Tema 2 : Interacción Eléctrica

Transcripción

1 Tema : Interacción Eléctrica Esquema de trabaj: 1.- Carga eléctrica.- Ley de Clulmb 3.- Camp eléctric. Intensidad de camp eléctric. 4.- Energía ptencial eléctrica. 5.- Ptencial eléctric. Superficies equiptenciales. Relación camp-ptencial. 6.- Mvimient de cargas en camp eléctric 7.- Terema de Gauss. Aplicacines. 1. Carga eléctrica: El electrón y el prtón sn partículas subatómicas que presentan una prpiedad específica denminada carga eléctrica. A la carga del prtón se le asignó sign psitiv y a la del electrón sign negativ. La cantidad de carga en las ds es la misma y el númer de electrnes y prtnes es el mism en átm, pr l que el átm se muestra eléctricamente neutr. Esta neutralidad de la materia ns cnduce la ley de cnservación de la carga: En cualquier prces la cantidad de carga creada destruida es nula. La unidad de carga eléctrica (q) en el S.I. es el culmbi (C). La carga eléctrica es una magnitud escalar. Un bjet adquiere carga eléctrica negativa cuand gane electrnes y carga psitiva cuand pierde electrnes, recuerda la frmación de ines. Rbert Millikan determina la carga del electrón q e = C, y descubre que la carga está cuantizada, estableciend cm cantidad mínima de carga la carga del electrón. Electrización: es el fenómen pr el cual un bjet adquiere carga eléctrica pr la ganancia de electrnes. 1

2 . Ley de Culmb: La intensidad de la interacción electrstática entre ds cargas es directamente prprcinal a sus cargas e inversamente prprcinal al cuadrad de la distancia que las separa La expresión matemática de la ley es: = K Su mdul viene dad pr:.q 1 y q : cargas eléctricas K= cte. eléctrica del medi. r = distancia entre las cargas.u r = vectr unitari de dirección. Su dirección cincide cn la recta que une ambas cargas y de sentid hacia la carga cnsiderada. F = K La cnstante eléctrica, K, depende del medi cnsiderad ya que K es función de la permitividad cnstante dieléctrica del medi ( ) : En el vací = 8, C N m, pr l tant el valr de K será: Si tenems más de ds cargas puntuales, la fuerza ejercida sbre una de ellas la calcularems usand el principi de superpsición F n i 1 Fi Llegad a este punt, bservams unas diferencias entre la fuerza gravitatria y la fuerza eléctrica, las más significativas sn las siguientes: Las fuerzas entre masas sn siempre atractivas, mientras que las fuerzas entre cargas pueden ser atractivas repulsivas atendiend a ls signs de las cargas. La cnstante G es independiente del medi, mientras que la cnstante K depende del medi en el que se encuentren las cargas.

3 3. Camp eléctric. Intensidad de camp eléctric. Cualquier carga eléctrica genera a su alrededr una zna dnde actúa una fuerza eléctrica sbre una carga situada en cualquier punt de dicha zna. A esta región del espaci perturbada pr la presencia una carga eléctrica se le denmina camp eléctric. Se define Intensidad de camp eléctric en un punt, E, a la fuerza que ejerce la carga creadra de camp (Q) sbre la unidad de carga psitiva situada en dich punt. Su unidad en el S.I. es el N/C = = = K = K Expresión en la que Q es la carga creadra del camp, r, la distancia al punt cnsiderad y el vectr unitari de dirección Camp cread pr una carga puntual psitiva y pr una carga puntual negativa Si el camp es cread pr más de una carga, el camp en un punt se calculará aplicand el principi de superpsición n E Ei i 1 Si tenems en cuenta el ejempl de la figura: Líneas de camp eléctric Las líneas de camp eléctric se trazan de frma que el vectr camp eléctric es tangente a ellas en cada punt. De una manera más intuitiva, pdríams entender las líneas de camp cm el camin que seguiría una carga puntual psitiva en el camp. La fuerza electrstática es una fuerza central, pr l que las líneas de camp eléctric cread pr una carga puntual sn radiales y abiertas, y pr cnveni, salen de las cargas psitivas y se dirigen hacia las cargas negativas. Líneas del camp eléctric cread pr una carga puntual psitiva (fuente) Líneas del camp eléctric cread pr una carga puntual negativa (sumder) 3

