The Matrix Reloaded: valores y vectores propios

Transcripción

1 The Matri Reloaded: valores y vectores propios José Luis López Fernández 26 de octubre de 2 Yo era entonces presa de las Matemáticas. Tiempo oscuro! Niño conmovido por el escalofrío poético. Se me entregaba vivo a las cifras, negros verdugos. Se me obligaba a la fuerza a engullir el álgebra. Se me retorcía desde las alas hasta el pico en el horroroso potro de tortura de las y las y. Desgraciadamente, me atiborraban bajo los huesos mailares del teorema adornado con todos sus corolarios. Sin embargo, se puede ser poeta y matemático ( Infierno o paraíso?, de Victor Hugo) El objetivo de esta lección es construir, siempre que sea posible, las matrices P y D que intervienen en la descomposición M = P DP, donde M representa la matriz de transición de estados (P n P n+ ) asociada a un determinado sistema biológico. Para ello es necesario saber resolver previamente el problema consistente en encontrar todos los vectores (distintos del nulo, que es aquel que tiene todas sus componentes iguales a cero) y los números λ que verifican la siguiente relación: M = λ. Es decir, se trata de encontrar todos aquellos vectores. tales que la acción (multiplicativa) de la matriz M sobre ellos se traduce en un múltiplo de ellos mismos. A poco que se piense, esta identidad equivale a (M λi) =, () donde I denota la matriz identidad del mismo orden que M. Podemos etraer algunas conclusiones de antemano sobre el problema a abordar: Uno puede sentir ecesiva querencia al universo de los números y verse tentado a escribir (M λ) =, cosa errónea ahora que estamos trabajando con matrices. De hecho, M es una matriz y λ un número, luego la operación M λ no tiene sentido. En este caso basta con apercibirse de que = I (es decir, la matriz identidad actuando sobre cualquier vector lo deja inalterado) para poder reescribir correctamente la epresión anterior, pues λi sí es una matriz y la epresión M λi cobra entonces pleno sentido

2 En primer lugar, se trata de un sistema de ecuaciones lineales. En efecto, M λi hace las veces de matriz de coeficientes de un sistema lineal que tiene tantas ecuaciones e incógnitas como orden tiene la matriz. Por ejemplo, si M fuese una matriz cuadrada de dimensiones 3 3, entonces el sistema representado en () tendría tres ecuaciones y tres incógnitas. El sistema de ecuaciones planteado en () es homogéneo, 2 lo que en particular significa que el sistema en cuestión es siempre compatible. 3 Se pueden presentar, de hecho, los dos siguientes casos: El sistema es compatible determinado: 4 En esta situación la única solución de () ha de venir dada por el vector nulo, el cual había sido desechado desde el principio para nuestro propósito (recuérdese el fragmento de teto anterior destacado en negrita). Por consiguiente, este caso queda automáticamente ecluido de entre los que forman parte de nuestros intereses. El sistema es compatible indeterminado: 5 Es la única alternativa posible a la anterior, luego con la que nos quedamos. En esta situación podemos afirmar que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema ha de ser igual a cero, puesto que en caso contrario podríamos concluir que la matriz M λi admite inversa (cf. The Matri), a la que denotamos (M λi), por lo que se tendría que = (M λi) (M λi) = (M λi) = sin más que multiplicar la ecuación () por (M λi) por la izquierda, que a la vista está nos conduciría necesariamente al vector nulo como solución. En base a la disquisición anterior, lo que ha de quedarnos claro es que la única opción para evitar el vector nulo como única solución posible del sistema () es imponer que el determinante de la matri M λi sea igual a cero, lo cual nos revelará aquellos valores del parámetro λ para los que podemos garantizar la eistencia de infinitas soluciones de (). Dichos valores admisibles de λ son los llamados valores propios de M, en tanto que las infinitas soluciones de () asociadas a cada uno de dichos valores reciben el nombre de vectores propios de M; de donde se desprende que cada valor propio de M tiene asociados infinitos vectores propios. Calcularemos a modo de ejemplo los valores y vectores propios de la siguiente matriz: 2 M = Es decir, los términos independientes de las ecuaciones que lo componen son todos nulos 3 Esto quiere decir que siempre admite solución: en efecto, el vector nulo es siempre solución 4 Es decir, admite una única solución 5 Es decir, admite infinitas soluciones 2

