MECÁNICA DE FLUIDOS. Curso del Trimestre 07-I

Transcripción

1 MECÁNICA DE FLUIDOS Curso del Trimestre 07-I Notas complementarias al libro de teto: Fenómenos de Transporte por Bird, Stewart, Lightfoot (Reverte, 1982), para actualizar el contenido de acuerdo a la nueva edición en inglés (John Wile & Sons, 2002) Prof. Alberto Soria López

2 0. Los Fenómenos de Transporte * CANTIDADES: Mecánica de fluidos transporte de momentum Transferencia de calor transporte de energía Transferencia de masa transporte de masa de especies químicas ** SISTEMAS: Material sistema lagrangiano sistema cerrado olumen sistema euleriano sistema abierto ESTUDIO SISTEMÁTICO DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE Los mecanismos que subacen en los tres fenómenos dependen en común de la estructura de la materia (movimientos e interacciones moleculares) Semejanza en mecanismos, ecuaciones métodos matemáticos NIELES DE DESCRIPCIÓN Estudio de las manifestaciones ocurridas cuando se transfiere una cantidad de interés* en un sistema elegido** Ejemplo: Columna de absorción de pared mojada L e G s Moléculas de líquido v z ρl ρg G e L s Moléculas de gas NIEL GLOBAL NIEL LOCAL NIEL MOLECULAR Balances globales balances locales Lees de conservación Ecuaciones de cambio en partículas volumen espacio fase 2

3 1. iscosidad mecanismos de transporte de momentum 1.1 Le de Newton de la viscosidad EJEMPLO: Flujo entre dos placas planas iscosidad = Propiedad física que cuantifica la resistencia al flujo Y t < 0, no ha movimiento t = 0, la placa inferior se mueve a velocidad constante, por adherencia el fluido en contacto con la placa se mueve también con la misma velocidad v (=0,t=0)= t pequeños, el fluido cercano a la placa adquiere velocidad v (,t). El flujo es transitorio t grandes, todo el fluido se mueve con velocidad v (), independiente del tiempo. Por adherencia el fluido en contacto con la placa superior no se mueve, v (Y) = 0. El flujo es estacionario En la última situación, la fuerza necesaria para mantener de la placa, es constante. Al aumentar la fuerza F, aumenta la velocidad, en tanto que para mantener una velocidad constante, al reducir Y, debe aumentarse la fuerza F. Entonces podemos proponer que F (1.1) A Y La constante de proporcionalidad es la viscosidad. Es decir que F = µ (1.2) A Y 3

4 Esta fuerza por unidad de área se transmite a través de todo el fluido, imprimiéndole movimiento. Así, la placa superior debe sujetarse firmemente, pues si se deja suelta, acabará por moverse como una balsa en la superficie de un río, como se ve en la siguiente Figura: Si la placa superior no se sujeta adquiere, a t grandes, la velocidad de la placa inferior de todo el fluido Cuál es la fuerza/área en algún plano al interior del fluido? En el ejemplo del flujo entre dos placas planas, a régimen estacionario, la fuerza/área es una constante a través de todo el fluido. Podemos verlo porque la fuerza necesaria para mantener fija la placa superior es, precisamente, igual de sentido contrario a la que se ejerce sobre la placa inferior, es decir que un balance (simplificado) de las fuerzas en dirección, para todo el fluido entre las placas, a régimen estacionario, es F + F = 0 (1.3) placa superior placa inferior Entonces, la fuerza que ejerce la placa superior es F el fluido que está en contacto con esta placa, ejercerá una fuerza F sobre ella. Balances similares pueden hacerse para diferentes porciones del fluido, abarcando desde la placa inferior hasta algún plano = 0, encontrando que el fluido por arriba del plano ejerce una fuerza F sobre el fluido por debajo del mismo de manera correspondiente, que el fluido debajo del plano, ejerce una fuerza F sobre el fluido arriba del plano. Además podemos dividir entre el área A para darnos cuenta de que por todo el fluido se transmite una fuerza/área constante. Llamaremos esfuerzos viscosos a esta razón de fuerza/área en cualquier plano del fluido, los denotaremos por τ, es decir que F A = τ (1.4) dv d = Y τ Plano = 0 Por otra parte, en el perfil lineal estacionario de la velocidad del fluido, podemos verificar la igualdad: 4