4 Líneas del camp eléctric cread pr ds cargas puntuales psitivas Líneas del camp eléctric cread pr una carga puntual psitiva y una negativa Las líneas de camp n se pueden crtar debid a que un camp eléctric n puede presentar ds valres distints de intensidad para un mism punt. 4. Energía ptencial eléctrica La fuerza eléctrica es cnservativa ya que el trabaj necesari para trasladar una carga (q) desde un punt A a un punt B, en el interir de una camp eléctric cread pr Q, depende slamente del punt inicial y el punt final y n del camin seguid: Al ser una fuerza cnservativa, pdems definir una función de energía ptencial: W AB = - Ep W AB = - ( Ep B Ep A ) = - Ep B + Ep A Si elegims cm rigen de la energía ptencial la psición de las cargas infinitamente separadas Ep (r ) = 0, pdems btener la expresión de la Ep asciada a una carga q situada a una distancia r de Q: La energía ptencial es una magnitud escalar cuya unidad en el S.I. es el juli (J) y puede definirse cm el trabaj que realiza la fuerza eléctrica para separar infinitamente las ds cargas. Su sign puede ser negativ psitiv, según sean ls signs de las cargas. Pr tant, separa ds cargas del mism sign es un prces espntáne, de la misma frma que acercar ds cargas de distint sign 4

5 De acuerp cn esta expresión pdems cnsiderar ds situacines: 5. Ptencial eléctric La diferencia de ptencial eléctric entre ds punts A y B es la variación de energía ptencial eléctrica al trasladar, dentr de un camp eléctric, la unidad de carga psitiva desde el punt A al punt B La unidad de medida de en el S.I. es el J/C vlti (V). = ; = -q ( ) Si tmams cm rigen del ptencial un punt situad en el infinit, btenems la expresión de ptencial eléctric en un punt de un camp cread pr la una carga puntual Q El ptencial en un punt es igual al trabaj que realiza la fuerza eléctrica para trasladar la unidad de carga psitiva desde ese punt al infinit. El ptencial y la energía ptencial quedan relacinads mediante la siguiente expresión: E p,a = q V A Si el camp es cread pr una distribución de cargas puntuales, el ptencial eléctric en un punt es igual a la suma de ptenciales creads pr cada una de las cargas en ese punt ( principi de superpsición) V = El ptencial en el punt A (V A ) se calcula: V A = V 1 + V + V 3 + V 4 + V 5 5

6 Superficies equiptenciales Sn aquellas superficies que se btienen al unir a aquells punts del camp que están smetids a un mism ptencial Las líneas de camp sn perpendiculares a las superficies equiptenciales. Si el camp es cread pr una masa puntual, las superficies sn esféricas. El trabaj que realiza la fuerza gravitatria al trasladar una masa entre ds punts de una misma superficie equiptencial es cer ya que ( V-V ) = 0 De la siguiente expresión: = -q ( ) Se deduce que las cargas psitivas se mueven de frma espntánea hacia znas decrecientes de ptencial: Si q > 0 y V B < V A W >0 Y que las cargas negativas se mueven espntáneamente hacia znas crecientes de ptencial: Si q < 0 y V B > V A W >0 Relación entre camp y ptencial El vectr intensidad de camp eléctric y el ptencial eléctric se relacinan mediante la siguiente frma: A esta variación direccinal del ptencial se le cnce cn el nmbre de gradiente: La expresión del ptencial gravitatri dice que, cm la energía, el ptencial es mayr cuant más lejs se esté de la masa que l prduce. En cnsecuencia, el ptencial decrece en la misma dirección en la que se incrementa el camp. El sign mens indica que la rientación del camp es la que cincide cn el sentid hacia el que el ptencial decrece. En la figura de la izquierda se visualiza esta relación en el cas del camp cread pr una carga puntual de sign psitiv. En este cas, las líneas de fuerza del camp eléctric frman un haz que emerge de la carga en tdas las direccines y se dirige hacia el exterir. Junt cn ellas, se han dibujad también ds superficies esféricas (1, ) cn centr en la carga. Sn superficies equiptenciales, ya que, cm el valr del ptencial eléctric depende únicamente de la carga y de la distancia, en tds ls punts que pertenecen a cada una 6

