s) Aplicamos proporcionalidad relacionando la distancia y el tiempo al cuadrado: Rpta. La distancia que caerá en 9s es 576 pies. Alternativa a) en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 10: Se necesita envasar 600 L de una sustancia química en recipientes. Hay recipientes de 10; 15; 20; 25; 30; 40 y 50 L. Además, se quiere envasar el total de la sustancia en un solo tipo de recipiente. Completa la tabla con el volumen del recipiente y la cantidad de los recipientes necesarios. Volumen 10 Cantidad 60 8

9 Qué cantidad mínima de envases se puede utilizar para envasar los 600 litros de la sustancia química? a. 15 envases. b. 12 envases. c. 10 envases. d. 14 envases. RESOLUCIÓN: 1 Vamos a completar la tabla, donde visualizamos el volumen del recipiente base y qué cantidad de este necesitamos para envasar: Volumen Cantidad de envases Observamos que se trata de magnitudes inversamente proporcionales, ya que: (10)(60) = (15)(40) = (20)(30) = (25)(24) = (30)(20 )=(40)(15)=(50)(12) Comparamos los números de envases y observamos que la cantidad mínima corresponde a recipientes de 50 litros y se utilizan 12 envases. Respuestac : La cantidad mínima de envases que se puede utilizar para envasar los 600 litros de la sustancia química es 12 recipientes. en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 11: En una institución educativa, de los 210 estudiantes de segundo grado de secundaria, se inscriben en una actividad extraescolar 170; mientras que de los 160 alumnos de tercer grado, se apuntan 130. Cuál de los grados ha mostrado más interés por la actividad? a. Han mostrado más interés los estudiantes de tercer grado porque va más del 90 %. b. Han mostrado más interés los estudiantes de segundo grado porque van más estudiantes que tercero: en segundo van 170, mientras que en tercero solo van 130. c. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81,25 %, mientras que en segundo solo va el 80,95 %. d. Han mostrado el mismo interés tanto los estudiantes de segundo y tercer grado. RESOLUCIÓN: Aplicando Regla de Tres Simple: 1 Del enunciado del problema comprendemos que me hablan de dos grados de estudiantes: 9

10 2 grado de secundaria3 grado de secundaria N de estudiantesporcentajen de estudiantesporcentaje % % 2 Ahora queremos saber qué porcentaje del total de estudiantes de cada grado me representan los estudiantes que se inscribieron a esa actividad extraescolar. Veamos: 2 grado de secundaria3 grado de secundaria N de estudiantesporcentajen de estudiantesporcentaje % % X 130 Y 3 Calculamos X e Y. Para calcular estos valores tenemos que analizar qué clase de magnitudes son N de estudiantes respecto al Porcentaje y llegamos a la conclusión que son MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, porque si una aumenta la otra también aumenta proporcionalmente. Así encontramos el valor de X e Y. X = 100. Y = 100. X = 80, Y = 81,25 X = 80,95 4 Analizando los valores de X e Y. Concluimos que Y me representa mayor porcentaje; en tal sentido la respuesta a la pregunta del ítem es: El tercer grado ha mostrado mayor interés en inscribirse a la actividad extraescolar. 5 Para responder el ítem tenemos que leer una por una las alternativas y sólo una será la correcta. De acuerdo a lo calculado sólo la alternativa c es la correcta. 6 Respuesta: c. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81,25 %, mientras que en segundo solo va el 80,95 %. Razona y argumenta en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. ITEM 12: Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. Con 2 L de leche, César puede alimentar a sus cachorros durante 6 días. Para cuántos días tendrá comida si compra una caja de 5 litros de leche? a.15 días. b. 24 días. c.2,4 días. d. 18 días. RESOLUCIÓN: 10