5 dv 0 = = (1.4) d Y 0 Y Entonces escribimos la Ecuación (1.2), para cualquier plano del fluido, como dv τ = µ (1.5) d Conocida como Le de Newton de la viscosidad. Ésta es en realidad una relación de comportamiento de un conjunto mu grande mu importante de fluidos que la cumplen. Pero ha fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una relación lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos τ el gradiente de dv velocidad d. Acerca de la notación de τ, aprovechando el ejercicio: 1. La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada, en este caso, la del eje coordenado. 2. La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección del eje coordenado es normal al plano = 0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo τ. 3. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la dirección del eje coordenado. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección. Entonces, considerando a τ como una fuerza aplicada: Primer índice: dirección de la superficie τ ik Segundo índice: dirección de la fuerza O considerando a τ como un flujo de cantidad de movimiento: Primer índice: dirección de la propagación de momentum τ ik Segundo índice: dirección del momentum Dimensiones, unidades valores de la viscosidad: M F 2 t Lt L Pa s 2 L t 2 1 m i s µ = viscosidad dinámica, = ( i ) ν µ ρ = = viscosidad cinemática, ( ) Ejemplos numéricos: Aire a 20 0 C, 5 µ = Pai s Agua a a 20 0 C, 3 µ = Pai s Glicerina a 20 0 C, µ = 1.00 Pai s 5

6 Ejercicios de tarea E1.1. Buscar Tablas de viscosidad de fluidos en los manuales de la biblioteca hacer en fotocopias un banco de propiedades, tan completo como se pueda. E1.2. Dos placas planas están separadas una distancia Y = 0.1 m flue agua al desplazar la placa inferior a una velocidad = 1 m/s. Si se sustitue el agua por aire, cuál debe ser la separación entre las placas, para que con la misma fuerza, la placa inferior se mueva a la misma velocidad? 2.2 Generalización de la le de Newton de la viscosidad (a tres coordenadas del espacio) El gradiente de la velocidad La velocidad de los flujos es un campo vectorial que depende de la posición del tiempo: v (,, z, t) v = v (,, z, t) (1.6) vz (,, z, t) dv de modo que el término, que hemos llamado el gradiente de la velocidad, es más bien d uno de los elementos de dicho gradiente. El operador nabla, en notación vectorial coordenadas cartesianas, es: = (1.7) z de modo que el gradiente de la velocidad es: v v vz v v vz v = ( v v vz) = (1.8) v v vz z z z z en tanto que su divergencia es: v v v vz i v = v z = + + (1.9) z v z así, mientras el gradiente de v es un arreglo matricial 3 3, la divergencia de v es un escalar. 6

7 El tensor de esfuerzos viscosos Los esfuerzos viscosos del ejemplo anterior, τ, son en realidad, sólo una componente de los esfuerzos que pueden eistir en un caso general, donde ha tres componentes de la velocidad. En un flujo general, el tensor de esfuerzos viscosos es el arreglo: τ τ τz τ = τ τ τ z (1.10) τ z τz τ zz que se puede también epresar como τ ik, (para i = 1, 2, 3; k=1, 2, 3) donde los ejes coordenados ( z ) se representan de manera equivalente como ( ). Además, los esfuerzos fuera de la diagonal principal tienen dirección tangencial al plano considerado [porque la dirección de la (normal a la) superficie es ortogonal a la dirección de la fuerza], en tanto que los esfuerzos de la diagonal principal, los τ ii (para i = 1, 2, 3) son normales al plano. Además, los esfuerzos viscosos son simétricos, es decir, que el elemento en la posición ik del arreglo (1.10) es igual al elemento en la posición ki del arreglo, es decir que τ ik = τ ki. Esto se T escribe en notación tensorial (tensores vectores en negritas) como τ = τ [donde τ T es la transpuesta del arreglo (1.10)] se cumple si su relación lineal con el gradiente de la velocidad (que no es simétrico) se propone, más bien, en términos de funciones simétricas lineales de v. Entonces podemos proponer el caso más general: τ T 2 = µ + ( ) + µ + κ ( v v i ) 3 v δ (1.11) donde δ ik es el tensor unitario o delta de Kronecker, dado por δ = δ ik = (1.12) µ = viscosidad dinámica κ = viscosidad dilatacional o volumétrica Generalmente no se requiere conocer κ porque muchas veces los líquidos se consideran incompresibles entonces i v = 0 para muchos gases se puede proponer como aproimación un resultado encontrado válido para gases monoatómicos ideales que cumplen κ = 0. Además la presión es también una fuerza normal a la superficie, que no ha sido considerada en los esfuerzos viscosos τ ii. Habría que sumarla para tener un tensor de esfuerzos totales o tensor de presiones π ik, de modo que π ik = pδik + τik (1.13) Nota sobre los signos de τ El signo negativo en (1.11) es compatible con la observación hecha al definir τ, es decir, que los esfuerzos viscosos se toman en la dirección positiva del eje coordenado, para el fluido más cercano al eje coordenado (debajo del plano = 0, ver discusión del flujo entre dos placas 7