7 de estas superficies, el ptencial tiene un valr cnstante. El dibuj cmplet muestra que, tal cm predice la relación escrita un pc más arriba, las líneas del camp eléctric atraviesan a dichas superficies equiptenciales perpendicularmente y se dirigen desde dnde el ptencial el mayr (superficie 1) hacia dnde es menr (superficie ). Un cas de especial interés es el cas del camp eléctric unifrme dnde sus líneas de fuerza sn paralelas. Dichas líneas se dirigen desde la zna dnde el ptencial es mayr hacia znas dnde es menr. En su camin atraviesan las superficies equiptenciales, en este cas plans paralels, siend mayr el ptencial en la superficie 1 6. Mvimient de cargas en camp eléctric Sbre una partícula de masa m y carga q situada en el interir de un camp eléctric actúa una fuerza eléctrica de dirección la del camp y sentid el del camp si la carga es psitiva y el puest si la carga es negativa =q ; cm = = = La trayectria que surja la partícula dependerá de la dirección y sentid de su velcidad inicial: Si la carga está en reps penetra en el camp cn una velcidad paralela a éste, la carga se verá smetida a un MRUA: = 7

8 En el cas que una carga entre perpendicular al camp cn una velcidad v : De acuerd cn la ecuación de la trayectria, bservams cóm ésta es parabólica. Al ser la fuerza eléctrica cnservativa, la energía mecánica de una carga que se mueva espntáneamente permanece cnstante en el sen del camp eléctric. Si la carga eléctrica trasladada en la de un electrón y la diferencia de ptencial entre ls ds punts es de 1 vlti, a esa variación de energía se la denmina electrnvlti (ev) 1 ev = 1, C 1V = 1, J Un electrnvlti es la variación de energía que experimenta un electrón al ser acelerad pr una diferencia de ptencial de un vlti 8

9 7. Fluj Eléctric. Ley de Gauss. Aplicacines. FLUJO ELÉCTRICO La definición de fluj de camp eléctric E a través de una superficie cerrada (Fig. 1) es Φ = E d s, dnde, E Se mide en el sistema internacinal en vlti metr (V m). (Fig. 1) a) el símbl representa una integral sbre una superficie cerrada, b) d s es un vectr que tiene magnitud ds igual a una diferencial de área sbre la superficie, y que apunta en la dirección del vectr nrmal nˆ dirigid al exterir de la superficie, y c) E d s es un prduct escalar ( E d s = E ds csθ), que depende de la superficie, y del camp E. LEY DE GAUSS La ley de Gauss es una herramienta pdersa para determinar camps eléctrics en situacines de simetría, y relacina el fluj eléctric ttal, Φ E, a través de una superficie cerrada, cn la carga neta encerrada pr la superficie. Esta ley establece: dnde, ε E d s = q, : representa la integral sbre una superficie cerrada, en cuy interir hay una carga neta q, y d s : es un element diferencial de superficie; en cada punt ds r es un vectr, y, pr cnvención, siempre apunta hacia fuera de la superficie ( Fig. 8). Fig. 8 9

10 Si deseams hallar el camp eléctric E r en una cierta región del espaci, cnstruims en ese espaci, una superficie cerrada, llamada superficie gaussiana. La elección de la frma y el tamañ de la superficie gaussiana es arbitraria. Suele escgerse de tal frma que sbre ella el valr del camp eléctric sea cnstante, y pueda entnces factrizarse fuera de la integral. Cm ya sabems, Φ = E d s, es el fluj a través de una superficie cerrada y q es la E carga neta cntenida dentr de la superficie, es decir, que si se tienen muchas cargas puntuales q i dentr de la superficie, la ley de gauss puede escribirse : ε E d s = q = q i i neta LA LEY DE GAUSS Y LA LEY DE COULOMB. (Camp Eléctric debid a una carga punt) La ley de Culmb puede deducirse de la Ley de Gauss. Para ell aplicams la ley de Gauss a una carga puntual psitiva q, y elegims una superficie esférica cm superficie gaussiana. Se supne que el camp eléctric E de la carga es descncid, per debid a la simetría, tendrá la misma magnitud en cualquier punt de una superficie gaussiana esférica (Fig. 9). Fig. 9 Cm E es cnstante en tdas partes de la superficie, y frma un ángul de cer grads cn d s, pdems extraer E cn la ley de Gauss: ε E r ds r = q 0 de la integral que expresa el fluj y escribir de acuerd 10