3 El primer paso consiste en escribir el sistema () para nuestro caso particular, que no es otro que 2 λ (M λi) = λ y =, λ z es decir, 6 λ λ λ y z = Basta entonces con imponer la condición λ 2 det 6 7 λ 4 = λ. (2) y despejar λ. Resolviendo el determinante (por la primera columna) se obtiene ( λ)[(7 λ)( 4 λ) + 24] + 6[2( 4 λ) + 6] 6[ 8 + (7 λ)] = ( λ)[ 28 7λ + 4λ + λ ] + 6[ 2λ 2] 6[ λ] = ( λ)[ 4 3λ + λ 2 ] + 2[ λ] 6[ λ] = ( λ)[λ 2 3λ + 2], epresión que se anula si (y solamente si) λ toma los valores, ó 2. Estos son los tres valores propios de la matriz M. Asociados a cada uno de los valores propios eisten infinitos vectores propios (las infinitas soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones lineales), que son los que pasamos a calcular a continuación: Para λ =, el sistema a resolver es (cf. (2)) y = z Las infinitas soluciones de este sistema pueden describirse en términos de un parámetro, de modo que si consideramos z = a R, las otras dos incógnitas pasarán a valer y = a 2, =, 6 Obsérvese que lo que pretendemos no es otra cosa que resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: ( λ) + 2y z =, 6 + (7 λ)y 4z =, 6 + 6y + ( 4 λ)z =, para aquellos valores de λ para los que podemos asegurar que eisten infinitas soluciones. En eso consiste eactamente calcular los valores y vectores propios de M. 3

4 cualquiera que sea el valor del parámetro a. Es decir, las soluciones que buscamos son todas de la forma a/2 a, con a R. Para el valor propio λ =, el sistema a resolver es ahora y = z En este caso se tiene 7 para cualquier b R. = b, y = b, z =, Finalmente, si λ = 2 habremos de resolver el sistema y =, z cuyas soluciones adoptan la forma c 2c c, con c R. El resultado de los cálculos anteriores nos permite ya construir las matrices P y D necesarias para efectuar la descomposición M = P DP, que era nuestro objetivo. Recordamos que la matriz D es la que contiene los valores propios de M en la diagonal y ceros en todas las demás posiciones, esto es, D = 2 Por su parte, cada columna de la matriz P ha de contener un vector propio asociado al valor propio que ocupa el lugar homólogo en la matriz D. Es decir, la primera columna de P será un vector propio asociado al valor propio λ =, por ejemplo 7 Al intentar resolverlo comprenderás que, en este caso, no puede elegirse la incógnita z como parámetro, pues está obligada a valer. 4

5 (que se obtiene considerando el valor b = del parámetro); la segunda columna de P resulta de elegir un vector propio asociado al valor propio λ =, por ejemplo 2 (que se obtiene considerando el valor a = 2 del parámetro); finalmente, como tercera columna de P elegiremos un vector propio cualquiera asociado a λ = 2, por ejemplo 2 (que se obtiene considerando el valor c = del parámetro). Lo único a tener en cuenta en nuestras elecciones es que la matriz P resultante tenga determinante no nulo, para garantizar de ese modo la eistencia de su inversa, sin la cual no podríamos llevar a cabo la descomposición pretendida. Recopilando toda la información anterior, la matriz P así construida es la siguiente: P = 2, 2 cuyo determinante es igual a (como ya verificamos en la lección anterior, donde además calculamos su matriz inversa). Por consiguiente, podemos concluir que 8 M = P DP = de modo que si tuviésemos la intención de calcular P 5, que es igual a M 5 P si P es el vector que cuantifica la distribución inicial de los grupos en que está estructurada la población, bastaría con escribir P 5 = P, sin necesidad de tener que multiplicar la matriz M cincuenta veces por sí misma. No obstante, para una buena parte de las conclusiones biológicas de interés que el usuario puede etraer de este tipo de modelos matemáticos, no será necesario pasar por el cálculo de todos los valores propios de M, sino que bastará con conocer solo uno destacado de entre ellos: el llamado valor propio dominante. Pero esto será objeto de Matri Revolutions. 8 Verifíquese, 5