8 planas) se toman negativos para el fluido más lejano al eje coordenado (arriba del plano = 0 ). En algunos tetos se propone lo contrario ( τ positiva arriba negativa abajo del plano = 0 ), lo cual es compatible con un signo positivo para la le de Newton de la viscosidad, resultando en conjunto un resultado idéntico al de la convención que aquí usamos. 1.3 Dependencia de la viscosidad con la presión la temperatura Se usa un enfoque derivado de la le de estados correspondientes, para lo cual es necesario conocer las constantes críticas de cada material pc = presión crítica Tc = temperatura crítica µ c = viscosidad crítica p T µ Con estos datos se definen las propiedades reducidas pr =, Tr = µ r = se utiliza pc Tc µ c la Gráfica correspondiente del teto. Ha pocos datos de la viscosidad crítica, pero puede estimarse de dos maneras: (1) Si se conoce un valor de la viscosidad a una presión temperatura reducidas, se localiza el punto en la Gráfica, se encuentra la viscosidad reducida se despeja la viscosidad crítica (cuanto más cerca el punto del valor requerido, mejor). (2) Se usan relaciones empíricas, cuidando las conversiones de unidades, para estimar µ c. (3) Para fluidos multicomponentes se usan propiedades pseudocríticas. 1.7 Transporte convectivo de momentum Además del transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la transferencia de movimiento entre las moléculas, también eiste un flujo de momentum debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia de movimiento tiene que ver con el flu másico ρv, que atraviesa un plano dado del fluido. El flu másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dicho plano, así en el plano tenemos: 8

9 ρv ρv = ρv e ρ v El flu másico atravesando el plano = 0 es ρ v El flu másico atravesando el plano = 0 es cero, pero el que atraviesa el plano = 0 es ρ v El flu convectivo de momentum es el producto del flu másico por la velocidad, es decir ρvv. Entonces, el flu convectivo de momentum atravesando el plano = 0 es ρvv, el flu convectivo de momentum atravesando el plano = 0 es ρvv por etensión a la coordenada z, se tiene también el flu convectivo de momentum atravesando el plano z = z0, como ρvzv. Cada uno de estos flues es un vector, tiene tres componentes, que corresponden a las direcciones de las componentes de la velocidad. El flu combinado de momentum φ es la suma del flu molecular de momentum, que corresponde a los esfuerzos totales más el flu convectivo de momentum: φ= π+ ρvv = pδ+ τ+ ρvv (1.14) Así, la componente ϕ del flu combinado de momentum tiene el significado: ϕ = flu combinado de momentum en la dirección, atravesando una superficie perpendicular a la dirección Y se epresa como: ϕ = π + ρvv = pδ + τ + ρvv (1.15) Aquí ha que recordar que δ = 0, lo cual elimina el efecto de la presión en esta componente [ver la definición de δ ik en la Ecuación (1.12)]. Esto es así debido a que la presión es una fuerza normal a la superficie considerada. Ejercicios de tarea E1.3. Problema 1.A del teto E1.4. Problema 1.B del teto 9