11 Si una carga de prueba + q se sitúa en este camp, la fuerza eléctrica sbre esta carga será, F = q E = 1 4πε qq r Y btenems de esta manera, la ley de Culmb a partir de la ley de Gauss. CORTEZA ESFÉRICA Una crteza esférica delgada de radi R tiene una carga ttal Q distribuida unifrmemente sbre su superficie. Determine el camp eléctric para punts 1. r R, es decir, fuera del cascarón. r < R, es decir, dentr del cascarón SOLUCION Fig En la figura 10 se muestran las líneas de camp y ls elements de superficie supuesta la crteza cargada psitivamente. Si cnstruims una superficie gaussiana esférica de radi r R, cm se muestra en la figura, la ley de Gauss ε E d s = Q permite escribir ε E(4π r ) = Q Y despejand E tenems Q E =, r > R 4πε r 11

12 Que es igual al camp debid a una carga puntual de magnitud Q clcada en el centr de la crteza.. r < R En este cas, la carga encerrada pr la superficie gaussiana es cer, y la ley de Gauss dice que ε E d s = 0, ε E(4π r ) = 0, de dnde E = 0 Es decir que el camp E es cer en tds ls punts interires. En la figura (11) se muestra una gráfica de E versus r Fig.(11) DISTRIBUCIÓN ESFÉRICA (Esfera maciza) Una carga Q se encuentra unifrmemente distribuida en td el vlumen de una esfera n cnductra de radi R. Determinar el camp eléctric en punts: 1. fuera de la esfera, r > R. dentr de la esfera, r R Fig. 1 1

13 SOLUCIÓN 1. En la figura 1 se muestran las líneas de camp eléctric E v, supniend la esfera cargada psitivamente, y se muestran también las superficies gaussianas para r > R y r < R, las cuales cnsisten de esferas centradas en la esfera cargada. De la ley de Gauss, ε E d s Q = cuand r > R la carga que encierra la superficie gaussiana es exactamente Q. Debid a la simetría esférica, ε E ds = Q Y despejand E tenems ε E(4π r ) = Q Q E = r > R 4πε r L mism que btendríams si la carga Q fuese una carga punt clcada en el centr de la esfera.. r < R Para esta situación, la carga Q' encerrada pr la superficie gaussiana es menr que Q, y será Q'= ρv '= ρ( 4 π r 3 ) 3 Dnde ρ es la densidad de carga y V ' es el vlumen encerrad pr la carga Q' Cm carga ttal Q ρ = Q = = V vlumen esfera 4 π R 3 3 resulta 3Q ρ =, y, 3 4π R 3 3 ρ( 4 Q Q'= π r ) = ( 4 π r ) = Q r πr R De la ley de Gauss ε E d s = Q' ε E(4π r ) = Q r R E = Q r 3 4πε R 3 3, r < R 13

14 Observe que el camp es cer para r = 0, y aumenta linealmente cn r hasta r = R, y después decrece inversamente a r, es decir, Q r E = 4πε R 3, E α r, para r < R, y, 1 Q 1 E =, E α 4πε r r, para r > R Ls camps cinciden en muestran en la figura Q r = R y tienen el valr E = ; y sus curvas se 4πε R Fig. 13 LÍNEA INFINITA DE CARGA Fig. 14 La figura 14 muestra una sección de una línea infinita de carga de densidad cnstante. Deseams calcular el camp eléctric a una distancia R de la línea. Slución: Si supnems la carga del alambre psitiva, el sentid del camp será radialmente hacia fuera, y su magnitud dependerá de la distancia radial R. Cm superficie gaussiana elegims un cilindr circular de radi R y lngitud h. Al utilizar la Ley de Gauss, ε E d s = q 14