11 Utilizamos la estrategia de Ensayo error completando la tabla: Litros de leche Número de días x Analizamos cómo son las magnitudes Litros de leche y Número de días. Así tenemos que al aumentar los litros de leche también aumentaría el número de días proporcionalmente. Entonces son dos MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 3/1=6/2=9/3 La razón de proporcionalidad es K= 3 X/5 = 3 X= 3(5) X= 15 Respuesta a. Si comprar 5 litros de leche le alcanzará para alimentar a los cachorros durante 15 días. Usando la regla de tres simple directa: 1 Del enunciado comprendemos que me hablan de dos magnitudes Volumen de leche y Número de días. Además me dicen que con 2L de leche César puede alimentar a sus cachorros por 6 días. Podemos representar matemáticamente así: Volumen de leche N de días 2 L... 6 días 2 La pregunta del ítem es: para cuántos días tendrán comida los cachorros si se compran 5 L de leche. Escribamos el dato y la incógnita: Volumen de leche N de días 2 L... 6 días 5 L. X 3 Nos tocaría : Si una aumenta la otra también aumenta proporcionalmente y si una disminuye la otra también disminuye proporcionalmente. 4 Calculamos el valor de X : X = 6. X = 15 Respuesta a. Si comprar 5 litros de leche le alcanzará para alimentar a los cachorros durante 15 días. 11

12 ITEM 13: Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. 13. Con un depósito de agua se llenan 36 jarras. Cuántas jarras se podrán servir si solo se llenan hasta tres cuartos de su capacidad? a. Se podrán servir 48 jarras. b. Se podrán servir 27 jarras. c. Se podrán servir 24 jarras. d. Se podrán servir igual cantidad de jarras. RESOLUCIÓN: 1.- Del enunciado del problema comprendemos que: CAPACIDAD DE AGUA POR JARRA 1 36 ¾ X NÚMERO DE JARRAS SERVIDAS Analizamos que si disminuimos la cantidad de agua en cada jarra, osea a ¾ partes, se podrá servir más jarras de agua. Nos damos cuenta que es una relación de proporcionalidad inversa. Planteamos la regla de tres simple inversa: DISMINUYE - 1 jarra llena 36 jarras servidas ¾ de jarra llena X jarras servidas AUMENTA + Formamos la propiedad de proporcionalidad: 36 (1) = X ( ¾), entonces Respuesta: a) Se podrán servir 48 jarras de agua, solo si se llenan hasta tres cuartos de su capacidad. 12

13 ITEM 14: Emplea heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. 14. Para construir un puente de 1200 m se cuenta con 30 vigas, que se colocarían cada 40 m. Después de un estudio minucioso, se decide reforzar la obra y se utilizan 10 vigas más. A qué distancia se deben colocar las vigas? a. Se deben colocar a 53,3 m de distancia entre ellas. b. Se deben colocar a la misma distancia entre ellas; es decir, cada 40 m. c. Se deben colocar a 30 m de distancia entre ellas. d. Se deben colocar a 300 m de distancia entre ellas. RESOLUCIÓN: 1.- Usando regla de tres Número de vigas Distancia entre cada viga(m) X Analizamos que si aumentamos el número de vigas la distancia disminuirá entre ellas. Por lo tanto será menor de 40 metros. Hay una relación de proporcionalidad inversa. Planteamos la regla de tres simple inversa: AUMENTA+ 30 vigas 40 metros 40 vigas X metros DISMINUYE - Formamos la propiedad de proporción inversa: (30)(40) = X (40), entonces Respuesta:c) Se debe colocar a 30 metros de distancia. 13

14 en situaciones de regularidad, Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. ITEM 15: 15. Entre tres pintores han pintado la fachada de un edificio y han cobrado S/ El primero ha trabajado 15 días; el segundo 12 días, y el tercero 25 días. Cuánto dinero tiene que recibir cada uno? a. Reciben S/. 1200; S/. 960 y S/ respectivamente. b. Reciben S/. 960; S/ y S/ respectivamente. c. Todos reciben la misma cantidad. d. Reciben S/. 2000; S/ y S/. 960 respectivamente RESOLUCIÓN: Empleando la constante de proporcionalidad: Pintores Días de trabajo Cobro por pintor S/. Pintor K Pintor K Pintor K TOTAL 52 S/ = Pintor 1: 15 K = 15(80) = 1200 Pintor 2: 12 K = 12(80) = 960 Pintor 1: 25 K = 25(80) = 2000 Respuesta: a) El primer pintor recibe S/. 1200, el segundo s/.960 y el tercer recibe S/