10 E1.5. E1.6. Problema 1.C del teto Encuentra las componentes no cero del flu combinado de momentum si la velocidad de flujo de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas la presión son, respectivamente: 1+ t 2 v = p = P 1+ t 0 ( + 2) 0 Donde P 0 son constantes. Autoevaluación 1 1. Cuáles son las unidades de momentum por unidad de área por unidad de tiempo en términos de fuerza? 2. Escribe la le de Newton de la viscosidad nombra cada uno de sus elementos. 3. Dibuja un sistema coordenado (,, z), luego representa los esfuerzos viscosos τ, τ, τ z en el punto ( 0, 0,0), así como el plano considerado. 4. Escribe la epresión del flu combinado de momentum nombra cada uno de sus términos. 5. Encuentra las componentes del flu combinado de momentum si 2 ( 1 ) v = 0, p = P 0. 0 Donde P 0 son constantes. Auto-evaluación 2 1. Define el concepto de viscosidad (no fórmulas). 2. Qué es un esfuerzo cortante? 3. Qué significa la condición de adherencia? 4. Qué es el régimen transitorio? 5. Qué le pasa a la viscosidad de un líquido cuando aumenta la temperatura? 6. Qué le pasa a la viscosidad de un gas cuando aumenta la temperatura? 7. En qué dimensiones se mide la viscosidad? 8. Qué es 1 poise? 9. Define la cantidad de movimiento o momentum lineal de un fluido v? 10. Qué diferencia física ha entre ( v ) ( ) 10

11 2. Balances de momentum en envolturas distribuciones de velocidad con flujo laminar Flujo laminar El fluido se desplaza ordenadamente, como en láminas o capas Flujo turbulento El fluido se desplaza aparentemente con desorden, siguiendo patrones mu complejos con movimientos transversales a la dirección de flujo principal 2.1 Balances de momentum en envolturas condiciones a la frontera La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad). Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es: Flujo de momentum Flujo de momentum Fuerza de gravedad Tasa de cambio combinado entrando combinado saliendo + actuando sobre = del momentum a la envoltura de la envoltura el sistema en el sistema El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal. Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una componente de velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en la dirección de dicha componente. Procedimiento para la aplicación, solución uso de los balances de envoltura 1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el origen determina la dirección de los ejes coordenados. 2. Identifica la componente de la velocidad que no se anula la dirección (o las direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones] 3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que cambia la velocidad amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha envoltura. 4. Identifica las componentes del flu combinado de momentum en la dirección del flujo anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más cercana al eje coordenado saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la fuerza gravitacional, cuando corresponda. 5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo. 11

12 6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura toma el límite cuando el (los) espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función obtener así la ecuación diferencial correspondiente. 7. Sustitue las componentes del flu combinado de momentum por los términos que correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] con las especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)]. 8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la velocidad ( de qué coordenadas es función la velocidad?) de la presión (los cambios de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance diferencial de momentum en la dirección seleccionada. 9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los esfuerzos viscosos su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la velocidad. 10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flu de momentum (en la dirección elegida) aplica las condiciones a la frontera si es procedente. 11. Sustitue la le de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la velocidad. 12. Integra esta ecuación aplica las condiciones a la frontera, para obtener la distribución de velocidad (el perfil de velocidad). 13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la velocidad máima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa. Condiciones a la frontera En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, sólidos o fluidos, o bien el mismo fluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignan al comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que se usan más frecuentemente son: a. Interfases sólido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el sólido iguala la velocidad del sólido. Esta condición se subdivide en (i) condición de adherencia, para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad (ii) condición de impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales. b. Interfases líquido-líquido: Se satisface la condición de adherencia si no ha transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos totales π son continuas. c. Interfases líquido-gas: Se satisface la condición de adherencia si no ha transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos viscosos τ son cero. Esto es una aproimación razonable porque la viscosidad de los gases es mu inferior a la de los líquidos. 12