15 se descmpne la integral en tres integrales, ds cn respect a las bases del cilindr y una cn respect a la superficie lateral. Cm n hay fluj a través de las bases sin slamente a través del área lateral, y cm pr simetría E tiene el mism valr en tds ls punts de esta última, se tendrá que q = E r ds r ε = ε = ε E ds = ε Es Eds cs0 = ε E(πRh) = λh Pues el área lateral del cilindr es πrh y la carga ttal encerrada es la densidad lineal de carga multiplicada pr la lngitud, y resulta λ E = 1 πε R En la unidad sbre Interacción Eléctrica (Prblema resuelt #8, alambre infinit) se btuv este mism resultad utilizand una técnica de integración a partir de la expresión E dq r = K ûr la cual utilizaba un métd más labris. El resultad btenid también es válid para alambres cargads cn lngitud finita, siempre que la distancia radial, R, sea much menr que la distancia L a un extrem del mism, es decir R << L Fig. 15 LÁMINA INFINITA CARGADA Calculems el camp debid a una lámina infinita, delgada cargada, de una densidad superficial de carga σ Fig. 16. (Ver prblema resuelt #10 de la Unidad Interacción Eléctrica) 15

16 Fig. 16 Slución: Una superficie gaussiana cnveniente es un cilindr pequeñ, cuy eje sea perpendicular al plan cn extrem equidistante del plan, y áreas de las bases A. Cm el camp es perpendicular, n existe fluj a través del área lateral del cilindr. Empleand la ley de Gauss, ε E d s = q pdems escribir para las tres superficies del cilindr (ds de las bases y una lateral), ε E d s = ε E d s + ε E d sε E d s = q a y cm el fluj a través de la superficie lateral (superficie b) es cer, pues E es perpendicular a d s, y el fluj a través de cada una de las bases es EA (áreas a y c), resulta que, ε EA ε EA = q ε EA = q Cm la carga encerrada pr la superficie gaussiana es q = σa, la ecuación anterir se transfrma en ε EA = σa, σ E = ε Al mism resultad, aunque cn mayr dificultad puede llegarse pr integración a partir de la expresión (ver prblema resuelt #10 de la unidad Interacción Eléctrica) E b dq r = K ûr c 16

17 En este ejercici hems supuest una lámina infinita l que es una idealización. Per el resultad es una buena aprximación en el cas de un plan finit, siempre y cuand la distancia de la lámina al punt dnde se evalúa el camp sea pequeña, en cmparación cn las dimensines del plan. Si la carga de la hja infinita es psitiva, el camp está dirigid perpendicularmente desde la hja (cm se ilustró), per si tiene una carga negativa, la dirección del camp es hacia la hja, cm se indica en la figura 17. Fig Analgías y diferencias entre el camp eléctric y el camp gravitatri 8.1 Analgías: A) Sn camps centrales y cnservativs; pr tant llevan asciads en cada punt una función escalar, el ptencial. B) Sn camps cuyas intensidades en un punt decrecen cn el cuadrad de la distancia entre la masa la carga creadra del camp y el punt. C) Se representan gráficamente cn líneas de camp y superficies equiptenciales 8. Diferencias: Camp gravitatri: A. Es generad pr masas B. Las fuerzas gravitatrias sn siempre atractivas C. Las líneas de camp generan sumiders D. La cnstante G n depende del medi E. El ptencial asciad a un punt es negativ Camp eléctric: A. Es generad pr cargas. B. Las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas repulsivas atendiend al sign de las cargas. C. Las líneas de camp generan fuentes sumiders D. La cnstante K depende del medi E. El ptencial asciad a un punt depende de la carga generadra del camp 17

18 1. Calcula la intensidad del camp y el ptencial en un punt distante 4 metrs de una carga puntual de C situada en el vací. Dat: K == N m C.. Una carga eléctrica de 4 C es llevada desde un punt, dnde existe un ptencial de 15 V, a tr cuy ptencial es 40 V. Indica si gana pierde energía y cuánta. 3. Sean ds cargas puntuales Q 1 = q y Q = + 4 q clcadas a una distancia d. Razna y btén en qué punt de la línea definida pr las ds cargas el camp es nul. El punt que cumple la cndición que slicita el enunciad del ejercici será aquel en el que el vectr camp cread pr cada carga tenga el mism valr y sus sentids sean puests. De acuerd cn la siguiente figura: 18

19 4. Cnsidera ds cargas puntuales fijas q 1 = 1 µc y q = µc separadas una distancia L = 30 cm. Determina la distancia a q 1 del punt sbre la recta que une ambas cargas dnde el ptencial eléctric es nul. Es también nul allí el camp eléctric? 19

20 5. Ds esferas puntuales, iguales, están suspendidas de un mism punt mediante hils inextensibles y sin pes, de un metr de lngitud cada un. Determina la carga eléctrica que ha de pseer cada una de ellas para que el hil frme un ángul de 30º cn la vertical. Dats: masa de cada esfera, m = 10 g. K == N m C ; g = 9,8 m s La situación que plantea el enunciad del prblema es la que se representa a cntinuación: T m 1 m T y = T sen T F e T x = T cs 60 F e d = 1 m P P Para que las esferas se r encuentren r cm se indica en el enunciad r del prblema, la tensión de la cuerda, T, el pes, P, y la fuerza eléctrica, F, deben estar equilibradas. Al aplicar la segunda ley de la dinámica a las fuerzas que actúan en la dirección del eje X y a las que actúan en la del eje Y, se btiene: Eje X e T cs 60 = F e T cs 60 = K Q d Eje : T sen 60 = m g Si dividims ambas expresines entre sí, se btiene: m g d tg 60 = Q = K Q Q = , tg 60 = 5, 10 m g d K tg 60 6 C 6. La figura adjunta representa las superficies equiptenciales de una zna del espaci dnde existe un camp eléctric. Las superficies están separadas una de tra una distancia de 10 cm: a) Cuánt vale el camp eléctric en dicha zna del espaci? b) Dibuja las líneas del camp eléctric. c) Qué trabaj hay que realizar para trasladar un electrón desde el punt 1 al punt? L efectuará el prpi camp eléctric deberems aplicar alguna fuerza externa? Dat: q e = 1, C. 0

21 7. Ds cargas eléctricas Q 1 =+5µC y Q =-3µC están separadas 0 cm en el vací. Calcula la fuerza eléctrica que actúa sbre una tercera carga Q 3 = +µc situada en el punt medi del segment que une Q 1 y Q. 8. Las cargas eléctricas de la figura están en el aire. Calcula: a) El ptencial eléctric en el punt P. b) La energía ptencial que adquiere una carga q = +,5 µc al situarse en el punt P. 1

22 9. Las cargas q1 = 5 µc y q = -5 µc están situadas, respectivamente, en ls punts A (0, 3) Y B (0, -3). Si εr = y las distancias se dan en metrs, calcula la fuerza que actúa sbre la carga q3 = - µc: a) Si está situada en el punt M (0,-). b] Si está clcada en el punt P (4, 0). 10.Indica dónde se anula el camp eléctric prducid pr ds cargas Iq1I = 3 µc, IqI = 1 µc, separadas 3 m: a) Si tienen el mism sign. b) Si tienen sign distint.

23 11. Las cargas q1 = +3 µc y q = -4 µc, inicialmente separadas 0 cm, pasan a estar separadas 1, m: a) Calcula el trabaj realizad pr la fuerza eléctrica en ese prces. b) Es espntáne? e) Calcula el trabaj exterir que se ha de realizar, en el cas de que sea necesari. 1. Un electrón de carga = -1, C y cn masa = 9, kg, inicialmente en reps, se mueve entre ds punts de un camp eléctric unifrme entre ls que existe una diferencia de ptencial de 100 V. a) Qué energía cinética adquirirá el electrón? b) Cuál será su velcidad? 13. Una esfera de radi R situada en el vací tiene una carga Q unifrmemente distribuida en td su vlumen. Aplicand el terema de Gauss, calcula el camp electrstátic en un punt si tuad a una distancia R de su centr. Si la carga estuviese slamente en su superficie, se mdificaría en alg el resultad anterir? 14. En una psición del espaci A, dnde existe un camp eléctric unifrme dirigid a l larg del eje Z psitiv, se clca una partícula cargada de carga q = 10-6 C y masa m = 10-6 kg cn velcidad inicial nula. Debid a la acción del camp eléctric, esta partícula se acelera hasta tra psición B dnde, tras recrrer un metr, llega cn una velcidad cuy módul es 100 m s -1 : a) Cuál es la dirección y el sentid de la velcidad? b) Dibuja las superficies equiptenciales de ese camp eléctric. c) Cuánt valdrá la diferencia de ptencial entre ls punts A y B? d) Cuánt vale el camp eléctric (dirección, módul y sentid)? 3

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